Математическая модель процесса резания ананасов элементарным ножом Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

634.774

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА РЕЗАНИЯ АНАНАСОВ

ЭЛЕМЕНТАРНЫМ НОЖОМ

Э.Э. ЭКПЕНЬОНГ, Д.Л. ПИОТРОВСКИЙ

Кубанский государственный технологический университет,

350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2; электронная почта: киbstu_app@mail.ги

Предложено математическое описание процесса резания ананаса элементарным ножом и вращающимся дисковым ножом . Определена удельная движущая сила резания элементарного ножа, осуществлен расчет суммарных составляющих сил и моментов, приложенных к кромочной части дискового ножа, рассчитан момент сил трения разрезаемого ана -наса о боковые поверхности дискового ножа.

Ключевые слова: процесс резания, элементарный нож, дисковый нож.

Перед поступлением на прессование плоды ананаса подвергаются предварительной обработке, которая включает: удаление короны, очистку, разрезание плода на мелкие части. Рост требований к качеству резания плодов, а также необходимость обеспечения ресурсосберегающего режима работы устройств, осуществляющих резание, обусловливают необходимость совершенствования математических описаний процесса резания. Основное значение при этом приобретают рас -четные методики для формального определения усилий резания и сил полезного сопротивления резанию.

Системный подход к теории резания пищевых материалов, предложенный в работах [1, 2], выявил рас -четные методики для определения сил полезного сопротивления при резании продуктов пластинчатым ножом с клиновидной режущей кромкой и вращающимся дисковым ножом. Однако принятые в данных работах допущения не позволяют с необходимой степенью точности описать процессы резания плодов ананаса.

Цель настоящей работы - составление математической модели процесса резания ананасов в виде, приемлемом для расчета на ЭВМ. Такой подход позволяет сделать расчет более точным благодаря исключению ряда допущений, налагаемых на него при аналитическом решении [3]. За основу была взята модель, приве -денная в [4].

Для осуществления резания пищевого материала к ножу необходимо приложить движущую силу R, с помощью которой преодолевают возникающие силы сопротивления [1, 3].

В качестве исходных данных необходимо иметь значения следующих величин: плотности разрезаемого материала р; удельной силы резания материала о; диаметра дискового ножа 2г; толщины ножа 25; угла заточки 2а; толщины разрезаемого материала Я; длины разрезаемого куска 21; скорости подачи материала уп; отношения окружной скорости на кромке ножа уо к скорости подачи материала уп (отклонение скорости 1); расстояния М, позволяющего осуществить сквозной рез материала; коэффициента трения материала о нож т; модуля упругости материала Е.

Рассмотрим схему попутного резания ананаса элементарным ножом, на которую наложим обратное движение - нож, вращаясь с угловой скоростью ю, двигается поступательно со скоростью уа на неподвижный материал (рис. 1).

На режущей кромке дискового ножа выделим элементарный участок ЬЕ. Если дугу ЬЕ заменить хордой, получим элементарный нож с наклонной режущей кромкой. Полагается, что каждый элементарный нож дуги АВ будет иметь собственный КПД, который зависит от угла фактического раздвижения материала и глубины погружения элементарного ножа в разрезаемый материал. Такое положение более соответствует физической картине процесса резания дисковым ножом.

Элементарный нож ЬЕ врезается в материал со скоростью, определяемой уравнением

Угол фактического раздвижения материала Ь = собу,а ,

(1)

(2)

где Ь ф, - угол фактического раздвижения материала ,-го элементарного ножа; у, - угол наклона режущей кромки ,-го элементарного ножа; а - половина угла заточки двухстороннего дискового ножа.

Величину соб у определяем согласно [3]:

соб у, =бш ф

, /дД+12 - 2 1соб ф,

(3)

где ф, - угол, определяющий положение /-го элементарного ножа.

Глубина погружения элементарного ножа опреде -ляет поверхность его трения о материал и, соответственно, силу трения (рис. 2). Она определяется как расстояние от реющей кромки ножа вдоль линии его скорости до поверхности материала. Так как скорости раз-

Рис. 1

2 2 . 2 . 2 ,,

VJ = Voj ! V ! V€ - 2 VojVV€ -Os ф,- .

(4)

Обозначим Vp = v^ ! va. Тогда по теореме косинусов, учитывая

MN =

% % %

vp , CM = V™ , CN = V,

$p оо j$

получим

(5)

Построим параллелограмм скоростей в точке С, учитывая, что вектор окружной скорости voj+1 изменится по сравнению с V0. не только по направлению, но и по величине:

Рис. 2

ных точек дискового ножа различаются, а направление силы трения противоположно направлению скорости относительного перемещения поверхностей в данной точке, глубина погружения элементарного ножа будет определяться как длина от кромки вдоль кривой, касательные к которой в любой точке совпадают с векторами скорости ножа относительно материала в этой же точке. Линия глубины погружения элементарного ножа (силовая линия сил трения ножа о разрезаемый материал) представляет собой плавную линию, приближающуюся к окружности режущей кромки ножа по мере его продвижения к нижней поверхности материала. Для программирования расчета необходимо в математической форме изложить алгоритм построения линии глубины погружения элементарного ножа.

Рассмотрим ААВС (рис. 2).

• • •

Здесь # АСВ = # vjvoj = 0}, где vj - вектор скорости точки С, внедряемой в материал; voj - его составляющие.

Из АСЫЫ определим

Voj+l ^ ^+1 / Rj). (7)

Решая уравнения (4), (5) в точке В, получим угол

между направлением результирующей скорости Vj+1 и

направлением окружной скорости voj +1. Затем по уравнению (6) получим новую точку силовой линии сил трения ножа, характеризуемую углом фj+2 и расстоянием Rj+1.

Расстояние между двумя соседними точками сило -вой линии сил трения ножа ^ (часть линии действия силы трения для данного элементарного ножа):

lО = (Rо /sln(90o - 0. - Aф)) sln Aф = = R. slnAф/cos (0о -Aф).

(8)

В дальнейшем цикл расчета повторяется до тех пор, пока силовая линия сил трения ножа не достигнет поверхности материала. Контроль этого положения осуществляется с учетом того, что в полярных координатах линия поверхности записывается следующим образом:

R. = (r-H - Ah)/ cos фо.

(9)

При условии, что Rj и фj удовлетворяют уравнению (9), расчет силовой линии сил трения ножа прекращается.

Тогда глубина погружения элементарного ножа в разрезаемый материал:

(10)

где , - номер элементарного ножа.

Весь цикл расчета ведется для каждого ,-го элементарного ножа, для которого необходимо определить удельную силу резания. Количество точек], по которым ведется построение силовой линии сил трения ножа, зависит от того, выполняется ли условие

Rj

(11)

Задача расчета - вычисление положения точки В, в которой необходимо построить новый параллелограмм скоростей и из которой продолжим построение линии глубины погружения элементарного ножа. Положение точки В будет характеризоваться углом ф +1, которым задаемся, и расстоянием Rj+1, которое необходимо вычислить.

Рассмотрим АВСО. Здесь ZBCO = 90° - 0^, ZOBC = = 180 ° - (90 ° - 0,) - Аф = 90° + 0, - Аф.

По теореме синусов получим

ВО = Rj+1 = СО/эш(# ОВС ) =

= ^ (900 - 0;. - Аф))эш (900 - 0;. )= (6)

= (Rj /соэ (01 — Аф))соэ 0;..

В качестве начального значения Rj для каждого /-го элементарного ножа берется значение г При невыполнении условия (11), что свидетельствует о слишком крупном шаге Аф, происходит увеличение точек ].

Для определения удельной движущей силы резания элементарного ножа необходимо также определить проекцию режущей кромки элементарного ножа на направление, перпендикулярное вектору скорости, которая равна (рис. 2):

bHi = Aфr sln 0.

(12)

где 0j — первое вычисленное значение угла между вектором окружной скорости и вектором результирующей скорости i-го элементар -ного но жа.

КПД элементарного ножа зависит от угла фактиче -ского раздвижения материала и от глубины погружения режущей кромки в материал. При этом длина на-

r.

клонной кромки ножа оказывает свое влияние на КПД. Для ножа с наклонной режущей кромкой, в каждой точке которого вектор скорости не изменяется, длина грани может быть записана следующим образом:

1н.т.K = d/sln

(13)

При резании материала дисковым ножом вектор скорости в каждой точке имеет свое направление и величину. Следовательно, угол фактического раздвижения материала аф будет меняться от точки к точке. Поэтому длину наклонной грани необходимо вычислить дискретно вдоль силовой линии силы трения как сумму длин грани между каждой парой точек, т. е.

4*.k = S(l,/cos aф, X

(14)

где lj — расстояние между двумя соседними точками силовой линии силы трения (8); аф/ — угол фактического раздвижения материала в каждой точке.

Учитывая изложенные отличительные особенности процесса резания материала дисковым ножом, а также используя формулу для ножа с наклонной режущей кромкой, приведенную в [3], определим удельную движущую силу резания однородного материала для элементарного ножа:

R УД/- = о + lHRK(E5/1 )(sin a + m cos a ф )+

! 2m ((h - (bHi/ 2)tg g- 5ctg a^ )(E5/1))! (15)

+ (pl /3)v,2tg2 a фi, где Vi - величина вектора скорости элементарного ножа,

2

v,

V2 , 2,2

Voi + V + V€ - VoiV•

Va c0S Ti •

(16)

В уравнении (15) при малых значениях аф/ возможен случай, когда

5ctg a> h, - bHt / 2tg g

(17)

В этом случае часть уравнения, которая включает данные члены и становится отрицательной, в программе расчета приравнивается к нулю.

Суммарные составляющие силы резания ананасов определяются интегралами при условии, что количество элементарных ножей i %), а dф, % 0. Тогда, с учетом [3], вертикальная и горизонтальная составляющие сил, приложенных к кромочной части ножа:

фк

RB = r,RУД [(1sln2 ф)/(1+ 12 -2lcosф)^ф;(18)

фи

ф к

Rr = r,Ryд[(sln ф (1 cos ф - 1)/ (1-12 - 21cos ф)^ф.(19)

ф H

Момент на валу дискового ножа от сил, приложенных к кромочной части ножа:

K

MKP = r , RУД

-sln ф (1-cos ф))

(1+ 12 - 21cos ф)

dф. (20)

Интегрирование выражений (18)-(20) численными методами при расчете на ЭВМ не представляет трудности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Даурский А.Н., Мачихин Ю.А. Резание пищевых материалов: теория процесса, машины, интенсификация. - М.: Пищевая пром-сть, 1980. - 240 с.

2. Дорменко В.В. Динамические расчеты основных узлов рыборазделочных машин. - М.: ВНИРО, 1959. - 64 с.

3. Карпов В.И. Силы полезных сопротивлений, возникающие при резании рыбного сырья (теория резания). - Калининград: КТИРПиХ, 1971. - 66 с.

4. Фатыхов Ю.А., Агеев О.В. Математическая модель процесса резания рыбного филе дисковым ножом // Известия КГТУ. - 2007. - № 12. - С. 42-51.

Поступила 10.02.09 г.

MATHEMATICAL MODEL OF THE PROCESS OF CUTTING PINEAPPLE

WITH ELEMENTARY KNIFE

E.E. EKPENYONG, D.L. PIOTROVSKY

Kuban State Technological University,

2, Moskovskaya st., Krasnodar, 350072; e-mail: kubstu [email protected]

Is offered mathematical description of the process of cutting pineapple with elementary knife and a rotatingdisk knife. Specific moving force of cutting of an elementary knife is defined, calculation of total component forces and the moments enclosed to the rim of the disk knife is carried out, moment of forces of friction of cutting pineapple about lateral surfaces of disk knife is calculated.

Key words: process of cutting, elemental knife, disk knife.