CC BY
21
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10-1/2016 ISSN 2410-700Х
легирующего компонента С в виде Т = ТА — fiC, а для концентрации в двухфазной зоне правило квазиравномерного рычага С = С0(1 — fs)k-1, получаем
ЛТ = Т1-Т = ТА- РС0(1 — fs)k-i — Т. Численное моделирование проводим конечно-разностным методом на равномерной сетке. Стационарную задачу считаем методом установления. Трёхмерную пространственную задачу для уравнения теплопроводности — методом расщепления по пространственным переменным. Для каждого направления используем неявную схему 2-го порядка по пространственной переменной, что даёт возможность использования метода трёхдиагональной прогонки.
Модельные расчёты проведены для следующих значений параметров: сг = 600 Дж/(м2 • К), с3 = 825 Дж/(м2• К), р1 = 7500 кг/м3, р3 = 7030 кг/м3, Л1 = 25 Дж/(м• с• К), Я3 = 40 Дж/(м• с• К), Т10 = 1760 К, Т0 = 300 К, к = 2,47 • 105 Дж/кг, V = 0,008 м/с, W = 103 Вт. Получены численно поля температуры в стальном бруске, получена двухфазная зона затвердевания с небольшим переохлаждением расплава. Список использованной литературы:
1. Беденко Д.В., Ковалев О.Б. Моделирование тепло- и массообмена в наращиваемом слое металла при лазерно-порошковой наплавке // Теплофизика и аэромеханика. 2013. Т. 20, № 2. С. 255-265.
2. Борисов В.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка. М.: Металлургия, 1986. 223 с.1. Гурин А.М., Ковалев О.Б. Моделирование многовихревой конвекции мелкодисперсных легирующих компонентов в ванне расплава под действием лазерного излучения // Теплофизика и аэромеханика. 2013. Т. 20, № 2. С. 229-238.
2. Григорьев С.Н., Гурин А.М., Ковалев О.Б. Моделирование термокапиллярной конвекции расплава с дисперсной примесью при лазерном поверхностном упрочнении материалов // Металлофизика и новейшие технологии. 2013. Т. 35,№ 7. С. 965-980.
3. Попов В.Н., Ковалев О.Б., Смирнова Е.М. Численный анализ термокапиллярной конвекции при модификации поверхности импульсным лазерным излучением // Теплофизика и аэромеханика. 2012. Т.19, № 1. С. 57-65.
4. Попов В.Н., Черепанов А.Н., Дроздов В.О. Моделирование конвективного тепломассопереноса при лазерной обработке металла с использованием модифицирующих материалов // Изв. высших учебных заведений. Черная металлургия. 2013. № 12. С. 3-7.
5. Черепанов А.Н., Попов В.Н. Оценка влияния модификации наноразмерными тугоплавкими частицами жаропрочного сплава // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Серия: Физика. 2015. Т. 10, вып. 3. С. 97-102.
6. Черепанов А.Н., Попов В.Н. Численный анализ влияния поверхностно-активного вещества в расплаве на распределение модифицирующих частиц и кристаллизацию при обработке поверхности металла лазерным импульсом // Теплофизика и аэромеханика. 2014. Т. 21, № 3. С. 373-381.
© Бублик В.В., Черепанов А.Н., 2016
УДК 539.374
Бунтов Алексей Евгеньевич
Адъюнкт, Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е Жуковского и Ю.А. Гагарина»
г.Воронеж,РФ E-mail: alexey.buntov@mail.ru
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КРЕПИ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ГОРНОЙ ВЫРАБОТКИ С УЧЕТОМ НАЧАЛЬНОЙ ПОРИСТОСТИ МАТЕРИАЛА ПРИ УПРУГОЙ РАБОТЕ СЖАТОЙ МАТРИЦЫ
Аннотация
Построена математическая модель, описывающая напряженно-деформированное состояние монолитной крепи вертикального шахтного ствола для материалов с пористой структурой при упругой
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10-1/2016 ISSN 2410-700Х_
работе полностью сжатой матрицы. Деформирование пористой среды под действием заданных равномерно распределенных сжимающих нагрузок разделяется на два взаимосвязанных этапа: упругое деформирование пористой сжимаемой среды и неупругое деформирование полностью сжатой матрицы, обладающей свойством дальнейшей несжимаемости. Задача нахождения напряженно-деформированного состояния крепи вертикальной выработки с круговой формой поперечного сечения на каждом этапе деформирования решается в рамках плоского деформированного состояния. При этом не учитываются эффекты, связанные с тем, что выработка имеет конечную глубину. Получены соотношения, определяющие поля напряжений и перемещений на каждом этапе деформирования. Определена зависимость нагрузок, при которых начальная пористость материала достигает во всей области крепи нулевого значения.
Ключевые слова
Малые деформации, пористая структура материала, упругая работа сжатой матрицы.
В настоящее время актуальными остаются вопросы строительства и охраны подземных сооружений различного назначения, в том числе вертикальных шахтных стволов и подземных сферических полостей. При этом возникает необходимость решения ряда сопутствующих задач таких, как борьба с горными ударами, взрывные подземные работы, охрана окружающей среды от загрязнения, проблемы сейсмобезопасности и др. В связи с этим возникают требования по проведению укрепительных работ горных выработок и подземных сооружений, то есть создание крепежных конструкций - крепей.
Проходка, крепление и оборудование шахтных стволов имеют большое производственное и экономическое значение. Каждый ствол, а в особенности его крепь являются сложными инженерными сооружениями, требующими для возведения значительных временных и финансовых затрат.
Разрушение крепи подземной конструкции может произойти в результате следующих двух ситуаций: 1) достижение напряженно-деформированным состоянием пределов прочности (далее НДС); 2) достижение НДС критических значений, соответствующих потере устойчивости (отказу) крепи.
Решение первой задачи основано на сравнении найденного (в аналитическом или численном виде) НДС с пределами прочности материалов. Во втором случае начальным этапом решения задачи устойчивости является нахождение в аналитическом виде основного НДС конструкции.
Учитывая вышесказанное, проведенные в этой работе моделирование НДС монолитной крепи вертикальной горной выработки является актуальной задачей, имеющей большое прикладное значение.
В настоящей работе исследуется вопрос определения НДС монолитной крепи вертикального шахтного ствола. Свойства материала крепи, обладающего внутренней структурой, будем определять в рамках модели, механическая схема которой представлена на рисунке 1.
Рисунок 1 - Механическая модель пористого упругого тела Модель представляет собой параллельное соединение упругого сжимаемого элемента «1», характеризуемого коэффициентами Лямэ ^ с последовательной связкой «2» элемента жесткого контакта, характеризуемого величиной начальной деформации этого элемента - £0 (определяется удельным объемом пор), и упругого несжимаемого элемента с модулем сдвига [Л2.
Напряжения в параллельном соединении «1-2» находятся как сумма напряжений элемента «1» и последовательной связки «2».
j
где - компоненты тензора напряжений.
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10-1/2016 ISSN 2410-700Х_
Связь между напряжениями и деформациями в упругом элементе «1» определим законом Гука для сжимаемого тела
К )1=4 s:gj+ш
.ß
(2)
где , 8^ смешанные компоненты метрического тензора и тензора упругих деформаций соответственно.
Уравнение жесткого контакта, входящего в последовательное соединение «2», согласно [1] имеет вид
(И )2 (<+8 ) = 0, (3)
причем (&j\ = ^ до полного сжатия пор, и s^ = —s0 после.
Связь между напряжениями и деформациями в упругом элементе, входящем в «2», определим законом Гука для несжимаемого тела
(Л = 2^2 «)2 . (4)
где (^ )2 = (И )2 _ 1 (И )2 - компоненты девиатора тензора напряжений.
С учетом (3) и (4), согласно [2] зависимость напряжений через деформации в последовательном соединении «2» определяется соотношением
К), =<
0, если — s"<sn
(
2^2
0 Л
8 — 8
К)
2 gJ ,
(5)
если —s„ >sn
где 8^ - деформации компонента «2» до момента полного сжатия пор и 8^ = ~80 -после.
Ниже рассмотрим вопрос об определении НДС цилиндрического тела (рисунок 2), являющегося крепью вертикального шахтного ствола. Обозначим через Ь и а соответственно внешний и внутренний радиусы крепи. Действие массива горных пород на крепь заменим сжимающей нагрузкой интенсивностью ^ равномерно
распределенной по внешней поверхности. Сжимающая нагрузка интенсивностью ^ равномерно
распределенная по внутренней поверхности моделирует собой давление жидкости или газа на крепь.
Для такого рода задач можно предположить [3], что при определении НДС не учитываются эффекты связанные с тем, что выработка имеет конечную глубину.
Процесс деформирования пористого материала монолитной крепи вертикальной выработки разделим на два взаимосвязанных этапа. Первый - упругое деформирование сжимаемой пористой среды, второй -упругое деформирование полностью сжатой матрицы, обладающей свойством дальнейшей несжимаемости.
Рисунок 2 - Монолитная крепь вертикального шахтного ствола под действием радиального сжатия
о
о
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10-1/2016 ISSN 2410-700Х_
Для осесимметричного случая НДС монолитной крепи вертикального шахтного ствола в рамках плоского деформированного состояния в цилиндрической системе координат (r, О, z) будем моделировать следующими соотношениями геометрически линейной теории
- уравнение равновесия
= о; (6)
dr r
- соотношения Коши
du u
Er = ~т,Eo=~' (7)
dr r
где u - радиальная составляющая вектора перемещений;
- граничные условия в напряжениях
^ L=6 = -q, L=e=-qa, (ъ >0, q >0) • (8)
Связь (2) между напряжениями и деформациями при упругом деформировании пористой среды при принятых допущениях перепишется в форме
аг = (\ + 2ß )e +Л1£о , °о=\ег +(\+ 2ßi )Eo> ^z =\(£г + Eo) • (9)
Упругие деформации сжатого скелета связаны с напряжениями соотношениями (5), которые в нашем случае примут вид
2 2
Sr = 2 (ß0 + ßl К - 2№г0 + ~ßlE0 > S0= 2 (ß> + ßl )ЕО- 2ß0E00 + ~ßiE0,
2
Sz = ~ßlE0 • (10)
В (10) и далее индекс «0» внизу компонент деформаций, напряжений и перемещений обозначает, что они вычислены на момент полного сжатия пор.
Условие несжимаемости на этапе упругого деформирования материала с полностью сжатой матрицей в случае плоского деформированного состояния для нашей задачи запишется в форме
sr +So =-Е0 • (11)
Определим НДС монолитной крепи на первом этапе, то есть при наличии несхлопнутых пор следующим образом.
Запишем уравнение равновесия (6) в перемещениях, для чего подставим (7) в (9), а получившееся напряжения в (6), получим обыкновенное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
2 d2u du
r —- + r--u = 0,
dr dr
общее решение которого имеет вид
C
u = Cxr + C. (12)
r
Тогда деформации и напряжения, согласно (7), (9) и (12) определятся в форме
C C
Ег = C - C , Ео = - + C, (13)
r r
C C
ar = 2 (\+ß ) Q - 2ß c2 , ^ = +ß1)C1 + 2ß -2 • (14)
r r
Согласно (11) и (13) объемная деформация на этом этапе имеет вид
Er Ео= - - + - + % = 2Q • (15)
r r
Следовательно, объемная деформация не зависит от текущего радиуса, то есть она одинакова во всем теле. Поэтому полное сжатие пор произойдет одновременно во всей крепи при достижении объемной
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10-1/2016 ISSN 2410-700Х_
деформацией своего предельного значения равного значению начального раствора пор s0 (s0 > 0), взятого с противоположным знаком.
С учетом этого условие наличия несхлопнутых пор в теле запишем в форме —(sr +se) <s0, или с учетом (13)
—2Q <8о.
Константы интегрирования C, C2 определим из граничных условий (8) следующим образом
а 2Ь2
(16)
C
2(4 + M)C1 — 2М ^т = —чь
с
2(4+tt)C — 2^1 —2 = —qa
г _Чь — ча a Ь
C2 ъ.. ' ,2 ,2
2 м a — Ь
с
2(4 + м)С =—qa + 2^1—2
с2 =
Чь — ча
с =
2 м а2 — Ь2 1 (ЧьЬ — Чаа )
1 „2 .2
а2 — Ь2 2(4+ м)
С _ ЧьЬ — Чаа
а =
(Чь — Ча ) а'Ь2
(17)
П 2(4+ М)(а2 - Ь2 У 2 2М(а2 - Ь2)'
Тогда условие (16) при учете (17) примет вид
дьЬ2 - даа2 <80 (Л1+^)(Ь2 - а2) . (18)
При этом поля перемещений, деформаций и напряжений согласно (12) - (14) с учетом найденных констант (17) перепишутся в форме
Ь2 — а а2
u =
__r | (Чь — Ча ) а2Ь" . 1
2(4+м)(а2 — Ь2) 2^(а2 — Ь2) r '
qbb2 — чаа2 (Чь — Ча)^ 1
ЧьЬ2 — Чаа2 ,( ЧЬ — Ча)а2ь2 1
-^-tj±---^-is---s =_—_—__+ _—-___
2 (4+м)( а2 — Ь2) 2 f\ (а2 — Ь2) r2 ' в 2 (4+^)(а2 — Ь2) 2^( а2 — Ь2) r
О = Ч--
r 1 а 2
(r2-Ь2) Ь2 (а2 - r2) а
------'-Кв= Ча
(Ь2— а2) Ь r2(Ь2— а2): 4а2
(г2 + Ь2) Ь2 (г2 + а2) Чь •-
о = а
z 1а
(4+Н ) (ь2 - а2) Чь (4+м ) (ь2 - а2) . Как следует из (17) достижение величины начального раствора пор своего нулевого значения (иначе -достижение объемной деформацией величины -80) при упругом деформировании материала происходит одновременно во всей крепи под действием нагрузок удовлетворяющих условию
ЧьЬ2 = 8о (4 + Н ) (ь2 - а2) + да- / 8 ) а2, (20)
(Ь2— а2) r2(Ь2— а2): 4Ь2
(19)
где f (s0 )=\'
1, если 8пФ 0
0, если 80= 0
При этом НДС (19) на момент полного сжатия пор, то есть при выполнении условия (20), определится соотношениями
u„ =---r +
s0 (Ча • f (s0) — s0 (4 + M ))
2M
а r
s 0 = 2
(Ча • f (s0 ) —s0 (4+M ))
2M
2 ' в0
snr\ _ +
r
ч (Ча ■ f (s0 )—s0 (4 + А)) а ч (Ча ' f (s0 )—s0 (4 + А ))^
Gr 0 =—s0 (4 + А )"- 2 -— , ов0 =—s, (4 + А ) + -- 2 -—
(Ча • f (s0 ) —s0 (4 + M )) .
2 А
(21)
Gz 0 = —^1s0 .
а
sr =
2
а
2
2
s
s
а
2
r
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10-1/2016 ISSN 2410-700Х_
Если после схлопывания пор среда испытывает дальнейшие деформации, то записанное НДС (21) будет частью НДС после схлопывания пор, которое реализуется при выполнении неравненства
( V
q > qa ■ f (*„)[|j +£„ (Л+м)
i" ^Г
v b2 у
(22)
Перейдем теперь к определению НДС монолитной крепи вертикальной горной выработки на втором этапе деформирования, то есть на этапе деформирования материла с полностью сжатой матрицей, обладающей свойством дальнейшей несжимаемости.
Если внешние нагрузки таковы, что выполняется неравенство (22), то полностью сжатый скелет будет деформироваться как несжимаемая упругая среда с модулем сдвига / = / + /0.
Записывая условие (11) в перемещениях с использованием формул Коши (7) получим неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка
йи и
общим решением которого будет
, +- = ~е„,
dr r
В е0
и =---0 г . (23)
г 2
Из (7) с учетом (23) деформации на втором этапе деформирования определятся в форме
В е0 В е0 е = —- , ев = ~. (24)
г 2 г 2
Запишем разность напряжений Ог—Ов, входящую в уравнение равновесия (6) через разность
компонент девиатора напряжений СТг—0'в = Бг — Бв, которая в свою очередь с учетом (10) представима в форме
^г-°в= — $в = 2 (/о + / )(£г — ев) — 2/о (ег0 — ево ). (25)
При этом разность полных деформаций с учетом (24) имеет вид
2В
ег —ев =—г; (26)
г
разность деформаций на момент полного сжатия пор определим из (21) в виде
(<ia • f (g„) ~g„ (Л + Mi ))
a2
Mi r2'
(27)
Соотношение (25) с учетом (26) и (27) перепишется в форме
,/ чВ 2/о (Ча ■ /(ео)—е0 (4 + /)) а2
~°в = —4(/о + /) —+----—■ (28)
г / г
Подставляя полученную разность (28) в уравнение равновесия (6) приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными вида
dar-A( 2M„ (qa ■f (£„ )~£„ (Äi +Mi))
4 (M„ + M1 ) 3
a2
, \r-„ ■ r-1 j 3
dr r m r
3
интегрируя которое получим:
( ,, („ Г(г.\ „ il , .. \\„2 Л
^r =
M„ (qa ■f (e„)s„ (Л +Mi))
a
- 2 (m„ + Mi) D
i
— + C , (29)
r
/1
где С - константа интегрирования, которую с помощью граничного условия (8) на внешней
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10-1/2016 ЙБЫ 2410-700Х
поверхности крепи можно выразить через константу О следующим образом:
С = —ч, —
/о (Ча • / (е0 ) — е0 (Л +/ )) а
— 2 (/о +/ ) В
(30)
Тогда из (29) и (28) с учетом (30) напряжения на втором этапе деформирования при реализации условия (22) определятся в виде
<У. =
2 (/о + / ) В —
/0 (Ча • / (е0 ) —е0 (Л + / )) а
2 Л
1 1
2 (/о +/) В~
/о (Ча • / (е0 )—е0 (Л + / )) а
2 Л
2.
77 + 2 Ь г
Ч.
(31)
Константу интегрирования В определим из второго граничного условия (8) на внутренней поверхности крепи
2 (/о + / ) В =
(Чь — Ча ) а2Ъ2 /о (Ча ■ / (е0 ) —е0 (Л1 +/1 )) ^
а2 — ь2
/1
(32)
Подставляя (32) в (31), (24), (23) получим, что напряжения, деформации и перемещения соответственно перепишутся в виде
^г = Чь
(г2 — а2) Ъ2 (г2 — Ъ2) а2 (а2 +г2) Ь2 (г2 +Ь2) а
(а2 — Ь2)г2 Ча (а2 — Ь2)
(а2 —Ь2) г2 Ча( а2 —Ь2)
— ь ) г
— Ь I г
2/г2
ев =
2/г2
и = ■
2/г
(Чь — Ча ) Ь2 /0 (е0 (Л + / ) — Ча • У (е0
(ь2 — а2) + /1 У
(Чь — Ча ) Ь2 /о (Ча ■ У (е0 ) —е0 (Л +/1 ))
(а2 — ь2) + /1
(Чь — Ча ) Ь2 /о (Ча • У (е0 ) —е0 (Л1 +/1 ))
(а2 — ь2) + /
—0 г, 2
(33)
где / = /0 + /.
Таким образом, если выполнено условие (18), то реализуется этап упругого деформирования пористого материала монолитной крепи вертикального шахтного ствола. При этом НДС крепи определяется соотношениями (19). Выполнение равенства (20) соответствует моменту полного сжатия пор для всей области крепи. НДС при этом выражается формулами (21). При выполнении неравенства (22) реализуется этап упругого деформирования материала крепи с полностью сжатой матрицей, которому соответствует НДС, определяемое по формулам (33).
Список использованной литературы:
1. Садовская, О.В. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред / О. Садовская, В. Садовский — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 368 с.
2. Гоцев, Д.В. Метод возмущений в задачах устойчивости подкрепленных горных выработок / Д. Гоцев, А. Спорыхин - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2010. - 299 с.
3. Гузь, А.Н. Основы теории устойчивости горных выработок / А.Н. Гузь - Киев: Наук. думка, 1977. 204 с.
© Бунтов А.Е., 2016
ств =
2
а
ег =
2
а
2
