Математическая модель передачи мультимедийного сообщения в телекоммуникационной сети с коммутацией пакетов Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.391

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕДАЧИ МУЛЬТИМЕДИЙНОГО СООБЩЕНИЯ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ СЕТИ С КОММУТАЦИЕЙ ПАКЕТОВ

К. А. ПОЛЬЩИКОВ1 ЮН. ЗДОРЕНКО2 О.Я. СОВА2

1) Донбасская государственная машиностроительная академия,

г. Краматорск, Украина

2) Государственный университет телекоммуникаций, г. Киев, Украина

В статье предложена математическая модель процесса передачи мультимедийного сообщения в телекоммуникационной сети с коммутацией пакетов, которая, в отличие от известных моделей, позволяет обосновать рекомендуемый объем передаваемого сообщения в зависимости от требований к качеству обслуживания. Для построения математической модели использован математический аппарат вероятностно-временных графов и производящих функций.

Ключевые слова: трафик, потеря пакетов, вероятность отбрасывания, вероятностно-временной граф, объем мультимедийного сообщения, качество обслуживания.

e-mail:

[email protected]

Введение

В последние годы наблюдается неизменный рост популярности мультимедийных услуг связи, предоставляемых пользователям телекоммуникационных сетей с коммутацией пакетов [1]. Известно, что для качественной передачи аудио- и видеофайлов требуется минимизировать задержки пакетов и их вариации (джиттер) [2-5]. При этом допускаются незначительные потери пакетов. Поэтому доставка мультимедийной информации осуществляется, в основном, на основе протокола UDP (User Datagram Protocol), в котором не предусмотрена повторная передача потерянных пакетов [6].

Устойчивость мультимедийного трафика к потерям пакетов является весьма ограниченной. Например, при потере одного пакета, несущего небольшое количество последовательных замеров голоса, недостающие мультимедийные данные могут быть восстановлены с помощью аппроксимации информации, содержащейся в нескольких предыдущих пакетах [7]. Если же потеряно два и более пакета подряд, то восстановить утраченную информацию на приемной стороне будет очень сложно или практически невозможно.

Очевидно, что вероятность потери двух и более пакетов подряд, относящихся к какому-то сообщению, повышается с увеличением объема этого сообщения. Неслучайно, мультимедийные файлы небольшого размера, как правило, передаются более качественно, чем объемные файлы. Поэтому практический интерес представляют вопросы, связанные с обоснованием рекомендуемого объема мультимедийного файла, передачу которого в телекоммуникационной сети можно осуществить с требуемым качеством.

Целью статьи является получение аналитических соотношений, позволяющих оценить средний объем мультимедийного сообщения, передачу которого можно осуществить с требуемым качеством при заданных характеристиках функционирования телекоммуникационной сети.

Формализованная постановка научной задачи

Пусть передаваемое по сети мультимедийное сообщение на приемной стороне невозможно качественно воспроизвести, если потеряно а пакетов. В случае успешной

передачи р пакетов подряд считается, что до этого момента потерь пакетов не было. Кроме того, заданы следующие величины:

Рв - вероятность отбрасывания передаваемого пакета вследствие перегрузки;

РЕ - вероятность искажения передаваемого пакета вследствие наличия битовых ошибок;

т - средний интервал времени между доставкой пакетов.

Ограничения: 1 <а< 4 и р > 1.

Требуется получить зависимость среднего объема мультимедийного сообщения, передачу которого можно осуществить с требуемым качеством, от величин Р и Р .

Разработка математической модели

Для решения поставленной задачи предлагается применить математический аппарат вероятностно-временных графов и производящих функций [8-10].

Вероятностно-временной граф (ВВГ), моделирующий передачу мультимедийного сообщения при а = 2 и Р = 4, представлен на рис. 1.

Рис. 1. ВВГ, моделирующий передачу мультимедийного сообщения при а = 2 и Р = 4

Вершины этого графа моделируют следующие состояния: «о», «1» и «2» - потеряно соответственно о, 1 и 2 пакета;

«1'», «2'», «з'» и «4'» - после потерянного пакета успешно передано соответственно 1, 2, 3 и 4 пакета;

- пакет отброшен вследствие перегрузки; «Е» - пакет искажен (наличие в пакете битовых ошибок);

Переходы между указанными состояниями моделируются ребрами графа. Тому или иному ребру соответствует одна из следующих функций:

/г(7) = (1 -Рв - РЕ)7

/2(7) = РП7Т ,

(1) (2)

/з(7) = Ре7Т .

(3)

Изображенный на рис. 1 граф можно свести к более простому виду, применив представленные ниже правила эквивалентных преобразований [8].

Правило 1. Последовательно соединенные ребра ВВГ (рис. 2) можно заменить одним ребром, производящая функция которого определяется с помощью выражения:

РаЬ (7) = / (7)/ь (7) .

(4)

Рис. 2. Последовательное соединение ребер ВВГ

Правило 2. Параллельно соединенные ребра ВВГ (рис. з) можно заменить одним ребром, производящая функция которого определяется по формуле:

Раь(7) = / (7) + / (7) .

(5)

Рис. 3. Параллельно соединенные ребра ВВГ

Правило 3. Если граф содержит петлю (рис. 4), то производящую функцию результирующего ребра можно найти с помощью выражения:

Раъ (7) =

/а ( 7)

1 - /ъ (7)

(6)

т

Рис. 4. ВВГ с петлей

На основе применения первых двух правил можно упростить ВВГ, представленный на рис. 1, и свести его к виду, изображенному на рис. 5.

■М 2

Рис. 5. ВВГ после эквивалентных преобразований Производящие функции ^ (г) и (г) могут быть найдены по формулам:

^ (г) = ^ (г) [1 + /Л г) + /2 (г) + /3 (г)], ^(г) = /1(г) + г) • /4(г). Производящие функции ^ (2) и ^ (2) определяется с помощью выражения:

г) = /2 (г) + /з(г) . ОД = /22( г) + 2/2 ( / г) + /з2( г).

(7)

(8)

(9) (10)

Дальнейшие эквивалентные преобразования, выполняемые на основе применения третьего правила, сводят ВВГ к простейшему виду (рис. 6).

0

Ре(2)

2

Рис. 6. ВВГ, преобразованный к простейшему виду

Производящую функцию Ее (г) можно найти по формуле:

Ре (г) =

Рл( г) 1 - Ре2( г)

(11)

Средняя продолжительность моделируемого процесса, по сути, является средним временем, в течение которого мультимедийное сообщение передается с требуемым качеством. Значение этой величины можно определить с помощью выражения:

Т =

( г)

г = 1

(12)

Искомая величина среднего объема мультимедийного сообщения, передачу которого можно осуществить с требуемым качеством, является наибольшим натуральным числом, удовлетворяющим следующему условию:

Т

V < Т. т

(13)

ВВГ, моделирующий передачу мультимедийного сообщения при а = 3 и ¡ = 5, представлен на рис. 7.

Рис. 7. ВВГ, моделирующий передачу мультимедийного сообщения при а = 3 и ¡3 = 5

Вершина «3» этого графа соответствует состоянию моделируемого процесса, в котором потеряны 3 пакета, а вершина «5'» указывает на то, что после потерянного пакета успешно переданы 5 пакетов.

После эквивалентных преобразований графа производящие функции ^ (г) и

^г (г) могут быть найдены по формулам:

^ (г) = ^ (4 + 2/ (г) + /2 (г) + /3 (г) + /4 (г)]|, (14)

г) = № + + 5ВД/5(г) . (15)

При этом производящая функция ^ (2) вычисляется с помощью выражения:

^ (г) = /23 (г) + 2[/22 (г)/ (г) + / (г)/2(г)]+ /3 (г) . (16)

В общем случае моделируемый процесс можно представить в виде графа, изображенного на рис. 8.

Рис. 8. ВВГ, моделирующий передачу мультимедийного сообщения при 1 <а < 4 и ¡3 > 1

Анализ закономерностей, содержащихся в формулах (7) - (10) и (14) - (16), позволяет представить обобщенные формулы для расчета производящих функций ВВГ, изображенного на рис. 8:

^1(7) = Ъа(7)1 + (а - 1)[/1(7) + /12(7) + ... + /1(^-1)(7)Ц, (17)

где

= /1(7) + (7) + А(Я-2)^я-1)(/7) , (18)

Fa( 7) = /2а(7) + (а- 1)[/2(а-1)( г)/ъ(г) + /2( 7)/(а-1)( 7)]+ /а(7) . (19)

Таким образом, использование аналитических соотношений (1) - (3), (11) - (13) и (17) - (19), позволяет оценить средний объем мультимедийного сообщения, передачу которого в заданных условиях можно осуществить с требуемым качеством. Указанные выражения отражают зависимость величины V от параметров Рд и Рв.

Применение математической модели для обоснования рекомендуемого объема передаваемого мультимедийного файла

Разработанную математическую модель целесообразно использовать для обоснования рекомендуемого объема мультимедийного файла, передачу которого можно осуществить с требуемым качеством.

Для исходных данных, представленных в таблице 1, по формулам (1) - (3), (11) -(13) и (17) - (19) выполнены расчеты величины V . На основе этих вычислений построены зависимости V (Рв ) при различных значениях Рв (рис. 9).

Таблица 1

Исходные данные для расчетных экспериментов

Параметры Значения Единицы измерения

а 2 -

4 -

Т 1 мс

Рв 0,1 ...0,2 -

Ре 0,05; 0,02; 0,01 -

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2014. № 15 (186). Выпуск 31/1

С помощью представленных графических зависимостей для заданных параметров моделируемого процесса можно обосновать рекомендуемый объем мультимедийного файла, передача которого будет выполнена с требуемым качеством. Например, если вследствие помех вероятность искажения пакета равна 0,01, а вероятность отбрасывания пакета из-за перегрузки маршрутизаторов составляет 0,1, то объем передаваемого мультимедийного файла не должен превышать 33 пакета. Если же помеховые условия не изменились, а вероятность отбрасывания пакета увеличилась до величины 0,2 (возросла сетевая нагрузка), то не рекомендуется передавать мультимедийный файл, в котором содержится более 12 пакетов.

Заключение

На основе применения аппарата вероятностно-временных графов и производящих функций разработана математическая модель передачи мультимедийного сообщения в телекоммуникационной сети с коммутацией пакетов. Предложенная модель учитывает заданные требования к качеству передачи мультимедийного сообщения (средний интервал времени между доставкой пакетов, допустимое количество потерянных пакетов, число успешно переданных подряд пакетов для восстановления утраченной информации) и величины, характеризующие особенности функционирования телекоммуникационной сети (вероятность отбрасывания пакета вследствие перегрузки маршрутизаторов, вероятность битовых ошибок в пакете). Полученные в результате моделирования аналитические соотношения позволяют оценить средний объем мультимедийного файла, передачу которого в заданных условиях можно осуществить с требуемым качеством.

1. Гахов Р.П. Моделирование трафика беспроводной сети передачи данных / Р. П. Гахов, Н. Г. Кучук// Научные ведомости БелГУ. - 2014. - № 1 (172). - Вып. 29(1). - С. 175-181.

2. Almes G. A One-way Delay Metric for IPPM [Электронный ресурс] / G. Almes, S. Kalidindi, M. Zekauskas / / RFC 2679. - Режим доступа: http: //www.ietf.org/rfc/rfc2679.

3. Demichelis C. IP Packet Delay Variation Metric for IP Performance Metrics (IPPM) [Электронный ресурс] / C. Demichelis // RFC 3393. - Режим доступа: http://www.rfc-editor.org/rfc/rfc3393.txt.

4. Polschykov K. Methods аnd Technologies Analysis of The Real-Time Traffic Transmission Requests Servicing / K. Polschykov , K. Kubrakova, O. Odaruschenko // World Applied Programming. - Vol. 3, Issue 9. -2013. - P. 446-450.

5. Polschykov K. A. Analytic model of the real time traffic transmission requests service in a telecommunication network / K. A. Polschykov, O. N. Odaruschenko, K. N. Lyubchenko // Radioelectronic and Computer Systems. - 2013. - Vol. 5 (64). - P. 313-318.

6. Postel J. User Datagram Protocol [Электронный ресурс] / J. Postel // RFC 768. - Режим доступа: http:www.rfc-editor.org/rfc/rfc768.txt.

7. Кучерявый Е.А. Управление трафиком и качество обслуживания в сети Интернет / Е.А. Кучерявый. - СПб.: Наука и техника, 2004. - 336 с.

8. Лосев Ю. И. Адаптивная компенсация помех в каналах связи / Ю. И. Лосев, А. Г. Бердников, Э. Ш. Гойхман. - М.: Радио и связь, 1988.

9. Невмержицкий И. М. Методика оценки эффективности протокола транспортного уровня ТСР/1Р / И. М. Невмержицкий, К. А. Польщиков, С. И. Шаповалов // Радиотехника. - 2001. - Вып. 121. - С. 203-205.

10. Польщиков К. А. Математическая модель обслуживания запросов на резервирование пропускной способности каналов телекоммуникационной сети для передачи потоков реального времени / К. А. Польщиков, Е. Н. Кубракова, Г. В. Сокол / / Проблемы телекоммуникаций. - 2014. - № 1 (13). - С. 74-83.

Список литературы

K. A. POLSHCHYKOV Y. N. ZDORENKO2 O.Y. SOVA2

1) Donbass State Engineering Academy

2) State University of Telecommunications

e-mail:

[email protected] [email protected]

In the article propose the mathematical model of the multimedia message transmitting in telecommunication network with commutation of packets, which in a difference from existing, give to ground the recommendable volume of transferable message, depending on requirements to quality of service. For build of mathematical model the mathematical vehicle of probabilistic-temporal counts and productive functions are used.

Keywords: traffic, loss of packet, probability of losses, probabilistic-temporal count, volume of multimedia message, quality of service.