CC BY
38
УДК 66.081.6
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ЭЛЕКТРОГИПЕРФИЛЬТРАЦИОННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ РАСТВОРОВ
© К.С. Лазарев, С.В. Ковалев, В.Ю. Попов,
А.С. Горбачев, М.А. Рябинский
Ключевые слова: обратный осмос; мембрана; математическая модель; расчет.
Представлена математическая модель процесса электробаромембранного разделения промышленных растворов, теоретические предпосылки разработанной модели опираются на уравнения неравновесной термодинамики. Проверена адекватность разработанной математической модели процесса электробаромембранного разделения промышленных растворов.
ВВЕДЕНИЕ
Использование методов математического моделирования является актуальным направлением любых научных исследований. Разработка математических моделей для процесса мембранного разделения растворов опирается на некоторый объем фундаментальных знаний по кинетике процесса электрогиперфильтраци-онного разделения при варьировании рядом параметров: давления, плотности электрического тока и т. д.
В имеющихся в настоящее время литературных данных имеется ряд работ, на которые опирались авторы при разработке предложенного математического описания [1-12]. Стоит отметить, что универсального математического описания процессов мембранного и электробаромембранного разделения растворов в настоящее время не существует.
При разработке математической модели процесса электробаромембранного разделения промышленных растворов приняты следующие допущения:
1) скорость электродных реакций намного выше скорости массопереноса;
2) рабочая плотность тока намного ниже критической;
3) на границе раствор-мембрана имеет место равновесие фаз;
4) в рабочих камерах осуществляется интенсивное перемешивание растворов;
5) насос обеспечивает постоянство подачи раствора;
6) в емкости раствора режим идеального смешения;
7) все неучтенные свойства мембран (микропотоки растворителя и растворенного вещества) учитываются через коэффициент задержания и удельный поток.
На рис. 1 представлена схема электробаромембран-ной установки плоскокамерного типа с замкнутой циркуляцией раствора.
Для описания процесса массопереноса в электроба-ромембранных процессах используем модель неравновесной термодинамики. При электробаромембранном разделении массоперенос включает следующие потоки (рис. 2).
Рис. 1. Схема электробаромембранной установки плоскокамерного типа с замкнутой циркуляцией раствора: 1 - расходная емкость; 2 - емкость пермеата; 3 - насос плунжерный; 4 - плоскокамерный аппарат; 5 - дроссель; 6 - поплавковый ротаметр; 7 - ресивер; 8 - компрессор высокого давления; 9 - игольчатый вентиль; 10 - термостат; 11 -образцовый манометр; 12 - электроконтактный манометр; 13 - источник постоянного тока
м пэ +
Рис. 2. Схема массопереноса через мембрану в процессе электрогиперфильтрационного разделения раствора: М -мембрана; ПЭ - пористый электрод, остальные обозначения приведены ниже
Рассмотрим математическое описание потоков растворителя и растворенного вещества для однокомпонентного раствора:
1М, - Ьц ■ хп + Ь12 ■ х12 + Ь13 ■ х13;
13 - Ь21 ■ х21 + Ь22 ■ х22 + Ь23 ■ х23'
(1)
(2)
V — р ■ I■л-
г эос эос 1 1 I
(20)
Коэффициенты и движущие силы процесса по потоку растворителя и по потоку растворенного вещества имеют следующий вид:
Ьц = а; хп = АР;
Ь12 = Росм;
х12 = АС = (Срет — Спер); Ь21 = ^конвСконв; х21 = АРконв = ^кон;
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Ь22 Lдиф Рдиф
(9) (10) (11) (12)
хп = х23 = АЕ = г. (13)
1. Электродиффузионный перенос вещества:
х22 АС (Срет Спер);
Ь13 Ьэлектр Рэос;
Ь23 Ьэл. диф
^эл.диф Рэд ■ * ■Л .
2. Диффузионный перенос вещества:
р ~ ~ тдиф — ^ (Срет — Спер )
(14)
(15)
3. Конвективный перенос растворенного веще-
т — к V С кон койкой кон
(16)
4. Электрокинетический перенос растворенного вещества:
т — к ■ V ■ С .
"*эл.кин 'Ъл.кин Кэл.кин ^"элкин
(17)
5. Конвективный перенос растворителя:
Vкон —а^АР . (18)
6. Осмотический перенос растворителя:
V — Р°с (С — С ^
' ОС с; Срет Спер /
8
(19)
8. Электрокинетический перенос растворителя:
V — ^ . (21)
^лкин 4 Пц%
Запишем суммарный поток массы через коэффициент задержания мембраны:
М тэл.кин + ткон кэл.кин ■ Vэл.кин ■ Сэл.кин +
рд ~ ~
+------(Срет — С ) +
8 рет пер'
+ к.
кон кон кон
* Скон (1 Кк )Сре^кон .
(22)
7. Электроосмотический перенос растворителя:
В формулах (14)-(22) обозначено: Рэд - коэффициент электродиффузионной проницаемости мембраны по растворенному веществу, кг-А-1с-1; г - плотность тока, А/м2; Рд - коэффициент диффузионной проницаемости мембраны по растворенному веществу, м2с-1; Рос - коэффициент осмотической проницаемости мембраны по растворителю, м5-с-1-кт-экв-1; Рэос - коэффициент электроосмотической проницаемости по растворителю, м^с '•А *; а - коэффициент водопроницаемости мембраны, м3м-2с-1Па-1; 8 - толщина мембраны, м;
Срет, Спер - средняя концентрация растворенного
вещества в пермеате и ретентате, соответственно, кг-экв-м-1; С - средняя концентрация растворенного
вещества в конвекционном потоке кг-экв*м-1; Сэл кин -средняя концентрация растворенного вещества при электрокинетическом переносе кг-экв-м-1; Л - степень использования тока; АР — р — Р2 - разность (градиент) давления по обе стороны мембраны, Па; ккон -коэффициент конвективной проницаемости растворенного вещества из ретентата в пермеат; кэдкин - коэффициент электрокинетической проницаемости растворенного вещества из ретентата в пермеат; 8 - коэффициент, характеризующий объем раствора в разделительной камере; х - электропроводность раствора, Ом/м; Е, - электрокинетический коэффициент; Кк - коэффициент задержания.
Для вывода уравнений, характеризующих изменение концентраций и объемных расходов пермеата и ретентата по камерам аппарата, выделим произвольные две соседние камеры и рассмотрим массовые потоки (рис. 3). На рис. 3 обозначено: Свх, Свых - концентрация растворенного вещества в г-й камере на входе и выходе, соответственно; Vвх Vвых - объемные расходы раствора, также на входе и выходе из камеры; ТМ, - суммарные потоки растворенного вещества
и растворителя через мембрану; Спер, С1+ер - концентрации прикатодного и прианодного пермеата, соответственно; Vпер, - объемные расходы прика-
тодного и прианодного пермеата.
Свых j Vвых j +
Свх j+1 Vвх j+1
Свх j ' Vвх j Свых j+1 ' Vвых j+1 Спер + V пер +
Спер -V пер -
Рис. 3. Схема изменения концентрации и объемных расхо-
дов пермеата и ретентата по камерам электробаромембран-ного аппарата
При рассмотрении массопереноса в /-й камере аппарата, ограниченной с обеих сторон мембранами, будем считать, что он (массоперенос) протекает следующим образом.
Подвижные ионы под действием сил электрического поля из раствора мигрируют через мембраны к электродам-подложкам (анионы к катоду, а катионы - к аноду), где претерпевают электрохимические превращения и удаляются с пермеатом. В то же время транспорт ионов и недиссоциированных молекул через мембраны осуществляется диффузионным (направление диффузионного потока зависит от концентрации пер-меата и ретентата) и конвективным путями. Также, поскольку в системе существует градиент электрических потенциалов, который является движущей силой электродиффузии, необходимо учитывать и такой вид переноса, как электродиффузионный перенос вещества через мембрану.
В итоге из /-й камеры будет удаляться растворенное вещество в количестве ЪЫ .
Наряду с растворенным веществом из г-й камеры удаляется и растворитель (вода) в суммарном количестве ЕМ, . Перенос растворителя из /-й камеры осуществляется по следующим механизмам: конвективным путем (за счет разности гидравлических давлений по обе стороны мембраны); за счет осмотического переноса (при наличии разности осмотических давлений или разности концентраций растворенного вещества в ретентате и в пермеате); за счет электроосмотического переноса.
Перед выводом формул для суммарных потоков массы (ЪЫ ) и растворителя ( ЕМ) из /-й камеры примем, что:
Срет = 0,5(С, + С,); Спер = Сп
✓-’вых _ у^вх .
IС,+1 = С] ;
] “ ]/■> пер пер ’
вых вх
]+1 = у ] '
(23)
С учетом уравнений (8)—(15) выражения для суммарных потоков будут иметь следующий вид: а) по растворенному веществу
ЕМ,-
тэл.диф ] + тэл.кин ] + (ткон ] + ткон ] ) + + (мдаф ] + мдаф ] )
Я,,
= Рэдщ Ям + 0,5(С вх + С в^1х|
]1 - К л)+' І+а"(і - КкП,)
(24)
АР/М;
б) по растворителю ЕМ, = (Уэ1^ ,-+ Vп
■ + Vл
+ Vп ■ +
эл.кон ]
] V эл.диф ] + эл. диф ] + эл.кин]
^кон] + КЛс] + ^с]) = (рэос/ЛЯМ + Рэос/Л^М )+
( л л л п п п)
+ \кэл.кин]у]С] + кэл.кин]у]С] рМ +
(25)
+ ал АР]РМ + ау АР]Рм +
р Л рп
Гэос] л х Г0Ч
(Срет Спер і) + о (Срет С:
8
8
рет
п)
пер ] )
где ¥М - площадь мембраны, м ; индексы «л» и «п» обозначают, соответственно, левую и правую камеры.
Далее запишем уравнения материального баланса для]-й камеры в виде:
а) для растворенного вещества
]Свхах - £] - V™= а[Уяся); (26)
б) для растворителя
V вх -У N. = V ,вых,
(27)
где: Уя, Ся - объем и средняя концентрация растворенного вещества в ячейке.
Если принять Ся = 0,5 (с ®х + С™ ) и V = сопй , то
а
(УА )
йх
= 0,5^
асувх асв
ах
л
ах
(28)
Тогда уравнение (28) можно записать
0,5 V,,
^ас;^ асвь1Х А
йх ах
_ тт’вх/'чвх тт’вЬК/'ївЬіх _
= Ч - Ч -
\Р^М + 0,5(С;вх + С™) +
Обозначим
а л (1 - Кк л) + + ап (1 - Ккл)
(29)
АР]ЯМ I
М] = £ V] = (а л +ап )ДРР + (Р] + Р] ^ +
+ V л + Vп
эл.кин, эл.кин ]
(Рл + рл) ~ ~
, іп _п \
+ £ (Срет Спер)‘
+
С учетом (26) уравнение (27) запишем в виде: і
V*ых = V1BX _у Ne. (31)
є=1
Подставив (30) в (28) и сделав преобразования, получим
dCBX dC в
dx dx
( ;_ Л / \
^вх _У Nj _(к;+кп) і=1
. Cвх _ с;
(32)
( j Л / \
V» _у N. +(кл + Кп) і=1
/■» вых т т •с; _ и;,
йС- ьк + йС™
йт
п_1 Л ( \
Vх _У _(к;+к.)
У -=1 )
_£
йС в
'( п Л / \
^ _У ^ + (к; + к;)
\ ;=1 ^
• Свх _ и и; ;
■ = г(т) •(; _ С]х);
/Ч ггп I пл,п |/',вх /'’вык I
спер = Н; + *; -(с; _ С. )
/'~»вЫХ /'твх . с;_ = ; свх (0) = свых (0) = с:
/'твх с; _
(35)
где є = -
0,5^ Ум • X-
= 0,5а ^ (1 — KkJ )APj • Ум ; X - толщина камеры.
Далее выведем уравнение для расчета концентрации растворенного вещества в пермеате. При этом бу-
ЛМ
дем исходить из того, что С„„ =-----------, где ЛМ,
пер ш
- количества перенесенного вещества и растворителя (воды), соответственно, через мембрану.
Учитывая схему переноса (рис. 2) и уравнения (15)-(21), получим уравнение для расчета концентрации растворенного вещества в пермеата после левой и правой мембраны:
Щ
' ш
0,5
' ДР, + рл іл +
рё
-(~в&
бао ^~1аб )
(33)
АР- ]■
Таким образом, для определения концентраций растворенного вещества в ретентате и в пермеате для каждой камеры аппарата мы можем записать систему п-уравнений типа (32) и систему 2п-уравнений типа (33) (п - число камер в аппарате). Однако из-за неста-ционарности процесса эти системы уравнений не являются замкнутыми. Для замыкания этой системы получено уравнение для емкости раствора из балансных соотношений:
^Гвх ( \
йС^ = г(тМс™ _ Свх ),
йт
(34)
где z(т) = -
_У N.
і=1
і=1
Таким образом, для определения изменения концентраций ретентата и пермеата во времени по камерам электробаромембранного процесса получена замкнутая система уравнений:
где j = 1, 2, 3,...п; У N = 0;
;=1
N = 2а.Др.Рм + 2%(Срет _СПерУм + 2-^- +
+ (р + Р )пУм;
■"рет спер г М
2
Ьіє
4Пг|х
Кё = к^. = 0,5а. (1_ Кк, )АР. • Ум ;
Квх _У N ,■
() у ^ = 2Р-^. Кт)=—-п— ■ и; =
_тУ N
X
-=1
п =■
1 _ Кк ?п }х гдр7
рл’п /~ ~ \
^Др + (<~рет _Спер) + РэТ'-
нл п:
0,57-Х
р л,п
а л,пДР, + рл,спіл + (<~рет _ Спер /
(С _ С )
рет пер
где ^ - коэффициент, характеризующий электроосмо-тический перенос растворителя и растворенного вещества; Н - коэффициент изменения концентрации растворенного вещества в пермеате; г - коэффициент расхода раствора в промежуточной емкости; Я - коэффициент, характеризующий изменение концентрации растворенного вещества в пермеате; 8 - коэффициент, характеризующий объем раствора в разделительной камере; X - толщина камеры, м; остальные обозначения приведены ранее.
Кроме того, по уравнениям (35) можно определить объемные расходы ретентата, а следовательно, и пер-меата, по камерам - текущий объем раствора в промежуточной емкости.
Система уравнений (35) для конкретных случаев может быть упрощена. Так, например, для электромикрофильтрации, электроультрафильтрационного и элек-троосмофильтрационного аппарата с прикатодными мембранами (с аппаратом такого типа были выполнены исследования) математическая модель принимает следующий вид:
= є
_ є
1
2
п
X
а
5
X
вых вх
dC j dC j ] +-----— = є
d'
d'
n-1 , 4
^вх-ЕN- -(кп)
-=1
• C вх -c-
dC-X
n I \
V-Е N- +И
]=1 У .
z(') •(?“ - Cf )
• C BX •Cj
■U,-
d'
n ттп І пп іґ^вх ^вых
Спер = H- + я- -(С- - C- )
вых вх c --1 - C] ;
(вх (0) = C^ (0) = c0,
(36)
где j = 1, 2, 3,...n; ЕN = 0; N = a-AP-FM +
]=1
+—CU - Спер )Fm + 77^ + (p-n )nF
-( (pп ,,,,,
s v рет Сшр?м + 4Пг^ + \P-r\±M ;
Fm Х
KП = 0,5a-(1 - Kk] )AP-FM ;
*(') =
^1вх-Е N-
j-i
; U, =
Ve0 -'Е N]
]=1
2P3.din .
X ’
яп =
(1 - Kk п
] aПAP] + ^ (і~рет - Спер )+ РЛоІП
нп=-
0,5TJX
Рп
aПAP] + 0^+ рос (1~рет - Спер)
(С - С )
рет пер
ВЫВОДЫ
Разработана математическая модель процесса элек-трогиперфильтрационного разделения промышленных растворов, позволяющая рассчитышать объемные расходы ретентата, а следовательно, и пермеата, по камерам и текущий объем раствора в промежуточной емкости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 160 с.
2. Муравьев Л.Л. Моделирование работы обратноосмотических установок с рулонными фильтрующими элементами // Химия и технология воды. 1989. Т. 11. № 1. С. 107-109.
3. Байков В.И. Ультрафильтрация в плоском канале с одной проницаемой поверхностью // ИФЖ. 1999. Т. 72. № 1. С. 32-37.
4. Горбатюк В.И. Гидродинамика мембранных процессов при ламинарном течении // Химия и технология воды. 1983. Т. 5. № 1. С. 8-12.
5. Байков В.И. Нестационарная концентрационная поляризация при ламинарной ультрафильтрации в плоском канале // ИФЖ. 1994. Т. 67. № 1-2. С. 103-107.
6. Винников В.А. Гидромеханика: учебник для вузов. М.: Изд-во МГГУ, 2003. 203 с.
7. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: пер. с англ. М.: ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ, 1984. 152 с.
8. Кутепов А.М. Химическая гидродинамика: справочное пособие. М.: КВАНТУМ, 1996. 336 с.
9. Патанкар С. Тепло- и массообмен в пограничных слоях: пер. с англ. М.: ЭНЕРГИЯ, 1971. 128 с.
10. Полянин А.Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 256 с.
11. Мамонтов В.В. Кинетика обратноосмотической очистки минерализированных растворов предприятий ТЭЦ: автореф. дис. ... канд. тех. наук. Тамбов, 2007.
12. Вязовов С.А. Кинетика обратноосмотического концентрирования водных белофоросодержащих растворов (в производстве оптических отбеливателей): автореф. дис. ... канд. тех. наук. Тамбов, 2007.
БЛАГОДАРНОСТИ: Научно-исследовательская работа вытолнена в рамках реализации Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
Поступила в редакцию 8 апреля 2013 г.
В связи с конструкционными особенностями элек-тробаромембранного аппарата (наличие только прика-тодных мембран), а также с целью упрощения вычислительных расчетов, математические уравнения, описывающие изменения концентраций, были несколько преобразованы. При этом полученные уравнения, используемые в вычислительных экспериментах, имели следующий вид (36).
Для нахождения решений уравнений (36) пользовались методом Рунге-Кутта. При этом была составлена программа счета (на языке С++), реализованная на персональном компьютере (ШТЕЬ РЕКПЦМ IV).
Lazarev K.S., Kovalev S.V., Popov V.Y., Gorbachev A.S., Ryabinskiy M.A. MATHEMATICAL MODEL OF ELECTRO-HYPER-FILTRATION DIVISION OF INDUSTRIAL SOLUTIONS
The mathematical model of the separation elektrobaromem-brane industrial solutions is presented; theoretical assumptions of the model are based on the equations of nonequilibrium thermodynamics. The adequacy of developed mathematical model of process of electro-baro-membrane division of industrial wastes is made.
Key words: reverse osmosis; mathematical model; membrane; solution.
У
є
n
2
є=
