CC BY
25
УДК 621.313.33
В.И. Чабан, О.В. Чабан
ЕКСТРЕМАЛЬНА НЕСИМЕТРІЯ ВУЗЛА ЖИВЛЕННЯ АСИНХРОННИХ МОТОРІВ
Пропонується математична модель заживленного трансформатором вузла навантаження асинхронних моторів при обриві фаз окремих споживачів. Диференціальні рівняння електромеханічного стану системи записано в нормальній формі Коші.
Предлагается математическая модель питаемого трансформатором узла нагрузки асинхронных двигателей при обрыве фаз отдельных потребителей. Дифференциальные уравнения электромеханического состояния системы записаны в нормальной форме Коши.
ВСТУП
Вузол живлення асинхронних моторів - чи не найпопулярніший випадок у практиці експлуатації електричних машин. Його теорії автор приділив значну увагу [1, 2]. А останнім часом на цю тему навіть видав у співавторстві монографію [3]. Не дивлячись на те, що в цій теорії задіяні методи загальної теорії нелінійних диференціальних рівнянь, електромагнет-них кіл, електромаґнетного поля, на підставі яких ураховано такі важливі фізичні явища як скін-ефект, насичення магнетопроводів, комутаційні стрибки струмів, задача все таки далека від завершення. Зокрема це стосується екстремальних несиметричних станів, пов’язаних з обривами і короткими замиканнями. У даній роботі розв’язується перша з цих задач - обриву фаз окремих елементів. Її розв’язання стало можливим завдяки появі таких робіт як [3, 4]. Що ж до другої, то будемо надіятися, що в найближчий час вона буде розв’язана.
Виходячи з основного задуму, залишимо поза увагою непринципові фізичні явища, що мають місце в системі, а зосередимо увагу на основному, використавши найпростіші математичні моделі елементів системи. Тим більше, що ці явища можуть бути легко враховані на підставі [1-3].
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ЕЛЕМЕНТІВ
Як основне рівняння елементів електромеханічної системи використаємо A-модель трифазного асинхронного мотора в трифазному стані [1, 2] за умови неврахування насиченням магнетного кола і скін-ефектом у пазах ротора
dig / dt= Ageg + ;
diR / dt = ARSe5 + AReR,
де
(1)
ls =
iSA
iSB
;iR -
iRA
iRB
US =
USA
USB
,eS = Us■
rSiSA
rSlSB
eR -
- №(yra + 2yrb Ул/з - rRiRA
®(2Vra + VRB Ул/з -
rRlRB
(2)
Ak = ak(1 -«kT)
1
1
k = S, R;
ASl = A.
RS=~aSaRx
1
1
і = 1/(as +«r +«m),
перетворені повні потокозчеплення обмотки ротора; ю - кутова швидкість ротора в ел.рад./с; а5 = 1/І5 ; аЯ = 1/ІЯ, ат = 1/Іт - обернені індуктивності: основна й дисипації (І5, ІЯ, Іт - відповідні індуктивності); г5, гЯ -резистивні опори обмотки статора й ротора.
Повні потокозчеплення обмотки ротора
VЯк (к = А В) = (і5к + ікк ) / «т + іЯк / аЯ. (3)
Рівняння електромаґнетного стану (1) треба доповнити рівняннями механічного руху (штивністю і дисипацією механічних ланок зазвичай нехтуємо)
d(й/dt = ро (Ме - М) / 3, (4)
де М = М(ю, /) - механічний момент; 3 - момент інерції; ро - число пар магнетних полюсів; Ме - елект-ромагнетний момент
МЕ = л/Зро (і8ВіЯЛ ~ і8АіЯВ ) / т- (5)
Диференціальні рівняння (1), (4) - найпростіша А-модель трифазного асинхронного мотора [1]. Її основні переваги над відомими моделями:
- рівняння записані в нормальній формі Коші, що спрощує обчислення й забезпечує потрібну точність аналізу тривалих перехідних процесів;
- модель оперує реальними струмами статора, що спрощує аналіз несиметричних процесів.
Рівняння А-моделі трифазного асинхронного мотора в однофазному стані також використаємо у вигляді (1), але деякі матричні позначення згідно з [4] будуть дещо інші
% = и8А~и8В~2гВіАВ; ^ = іАВ;
ar = -R2
“R іа-а I 2“m 1 asaRk
1 aSaR 1 1 aR +«m V Т J aR +am
asaR aR (a-a 1 2am ^
aR +am \aSaR+ 1 aR +am \ T J
;(6)
AS - aS (aR +«m)x/2; ARS - 2
~aSaR
aSPl
; ASR - (ARS)t;
де іХА, і5В - фазні струми обмотки статора за умови, що іяс = ~іяА - іВ ЩА, ЩВ - фазні напруги обмотки статора; іЯА, іЯВ - перетворені струми обмотки ротора; уЯА, ціЯВ -
де іАВ = іи = -і8В - струм статора. Фаза С вважається обірваною.
Диференціальне рівняння руху (4) залишається таким самим, але вираз електромагнетного моменту (5) спрощується
МЕ = ~л/3 р0іАВ (іЯА + іЯВ ) / т. (7)
Найпростіші диференціальні рівняння трансформатора одержуємо також з (1) за умови, що ю = 0 і заміни індексів 5^-1, Я^2, які вказують на причетність до первинної і вторинної обмоток. Оскільки вони будуть наслідком (1), то ми їх записувати не будемо.
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СИСТЕМИ Математична модель системи складається зі структурних рівнянь, що описують спосіб з’єднання елементів, і рівнянь самих елементів - трансформатора й асинхронних моторів в одно- й трифазному станах.
Рівняння елементів. Рівняння асинхронного мотора в трифазному стані (1) запишемо у зручнішій формі
Ші§ / dt = 5и§ + Е§; diя / dt = 5и§ + Ея . (8)
Тут і далі перебудова матриць здійснюється в елементарний спосіб, тому оговорювати цього більше не будемо.
Відповідні (8) рівняння асинхронного мотора в однофазному стані згідно з (6) запишемо подібно
ЖАВ / ^ = 5АВ (и5А _ и5В ) + ЕАВ ; (9)
Жя / Л = Тав (и5А ~ и5в) + еяав .
Аби спростити далі математичний виклад перше рівняння (9) доцільно записати теж у вигляді (8). Це легко зробити, якщо ввести нові позначення
ls =
lSA
~lSA
Es =
E
AB
- E
AB
S = S
AB
1 -1
-1 1
(1О)
Відповідні (8), (10) рівняння трифазного трансформатора будуть
Ші1 / dt = 51 и + Т^2 + Е^; Ші"2 / dt = Т2^ + 52и2 ^ Е2 -(11) Тут
lk =
ikA
ikB
uk =
UkA
UkB
k = 1,2.
(12)
Структурні рівняння. Структурні рівняння записуємо на підставі закону струмів і закону напруг для головних вузлів і головних контурів електричного кола вузла живлення (спільних шин)
2
+ ^isi = О; U2 = Usi = V, i = 1,2,...,m, (13)
І—1
де V - колонка незалежних напруг вузла; т - число заживлених у вузлі асинхронних моторів у трифазному й однофазному станах.
Якщо перше рівняння (13) беззастережне, то друге потребує доведення із-за можливої появи напруг перекосу нейтралів. Але при симетричних обмотках елементів вони відсутні, оскільки в такому разі VA + VB + Vc = 0. Це легко довести, просумувавши рівняння фаз вторинної обмотки трансформатора.
Рівняння електромаґнетного стану системи. Диференціюючи за часом перше рівняння (13) і підставляючи в одержаний результат перше рівняння (8) і друге (11), одержимо алгебраїчне рівняння для обчислення напруги вузла
( т \ 1 ^ т \
V = -
Sr
+1S І—1
T2u1 + E2
m
+ Ё ESi i=1
(14)
Оскільки тут обертанню підлягає матриця другого порядку, то в практичному аналізі вона заздалегідь обертається аналітично. Напруги первинної обмотки трансформатора вважаються заданими.
Звертаємо увагу, що формула (14) передбачає, що обрив має місце лише у фазах С моторів. При потребі вона може бути адаптована для обривів і в інших фазах, у тому числі і трансформатора. При обриві застру-
млених фаз неминуче виникають стрибки комутаційних струмів, які обов’язково треба враховувати на підставі узагальнених законів комутації [1-3] інакше подальший аналіз втратить будь-який сенс.
Знаючи на кожному часовому кроці інтегрування напругу (14), диференціальні рівняння системи розпадаються на автономні рівняння окремих елементів -трансформатора (11) і моторів (4), (8), (9), які заздалегідь представлені в нормальній формі Коші!
Вхідні дані: rS, rR, aS, aR, p0, J, m моторів і трансформатора r1, r2, aT, ab a2. Вхідні сигнали: напруга мережі (Um, ю0) і моменти навантаження всіх М(ю, t) m моторів.
ВИСНОВОК Запропонована математична модель дає можливість аналізувати перехідні процеси вузла живлення асинхронних морів у безаварійному експлуатаційному стані й у випадку екстремальної несиметрії, зумовленої обривом окремих фаз. Метод аналізу може бути легко узагальнений на випадок врахування явища маґнетного насичення, електричного скін-ефекту, стрибкоподібної зміни комутаційних струмів [1-3].
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Чабан В. Математичне моделювання електромеханічних процесів. - Львів, 1997. - 344 с.
2. Чабан В. Математичне моделювання в електротехніці. -Л.: Вид-во Тараса Сороки, 2010. - 508 с.
3. Чабан В., Лишук В. Математична модель вузла живлення асинхронних машин. - Луцьк: РВВ ЛНТУ, 2011. - 116 с.
4. Чабан В., Гоголь 3. Математична модель трифазного асинхронного мотора в однофазному стані // Електротехніка і електромеханіка. - 2011. - № 3. - С. 43-45.
Bibliography (transliterated): 1. Chaban V. Matematichne
modelyuvannya elektromehanichnih procesiv. - L'viv, 1997. - 344 s. 2. Chaban V. Matematichne modelyuvannya v elektrotehnici. - L.: Vid-vo Tarasa Soroki, 2010. - 508 s. 3. Chaban V., Lishuk V. Matematichna model' vuzla zhivlennya asinhronnih mashin. - Luck: RVV LNTU, 2011. - 116 s. 4. Chaban V., Gogol' Z. Matematichna model' trifaznogo asinhronnogo motora v odnofaznomu stani // Elektrotehnika і elektromehanika. - 2011. - № 3. - S. 43-45.
Надійшла 20.02.2012
Чабан Василь Йосипович, д.т.н., проф.
Національний університет "Львівська політехніка" й Ряшівський університет 79021, Львів, вул. Кульпарківська, 142, кв. 33. тел: (067) 7202181, e-mail: [email protected]
Чабан ОстапВасильович, к.т.н., доц.
Національний університет "Львівська політехніка"
79021, Львів, вул. Лазаренка, 38, кв. 14 тел: (067) 6734482
Tchaban V.Y., Tchaban O.V.
Extreme dissymmetry of induction motor power node.
In the paper, a mathematical model of induction motors load node supplied by a transformer is described under separate customers phase loss. Differential equations of the system electromechanical state are given in normal Cauchy form.
Key words - power node, induction motor, extreme dissymmetry, mathematical model.
