Математическая модель прогнозирования состояния параметров интеллектуальной сети Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СЕТИ

Новиков О.П., д.т.н., профессор

В статье рассматривается построение математической модели прогнозирования состояния параметров волоконно-оптического тракта интеллектуальной сети с использованием методов экспоненциального сглаживания.

Ключевые слова: модель, прогнозирование, тренд, интеллектуальная сеть, параметр.

MATHEMATICAL MODEL OF FORECASTING STATES OF INTELLECTUAL NETWORK PARAMETERS

Novikov O., doctorate degree in technical sciences, professor

The article considers the creation of mathematical model offorecasting of _parameters offiber-optic canal of intellectual network using methods of exponential smoothing.

Keywords: model, forecasting, trend, intellectual network, parameter.

Передача информации в интеллектуальной сети связи (ИСС) с волоконно-оптическими трактами представляет собой динамический процесс с постоянно изменяющимися параметрами. Процесс, характеризующий состояние параметров, описывается функцией, имеющей некоторый тренд. Прогнозирование состояния оптических параметров сети включает оценку динамики изменения их функции. Динамика процесса наиболее полно отображается в математической модели. Тренд процесса представляется в виде общей формы степенного полинома

f (a, t) = a0 + O t + у $21 +...+— ant (i)

n!

Используя математический подход теоремы Брауна [1, 2, 4, 6], для определения значения коэффициентов этого полинома представим их в виде выражения через функции сглаживания различного порядка исходного числового ряда. В этом случае задача сводится к

вычислению значений функции сглаживания §(i) i = 1 П + 1 и, в последующем, через их линейные комбинации - к определению коэффициентов полинома.

Согласно этой же теоремы Брауна вычисления коэффициентов разложения сводится к следующему. Функция сглаживания n-го порядка в момент времени t может быть представлена выражением:

(2)

51 р) (0-t (-1) х t/r j .

k! (p_1)! j-0 j ! .

где

V( k )(t ) -

У \*') — k - производная процесса, вычисленная в момент времени t; b - постоянная сглаживания.

В матричной форме эта система уравнений запишется

S (t) - Aa ; (3)

где

S(t) = (S(1)(t), S(2)(t),..., S(p)(t)) - вектор сглаженных значений процесса, содержащий порядки от 1 до р; й = (a0(t) , al(t), ... , an(t)) - вектор неизвестных коэффициентов, равных производным процесса соответствующих порядков; А - матрица размером p X (n + l) , формула вычисления элемента с номером i, r имеет вид:

Л = (_пР-1 в tYjjР-1 (i _1 + j)!

Р ( ) (i_ 1)!(р_ 1)!h j ! ; (4)

Кроме того, введем обозначения:

Т - шаг замеров процесса во времени;

n +1 - порядок функции сглаживания (г = 0. 1. 2, ... , );

S[r, k] - функция сглаживания r - го порядка в k-той точке;

a0 , al, a2 - текущие значения коэффициентов разложения полинома 2-й степени в n-ной точке.

Отметим, что Dtynp, Tp, t, n -в данном случае могут определяться на этапе ретроспективного анализа.

Вопросы измерения прогнозируемых параметров решаются в соответствии с индивидуальной динамикой их изменения. Интервал между наблюдениями выбирается исходя из необходимости обеспечить компромисс между необходимой точностью представления прогнозируемого процесса и величиной затрат, связанных с быстродействием, объемом памяти вычислителя, производящего расчет

характеристик, и передачу статистической информации по каналам связи к центральному органу управления сетью.

В данном случае в ИСС производится прогнозирование состояния каждого волоконно-оптического тракта передачи информации. В работах [1, 2, 4, 5, 6] отмечено, что с увеличением интервала упреждения - ошибки прогноза возрастают. Однако время упреждения при прогнозировании (З/1 ) не может быть меньше периода реакции системы выбора маршрутов для которого выполняется прогнозирование.

Из известных на сегодняшний день точек зрения о соотношении интервала упреждения прогнозирования (3/ ) и ретроспективного интервала (Т) большинство авторов [1, 2, 4, 6] утверждает, что целесообразно соотношение:

тр = (1 З)д ^, (5)

представляет величину интервала между наблюдениями за прогнозируемым процессом. Она может быть найдена при использовании положений теории исследования операций следующим образом: в координатных осях, где по оси абсцисс откладываются величины интервала между наблюдениями, а по оси ординат - некоторая «стоимость» данного интервала, строятся кривые возрастающей и убывающей с увеличением интервала наблюдения «стоимостей». Их сумма будет представлять собой суммарную стоимость, минимум которой соответствует оптимальному (с точки зрения оптимальной стоимости) интервалу между наблюдениями. Возрастание «стоимости» с увеличением интервала между наблюдениями вызывается возможностью потери части информации о процессе. Убывающая с увеличением интервала наблюдения «стоимость» может характеризовать, например, уменьшение требований к быстродействию и объему памяти вычислителя, производящего расчет характеристик процесса по мере поступления новой информации.

Необходимая точность представления исследуемого процесса может быть решена после его частичного анализа и определяется исходя из верхней граничной частоты в спектре:

1

^ = 2 . (6)

Очень важно, чтобы данные полученные при статистическом анализе состояния ВОСП были тщательно проверены и отредактированы до начала более сложного анализа.

Отбраковка аномальных наблюдений [1, 2, 4, 6] выполнена согласно 1-критерия Стьюдента: пусть 10,11,12,..1П - совокупность

результатов наблюдений, причем, наблюдение /0 резко выделяется. Для ряда наблюдений 11,12,..., Ш рассчитывают | и ^ (выборочное среднее и выборочное среднеквадратическое отклонение, соответственно). При справедливости гипотезы о принадлежности к ос-

_ л.

тальным наблюдениям статистика г = (г0-О/£ имеет /-распределение Стьюдента с числом степеней свободы ^ = П -1. Если /о -

признано «аномальным» наблюдением, оно должно быть отброшено. Если «аномальность» повторяется (/) раз подряд, то это служит признаком изменения прогнозируемого процесса. При этом должен быть осуществлен рестарт прогнозирующей системы с началом в точке повторяющейся «аномальности».

Следующим этапом прогнозного анализа является выбор модели прогнозируемого процесса и составление алгоритма.

Введем определение. Прогностическая модель - это модель объекта прогнозирования, исследование которой позволяет получить информацию о возможных состояниях объекта в будущем и (или) путях достижения этих состояний.

В указанных условиях ниже рассматриваются несколько математических моделей прогнозирования, учитывающих специфику функционирования сетей.

1. Для целей долгосрочного прогнозирования работоспособности сети целесообразно использовать регрессионные модели [1, 2, 4, 6]. При этом стохастическая зависимость некоторого технического параметра сети или нагрузки у от вектора случайных величин X размерностью п (среди которых есть время) априорно задается с помощью уравнения регрессии:

aT X = ^aix

T - _

(7)

где у — М может быть представлено в виде

у/ _

/ X = X - изменение математического ожидания У при изменении X , т.е. регрессия У на X. Текущее значение У

у = ат х + Ц; (8)

где к - случайная величина с нулевым математическим ожиданием и постоянной, в общем случае, неизвестной дисперсией Ш(П) = -&2(Ц) и независимыми при каждом наблюдении значениями.

Допустим, что проведено N независимых измерений величины У ( у1, у2, ... , уЫ ) при значениях ( Х^,Х2,..., X^ ) вектора Х. Предположим также, что количество наблюдений значительно превышает количество неизвестных коэффициентов ( N >> П )• Обозначим

через у Т вектор - строку размером (1 X N ) измерений случайной величины у, в : элементов вектора х при различных измерениях (элемент х^ стоящий на пересечении /-той строки и у-го столбца, означает і -ю составляющую вектора х при у - наблюдении), уі = аіТ в ~ вектор строку прогнозируемых с помощью модели (7) значений случайной

- матрицу размерности n X N значений

величины

п

Т

; (9)

з=1

В [1, 2, 4, 6] показано, что несмещенная оценка неизвестных коэффициентов регрессионной модели прогнозирования может быть получена из следующего соотношения

C = ß- ßT = ^ xx

а = (Су1$у = С~1$у; (10)

где символ «-1» означает операцию обращения матрицы.

Ошибка прогноза в к-й точке запишется в виде

5к=Ук-Ук=атхк+Цк-атхк; (11)

а дисперсия ошибки прогноза

Д(<4)= Щук)+ И{ук) = #+0(ук). (12)

Оценка этой дисперсии равна:

D(8k ) = (1 + xTC- Xk ). (13)

Прогнозируемое значение можно оценить с помощью доверительного интервала

/V л

у к - ^,м-п -Ььк^Ук^Ук+ ^,м-п •8 ^ (14)

где ,§, N - П -табулированный g %-ный предел для распределения Стьюдента.

В [1, 2, 5, 6] можно найти выражение и для оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии в целом. Исключение незначимых коэффициентов позволит упростить уравнение регрессии.

Для целей краткосрочного прогнозирования в сетях с оптическими каналами предлагается использовать метод экспоненциального сглаживания [1, 2, 4, 6], разработанной Р. Брауном. Эта модель носит адаптивный характер, распознавания изменения в динамике процесса. Предполагается, что детерминированная основа прогнозируемого процесса может быть представлена полиномом степени п:

.._ ч 1 2 1 n

y(a, t) = a0 + ait + — Ü21 +...+— ant

2 n!

(15)

где а - вектор неизвестных параметров модели.

л

Оценка неизвестных коэффициентов позволяе Введем понятие «сглаженной функции наблюдений»

Оценка неизвестных коэффициентов ¿1 позволяет прогнозировать (точечный прогноз) с помощью полинома п-й степени.

8, = ву< + (1- в)3(-! (16)

где уг - некоторое текущее наблюдение;

¡5 - постоянная сглаживания.

Операция расчета (16), выполняемая с каждым новым наблюдением, называется «экспоненциальным сглаживанием».

Введем также понятие экспоненциального сглаживания порядка

3((р> = в8((Г) +(1- в (17)

которое представляет собой операцию экспоненциального сглаживания 1-го порядка, примененную к данным, полученным в результате экспоненциального сглаживания (р-1)-то порядка.

Доказанная Р. Брауном и Р. Майером теорема утверждает, что п+1 неизвестных коэффициентов полинома п-го порядка могут быть

оценены с помощью линейных комбинаций(п + 1) значений 3(1>(1 = 1, 2,..., П +1) . На практике для экстраполяции трендов

обычно используются полиномы не выше второго порядка. Выражения для определения неизвестных параметров модели прогнозирования 0-го, 1-го и 2-го порядка можно найти в [1, 5, 6].

Метод Р. Брауна отличается достаточно ясной концепцией, гибкостью и простотой расчетов. Однако его точность не всегда удовлетворительна. Положение здесь может быть улучшено созданием на основе моделей Брауна адаптивных комбинированных моделей [2, 4]. При этом комбинированные свойства достигаются, как за счет возможности варьировать выбор одной из набора полиномиальных моделей разного порядка.

Заметим, что с помощью данного метода можно производить прогнозирование одномерных стационарных и нестационарных процессов. В случае нестационарных процессов метод предполагает их кусочно-линейную интерпретацию.

С помощью рассмотренных выше моделей прогнозирования может быть найдено математическое ожидание некоторого определяющего

параметра

Kt+AO

Таким образом, модель учитывает достоинства и недостатки долгосрочного и краткосрочного прогнозирования состояния параметров волоконно-оптических трактов в интеллектуальной сети связи.

Литература:

1. Гуткин Л.С. Оптимизация радиоэлектронных устройств по совокупности показателей качества. - М.: Советское радио, 1975.

2. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования: В 3 кн. / Под ред. В.В. Солодовникова. - М.: Машиностроение, 1967.

3. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. - М.: Наука, 1978.

4. Ларин А.А. Теоретические основы управления. Часть 1: Процессы и системы управления. - М.: РВСН, 1994.

5. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. - М.: Наука, 1976.

6. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечёткой исходной информации. - М.: Наука, 1981.