Математическая модель потока над колеблющейся пластинкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.22

© Т.Г. Дармаев, Ж.Г. Дамбаев

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОТОКА НАД КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ ПЛАСТИНКОЙ1

В данной работе на основе метода последовательных аппроксимаций уравнений Навье-Стокса для завихренности получены уравнения и граничные условия для колеблющихся пластин с учетом амплитуды до второго порядка. С помощью системы Mathematica получены аналитические решения и построены графики векторных полей скоростей для пластины бесконечной длины.

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, метод последовательных аппроксимаций, колеблющаяся пластина, поле скоростей.

© T.G. Darmaev, Zh.G. Dambaev MATHEMATICAL MODEL OF THE STREAM OVER THE FLUCTUATING PLATE

In this work on the basis of the method of successive approximations of Navier-Stokes equations for vorticity the equations and boundary conditions for the fluctuating plates taking into account amplitude to the second order are received. By means of Mathematica system analytical solutions are received and schedules of vector fields of speeds for a plate of infinite length are constructed.

Keywords: Navier-Stokes equations, method of successive approximations, fluctuating plate, fields of speeds.

Введение

В 1787 г. немецкий физик Хладни показал, что при колебании пластины смычком частицы песка образовывают самоорганизующие симметричные структуры. Модели минивентиляторов в виде вибрирующих пластин бесконечной и конечной длин для микроэлектронных устройств получены в работе [1]. В работе [2] идея Хладни применяется в наномеханике для разделения наночастиц по размерам акустическими волнами разных частот.

В данной работе на основе метода последовательных аппроксимаций [3] уравнений Навье-Стокса для завихренности получены уравнения и граничные условия для колеблющихся пластин с учетом амплитуды до второго порядка. С помощью системы Mathematica получены аналитические решения и построены графики векторных полей скоростей для пластины бесконечной длины.

1. Метод последовательных аппроксимаций

Рассмотрим пластину колеблющейся в продольном направлении по закону w(x,t) с амплитудой A ^ 1 и гармонической частотой о.

В двумерном течении вязкой несжимаемой жидкости вектор завихренности имеет лишь одну ненулевую компоненту:

dU dV d2w аУ w2

az = a =---=--1---— = -V у

dx dy dx dy

где функция тока y(x,y) определяется следующим образом:

U J-*, V = . dy dx

Далее из уравнений Навье-Стокса получаем уравнение для завихренности:

da da Т.да 2 /1Ч

-+ U-+ V— = vV а (1)

dt dx dy

где v - кинематическая вязкость.

Используя метод последовательных аппроксимаций [3] разлагаем функцию тока:

W(x, y, t) = ^(x, y, t) + Wi(x, y, t) + ^3 (x, y, t) +... , (2)

где Wi = O( A'), i = 1,2,...

1 Работа выполнена в рамках государственного задания №2014/312 МОиН РФ

Подставляя (2) в (1) и приравнивая члены одинакового порядка по амплитуде до 2-го порядка, получаем:

дУУ- „4

01

^ ( х, у, Г) +

дУ У2

(3)

= уУ 4^2,

. дш, дУ У дш, дУ У

где ^ (х, у, ^ = -^--^-^ .

ду дх дх ду

Из условий прилипания на пластине получаем нелинейные граничные условия при у= м>(х,1) (подвижная пластина):

и = ^ = О V = = ^ су дх дt

Учитывая малость амплитуды разлагаем (4) в ряд Тейлора при у=0 (неподвижная пластина):

х, t) = х,0, t) + * % х,0, t) + £ х,0, t) + 0( Л4)

ду ду ду 2! ду

х,t) = х,0,t) + *^(х,0,t) + £х,0,t) + 0(Л4)

дх дх дхду 2! дхду

Подставляя далее в (4) и приравнивая одинаковые члены по амплитуде получаем:

~~~{х,0^) = 0, %(х,0^) = ,

ду дх дt

(4)

^-(х,0,0 = -*(х,^^Чх,0,х„ . , ,, х

ду ду дх дхду

д¥2 (х,0,t) = -м>(х, t)(х, 0, t).

(5)

Из условий затухания колебаний жидкости на бесконечности дополнительно получаем, что и их градиенты стремятся к нулю при у ^ да, х ^ ±да :

щ (х, да, t) = —1 (х, да, t) = у2( х, да, t) = —2 (х, да, t) = 0, дх дх

у/-(±да, у, t) = (±да>, у, t) = у2 (у, t) = ^ (+», у, t) = 0. дх дх

(6)

2. Расчеты

Из полученной выше рекуррентной системы краевых задач (3), (5), (6) были вычислены аналитически в системе МаШешайса методом разделения переменных функции тока (2) стационарных течений до второго порядка разложения по амплитуде.

Нарис.1-2 приведены векторные поля скоростей функций тока 1-го и 2-го порядка разложения по амплитуде соответственно.

Т-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г

■_ j. ... '................................................. _J. L

С'.ой 0.02 О.М 0.06 0.03 Щй ".12

v

Рис. 1. Векторное поле функции тока^1(x, y)

;■■ — ■" ■- :......... -'— .......1—------■ -,— ■—г —|— .—I .| I

■_ j. ... ■............... ................. .................. _J. l

О.® 0.02 J.04 0.06 рОЗ Otlfl 0\У1

v

Рис. 2. Векторное поле функции тока 1//2(x,y)

В расчетах использовались следующие данные: w(x, t) = A cos ^ x^ ejat, j = 4-1,

v = 1.45 x 10~5 m2 / 5, L = 6.5cm, A = 0.08cm, a = 120^ rad / 5.

Заключение

Из рис.1-2 видно, что учет разложения по амплитуде до второго порядка показывает, что течение имеет вихревую структуру с периодом равным L/2. Соседние вихри вращаются во взаимно противоположных направлениях с центрами вблизи пластины. Отток от пластины происходит в окрестностях точек покоя, а подтекание к пластине в окрестностях пучностей стоячей волны.

Литература

1. Acikalin T. Two-dimensional streaming flows induced by resonating thin beams / T. Acikalin, A.Ramah, S.V.Garimella // J.Acoust.Soc. Am. - 2003. - V.114. - N.4 - pt.1 - pp.1785-1795.

2. Dorrestijn M. Chladni Figures Revisited based on nanomechanics / Dorrestijn M. et al // Physical Review Letters. - 2007. - V.98. - 026102.

3. Sclichting H. Boundary layer theory. - New-York: McGraw-Hill, 1955.

Дармаев Тумэн Гомбоцыренович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, тел. (301-2) 221215, E-mail: [email protected]

Дамбаев Жаргал Гомбоевич, доктор технических наук, профессор, заведующий лабораторией оптимального управления Научно-образовательного и инновационного центра системных исследований и автоматизации БГУ, 670000, г.Улан-Удэ, ул.Смолина 24а, тел.(3012)221215, E-mail: [email protected]

Darmaev Tumen Gombotsyrenovich, candidate of physical and mathematical sciences, docent of department applied mathematics of Buryat State University.

Dambaev Zhargal Gomboevitch, doctor of technical sciences, professor, the head of laboratory of optimal control of the Scientific and Educational Innovation Centre For System Research and Automation at Buryat State University.