CC BY
85
В.В. Зотов
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОДЪЁМНОЙ УСТАНОВКИ С РЕЗИНО ТРОСОВОЙ ЛЕНТОЙ
Приведено математическое описание модели подъёмной системы с учётом нелинейного изменения массовых и жесткостных параметров резинотросовых тяговых органов и механической характеристики электропривода подъёмной установки, описан способ численного решения полученных дифференциальных уравнений в математическом пакете МаїНСЛО.
Ключевые слова: математическая модель, шахтные подъёмные установки, резинотросовые ленты, стальные канаты.
1. Моделирование подъёмной системы
Для сравнения характеристик динамических режимов подъёмных установок с различными тяговыми органами (канатами и лентами) была рассмотрена схема двухконцевой уравновешенной подъёмной установки с одним приводным барабаном (рис. 1) и её трёхмассовая эквивалентная модель (рис. 2). В этих схемах т\ — масса вращающихся частей подъёмной машины, приведенная к ободу приводного барабана, т2, т3 — концевые массы подъёмных сосудов (или сосуда и противовеса). Ветви тягового органа моделировались как упругие и демпфирующие звенья (с1, с2 — коэффициенты жёсткости и ці, ц2 — коэффициенты вязкости ветвей тягового органа подъёмной установки).
При составлении дифференциальных уравнений движения элементов подъёмной установки принимаются следующие основные допущения:
Рис. 1. Расчётная схема двухконцевой подъёмной установки
Рис. 2. Трёхмассовая эквивалентная схема подъёмной установки
1. Элементы привода (валы, муфты) считаются абсолютно жёсткими, а масса вращающихся частей подъёмной машины приведена к ободу приводного барабана.
2. Тяговый орган рассматривается как упруго-вязкий стержень и разбивается на конечное число участков, в границах которых принимается линейное изменение скорости деформации по длине (метод линейно-кусочной аппроксимации [4, 5]). Уравнения движения элементов подъёмной установки можно представить системой обыкновенных дифференциальных уравнений, составленных
согласно уравнению Лагранжа
d дТ 8Ї 8А _
----------+ — + — = 0.
dt дх дх дх
(1)
Кинетическая энергия участка тягового органа длиной I с распределённой массой определяется следующим образом (рис. 3). Скорость перемещения элементарного участка dz на расстоянии z от начала отсчета X > V > у. Кинетическая энергия элементарного участка:
р • 61• V2 .
dT =
2 д
(2)
где р — погонная масса тягового органа, кг/м.
Из рис. 3 определяется соотношение
X, - -X,
V = X 2 . (3)
Подставляя значение V в формулу (2), получим
Р и Х1 - Х 2
6Т = —.\Х,------1---2 2 I 62. (4)
2 д I 1 I J
Интегрируя последнее выражение в пределах от 0 до I, получим значение кинетической энергии для распределённых масс одного участка:
Т1 -2 = 2д ■ {\ х- 2]62=бд • (х+хх2+х2). (5)
Потенциальная энергия участка тягового органа:
(х1 - Х2 )2 • с
I 1-2 = 22) , (6)
где с — коэффициент жёсткости участка ленты, Н/м.
3. Сила внутреннего трения в материале тягового органа пропорциональна скорости деформации.
4. Подъёмные сосуды свободно подвешены на тяговом органе. Сопротивления движению подъёмных сосудов в шахтных проводниках и сопротивление воздуха принимаются равными 0.
5. Масса хвостовых уравновешивающих лент присоединена к массам подъёмных сосудов.
6. При определении внешнего усилия не учитываются электромагнитные процессы, протекающие в обмотках электродвигателя.
Кинетическая энергия системы Т для выбранной расчётной схемы подъёмной установки с одним приводным барабаном (рис. 1) состоит из кинетической энергии тягового органа Тто и кинетической энергии сосредоточенных масс Тм и с учётом (4) записывается следующим образом:
Т = + 0, = ^ • (х,2 + X, у + У2) + рд ■ ( X,2 + X, 2, + 2) +
, т •х + т2 • у\ + тз • ^ (7)
2 2 2’
где 11, 12 — длины поднимающейся и опускающейся ветвей тягового органа, м.
Потенциальная энергия упругой деформации системы представляет собой потенциальную энергию тягового органа поднимаемой и опускаемой ветви с коэффициентами жёсткости с и с2 соответственно:
x11 — - x1 y1 + —
v 2 1У1 2 У
c1 +
+
Ч2 zp
— - x1 z1 + — v 2 112 У
22
С2. (8)
Работа внешних сил складывается из движущей силы привода и силы торможения. Работа движущей силы привода:
Лаа =----RT ^ xi = -F, ' xi , (9)
где Мпр — момент двигателя, приведенный к валу приводного барабана, кНм; R — радиус приводного барабана, м; Fd — движущая сила привода на ободе барабана, кН.
Если принимать, что диссипативные силы пропорциональны скорости деформации, то работа внутренних сил трения тягового органа Фто:
бц = (x - Уі)• (xi - Уі) • Ц + (x - у)• (xi - zi) • ц. (10)
После подстановки в уравнение (1) значений T, П, Адв, Фто для
принятой расчётной схемы, обозначив pll/g=mmol и pl2/g=mmo2, получим следующую систему дифференциальных уравнений:
+ xi + у + BjO. 2Ті + Ц (xi - yi ) +
3 3 У б б (11а)
+Ц (xi - У ) + С (xi - Уі ) + С2 (xi - zi ) = Fa
Г т2 + у + т-! х +ц1 (у1 -х)+с (у - х )=0
^ ; (иб)
пз+тЗ2] 21 + т.2 х1 +ц2 (^1- х)+°2 (21- х1 )=0
Из уравнений (11) видно, что к каждой из масс добавляется треть массы участков тягового органа, причём к массе привода т1 — одна треть массы обеих ветвей тягового органа.
Деформации и1 и и2 опускаемой и поднимаемой ветвей тягового органа соответственно равны
Г и = х1 - у1
\ 1 11 . (12)
Уи> = X - Х1
Полные деформации можно представить как сумму статических и динамических деформаций:
Г и1 = иС3 + и.е!
\ 1 1. .... (13)
[и2 = и. + и.е'
Полный приведенный момент двигателя Мпр и полное усилие на ободе барабана Fд уравновешенной подъёмной установки представляются в виде сумм статической и динамической составляющих:
I = I Ёе' + I п3
1 16 16 +1 16 (14)
Я = Рае! + Рп3
. . .
Изменение коэффициента жёсткости поднимаемой с и опускаемой с2 ветвей тягового органа
„ А • Р5 „ А • р
П = -—-; п = -—^, (15)
/1 — Х1 /2 + Х1
где Е — модуль упругости тросов ленты, МПа; FS — площадь поперечного сечения всех тросов тягового органа, м2; /;, 12 — длина тягового органа в поднимаемой и опускаемой ветвях в начальный момент времени перед пуском, м.
о
£
о
<и
£
н
х
<и
■&
о
Высота подъема Н, м
Рис. 4. Изменение коэффициента жёсткости лент РТЛ в зависимости от высоты подъёма
Из графика (рис. 4) видно, что наиболее резкое изменение коэффициента жёсткости имеет место в процессе опускания сосуда во время пуска подъёмной установки. Коэффициенты вязкости обеих ветвей тягового органа связаны с соответствующими коэффициентами жёсткости [3] следующими соотношениями:
5
п]/
5
л.
т,
(16)
где ё — логарифмический декремент колебаний тягового органа. Он определяется методом свободных колебаний груза, подвешенного на образце тягового органа (резинотросовой ленты или каната).
С учётом изменения длины и массы хвостовых и головных тяговых органов в процессе разгона после подстановки формул (13— 16) в исходную систему (11), после ряда преобразований и сокращений статических составляющих и пренебрежительно малых величин окончательно математическая модель подъёмной установки принимает вид:
т + + т,2 + х1 •р ,х +_
5
1 ' А
ж\
А • Fs • (т2 + Х1 • р). ~
|1 - х1
цаё' -
5
"V
А • FS '[тз + р • (|се - х1)] ,-аё1 , А • ^
|2 + Х1
-и2 +
|1 - Х1
|2 + Х1
т,, 1 - х1 • р 1.. ( т„ 1 - х1 • р ,аё,
т2 + х1 • р + ——----I х1 -1 т2 + х1 • р + -----1—^~ I иГ -
5
п]1
А • ^ • (т2 + х1 • р)аё! А • FS иаё! _ д
|1 - х1
и1 -
|1 - х1
тз + р • (|се - х1 ) +
т,- 2 + х1 • р 2
х1 +
+1 тз + р • (С - х1) + т2 + х1 •р I иГ +
5
+ 7^
А • FS • [тз + р • (|се - х1 ^ -аё, , А • F
|2 + х1
и2 +
|2 + х1
S_иf _ д
(17)
где 1хк — длина уравновешивающей ленты, подвешенной со стороны опускаемого подъёмного сосуда, в начальный момент времени перед пуском.
Для исследуемого типа подъёмных установок нашли применение электропривод постоянного тока по системе Г-Д и привод с электродвигателями с фазным ротором. Динамика машин с применением таких типов привода хорошо исследована в литературе [15].
Механическая характеристика электропривода с частотным регулированием (рис. 5) для моделирования динамической составляющей пускового усилия Fаё' при пуске может быть описана следующим образом:
^ё! _ (у, -1) • ^. а/ёё х1 < ^ • (1 - э)
F, - Fr
(18)
V • э
тах
7 •( ^ах • (1 - Э) - х1 ) ■ а/ёё х1 > Vmax • (1 - Э)
^тах
_дин ■"Д
Рис. 5. Механическая характеристика электропривода с частотным регулированием
К Рп
где Fн, Fп — соответственно номинальное и пусковое усилия на ободе приводного барабана, кН; уп — коэффициент кратности пускового усилия электропривода; vmax — макси-д мальная скорость движения массы т1, м/с; 5 — скольжение электродвигателя.
2. Приведение дифференциальных уравнений к виду, удобному для решения в MathCAD
Для решения заданной системы дифференциальных уравнений можно применить метод Рунге-Кутта в математической среде MathCAD с понижением порядка системы дифференциальных уравнений [6].
Для удобства работы в MathCAD обозначим:
иТ = У2
иг' = У4
иг = Уз
и?' = У5
х = Ус
X = У1
X = у; иГ = уЗ иГ = у5
С учётом (19) преобразуем уравнения (17):
(19)
Уо =
У, =-
У2 = Уз
5
А ■ Fs ■ (т2 + Уо ■ р) + 5
1 - Уо Уз + -У
А ■ ^ [тз + Р ■ (16е - У0)] „ А ■ ^ У . А ■ ^ У
-----------------------,----------------------------------У5 - ---------------------У2 + ■;--------------------У4
|2 + У0 |1 - У0 |2 + У0
т + та 1 - Уо ■ Р + т 2 + Уо ■ Р
Уз =
та 1 - Уо ■ Р | , 5
т2 + Уо ■ Р + 2 J У,' - -
(20)
|1 - Уо
|1 - Уо
т2 + Уо ■ Р +
т 1 -Уо ■ р з
У4 = У5
У5 =-
„ ч та 2 + Уо ■ р ) , 5
тз + Р■ (|ое Уо) + а2 2 ^У, --^
А ■ Fs [тз + Р ■ (|гё - Уо)]У У
І2 + Уо У5 І2 + Уо У4
тз + Р ■ (1«-Уо) +
та 2 + Уо ■ Р
з
Моделирование переходных процессов во время пуска подъёмных установок при использовании различных типов тяговых органов можно осуществлять посредством разработанной математической модели, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений (20), при помощи оператора rkfixed в среде MathCAD. Для этого достаточно принять начальные условия — перемещения и скорости сосредоточенных масс системы — приравненными нулю, и рассмотреть участок времени от 0 до t с некоторой дискретностью Z. Чем больше значение Z, тем точнее описываются переходные процессы.
В результате вычислений возвращается матрица, столбцы которой содержат данные по изменению во времени перемещений и ускорений элементов подъёмной системы и деформаций участков тягового органа при пуске подъёмной установки. При известном графике изменения коэффициента жёсткости ветвей тягового органа с учётом динамических составляющих деформаций определяются динамические усилия в тяговом органе.
Заключение
Разработанная математическая модель подходит для анализа подъёмных установок с ленточными тяговыми органами и с канатами, так как наиболее полно отражает характеристики тяговых органов — лент и канатов. Кроме того, использование численных методов в математическом пакете MathCAD позволяет учесть нелинейность уравнений математической модели, связанных с изменением массы, коэффициентов жёсткости и вязкости тяговых органов подъёмной установки.
Математическая модель позволяет определить максимальные динамические нагрузки на тяговый орган подъёмной установки в переходных режимах работы, кинематические режимы пуска, тяговое усилие привода и ряд других параметров, необходимых для инженерных расчётов при проектировании подъёмных установок и выборе основного оборудования. Моделирование переходных процессов может осуществляться для сравнительного анализа использования того или иного тягового органа подъёмной установки в конкретных условиях эксплуатации.
1. Казак С.А. Динамика мостовых кранов. — М.: Машиностроение, 1968. — 332 стр.
2. Давыдов Б.Л., Скородумов Б.А. Статика и динамика машин в типичных режимах эксплуатации. — М.: Машиностроение, 1967. — 431 с.
3. Степанов А.Г. Динамика машин. — Екатеринбург: УрО РАН, 1999. —
391 с.
4. Запенин И.В., Бельфор В.Е., Селищев Ю.А. Моделирование переходных процессов ленточных конвейеров. — М.: Недра, 1969.
5. Теория и практика подъёма. Алексеева Л.А., Бредихин Ю.Р., Волобуева Л.А., Дахов М.И. и др. — Киев: Наукова думка, 1975. — 356 с.
6. Дьяконов В.П. МаШСАБ2000: учебный курс. — СПб: Питер, 2000. — 592
С.
V.V. Zotov
MATHEMATICAL MODEL OF WINDER INSTALLATION
WITH STEEL CABLE BELT
Summary: The mathematical description of model of winder system with the account of nonlinear change of mass and rigid parameters of steel cable belt traction bodies and the mechanical characteristic of the electric drive of winder is given in the article. The way of the numerical decision of the received differential equations in mathematical package MathCAD is described in the article too.
Key words: mathematical model, mine winder, steel cable belts, steel-ropes
— Коротко об авторе ----------------------------------------------------
Зотов В.В. — кандидат технических наук, доцент кафедры Горной механики и транспорта, e-mail: [email protected] Московский государственный горный университет,
Moscow State Mining University, Russia, [email protected]
