CC BY
31
EQUIVALENT MODELING OF ELECTRICAL PROCESSES IN THE SPARK GAP AT
ELECTRIC DISCHARGE MACHINING
A.I. Kurochkin
An equivalent electrical circuit of the spark gap and research taking place in her electric processes in EDM processing by simulation in NI Multisim is considered. Key words: EDM, equivalent electric circuit, spark gap, NI_multisim.
Kurochkin Andrei Igorevich, head of sector, erider00@gmail. com, Russia, Tula, Central Design Bureau of Apparatus
УДК 621.922: 621.921.34
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ФОРМИРОВАНИЯ
ОДНОРОДНОСТИ СМЕСИ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ
А.В. Евсеев
Представлена математическая модель технологии получения смесей при детерминированном формировании их однородности, разработанная на основе теории вероятностей.
Ключевые слова: формирования однородности смеси, математическая модель, теория вероятностей, неравенство Чебышева.
Рассмотрим математическую модель физического процесса детерминированного формирования однородности смеси [6,7], которая напрямую связывает входные параметры дозирующих устройств и выходные качественные характеристики готовой смеси [1,2,3]. Интересно число «точек идеального смешения», в которых соотношение компонентов будет выполнено с заданной заранее точностью и с высокой вероятностью. Это позволит обозначить минимальный объём элементарной эффективной выборки использования смеси конкретным потребителем, что собственно и является целью моделирования процесса. Такую предварительную оценку можно провести, используя следующие условия и зависимости [4].
Предположим, что:
а) масса ключевого компонента в «точке идеального смешения» представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному закону с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением Gq [5,8];
б) балласт в этой же точке имеет одну и ту же массу М Б. Поставим задачу определить " N -ячейку", в которой с наперёд заданной вероятностью свойство q выполняется с заданной относительной точностью 8. Число N - количество «точек идеального смешения». Без ограничения общности можно считать, что " N -ячейка" содержит N доз ключевого компонента с массами т2 mN и N масс МБ балласта
т+т2+...+т^ _ т
N + M
Б
M
Б
Л m1 + ...mN
где m = —--— - среднее арифметическое масс полезного вещества.
N
Тогда
m
M
q
Б
< dq. Согласно неравенству Чебышева величина
m
M
Б
будет отклонена от q с относительной точностью 8, если для случайных величин m¡ m2...mN,распределение которых неизвестно, вероятность того, что величина m будет отклонена от m0 на величину, большую, чем на заданную e, подчинена неравенству
s2
P{|m - m0 >ej<^r^, e2 N
из которого, в свою очередь, вытекает неравенство
_2
P{| m - m0| <ej> 1 —2°
e2N
позволяющее провести необходимые оценки:
P
m
M
- q
Б
< 8q
= P {|m - qMБ < 8qMБ j,
qMБ=ТГMБ=m0-
M Б
P{| m - qMБ\<8qMБ j= P{| m - m0\<8m0j. Положим e = 8m0, тогда
P{|m - m^ < 8m0 j > 1-
s2
(8m0 )2 N
= 1 -a,
s2
a =-0
d2m¡2 N:
где а - величина отклонения данной вероятности от вероятности достоверного события (т.е. от единицы).
При заданных величинах а, т0, с0 и 5 находим
N
о2
52 2 5 то а
+1,
где квадратные скобки означают целую часть дробного выражения, заключённого в этих скобках.
Однако неравенство Чебышева даёт завышенную оценку для N, так как распределение случайной величины неизвестно, а вероятность отказа а входит в знаменатель определяемого параметра и в силу своей малости его резко завышает (перестраховывает), поэтому найдём более точную оценку.
Считаем, что все случайные величины т^ - нормально распределённые случайные величины с плотностью вероятности [5,8]
1
Рт(.х) = ,—
(х-то )2 2°2
где I = 1,2,...,N, то- математическое ожидание случайной величины т^, Оо- среднеквадратическое отклонение случайной величины. 1. В случае N = 1 имеем
(1+5)то
Р (|т1 - то| < 5то ) = Р ((1 -5) то < т1 <(1 + 5) то )= { Рт1 (х) dх = ^ (5) .
(1-5)то
Считаем 5 малой величиной, достаточно близкой к нулю, тогда с точностью до членов порядка 52 ! 1 (5) @ ^ (о) + ^ (о) 5.
Заметим, что ^ (о) = о . Найдём ^ (о): '(1+5)то
(5) =
| Рт1 (х) dх)5 (1-5)то
== то Рт1 ((1 + 5)то) + Рт1 ((1 -5)то)
^ ^ (о) = 2тоРт1 (то),
Рт1 (то) Следовательно, для N = 1 Р (| т1 - то| < 5то)» 2. Пусть N = 2.Тогда
л/2роо
х 2то5=-2=о~ 5.
л/2роо
Р
т1 + т2
то
< 5то
Р (2 (1 -5) то) <Х< 2 (1 + 5) то), 94
е
1
1
о
1
где X = т-1 + т2.
+¥
Рх (х) = | Рт\ (t) х Рт2 (х -1) Ж - плотность вероятности случайной —¥
величины X,
2(1+8)т0
Р(2(1 — 8)т0 <Х<2(1 + 8)т0)= { рк(х)Жх = (8).
2(1—8)то
С точностью до членов второго порядка F2 (8)@ F2 (0) + F 2 (0)х8, (0 ) = 0. Тогда
¿2 (8) = 2т0 [ р:( 2 (1 + 8) т0) + Р^( 2 (1 — 8) т0 ¿2 (0 ) = 4т0 Р^( 2т0),
+¥
р£(2т0)= | Рт1 (t)хРт2 (2т0 — t)Жх - 2 _
—¥ (л/2Ро0) —(
Используем замену ——= и. Тогда
2
^—т0 ) 1 +¥— 2о0
| е 2°0 dt.
О0
Р;( 2т0)
(л/2Ро0 у
+¥ — 2 хо0 | е п Жи .
+¥
п
Заметим, что
,— е 2 Жи = 1. ¥
* —оо
+¥ 2 -п2
Покажем, что | е п Жи = >/р при и = —^. Тогда
-ГК-1 »
+¥ 2 ^ 1 [ е~и Жи =[ е 2 Жг = .— х>/Р [ е 2 Жг = >/Р ^ РХ( 2т0) л/2 >/2р
+¥ _^
+¥ _^
л/Р«
РОг
(Т2Ро0 )2
Следовательно, при N = 2
Р
т1 + т2
2
т0
< 8т0
4тг
л/ро0 „ 2\[2\
т0
»»0
(72Ро0 )2 ^О0
8.
(2)
3. Пусть N = 3. Вычисления, аналогичные проведенным, показы -вают, что
Р
т1 + т2 + тз
2
т0
< 8т0
т0
>/2р00
х8.
(3)
1
—оо
2
2
Р
т1 + т2 + тз
2
то
< 5т0
= Р(3(1 - 5)то < т1 + т2 + тз < 3(1 + 5)то) =
Р(3(1 -5)то <л<3(1 + 5)то),
где ^ = т1 + т2 + т3,
3(1+5)то
Р(3(1 -5)то <я<3(1 + 5)то)= | Рц(х)с1х = (5).
3(1-5)то
В силу малости 5 с точностью до членов 52
^3 (5) = ^3 (о) + (о)х5; ^ (о ) = о
найдем
(о). = 3то Рл(3 (1 + 5) то) + Рл( 3(1 -5) то),
Р^(3то )= | Р:(г)Рт3 (3то -1) dt =
= | | Рт1 (г)Рт3 ^ - г) dz Рт3 (3то -1)dt =
= I
-[^л/^лао
(г-то )2 2Оо
-(t-z-mо¿ ^
1 ^ 2О° dz
л/2роо
2
(3то-1-то)
1 -е 2°о
2 т
о
л/2рОо3
1 е
2
(г-то) +(t - г-то) 2Оо
2
dz
(2то-t) е 2а2 dt.
Сначала вычислим внутренний интеграл
/1 = | е
2
(z-то) -z-то) 2а2
dz,
/1 = I е
2^ z -1 ] + |12 -2mоt+2т°) 112 -2m0t+2т2) ( z -2 ^
9О2 +¥ 02 dz = е 2а2 ^ а°
2а2
| е ао (11.
z■
Проводим замену: и
2
ао
оо
сю
е
—сю
1
сю
сю
оо
оо
t
Тогда
и = е
1 2 2 -А 2 —2т0[+2т2)
2°0
+¥ 2 ,—М2
О0 | е и Жи = е
1 2 2 -Ч; 2 —2т^+2дад)
2о2
О,
Теперь вычисляем внешний интеграл
+¥
112 — 2т^+2^2) (2—'()2
¿3 (8) = | О^л/Рё
2од
х е 2°2 dt
+¥
О0л/Р |
1 2 2 2 2 ^2 — 2т^+2да0 +t2 —44т^+4да0 )
2Од
32
t —6mоt+6mо
+¥
dt = | е
2о2
dt
+¥ / е
3 2 2 —t —6mоt+6mо
3 2 2 2(t2 —4mоt+4т0)
2 +¥ 2 2о2 ш = о0л/Р | е 2о2
| (2то )2 +¥ _ 2 dt = О07Р | е 2°0 ЖХ.
Проводим замену: и Тогда
43 ( t — 2то)
2ог
Рл (3т0) = О0л/Р 200 | еиЖи ^ Р^ (3т0) =
+¥
2 2 РОо ^
^Р(3(1 — 8)т0 <л<3(1 + 8)т0) = 6т08 =
•\/ РОо л/2роо
По индукции
^ т1 + т2 +...+ тп
Р
п
т0
< 8т0
2л/м
т0
л/2Р
8 = 1 — а.
РОг
4. В случае N = 4 получаем
Р
т1 + т2 + т3 + т4
4
т0
< 8т0 |» 8.
>/2роо
Проверим правильность формулы:
Р
т1 + т2 +... + т
п
п
т0
< 8т0
(4)
= Р(4(1 — 8)т0 <л<4(1 + 8)т0) =
4(1+8)т0
| Рл( х) Жх = (8) » (0 )8
4(1 8)т0
¥
—ОО
2
е
—ОО
—ОО
—ОО
—оо
—оо
1
^(5) = Рл(4(1 + 5)то)х4то -Рц(4(1 -5)то)(-4то) ^^(0) = 8тоРц(4то).
+¥
+¥ ( +¥
Рц( 4т0 )= I Рц( г) Рт4 (4т0 - г) Ж = | | Р^( и) Рт3 (г - и) du Рт4 (4т0 - г) Ж =
—¥ \ —¥
+¥
= I
+¥
| | Рт1 (и) Рт2 (и -и) d и Рт3 (t - и) du
V -¥ V -¥ ) )
Рт4 (4то -1) dt.
+¥
Теперь | Рт1 (и)Рт2 (и -и)dи
1 +¥ 1 I е
2 2 (и-то) +(и-и+то)°
2а2
2ра2
22
d и:
1 +¥ ^ I е
и2 -2тои+т2 +и2+2(то -и )и+(то -и)
2а0
d и :
2ка° -
21 и-
и
2ка,
1 +¥ Оа2 "
I е 2ао (ихе
и2 2
—— 2тои+2то
2а2
0 -¥
+¥
4(-3то)2
= ^^^е 2а2 dt=2^то.
-¥>/ 6рао л/2рао
Из (1), (2), (3) и (4) по индукции выводим, что с точностью до чле-
нов порядка52 вероятность
Р
т1 + т2 +... + mN
N
то
< 5т0
2>[И\
т0
5.
лЮкао
Пусть требуется обеспечить высокую вероятность (1- а)выполне-ния неравенства, когда содержание ключевой компоненты в выборке из N «точек идеального смешения» будет выдержано с заданной точностью 5:
т1 + т2 +... + mN
N
то
< 5тг
тогда Р
т1 + т2 +... + mN
N
то
< 5т(
= 1 -а, а мало
2т0
—0 5 = 1 -а. >/2као
—оо
—оо
¥
¥
2
2
2
Отсюда выводим
г— (1 -а)л/2ро0 Л7 (1 -а)22ро2
чМ =~-^^—0^N = ~-о о 0
2шоЬ 4т252
2 2 2 _р(1 -а) о° » ро2
N
:0_
2ш0'82 2ш0'82
Данная оценка N даёт значительно меньшее значение по сравнению с полученной ранее по неравенству Чебышева. Однако случайная величина распределения доз ключевого компонента с математическим ожиданием шо и среднеквадратическим отклонением Оо в «точке идеального смешения» в данном случае должна иметь исключительно двухпараметрическое распределение Гаусса. Но как отмечает подавляющее большинство ученых [1 - 5,8], процессы дозирования имеют достаточно устойчивый характер, и распределение сформированных доз (микрообъёмов), как правило, является нормальным. Как видно, расчёт качественных показателей смеси с заранее известными свойствами N, 8, а, а также с определяемыми технологическими параметрами смесительного оборудования (дозатора) ш0 , О0 является весьма несложным и его можно осуществить как вручную, так и на ПК.
Список литературы
1. Евсеев А.В. Классификация нонмиксинговых смесевых продуктов и устройств // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2014. Вып. 3. С. 82 - 94.
2. Евсеев А.В, Лобанов А.В. Оценка качества смеси порошковых материалов для изготовления алмазного инструмента на основе физической модели // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2014. Вып. 3. С. 88 - 94.
3. Евсеев А.В., Парамонова М.С. Нонмиксинговые технологии и оборудование для получения многокомпонентных смесей // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2015. Вып. 8. Ч. 2. С. 188 - 194.
4. Евсеев А.В., Парамонова М.С. Постановка задачи математического моделирования процесса детерминированного формирования однородности смеси сыпучих материалов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2015. Вып. 8. Ч. 2. С. 203 - 208.
5. Макаров Ю.И. Аппараты для смешения сыпучих материалов. М.: Машиностроение, 1973. 216 с.
6. Патент РФ №2271243. Способ смешения сыпучих компонентов и устройство для его реализации / А.Н. Лукаш, А.В. Евсеев, Т. А. Овчинникова, К.В. Власов, О.В.Карпухина. Опубл. 10.03.06. Бюл.№7.
99
7. Патент РФ №2129911. Способ смешения сыпучих компонентов и устройство для его реализации / А.Н. Лукаш, И. А. Клусов, А.В. Евсеев. Опубл. 10.05.99. Бюл.№13.
8. Александровский А.А., Кафаров В.В., Дорохов И.И. Машины и аппараты химической технологии. Казань.1975. 382 с.
Евсеев Алексей Владимирович, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
MA THEMA TICAL MODEL OF THE PROCESS OF DETERMINISTIC FORMA TION OFTHE HOMOGENEITY OF THE MIXTURE OF BULK MATERIALS
A. V. Evseev
The paper contemplates the mathematical model of the of the technology of obtaining mixtures at a determined forming of their homogeneity, developed on the basis ofprobability theory.
Key words: the forming mixture homogeneity, mathematical model, probability theory, Chebyshev's inequality.
Evseev Alexey Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, ews19 72@ mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
