Математическая модель плоскорадиальной нестационарной фильтрации совершенной жидкости к вертикальной скважине Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 521.1

С. Г. Афанасьев

Математическая модель плоскорадиальной нестационарной фильтрации совершенной жидкости к вертикальной скважине

В статье рассматривается возможность перехода от математической модели плоскопараллельной фильтрации нестационарного притока совершенного флюида к вертикальной скважине к плоскорадиальной модели нестационарной фильтрации совершенного флюида к вертикальной скважине. Обусловливаются правила замены переменной при переходе от одной модели фильтрации к другой.

Ключевые слова:плоскопараллельная фильтрация, плоскорадиальная фильтрация, плоскопараллельное течение, плоскорадиальное течение, математическая модель нестационарного плоскорадиального течения, дифференциальное уравнение параболического типа, уравнение теплопроводности.

S. G. Afanasiev

A Mathematical Model of Flat-Radial Unsteady Filtration of a Perfect Liquid to a Vertical Well

The possibility to transfer mathematical models of flat-line filtration of the unsteady flow of a perfect fluid into a vertical well in the radial plane. Are set rules for the replacement of the variable in the transition from one model to the next filtering model.

Keywords: flat flow filtration, flat radial filtration, a plane parallel flow, a plane radial flow, a mathematical model of the unsteady plane radial flow, a differential equation of the parabolic type.

Задачи интерпретации данных неустановившейся фильтрации нефти или газа в пластах требуются при обработке КВД (кривая восстановления давления), КПД (кривая падения давления), полученных в ходе эксплуатации скважин. Для обработки данных ГДИ скважины широко применяются плоскорадиальные модели притока флюида к скважине.

Распределение давления в пласте при плоскопараллельной стационарной фильтрации флюида носит линейный характер.

Из уравнения неразрывности и закона фильтрации Дарси [2, с. 411]:

/

Плоско7шраллелънъги поток Рис. 1. Плоскопараллельная стационарная фильтрация флюида

dxz

dp(x) _

Интегрируя уравнение (1) =>-= C => dp(x) = C ' dx =>

dx11

(1)

© Афанасьев С. Г., 2013

Математическая модель плоскорадиальной нестационарной фильтрации совершенной жидкости к вертикальной скважине

| ёр(х) = С ' | йх

р(х) = С-Х + С2, где С1, С2 - константы, вычисляются из граничных условий:

р(0) = С2 = рп

р{1) = С4 + С2 = Рс где рп - давление контура питания, рс - забойное давление.

р(х) = А^Л . х + рс

Плоскорадггалънъги поток

Рис. 2. Плоскорадиальная стационарная фильтрация флюида

Я - радиус контура питания пласта; гс- радиус скважины; рп- давление контура питания; рс- забойное давление.

Я >> Гс , рп > рс

Уравнение неразрывности в случае установившегося движения флюида [2, с. 416]:

А р(х, у, 2) = 0

Переходя к цилиндрической системе координат:

1 д ( др Л 1 д2 р д2 р

Ар =---1 г — \ + —т-—ч + —Т = 0.

г дг \ дг) г дф дг

Рассматривая только радиальное движение флюида:

1 ( йр(г) 4

г йг ^ йг

й р(г) _ . . . _ йг Интегрируя уравнение (7) => г-= Ц => а р(г) = Ц--=>

йг г

= 0.

dr

=>

J dp(r) = Сх J

p(r) = Qln (r ) + C2

PJ dp(r) = C • J - => pn - pc = C • ln R => C = pn

ln

R

=>

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

p(r)

J dp(r) = C •J — =>' J dp(r)

p(r)

ln

R

• J — => p(r) - P,

r

pn - pc. • ln r =>

ln

R

rc

c

c

r

rc

r

r

n

c

r

c

r

p

r

r

c

p(r) = ^-p- ■ ln - + pc.

К r

(9)

ln

Математическая модель нестационарного плоскопараллельного притока идеального флюида по закону Дарси к совершенной вертикальной скважине для однородной призабойной зоны пласта описывается уравнением [2, с. 481]:

д2 Ф(х, г)_ 2 дФ(х, г) -1— -ь--

а х2

dt

(10)

А

где Ь — т — , к - проницаемость среды, т - пористость среды, ц - вязкость флюида. к

Уравнение (10) - это дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа, так называемое уравнение теплопроводности.

Решение уравнения (10) хорошо известно [1, с. 151]:

(11)

Ф(x, t) = (Q ■ cos^x)+C2 ■ sin(Лх)) ■ e ^ При сравнении формул (4) и (9)

p(Х) = Ру^- . Х + pc

p(r) = ■ ln - + pc

К r

ln

видно, что переменная х в формуле (4) для плоскопараллельного потока заменяется на переменную г в формуле (9) для плоскорадиального потока по ^ правилу:

х О ln-

/ i к

l о ln —

(12)

(13)

Математическая модель нестационарного плоскорадиального притока флюида по закону Дарси к совершенной вертикальной скважине для однородной призабойной зоны пласта, применяя правило (12), запишется:

х = ln-

dx = d

V rc У

=1 ■ dr r

dr

= r

c => V ' С у => dx

d0(x, t) d0(r, t) dr d0(r, t)

dx

dr dx

dr

(14)

(15)

d 2Ф( x, t) _ d fdФ( x, t) Л_ d fdФ(г , t) Л _ _d_f

dx2 dx V dx У dx V dr У dr V dr У dx

2 62ф(г, t) dФ(r, t)

- + r ■

d f dФ(r, t)

— I-— r I-r = r--

dr V dr у dr dr

2 д2Ф(Г, t) 5Ф(Г, t) 2 5Ф(Г, t)

■ + r ■-

(16) (17)

дг2 дг дг

Уравнение (17) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, полученное для круговой области, в которой осуществляется радиальное движение флюида.

r

С

л

r

c

r

r

С

r

С

r

r

Математическая модель плоскорадиальной нестационарной фильтрации совершенной жидкости к вертикальной скважине

Разделяя переменные, получаем систему дифференциальных уравнений:

£ .Mi! = _X .w(f)

Г2 dM(t) ,2 dt

Г2 + Г = _X ()

dr2

d2p(r) 1 dp(r) н—

r

1

- = _Л ■ — ■p(r) r2 r r r2

Решением последнего дифференциального уравнения является функция:

p(r) = C ■ sin(X ■ ln(r))+C2 ■ cos(X ■ ln(r))

Делая проверку:

Л Л

рг = С1 — соб(Л • 1п(г)) - С2 — эт(Л • 1п(г)) г г

Л2 Л2

ргг =- С • — Бт(Л • 1п(г)) - С2 • — соб(Л • 1п(г)) -г г

ЛЛ

- С • СОБ(Л • 1п(г)) + С • — • Бт(Л • 1п(г)) г г

подставляя (21) и (22) в дифференциальное уравнение (19), убеждаемся в верности равенства. Также решением (17) будет функция

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(

p(r) = C ■ sin

ln

r

v rc JJ

f

+C2■cos

X-ln

r

v rc JJ

Решение уравнения (17) в общем виде запишется:

Ф(Г, t) =

C ■ sin(X ■ ln

v rc

+ C2 ■ cos(X ■ ln

f V\

r

r

V 'c J J

■ e

(23)

(24)

Коэффициенты вычисляются из начально-краевых условий.

Для выбора единственного решения уравнения (17) необходимо указать начальные и граничные условия.

Начальное условие состоит в задании значений функции Ф(г, г) в начальный момент времени 10=0

Ф(г,0) = ^(г) (25)

Конечные условия могут быть различны в зависимости от режима давления на границах.

Граничные условия включают в себя два момента:

1-й - форма границы (здесь это круговая область, в центре которой скважина);

2-й - числовые значения параметра на границе, характеризующие градиент параметра (здесь это давление).

Рассмотрим задачу плоскорадиальной фильтрации флюида с заданной функцией давления на забое и контуре питания.

Пусть имеется плоскорадиальный пласт с флюидом, непроницаемым для окружающей породы, в центре которого сделана скважина радиуса гс. На контуре питания радиуса Я и в скважине поддерживается некоторое определенное давление, постоянное или меняющееся по некоторому закону.

Если известно начальное радиальное распределение давления в пласте, то для того, чтобы установить закон распределения давления Ф(г, г) в любой точке пласта и в любой момент времени, необходимо решить дифференциальное уравнение (17)

г2 • Фгг (г, г) + г • Фг (г, г) = %2 • Ф( (г, г),

2

X

£

при начальном условии

Ф(г,0) = *(г), (26)

и при граничных условиях

Ф(гс, г) = а(г), Ф(Я, г) = р(г), (27)

где а,(г), Р(г) - законы изменения давления на забое и контуре питания соответственно.

Проще решать задачу для фильтрации флюида в плоскопараллельном пласте, а затем, используя правила (12) и (13), перейти в решении для случая плоскорадиальной фильтрации флюида.

В плоскопараллельном пласте на контуре питания и галерее поддерживается некоторое определенное давление Рс и Рпл, соответственно, постоянное или меняющаяся по некоторому закону. Контур питания от галереи расположен на расстоянии I.

Если известно начальное распределение давления в пласте, то для того, чтобы установить закон распределения его Ф(X, г) в любой точке пласта и в любой момент времени, надо решить дифференциальное уравнение (10)

Ф XX (X, г) = £2 •Фг (X, г),

при начальном условии

Ф( х,0) = р( х), (28)

и при граничных условиях

Ф(0, г) = а(г), Ф(х, г) = Дг), (29)

где (х(г), Дг) - законы изменения давления на галерее и контуре питания соответственно.

Для того, чтобы найти решение уравнения (10) при начальном условии (28) и граничном условии (29), необходимо сделать замену переменных с таким расчетом, чтобы новая неизвестная функция удовлетворяла однородным граничным условиям

V(0, г) - о, V(/, г) - о. (30)

Для этого вводится функция V (г), связанная с переменной функцией Ф( X, г) соотношением

V(X, г) -Ф(X, г) - и(X, г), (31)

где и (X, г) - любая по возможности более простая функция, удовлетворяющая граничным условиям (29), такая что

V(0, г) - Ф(0, г) - и(0, г) = а(г) - а(г) - о, V(/, г) - Ф(/, г) - и(/, г) = Дг) - Дг) - о (32)

В качестве и(^ г) можно выбрать функцию, линейную относительно х

и(^г) = а(г) + т-а(г) • X

/ (33)

Если функция и(x, г) выбрана таким образом, то функция Vг) удовлетворяет нулевым граничным условиям (32).

Тогда функция V (X,г) удовлетворяет однородным граничным условиям:

V (0,г) = 0, V (/,г) = 0, (34)

и начальному условию

V(x,0) = Ф(x,0) - и(^0) = р(X) - а(0) - ^(0) -а(0) • X

/ , (35)

и дифференциальному уравнению

• (V (x,г)(x,г)) = Vxx (x,г). (36)

Итак, пусть плоскопараллельный пласт - это галерея длиной I; А - давление, поддерживаемое на галерее, х=0; В - давление, поддерживаемое на контуре питания, х=1.

Математическая модель плоскорадиальной нестационарной фильтрации совершенной жидкости к вертикальной скважине

Ф(0, t) = A] Ф(/, t) = B I

граничные условия.

Начальное распределение давления в пласте задается функцией ((х), то есть формулой (28)

Ф( х,0) — (х)

(37)

Задача состоит в отыскании закона распределения давления Ф(X, г) в любой момент времени в предположении, что внутри пласта происходит фильтрация по закону Дарси

Фхх (X, г) — Ь2 -Ф, (X, г)

Делая замену переменных

V (х, t) = Vx (x, t) -

A +

B - A

/

■• x

Функция

V (x, t)

удовлетворяет уравнению

Vxx (x, t) =^2V (x, t)

начальному условию

V(x, t) = Ф(x,0) -1 A + B-A • x | = <(x) -1 A + B-A • x

/ ) V /

и однородным граничным условиям

V(0, t) = 0 V(/, t) = 0

Применяя метод Фурье, функция

V (x, t)

записывается в виде суммы следующего ряда

(

V (x, t) = ^

к=1

C • e

• sinl

—kx

\

где Ck - коэффициенты, вычисляющиеся по формуле

ск=2 Л <(x)

A +

B - A jj

с

• x

sin

V / J

откуда

ск = 2 J(<(x)

' B - A N A +--x

/ )

sin

—kx j .

-\ax =

. / )

2 f ^ •^ - Ai sm(f)

2 fJ< x) •

B - A /

p . f —kxN

J x sin| —

sinl

2

/

2(<x)sin(—kx V + A ((-1)k - 1) - B-A • £ (-1)k+1

/ ) —

/ к—

2 J<( x)sin

—kxJdx + 2A (-1)k - 2A - 2B (-1)k+1 + 2A (-1)k+1 = / ) — — — —

2 J <(x)sinf—kx jdx - -|( A + B(-1)k+1).

C = 2

2 J<(x)sini— —\x- —(A + (-1)k+xB)

/ ^ V / ) —

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

/

l

к

0

0

С учетом замены переменной (33) искомое распределение давления внутри пласта запишется в следующем виде

Заметим,

р( x, t) = V (x, t) + что приt ^

А . B-A Л . B-A A +--x 1 = A +--x +

l J l

IC

к=1

я-2 к2 ,

Л2 -t . ( Ttk

e е ■ sin

V

-x J (45)

f

A +

B - A l '

что эквивалентно выражению

Р - Р

р^) = ———- • X + рс, говорящему, что скважина вышла на стационарный режим работы.

Возвращаясь к плоскорадиальной модели фильтрации, получается, что:

- контур питания скважины удален на расстояние Я;

- Фс - давление, поддерживаемое на скважине;

- Фпл - давление, поддерживаемое на контуре питания.

Ф(тс, г) = Фс}

> - граничные условия.

Ф(Я, г) = Фпл I р у

С учетом замены переменной по правилу (12) и (13) искомое радиальное распределение давления в плоскорадиальном пласте запишется в следующем виде

(46)

с =

Ч R

ln

R j

\x(r) ■ ^ ■sin

Л

як . r ■ ln —

Rr ln c

r

V 'c

2

dr ~ (Фс + (-1)k+Ф)..

як

где ^(r) - начальное распределение давления в пласте,

Ф(г, t) =

Ф - Ф r

Ф + пл ^ с - ln —

ln

R

r

r

+ V(r,t)

c

f

ф -Ф r

Ф(г, t) = Фc + пл n с ■ ln r +1 Ck

ln

R

■ sin

rc к=1

Л я-2 к 2

к , r ■ ln —

ln

R

rc

r

V 'с

е К

Если ^(r) =Ф0= const, тогда (49) перепишется:

(47)

(48)

(49)

Ф(г, t) = ф +

Ф - Ф , r 2 ^ 1

пл с

ln

R

ln r + 2 £1 (Ф 0 - Ф c + (Ф0 - Фпл ) ■ (- 1)"+1 )■ sin

(

Заметим, что при

t ^да ^

Ф^

Л

Ф - Ф r

Ф+ пл с ■ lnr R r

ln

r

я ■ n . r ln —

R r ln— c

r

V С

■ e

fNbR1

(50)

что эквивалентно выражению

р - р г

Р(г) = —п—• 1п--Ь рс, говорящему, что скважина вышла на стационарный режим работы.

ln

R

Математическая модель плоскорадиальной нестационарной фильтрации совершенной жидкости к вертикальной скважине

v

r

V

2

r

e

r

c

2 ..2

к- n

r

c

r

c

r

С

r

С

Используя реальные физические величины, выполним построение графиков функции (50) в математической оболочке Maple.

Забойное давление Фс=21106 МПа, пластовое давление Фпл=25106 МПа, начальное распределение давления в пласте Ф0=25106 МПа, радиус пласта R=250 м, радиус скважины тс=0,1м, проницаемость к=1,210~12м2, пористость т=0,2, вязкость флюида ¡и=0,015 мПа с.

Рис. 3

кривая 1 - радиальное распределение давления в пласте в начальный момент времени t0;

кривая 4 - радиальное распределение давления в пласте, стационарный режим работы, начиная с некоторого момента времени t3;

кривая 2, 3 - радиальное распределение давления в пласте в некоторые промежуточные моменты времени t¡, t2, причем t0<t¡<t2<t3.

Библиографический список

1. Араманович, И. Г., Левин, В. И. Уравнения математической физики [Текст] / И. Г. Араманович, В. И. Левин. - М. : Наука, 1969.

2. Басниев, К. С. Нефтегазовая гидромеханика [Текст] / К. С. Басниев, Н. М. Дмитриев, Г. Д. Розенберг // Нефтегазовая гидромеханика : учебное пособие для вузов. - М. : Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2005. - 544 с.

3. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа [Текст] / Г. М. Фихтенгольц. - М. : Наука, 1968.

Bibliograficheskij spisok

1. Aramanovich, I. G., Levin, V. I. Uravnenija matematicheskoj fiziki [Tekst] / I. G. Aramanovich, V. I. Levin. -M. : Nauka, 1969.

2. Basniev, K. S. Neftegazovaja gidromehanika [Tekst] / K. S. Basniev, N. M. Dmitriev, G. D. Rozenberg // Neftegazovaja gidromehanika : uchebnoe posobie dlja vuzov. - M. : Izhevsk, Institut komp'juternyh issledova-nij, 2005. -544 s.

3. Fihtengol'c, G. M. Osnovy matematicheskogo analiza [Tekst] / G. M. Fihtengol'c. - M. : Nauka, 1968.