Экспоненциальное сглаживание временных рядов с полиномиальным трендом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50: 52+55

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМ ТРЕНДОМ

А.Б. Филимонов

Кафедра технической кибернетики Российского университета дружбы народов

Россия 1 17198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, б

Анализируются ехемы экспоненциального сглаживания временных рядов. Дается обобщение метода адаптивного сглаживания Р.Брауна, охватывающее полиномиальные модели трендов произвольного порядка. Устанавливается аналогия между задачами сглаживания и следящего регулирования.

Схема экспоненциального сглаживания Брауна

Один из способов краткосрочного прогнозирования временных рядов основан на выделении в нем тренда посредством некоторой процедуры рекуррентного сглаживания ряда. Для нестационарных временных рядов широко распространены полиномиальные модели тренда. В практике статистического прогнозирования временных рядов часто используются схемы экспоненциального сглаживания Р. Брауна (см., например, [1-3]). В частности, весьма популярна схема адаптивного сглаживания Брауна второго порядка [3]. В работе данная схема обобщается на задачи прогнозирования с моделями тренда произвольного порядка.

Рассмотрим временной ряд (у(Э)}, где веЖ+ - дискретное время (порядковый номер наблюдения), - уровень ряда (результат наблюдения); Ж+ - множество неотрицательных целых чисел, к - поле вещественных чисел.

Будем считать, что рассматриваемый ряд является нестационарным и его можно разложить на две составляющие:

где / - текущее время, уо(0 - тренд, Г|(7) - осциллирующая помеха, т.е. случайные отклонения от тренда с нулевым средним. Для составления прогноза необходимо располагать моделью тренда.

Обратимся к задаче точечного прогноза ряда (1). Положим прогноз строится по данным наблюдения в течение отрезка времени [0, /]с2+. - базы прогноза [3включающей текущий 0 = / и прошлые моменты времени 9 < 1. Соответствующую статистическую оценку среднего уровня ряда, т.е. его тренда ^о(0) в некоторый момент времени 0е2+ будем обозначать через _р(0 I /) . В частности, это - прогностическая оценка, если 0 > /, причем, когда речь идет о прогнозе на Т шагов вперед, то 0 = 1+Т.

Классический подход к прогнозированию временных рядов основан на выборе подходящей теоретической модели тренда с неизвестными параметрами, ее параметрической идентификации по данным наблюдения ряда и последующем использовании модели для экстраполяции временного ряда на период прогнозирования.

В методе адаптивного сглаживания Брауна принимается полиномиальная модель тренда и идентификация параметров модели тренда осуществляется по методу взвешенных наименьших квадратов. Остановимся на нем подробнее. Предположим, что тренд _уо(-) является полиномом степени р. Рассмотрим многочлен _Уо(0) от переменной 0. Для него справедливо разложение по степеням разности 0 - I вида

Х0=>'о(0 + Л(0-

(1)

Р

Текущие параметры тренда £/,■(/) (/ = 0, р ) считаются неизвестными и должны быть идентифицированы по имеющимся наблюдениям временного ряда. Будем искать аппроксимирующую модель тренда в виде

Я610 =£а,-(0(0-0'■ (3)

1=0

Здесь а (t) (/ = 1, р ) - статистические оценки соответствующих параметров тренда. Введем также остаточную ошибку (ошибку аппроксимации):

б(0)=Х0)-Я01 0- (4)

В качестве критерия точности аппроксимации примем взвешенную сумму квадратов ошибок:

/

Q(t, а0 (/), щ (/), ...,ар (0) = X Y(MV (0),

0=0

где Y - константа дисконтирования (0 <у < 1).

Произведя в сумме замену переменной V = t — 0, получим:

Q(t, а0 (/), а, (/),..., ар (/)) = £ у V (/ - v)

v=0

При достаточно большом времени наблюдения t базу прогноза формально можно неограниченно продолжить в прошлое. Тогда с учетом (3) и (4) получим:

со оо р

Q{t, оо, аь ..., а,) = £ Y V (* - v) = £ у '[y{t - v) - £ а, (- v)' ]2 .

v=0 v=0 ¡-О

Искомые параметры тренда находят из условия минимума данного критерия:

Q(t, а0, ai,..ар) -> min => = О (j=0,p).

Эа.

В результате приходим к следующей системе уравнений относительно неизвестных

а0(О,а1(О,...,а/,(О:

V

Í=0

I(-vrv

v=0

«ДО = X(-у)-V) 0=о,р). (5)

у=0

Если в (3) положить 0 = /, то можно найти сглаженную оценку текущего среднего ряда:

Я0=Я*>0 = д0(0- (6)

Введем текущее отклонение фактического и сглаженного значений ряда:

е(0=Х0-Я0- О)

Динамическая структура сглаживающего фильтра

Рассмотрим сглаживающий фильтр, формирующий оценку текущего среднего у(() временного ряда.

Теорема. Сглаживающий фильтр, формирующий оценку текущего среднего у{1) , имеет динамический порядок П = р + 1. Его передаточной функции равна:

Ф(г) = 1 - у”

2-у)

Доказательство. Для всякого кеЖ+ рассмотрим степенной ряд

00

K-v)V ,

(8)

v=0

полагая вещественными значения переменной и. Заметим, что данный ряд сходится при | и | < 1. Обозначим через S/c(u) сумму ряда. Нетрудно получить следующее выражение:

1

(9)

Sk{U)=[Uiu

1-м

Отсюда следует, что функция 5&(м) является дробно-рациональной и имеет единственный полюс и — 1 кратности к + 1.

Введем оператор Ю сдвига временных рядов на один шаг назад: его действие на любой

временной ряд ©(/), (еЖ, определяется формулой: 2)со(/) = ©(/- 1). Систему уравнений (5) можно записать в виде

X 5І+У (У)а, (0 = 5Ху£>М0 (/ = 0, р) (10)

1=0

Из (10) следует, что передаточная функция (ПФ) фильтра Ф(г) является линейной ком-

бинацией функций S0(yz '), ...,Sp(yz 1) и поэтому согласно (9) имеет единственный

полюс г = у кратности и </? + 1.

Таким образом, она представима в виде

фй= Щг)

(z-yf

где N(z) - многочлен степени < п. Поскольку

lim^Cyz-1) = О,

z-*0

то

Ф(0) = 0. (11)

ПФ фильтра по отношению к сигналу (7) равна

Фе(*)=1-Ф(4 (12)

В случае отсутствия помехи:

Т1(/) = 0, (13)

фильтр должен давать асимптотически точную оценку тренда:

Пт е{1) = 0. (14)

/->00

Это возможно лишь, если ПФ (12) имеет нуль 2 - 1 кратности р + 1. Но тогда

П=р+ 1

Фе(г) = const

( 1 Л"

Z-1

z~y.

Отсюда и из (12), (11) получаем выражение (8). □

В частности, для известного метода адаптивного сглаживания Брауна п — 2 и, следовательно,

(1 ~ уМО + У)2 — 2у]

Ф(г) =

(z - у)2

Важную роль играет коэффициент сглаживания а = 1 — у. Он является показателем быстродействия фильтра, а, следовательно, одновременно характеризует чувствительность оценки среднего к нерегулярной компоненте ряда Г|(/) и степень старения данных: чем выше а, тем выше чувствительность оценки к новой информации (тем большая роль свежей информации). Типичные значения а, используемые в области экономического и промышленного прогнозирования, лежат в пределах от 0,05 до 0,3 [3].

Аналогия с задачей следящего регулирования.

Если помеха отсутствует, то сглаживающий фильтр будет асимптотически точно воспроизводить детерминированный сигнал y(t). Данное обстоятельство отражают соотношения (13) и (14). В этом случае фильтр действует идентично следящим системам. Функциональное назначение последних - воспроизведение командных сигналов, реализуемое по принципу обратной связи [4]. Аналогия оказывается более тесной, если обратиться к задаче Заде-Рагацини [5] для класса стохастических следящих систем - задаче оптимального слежения за полиномиальными командными сигналами в услових действия случайных помех. Сравнение задач рекуррентного сглаживания и следящего регулирования указывает на продуктивность применения принципа обратной связи в прогностических системах.

Представим сглаживающий фильтр в виде динамического звена, охваченного отрицательной единичной обратной связью. Передаточная функция разомкнутого фильтра равна

Ий = ^£>.

М*>

где Lo(z) = (z-1)”, N(z) = y~n(z-y)n - {z-1)” . Заметим, что данная ПФ имеет полюс

z = 1 кратности п, так что фильтр обладает свойством астатизма п-го порядка.

Разностные уравнения фильтра:

U (Р)у{0 =N(P)e(t),

е{0 = АО ~ КО •

Здесь Р- оператор сдвига временных рядов на одни шаг вперед, Lq(P), N(P) - операторные многочлены.

Прогноз осуществляется с помощью полиномиальной экстраполяции сглаженного ряда. Пусть четверка (с, А, b, d) является минимальной реализацией дискретной передаточной функции V(z):

V(z) = c(Ez - A)~Xb + d.

Отсюда находим уравнения динамики фильтра в переменных состояния:

x(t + 1) = Ax(t) + be(t),

y{t) = cx(t) + de{t).

Если Т- глубина прогноза, то требуемый прогноз дается формулой

y(t + T\t) = cATx(t).

Об адаптивной настройке сглаживающего фильтра.

Коэффициент сглаживания определяет чувствительность прогноза и может быть не постоянной, а динамически изменяющейся величиной. Необходимость повышения чувствительности прогноза обусловлена требованием быстрого реагирования прогностической системы на структурные изменения тренда (например, внезапные скачки в изменении прогнозируемого показателя). Напротив, при появлении значительных иррегулярных колебаний уровней временного ряда желательно применять низкочувствительный прогноз, сглаживающий эти колебания. К предложенной схеме прогнозирования прямо применимы известные методы адаптации коэффициента сглаживания Чоу, Тригга и Лича [4]. Метод адаптивного прогнозирования Чоу основан на построении трех одновременных прогнозов: «нормального», «верхнего» и «нижнего», отвечающих различным константам экспоненциального сглаживания, которые меняются в процессе обработки временного ряда. В методе Тригга и Лича для адаптации применяется механизм, так называемого, следящего контрольного сигнала за точностью прогноза.

ЛИТЕРАТУРА

1. Грешилов A.A., Стакун В.А., Стакун A.A. Математические методы построения прогнозов. - М.: Радио и связь, 1997.

2. Кендэл М. Временные ряды. - М.: Финансы и статистика, 1981.

3. Льюис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. - М.: Финансы и статистика, 1986.

4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1972.

5. Zaden L.A., Ragazzini J.R. An Extension of Wiener’s Theory of Prediction// Journal of Appl. Phys. 1950. - V. 2, July. - P. 645-655.

EXPONENTIAL SMOOTHING OF TIME SERIES WITH POLYNOMIAL TREND

A.B. Filimonov

Department of Technical Cybernetics Russian Peoples’ Friendship University Mikluk.ho-Mak.laya st., 6, Moscow, ¡17198, Russia

Exponential smoothing circuit of time series is analyzed. The generalization of adaptive smoothing method of R Brown enveloping trends polynomial models of arbitrary order is given. It’s established the analogy between the smoothing problems and the problems of sliding control.

Александр Борисович Филимонов родился в 1948 г., окончил в 1972 г. МФТИ. Канд. техн. наук, доцент кафедры «Техническая кибернетика» РУДН. Автор более 125 научных публикаций в области кибернетики.

А.В. Filimonov (b. 1948) graduated from Moscow Physical Technical Institute in 1972. PhD(Eng), Ass. Professor of «Technical cybernetics»

Department of Peoples’ Friendship University of Russia. The author of more then 125 publications in the field of cybernetics.