CC BY
47
УДК 630.323 С.М. Базаров, Ю.И. Беленький, В.А. Иванов
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВРЕЖДЕНИЯ ПОДРОСТА ПРИ РАБОТЕ МАШИННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ЛЕСОЗАГОТОВКИ
Представлено сравнение наиболее вероятной статистической картины гибели подроста двух машинных технологий ВПМ и ВТМ с манипуляторами. Последняя технология может конкурировать с первой, если производить трелевку не деревьев, а хлыстов или сортиментов.
Рассмотрим вероятность гибели подроста при сплошных рубках для двух машинных технологий лесозаготовки:
- валочно-пакетирующая машина (ВПМ) последовательно выходит на дерево, спиливает его и после дугообразного переноса укладывает на волок;
- валочно-трелевочная машина (ВТМ) последовательно выходит на дерево, спиливает его, укладывает спиленное дерево под углом к волоку и трелюет на волок.
Для определения вероятности гибели подроста рассматриваемых технологий, когда спиленные деревья укладываются на волок с одной стоянки машин, необходимо определить суммарную площадь касания подроста с ЗСУ после спиливания деревьев и их транспортировки на волок. При ВТМ- технологии имеют место радиальные перемещения манипулятора, а для ВПМ-технологии дугообразные.
При составлении математической модели приняты следующие условные обозначения: R - длина стрелы манипулятора; b - ширина стрелы манипулятора с учетом диаметра срезаемого дерева; d - поперечный размер захватно-срезающего устройства (ЗСУ); N - число деревьев на квадратном метре лесной площади; n - число деревьев подроста на квадратном метре; h - ширина волока; ат - максимальный угол вращения манипулятора; А - расстояние между осями волоков, для А имеет место формула: А = R cos ао , где ао = ( п - ат )/2.
Деревья древостоя естественного происхождения образуют пуассоновское поле [1]. Вероятностный закон распределения Пуассона имеет вид
Pk (x) = (Xx)k( k! )-1 exp ( - X x), (1)
здесь k - целое число (k = 0, 1 ,2 , ...., k - множество положительных целых чисел), для наших условий
X = b N , (1,а)
где x - расстояние до дерева от оси вращения манипулятора;
k - число деревьев ( целое число), которые встречает манипулятор при своем вылете.
При k = 0 формула (1) имеет вид
Ро (x) = exp ( - Xx ) , (2)
описывает вероятность того, что при вылете стрелы манипулятора на расстояние х не встретится ни одно-
го дерева (опорная вероятность выборочных рубок).
При сплошных рубках последовательно спиливается одно дерево древостоя за другим, поэтому в этом случае k = 1, при k = 1 формула (1) принимает вид
Р1 (x) = Xx exp(-Xx), (3)
описывая вероятность встречи стрелы манипулятора с одним деревом на расстоянии х, после чего оно
спиливается ЗСУ.
Вероятность того, что на расстоянии х встретятся два растущих дерева (к = 2 ), равна
P2 (x) = 1/2 (Xx)2 exp ( - Xx) (3,a)
и т.д.
Для определения наиболее вероятного расстояния между деревьями древостоя и числа деревьев на полном вылете стрелы манипулятора воспользуемся общей формулой (1). На расстоянии полного вылета стрелы манипулятора (1) переходит в формулу
P(R) = (XR)k (к I)-1 exp ( - XR) , к = 0, 1, 2, 3, ... (3,б)
При определении наиболее вероятного числа деревьев, которые встретятся на расстоянии R, необ-
ходимо определить максимальную вероятность в пуассоновском законе распределения (1). Поэтому выполним дифференцирование Р(х) по х и полученный результат приравняем к нулю.
dP/dW = k X (Хх)к-1 (к!)-1 е-хх - (Хх)к (к!)-1 X е-хх = 0, (4)
откуда следует значение параметра
к = X х , (4,а)
и его максимальное значение определяется выражением
к = X R . (4, б)
Таким образом, максимальная вероятность имеет место, когда
к = INT (X R) = ко , (4, в)
здесь INT - это операция округления значения (XR) до целого числа, т.е. INT (XR) - это целое число деревьев, которые будут на площади стрелы манипулятора (bNR) при ее полном вылете.
В рассматриваемых условиях пуассоновский закон распределения, описывающий встречу стрелы манипулятора с деревьями, принимает вид
P(x) = (Xx)1*0 (kо!)-1exp( - Xx ) . (4, г)
Ввиду того, что длина манипулятора много больше ширины (R>>b) , среднее расстояние между деревьями древостоя можно оценить выражением
L = INT(XR)-1 R = к-1 о R. (5)
Отметим, что параметр ко = INT (XR) определяет наиболее вероятное число дугообразныхых перемещений стрелы манипулятора при доставке спиленных деревьев на волок.
Определим среднее радиальное расстояние вылета стрелы манипулятора при спиливании деревьев. Это расстояние не зависит от числа деревьев на площади лесосеки, а определяется характером их расположения по отношению к выбираемой технологии лесозаготовки и параметрам стрелы манипулятора. Для
ВПМ-технологии имеет место дуговое перемещение ЗСУ со спиленным деревом, поэтому случайная вели-
чина расположения деревьев на полукруглой площади, занятой сплошными деревьями, равна
p(x) dx = nxdx / / п R2 = (2x / R2 ) dx , (6)
тогда
р(х) = 2 х / R2. (7)
Для рассматриваемой нами технологии необходимо сделать поправки на площадь волока хода ВПМ
S = Rh, (8)
на котором уже вырублены деревья, и угол а раствора стрелы манипулятора, поэтому от (7) необходимо перейти к
Pr (x) dx da = ( x - h/cos a ) dx da / ( 1/4п R2 - Rh). (9)
Тогда вероятность дуговых перемещений манипулятора примеет вид
Рг (х) = (х - И/оов а ) / (1/4 пР2 - РИ). (9,а)
Среднее расстояние вылета манипулятора определим, умножая (9,а) на х (берем математическое ожидание для р(х)) и интегрируя полученное выражение по х от 0 до Р , а по углу а от ао до ав = аго 1д (Р/1/2 И), находим
Мг (х) = (1/4 пР2 - РИ)-1 Я х (х - И/оов а) dx dа . (10)
Выполнив последовательно интегрирование (10) по х и по а, находим среднее значение вылета стрелы манипулятора для данной технологии
Мг (х) = (1/4 пР2 - РИ)-1 { 1/3 (Р3 - 113/8)(ав -- ао ) -
- 1/2 (Р2 - И2)И 1п 1д [(п/4 + ав/2) / (!д (п/4 + ао/2) ] } = Ь . (11)
Площадь, на которой произойдет воздействие ЗСУ при его однократном дугообразном движении укладки спиленных деревьев на волок с подростом, равна
вг = 2 ам и d . (12)
Общая дугообразная площадь воздействия ЗСУ при ВПМ-технологии на подрост равна общей площади его дугообразных перемещений
Эг = вг ко . (13)
Введем коэффициент гибели подроста ф при его столкновении с ЗСУ, тогда число гибнущих деревьев подроста равно
Пг = п ф Эг . (14)
Для сравнения технологий примем значение ф равным единице.
Запишем суммарную наиболее вероятную радиальную площадь воздействия ЗСУ при ВТМ-технологии на подрост
Эх = 2ат и ко Р-1 и dk . (15)
Здесь dk - характерный поперечный размер кроны трелюемого дерева, который приводит к гибели подроста. Поэтому число гибнущих деревьев подроста при ВТМ-технологии можно оценить выражением
Пх = п 2 атЬгкоР-1Ьг dk . (16)
Составим отношение числа гибнущих деревьев подроста для рассматриваемых двух технологий
X = пг / пх = 2атЬко d / 2атЬко Р-1 ЬЛ = Р d / Ь dk « 3/2 ( d/dk ) . (17)
Для деревьев выполняется условие d << dk , поэтому с позиции сохранения подроста ВПМ-
технология становится предпочтительнее ВТМ-технологии. Последняя технология может конкурировать с первой, если производить трелевку хлыстов (имеет место операция обрезки сучьев) или сортиментов (раскряжевка хлыста).
Литература
1. Меньшиков, В.Н. Основы технологии заготовки леса / В.Н. Меньшиков. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 22о с.
---------♦'-----------
