CC BY
27
УДК 621.313.33
В.И. Чабан, С.М. Костючко
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ НАСИЧЕНОГО ТРИФАЗНОГО КОНДЕНСАТОРНОГО АСИНХРОННОГО МОТОРА
Пропонується математична модель насиченого трифазного конденсаторного асинхронного мотора в однофазному стані. Диференціальні рівняння електромеханічного стану записано в нормальній формі Коші. Наводяться результати розрахунку на ЕОМ перехідного процесу.
Предлагается математическая модель насыщенного трехфазного конденсаторного асинхронного двигателя в однофазном режиме. Дифференциальные уравнения электромеханического состояния записаны в нормальной форме Коши. Приводятсярезультаты расчета на ЭВМ переходного процесса.
ВСТУП
Однофазний стан трифазного конденсаторного асинхронного мотора - достатньо частий випадок в практиці експлуатації електричних машин за відсутності трифазного джерела живлення. Конденсатор в такому разі може під’єднуватись на стало для роботи в експлуатаційному стані, а може під’єднуватись лише для виконання пускових функцій з подальшою роботою без нього [1]. Математична модель такого стану роботи мотора (особливо у випадку невеликої потужності) повинна конче передбачати явище насичення головного маґнетного кола, бо саме конденсатор сприяє його появі. За основу побудови такої моделі скористаємося теоретичними розробками по створенню L- і ^-моделей звичайних неявнополюсних машин змінного струму [2].
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ Тут, як і в [1] математичну модель насиченого трифазного асинхронного мотора в однофазному стані одержимо, виходячи з відомої добре апробованої на практиці моделі трифазного стану мотора. Найзручнішою тут є L-модель у косогональних координатах [1, 2]. За таких умов диференціальні рівняння згадуваної математичної моделі в розгорнутому вигляді приймають вигляд (обмотка ротора за числом витків вважається приведеною до числа витків обмотки статора) [2]
Ldi / dt = Y , (1)
де
L =
ls + lA lAB іа lAB
lBA ls + lB lBA lB
ІА lAB lR + lA lAB
lBA lB lBA lR + lB
і =
lSA uSA - rSlSA
lSB ; y - uSB ~ rSlSB
lRA ~ œ(^RA + 2^RB ) / V3 - rRlRA
lRB œ(2^RA + ^RB ) / V3 _ rRlRB
(2)
вони є функціями маґнетного стану мотора; lS, lR -індуктивності дисипації обмоток статора й ротора; rS, rR - резистивні опори обмотки статора й ротора, причому
usa = Um sinra0t; usB = Um sin(<B0t - 2n/3), (3)
де Um - амплітуда мережі живлення; ю0 - її кутова частота.
Повні потокозчеплення обмотки ротора шукаємо у звиклий спосіб
^Rk (k = A B) = (iSk + iRk ) / T + iRk / aR; де x - обернена основна статична індуктивність мотора; aS = 1/lS ; aR = 1/lR - обернені індуктивності дисипації обмотки статора й ротора.
Алгоритм обчислення диференціальних індуктивностей ми тут не подаватимемо, бо модель (1) нами не буде на завершальному етапі використовуватись. При потребі його можна знайти в [2].
В однофазному стані вважатимемо, що фази A і B ввімкнуті на лінійну напругу uAB = uSA - uSB. Напругу uBC братимемо від конденсатора uBC = uC, ввімкнутого у фазу С. У такому разі рівняння конденсатора можна подати у вигляді
duc __ iSA + lSB (4)
dt C ’
де С - ємність конденсатора.
Рівняння електромаґнетного стану мотора треба доповнити рівняннями механічного руху (штивністю і дисипацією механічних ланок, - як це прийнято в теорії електричних машин, - нехтуємо) [1, 2]
^ = po(Me -M)/J, dt
(5)
Тут і.А, і.в - фазні струми обмотки статора за умови, що і.с = - /ж; и.А, и.в - фазні напруги об-
мотки статора; /ДА, івв - перетворені струми обмотки ротора; \Уеа, Щт - перетворені повні потокозчеплення обмотки ротора; ю - кутова швидкість ротора в ел. рад./с; 1А, Ів, ІАВ, 1ВА - диференціальні індуктивності,
де М = М(ю, і) - механічний момент; 3 - момент інерції; р0 - кількість пар магнетних полюсів машини; МЕ - електромагнетний момент [2]
МЕ = V3р0 (iRAiSB ~ ІШІ.А ) / т. (6)
Якщо в (1) від першого рядка відняти другий, а за тим додати до нього подвоєний другий (маючи на увазі, що і.с = -і.А - їцВ), то одержимо рівняння електромаґнетного стану мотора [1] у вигляді
ь =
/8 +1 а - 1ВА 1АВ ~ 1В ~ 18 А /В 1 /А /АВ ~ /В
2/ВА + 1А + 2/Б + 2/В + 1АВ 2/ВА + /А 2/В + /АВ
/А 1АВ /Я + /А /АВ
/ВА /В /ВА /Я + /В
(7)
У =
4ъит 8ІП(Ю/ + 300) - г8(І8А - І8В)
ис - ГБ (ІБА + 2ІЖ )
- ш(^ + 2^ЯВ)/^3 - ЩІМ
Диференціальні рівняння (1), (4), (5) за умови (7) - шукана Ь-модель однофазного стану трифазного конденсаторного асинхронного мотора. Незручність її в тому, що в процесі числового інтегрування за явним принципом виникає потреба на кожному часовому кроці обертати матрицю коефіцієнтів. Це не тільки ускладнює обчислювальний процес, але, що основне, приводить до суттєвого зменшення точності в результаті чого ми втрачаємо можливість аналізу тривалих перехідних процесів. Тому обернемо матрицю диференціальних індуктивностей аналітично. В результаті одержимо шукану A-модель
di / dt = А У,
(8)
де
А =
ап «12
а21 а22
-апа1 -«21а2 -а12а1 ~^22а2
-апа3 -а21а4 _а12а3 _а22а4
-апс1 -а12с2 -апс3 -а!2с4
_а21с1 ~а22с2 _а21с3 “а22с4
^33 _а31с1 ~а32с2 ^34 _а31с3 “а32с4
143 -а41с1 -а42с2 /44 -а41с3 -а42с4
(9)
Тут
а11 = d22/; аі2 = ~Лі2/а,2і = ^21/а,22 = dll/d;
а1 = 133131 + /34/41; а2 = /33/32 + 134142; а3 = 143131 + /44/41;
а4 - /43/32 + /44/42;
с1 - /13/33 + /14/43; с2 - /23/33 + 124143;
с3 = /13/34 + /14/44; с4 = /23/34 + 124144;<^11 = 111 _ 131с1 _ 141с3;
^2 = 112 _ /32с1 _ /42с3; d21 = 121 _ 131с2 _ 141с4;
^2 = 122 _ /32с2 _ 142с4; d = dlld22 - dl2d2l;
111 = 113 + 1/а£; /12 = 114 “1/а£; 113 = 131 “ 141;
114 = /32 _ 142; /21 = /23 + 1/а£; 122 = 124 + 2/а£;
/23 = 2/41 + 131; 124 = 2/42 + /32; 133 = (/42 +1/аЯ )/Д;
/34 = —132 / ^; І43= І41 / ^; І44= (І31 ^ 1/^ д)/^;
131 = Ь(2іА + ІВ )ІА +1/ х; /32 = Ь(2ІВ + ІА )ІА;
141 = Ь(2іА + ІВ )ІВ; 142 = Ь(2ІВ + ІА Ув + 1/ х;
(1 11 , 2 (1 1 ^ 1
—1 Р , ь = - — —
1Т ак ) 3 1 р т У 1т
т =
-1
Р =
d¥ т (іт ) dim
(11)
Іт = 2д/( ^ + Аб + ) / 3; /а = ¡БА + ¡ЯА; гБ = ¡ББ + ¡ЯБ . (12)
Сумісному інтегруванню підлягає система диференціальних рівнянь електромеханічного стану (5), (8). Вхідними даними є: гБ, гЯ, аБ, аЯ, р0, J, а також намаґнечувальна крива ут(іт), і вхідні сигнали: ит, ю0, М(ю, і).
У випадку відсутності насичення (т = р = ат) матриця коефіцієнтів рівняння (9) значно спрощується
А = -
2 1 - 3с0 0
1 -1 1 0 - 3с0
3do - 2с0 с0 3/33<І0 + с0 - 4с0
с0 - с0 0 ^33<10 + с0
,(13)
де
1 1 І /іі =—+—; 133 =
ат аБ
ч-1
d0 -111 —~; с0 -ат
1
11
---1--
ат аЯ 1 + ат аД
(14)
РЕЗУЛЬТАТИ СИМУЛЯЦІЇ Результати сумісного інтегрування (5), (8), ілюструють часові залежності кутової швидкості, фазного струму статора і намаґнечувального струму ненаван-таженого модельного асинхронного конденсаторного мотора в одному із перехідних процесів, які показані нарис. 1-4.
Рис. 1. Залежність -ю = -ю(і) при запуску мотора
Параметри мотора: гБ = 1.01 Ом; гЯ = 1.80 Ом; аБ = 65 Гн_1; аЯ = 70 Гн_1; ат = 4.73 Гн_1; С = 50 мкФ; J = 0.025 кгм ; р0 = 2. Крива намаґнечування мотора апроксимована залежністю
^0.215іт, і/ 0 < іт < 2;
0.2213іт -0.0026/^ + 0.00002/^, і/ 2 < іт < 7;
л-(і
причому, т, р - обернені статична й диференціальна індуктивності, їх знаходимо за характеристикою намаґнечування (холостого стану) машини як:
0.043іт + 0.7,
і/ 7 < Іт
де Іт - модуль просторового вектора намаґнечуваль-них струмів
Замість кривої ут(іт) у пам’ять комп’ютера вводяться відповідні залежності статичної і диференціальної основних індуктивностей, які одержуємо згідно з аналітичними виразами (11).
Вхідні сигнали: ит = 310.5 В, «о = 314 с_1, М(ю, і) = 0.2 Нм. Початкові умови - нульові.
Перехідний процес засвідчує успішний запуск мотора до усталеної робочої швидкості.
т
Рис. 2. Часова залежність струму статора ІБА = іБА(і) при запуску мотора
Рис. 3. Часові залежності струму ІБА = іБА(і) на часових інтервалах у 2Т: [0,50-0,54] с (1) і [1,46-1,50] с (2)
Криві рис. 3 статорного струму логічно вписуються в класичну теорію електричних машин. Згідно якої в процесі пуску машина є далека від насичення, що підтверджує синусоїдальність кривої струму (1). В усталеному стані, навпаки, проявляється ефект насичення, що спотворює, синусоїдальність струму, що презентує крива (2). Це переконливо засвідчують криві намаґнечувального струму, що показані на рис. 4, якщо прийняти до уваги, що коліну кривої намаґнечу-вання відповідає значення струму, що дорівнює 2 А.
Рис. 4. Часові залежності струму Іт = Іт(і) на часових інтервалах у 2Т: [0,50-0,54] с (1) і [1,46-1,50] с (2)
Звертаємо увагу, що при описаній схемі вмикання конденсатора мотор розганяється в зоні від'ємних кутових швидкостей ротора. Але та теоретична особливість не грає ніякої практичної ролі, бо для користувача це не принципово.
ВИСНОВКИ
1. Оскільки диференціальні рівняння математичної моделі однофазного стану насиченого трифаз -ного асинхронного конденсаторного мотора представлені в нормальній формі Коші, то така модель є не тільки найзручнішою для реалізації її на комп’ютерній техніці, але й такою, що забезпечує найвищу точність числового інтегрування. А це дає можливість аналізувати тривалі перехідні процеси, що набирає принципового значення у випадку, коли мотор є елементом складної електромеханічної системи.
2. Як засвідчують результати комп’ютерної симуляції в роботі конденсаторного мотора значну роль відіграє явище насичення головного маґнетного кола, тому цим ефектом нехтувати не допустимо.
3. Запропонована математична модель трифазного асинхронного мотора в однофазному стані легко адаптується на глибокопазні мотори, якщо її доповнити рівняннями квазістаціонарного електромаґнет-ного поля, що описують поверхневий процес у пазовому просторі обмотки ротора [3].
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Чабан В.Й., Гоголь 3.1. Математична модель трифазного асинхронного мотора в однофазному стані // Електротехніка й електромеханіка. - 2011. - № 3. - С. 43-45.
2. Чабан В.Й. Математичне моделювання електромеханічних процесів. - Львів, 1997. - 344 с.
3. Чабан В.Й. Математичне моделювання в електротехніці. - Л.: Вид-во Тараса Сороки, 2010. - 508 с.
Bibliography (transliterated): 1. Chaban V.J., Gogol' Z.I. Matematich-na model' trifaznogo asinhronnogo motora v odnofaznomu stani // Elektrotehnika j elektromehanika. - 2011. - № 3. - S. 43-45. 2. Chaban V.J. Matematichne modelyuvannya elektromehanichnih procesiv. -L'viv, 1997. - 344 s. 3. Chaban V.J. Matematichne modelyuvannya v elektrotehnici. - L.: Vid-vo Tarasa Soroki, 2010. - 508 s.
Надійшла 28.07.2011
Чабан Василь Йосипович, д.т.н., проф.
Національний університет "Львівська політехніка" й Ряшівський університет 79021, Львів, вул. Кульпарківська, 142, кв. 33. тел: (067) 7202181, e-mail: vtchaban@polynet.lviv.ua
Костючко Сергій Миколайович
Національний університет "Львівська політехніка"
45500, Волинська обл., Локачинський р-н., смт. Локачі, вул. Польова, 4
тел: (068) 5635757, e-mail: siriussk@mail.ru Tchaban V.J., Kostyuchko S.M.
A mathematical model of a saturated three-phase condenser induction motor in a single-phase state.
The paper introduces a mathematical model of a saturated three-phase condenser induction motor with a condenser battery in one phase in a single-phase state. Differential equations of electromechanical state are given in normal Cauchy form. Results of computation are presented.
Key words - three phase saturated condenser induction motor, single-phase state, mathematical model.
