Математическая модель определения остаточного ресурса зданий и сооружений Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.03

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ

© 2006 г. В.И. Соболев, М.Н. Шутова, С.И. Евтушенко, В.В. Соболев, З.Х. Химишев

Как указано в работе [1], структурную модель динамической системы, какой и являются здания и сооружения производственного объекта, можно представить в виде сетевой модели, у которой в вершинах указываются подсистемы, а стрелками - их структурные связи.

Любую сетевую модель (рис. 1) можно представить в виде параллельных цепочек полных путей (рис. 2). Под полным путем в сетевом графике понимается непрерывная цепочка последовательных элементов от исходной вершины до завершающей.

Рис. 1. Сетевая модель в виде графа

f, (x) =

1, если Ух, е Р, х, = 1; 10, если Эх,- е Р, х, = 0;

Ф(х) = й/, (х) = 1 - П (1 - / (х)),

1=1 1=1

где Р - количество всех путей.

Минимальным сечением называется множество элементов, отказ которых приводит к отказу всей системы, причем никакое его собственное подмножество этим свойством не обладает. Аналогично можно записать 1-е сечение к, через булевую функцию V, (х): V,(х) = й х, . ,ек1

По определению функции дизъюнкции:

v, (x) =.

(1, если Эх, е Р, х, = 1; |0, если Ух, е Р, х, = 0.

Система в целом отказывает тогда, когда отказывает хотя бы одно сечение. В этом случае структурная функция выражается через сечения:

к

Ф(х) = П V, (х),

1 =1

где к - количество всех сечений системы.

Оценки вероятности работоспособного состояния системы, структурная функция которой выражена через минимальные пути и минимальные сечения, определяются из соотношения

П (1 -П «г ) < ^(Ф(х)} < 1 -П (1 -П Г,), (1)

j=1

iE k,

iePj

Рис. 2. Сетевая модель в виде параллельных цепочек полных путей

Минимальным путем называется множество работоспособных элементов, которое достаточно для работоспособности системы, причем никакое его собственное подмножество не обладает подобным свойством. Обозначим 1-й путь Р1 и выразим его булеву функцию/ (х) через булевы переменные пути, тогда:

/, (х) = П х,- .

геР1

По определению функции конъюнкции

где «г - вероятность отказа ,-й подсистемы; г, - вероятность безотказной работы ,-й подсистемы; Р - количество всех путей; к - количество всех сечений.

Таким образом, для оценки надежности системы необходимо построить структурную схему в виде сетевой модели. Методом минимальных путей и минимальных сечений необходимо осуществить следующее:

1) построить все минимальные пути и минимальные сечения;

2) оценить вероятности работоспособности состояния системы в соответствии с формулой (1).

Категории технического состояния подсистем и системы в целом в зависимости коэффициента надежности (работоспособности):

• 1,0 > R > 0,95 - нормальное;

• 0,95 > R > 0,85 - работоспособное;

• 0,85 > R > 0,75 - ограниченно работоспособное;

• 0,75 > R > 0,65 - неработоспособное;

• 0,65 > R - аварийное.

Приближенную оценку надежности строительных конструкций, подсистемы и системы в целом можно определить согласно литературным данным «Рекомендации по оценке надежности строительных конструкций по внешним признакам». М.: Госстрой СССР, ЦНИИПромзданий, 1989.

Работоспособность (коэффициент надежности) подсистемы Rп.с, определяется из выражения

Rn.cj — 1 - Фп.с,

(2)

где Фп.с - общий физический износ (отказ) подсистемы, который определяется по формуле

Е ф^

ф =

j=1

к, 1

(3)

Ъ2]

] =1

n

P

Ф , = Е Ф . —i—

к] р >

i =1 Pk

(4)

P=

(R(9(x)} - 0,75)100% kl ;

(5)

k — k

+ К ,

(6)

kH — 100/Тн

(7)

Пример 1. Определить надежность безаварийной работы подсистемы «Ограждающие конструкции». Исходные данные берутся из «Ведомости дефектов». Например:

- износ кирпичных стен до 5 % составляет 40 м2;

» » до 10 % » 30 м2;

» » до 20 % » 60 м2;

- общая площадь стен - 2050 м2;

- износ карниза до 25 % составляет 42,0 м при общей длине 75 м;

- отсутствие остекления - 70,0 м2 при общей площади остекления 420,0 м2;

- износ кровли 70,0 % на площади 500 м2 при общей площади 1200 м2.

Решение.

Определяем физический износ по формуле (4):

а) кирпичных стен

Фк. стен = (0,05х40+0,1х30+0,2х60):2055+ +0,25x42:75 = 0,1485;

б) оконного заполнения

в) кровли Фк

, = 0,7x500:1200 = 0,29.

здесь Ф^ - физический износ конструкций подсистемы ]-го вида; - коэффициенты влияния ]-х видов конструкций на состояние других; т - общее количество видов конструкций в подсистеме.

Физический износ конструкций подсистемы определяется из выражения

где Ф,- - физический износ участка конструкции; Рi - размеры (площадь или длина) поврежденного участка, м2 или м; Рк - размеры всей конструкции, м2 или м; п - число поврежденных участков.

Остаточный ресурс здания или сооружения опасного производственного объекта определяется по формуле

где 0,75 - минимальное значение коэффициента надежности для здания; кзд - коэффициент скорости физического износа здания, %,

где кнэ - коэффициент скорости физического износа здания, учитывающий условия эксплуатации. Определяется исходя из значений R{ф(x)}; кн - нормативный коэффициент износа, определяемый по формуле

здесь Тн - нормативный срок службы здания или сооружения.

Общий физический износ (отказ) подсистемы «Ограждающие конструкции» определяем по формуле (3):

Фо.к= (0,15х1+0,17х3+0,29х5):9 = 0,23.

Надежность безаварийной работы подсистемы «Ограждающие конструкции» определяем из выражения (2):

Rп.с.о.к = 1 - 0,23 =0,77,

т.е. состояние подсистемы ограниченно работоспособное.

Аналогичным образом определяем надежности и остальных подсистем.

Пример 2. Пусть при диагностике здания и выполненного расчета были установлены следующие значения вероятности надежности работы подсистем:

1) инженерных и технологических коммуникаций

г1 = 0,8;

2) прилегающей территории и состояния отмостки

г2 = 0,5;

3) отделки и состояния пола г3 = 0,6;

4) ограждающих конструкций г4 = 0,77;

5) оснований и фундаментов г5 = 0,75;

6) несущих конструкций г6 = 0,85. Определить вероятную надежность

(работоспособность) безаварийной работы системы «Здание», если структурные связи негативного влияния между подсистемами заданы в виде сетевой модели (рис. 3). Определить остаточный ресурс здания.

Фк. остек = 1x70:420 = 0,17;

2. Прилегающая 5. Основание и фундаменты

территория и отмостка -►

1.Инженерные и технологические коммуникации

3. Отделка и состояние пола

6. Несущие конструкции

7. Объект как система

К

4. Ограждающие конструкции

Г

Рис. 3. Структурная модель здания

Составляем структурную схему системы объекта в виде сетевой модели. Выписываем функции минимальных путей и сечений:

2-5 5-7'

-2-5 5-6 6-7'

f1 = X1-2 -f2 = X1- 2 f3 = x1-3 ■ f4 = x1-3 f5 = X1-3 X3-4 X4-6 X6-7; f6 = X1-3 X3-4 X4-7; f 7 = X1-6 X 6 - 7;

l3-6 ^6-7'

l3-7'

V1 = -(1- -X1 -2)(1-X2-5)(1-X5-7);

V2 = -(1- -X1 -2)(1-Х2-5)(1-Х5-б)(1-Хб-7);

V3 = -(1- -X1 _3)(1-X3-6)(1-X6_7);

V4 = -(1- -X1 -э)(1-х3-7);

V5 = -(1- -X1 _3)(1-X3-4)(1-X4-6)(1-X6-7);

V6 = -(1- -X1 _3)(1-X3-4)(1-X4-v);

V7 = -(1- -X1 _6)(1-X6-7).

В соответствии с соотношением (1) определим верхнюю и нижнюю границы вероятной надежности (работоспособности) системы (здания): г1г2г5 = 0,8-0,5-0,75 = 0,3; г1г2г5г6 = 0,8-0,5-0,75-0,85 = 0,255; г1г3г6 = 0,8-0,6-0,85 = 0,408; г1г3 = 0,8-0,6 = 0,48; г1г3г4г6 = 0,8-0,6-0,77-0,85 = 0,314; г1г3г4 = 0,8-0,6-0,77 = 0,37; г1г6 = 0,8-0,85 = 0,68; 1- = 1-0,2-0,5-0,25 = 0,975; 1- <М2<М6 =1-0,2-0,5-0,25-0,15 = 0,996; 1- <Мз<?6 = 1-0,2-0,4-0,15 = 0,988; 1- q1q3 = 1-0,2-0,4 = 0,92; 1- <М3<ЗД6 = 1-0,2-0,4-0,23-0,15 = 0,997; 1- <?1<М4 =1-0,2-0,4-0,23 =0,982; 1- q1q6 = 0,2-0,15 = 0,97;

0,838 < Я < 0,978.

Нижняя граница надежности показывает вероятную безаварийную работу здания или сооружения на момент обследования, а верхняя - после проведения комплекса мероприятий по устранению обнаруженных дефектов системы.

Так как нижняя граница коэффициента надежности равна 0,838, что соответствует ограниченно работоспособному состоянию, то требуется либо произвести ремонт элементов здания, либо снизить эксплуатационные нагрузки на конструкции.

Остаточный ресурс здания рассчитываем на коэффициент надежности 0,838.

По формуле (7) вычисляем нормативный коэффициент износа

кн = 100: Тн = 100:60 = 1,67 %.

По формуле (6) находим скорость физического износа здания

кзд = 1,67+1,4 = 3,07 %.

Тогда остаточный ресурс здания определим согласно формуле (5):

Р = (0,838-0,75) 100:3,07 = 2,4 года.

Литература

1. Соболев В.И., Шутова М.Н., Евтушенко С.И., Соболев В.В., Химишев З.Х. Методика определения остаточного ресурса здания на основе разработки структурной схемы.

2. Разработка САПР: В 10 кн. Кн.8: Математические методы анализа производительности и надежности САПР: Практ. пособие/ В.И. Кузовлев, П.Н. Шкатов; Под ред. А.В. Петрова. М., 1990.

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

3 сентября 2005 г.