CC BY
15
УДК (Ю4.У4:э19.Л1.3
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГООПСРАЦИОШЮЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ,ВОССТАНАВЛИВАЕМОЙ ПОСЛЕ ОТКАЗОВ В ПРОЦЕССЕ КОНФЛИК1А
В. И Потапов
Омский ¿исуйсукгтьенный талн:мческии ytruvypcumvm, ¿г. Омск, Росно-
Аннотация - В научных работяг отечественных н зарубежных авторов, посвященных разработке и исследованию математических моделей конфликтующих технических систем, обычно рассматривают и
\ч1пык:1№1 лишь kuhci§jvki иииыс lutp-juwijiu iiiii cucie.M, lHuie кик л'никныг а резервные блики, рас-прсделение резервных блоков между основными и особенности нх подключения вместо отказавших. При
MIIMI Н «I ИХ tlQ'IVJIMt IIJKIKI ИЧСГКН НС |1<1Г1"М Л 1рИ КИН11 ("И II не учшмканнгм lllllUHHHIiri II 1|>)Н11.1||1ИЧИ'КИХ
процессов и рабочих операшш. происходящих в рсальиых технических системах и влияющих па падеж
нечетные T.ipi КТррИСТТТКИ у-ЧМТЯТШЩП R конфликтной С1ГП МЦПИ ГЛСТРЛ1Ы.
Целью данной работы является задана устранить отмеченные выше недостатки известных молелен и « 1Ц1И -.1Ц1Р мн1)1Ш)11(>]|;|11111)нн11Й 1 схимчнский смпемм, шитюник шкисмпй iiur.it* шкхшк к и|п>цп'г<< т^пнкта, н пеллтк рпрабтшамп'ю модель более а tpkr.it но А реальной ситуации. При разработке математической модели учитывался вероятностный характер ее функционирования в процессе конфликта с учетом того, что атакующая сторона стремится уменьшить ее надежность, влияя на увеличение интенсивности отказов се компонентов и на уменьшение интенсивности восстановления отказавших компонентов. Повеление рассматриваемой технической системы аппроксимируется марковским процессом. Разрабатываемая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений с переменными во времени коэффициентами, решение которой нетрудно получить приближенным численным методом, основанным ни меюде ликрешзашш. Мидель позволив иычиишь любые параметры належит ш
|1:НТМ»1|1ИНЯСМ1|Г| I РЧНИЧСГк'ИИ (НПСММ К ЩИЩрЧЧ'Н кинф. 1ИКЧ л.
Ключевые слова: техническая система, конфликтная еитуапия, отказ, надежность, восстановление после отказа.
I. ВВЕДЕНИЕ
Б известных научных работах отечественных н зарубежных авторов [1 иоевяшенных разработке математических моделей технических систем, которые, как правило, являются динамическими гппаратно-избыточнымн системами. для исследования и оптнмнзгшнн их поведения в конфликтных ситу алиях сбычно рассматривают и учитывают в модели лишь конструктивны? параметры этих систем, наиболее важные, с точен зрения классической теории надежности, такие как основные и резервные блоки, распределение резервных блоков между основными. особенности подключения резервных блоков вместо основных, отказавших в процессе конфликта под воздействием атак противника, натр явленных на увеличение их интенсивности отказов, приводящих в копечлом 1ггоге к отказу в целом атакуемой в процессе конфликта техпической системы. 1 ахал формализация моделей с математической точки зрения опраздянна. так как позволяет разработать с помощью численных методов алгоритмы оптимального поведения, в смысле рационального использования аппаратной избыточности, для оптимизации параметров надежности, участвующих в конфликте технических систем, которые легко реализуются на современных компьютерах, для м¡tK.LK.-MH^¿шни их вероя1ноли Се ¿о ¿казной раисты л тгчпниг к{гмгни к»ш]|.1иь 1 н ини мнксимн<л1(ии ктк*мгни р;11ктгы до шшноп) <гша:и гигггмы к щнэцт г конфликта
Однако, к сожалению, в этих моделях практически не рассматриваются и. естественно, не учитываются особенности гехиолсппеских процессов, связанных с □ыполиешеем соответствующих рабочих операций, пропс ходящих в конфликтующей мнегооперационной снсгсмс. которые характеризуют ее прямое функциональное назначение и непосредственно влияют на надежностные характеристики системы. Это исключает возможность учитывать елияюдшс на надежность системы операиионно-технологичеекке процессы, характерные для соответствующей системы. учас1вук.чцей в конф.тктной шуашш. и снижает адеквашисть такой математический м<\дс*.ли ргмльно иротгкаклцим и]ю пчям к процечс«* кин|||лик1и
И данной работе делаете, яг попытка в какой-то мере ттпкячя-к как можно угтрянитт. укачанный недостаток при разработке математических моделей реальных конфликтующих систем на примере разработки модели многооперацноннон динамической системы, восстанавливаемой после отказов в процессе конфликта.
П Объект модешрова!ля
Будем полагать, что рассматриваемая система предназначена для зыполненкя определенного набора технологических операций. совокупность и последовательность зыполненкя которых определяет функциональное назначение системы Обозначим через ч у среднюю интенсивность потока технологических операций в снсгсмс. Для выполнения соответствующей технологической операции используется определенная группа аппаратных средств (элементов н'или функциональных блоков) из общего числа аппаратных средств, входящих з систему. безотказное функционирование которых гарантирует точное выполнение данной операции системой. Сисшяние рассмахриваемий системы 1.рн выполнении конкретней операции будем называть тсхьоическим
ШГПМНИГМ СИ11ГМЫ ОЧГЧИДНО. ЧТИ КОЛИ-КЧ1КО ТГХНО.ПМ ИЧГГКИХ С.ОГШМНИИ 1КПГММ 1:|«1|-ВПаН)П числу КК1-
по.лняемых ею операции
Не трудно понять из описанного выше принципа работы рассматриваемой системы, что из всех возможных отказов компонентов системы лишь небольшая часть отказов элементов и функциональных блоков пемедлесшо проявляется как нарушение работы всей системы.
Бслыпинсхио отказов элементов а функшю.-хальных блохив ыызыьаех нарушение рабохы сисхемы лишь при выполнении определенной ох.ераиик. для реа.хиздиии хохорой хребусхса правильная работа соохвехсхву.-ошсхо о.казавшехо компонента т числа ахшарахньхх средств сисхемы. задейс хвоы-ннь.а ион вышшиешш данной операции.
Обоччачттм череч суммарную интенсивность отказов «тех компонентой системы
В л<ил>нейшем будем х.онимахь иод охказами рассмахриваемой сисхемы ¿лбо самоирсизво.хьное выполнение кахих-лнбо оххерашш в результате коие&слш на систему ахах иреххшнкка (ложное срабахх»шах1ие). либо не выполнение или неххравхыьное выно.хнение каких-либо опер алий 1.ри во^ннкновехихи необходимосхи на. выполнения. а результате ишзик соответствующих кимххоненюв аш.арахней части сисхемы. учасхвуюших в выххол-неннн дахший еххерахшн. Последние отказы будем называхь охказамл опер ¿шин.
И гпотяв рассматриваемой системы включено контрольное устройство ч задачу которого входи- непрерывно осуществлять контрольные операции. то есть проводить техническую диагностику исправности системы й целом и ее частей И гипн го сложностью говреметтных технических динамических систем, участвующих в конфликтных оитуапиях. практически невозможно построить гигтему контроля обеспечивающую ото процентную вероятность обнаружения отката люпого компонента системы Обычно как псказьтияет практика, оно позволяет контролировать и диагностировать исправность литпь некоторой части компонен-оч системы гри этом контролируемость чтгемритов к некоторят системах мелет зависеть от технологического состояния системы поскольку могут оказаться ситуации. гри которых ч процессе конфликтя неттьзя проводить -есточые прочерки и определенных технологических режимах Кудем тюгагать что при выявлении в процессе контроля и диагностики отказа компонента (скрытого отказа) не приводящего к ложному срабатыванию систему немедленно начинают восстанавливать, при этом процесс восстановления ке влияет на технологически»: процесс, пока не изменяется технологическое состояние системы. Обозначим через и интенсивность вогстановления системы. В течение процесса восстановления система не может выполнять никаких операций. После восстановления будем считать систему абсолютно исправной Примем условие, что в рассматриваемой динамической системе процесс восстановления после отказа завершается до момента начала выполнения очередной операции, после чех о восстановленная (исправная) система вновь вюхючаехся в работу в условиях конфликта.
В процессе кенф.лила ирехивнн* нмеех возмоядхосхь за счет своих средств ахакн в..1шь хах на уие.1ичение интенсивности отказов компонентов технической системы таким образом, что функция (г) станови-ся воз-
рас 1а.-охх. ей во времени, хак н на уменьшение хшхенсивносхн восстановления системы. являющеюся инехрумен-том защиты технической системы от атак противника таким образом, что функция ¡¡(г) становится убываю-
шей во времени.
При этом в зависимости от стратегии атакующего техническую систему противника закон возрастания ин-
ггаенкнмпм шкх«)к ЛфСО и чикпн убыкини« ин1гнс:нкн1ч ги когегннпклгни» м:)жн ичмгн» гыч напримгр
01 .хинейнохо дс эксионехшнальнох о. Однако при этом будем ечкхахь. что в хеченнн нсехо времени шжфшш для ахахуемон хехнической сисхемы. использующей д.хя задшхы механшм восстановления охкадевшнх хомхю-ненхов. сохраияехся следующее неравенство
/КО > Со > '« (О • П1 Разработка математической модели технической системы
Учитывая вероятностный характер о>т:кдиснирсЕлн}1я рассматриваемой технической системы как в стационарном режиме, без внешних на нее Бездействий, так и в процессе конфликта, с учетом воздействия на нее шсхеяоисхные ххарамехрьх ахахуюхсею .хрохив.чнха. ирн разрабохке махемахнческой модахн учасхвухищен в конф.шкхной снхуасин хехннчеехшн сксхемы будем шшроксилщровахь се иоведение марковским ироцессом.
Для ххостроения модели введем следующие обизначения.
(/ = ; к = 1, г») - вероятность лэжногс срабатывания технической системы е /-м технологическом состоянии при отказе .'с-го кo^aIoнcнтa системы:
_ 1,2,...,«; к — \,т) - вероятность невыполнения операщш переходе технической системы из ? го в ./-с технологическое состояние при отказе к- го ко>шонснга снстсмы:
V- - инг^нсипчпгтк перехпда технической гистемкт и" технологического состояния / ч технологическое состояние/ :
л _
У _ ^ у.. (/_! /.-) - еуммарияя тггенсичногтк перехода технической сигтечтд и? /'-го техно.тго-ическо-о состояния:
рЬ И — 1 у п\к — 1,/и) вероятность обнаружения отказа лг-го компонента технической системы в ¡-м технологическом состоянии.
Очевидно. что если отказ к го компонента системы контролируется о / м технологическом состоящих, то
1г е-
р. =1.2 если не контролируется, то р1 = 0 -
Будем называть {р^} множеством контролируемости компонентов технической системы. Назовем и
Д* коэффпциептами влияния, а множества этих коэффициентов и {0*] — множествами влияния
Легко .»снять, но если У.г — 0. то есть не существует оиераини. непосредственно переводящей рассматри-ваемую техническую систему из /-ю иу-с 1ехноллическое состояние. то гхЦ- = 0. Из элементарных рассуждений следует, что если Д* = 1. то а^ — а*,- = 1 для всех у . для которых / 0. а если = 0 н / 0. то /?*=/?* =0.
Поскольку рассматриваемая техническая система, участвующая в конфликтной ситуации, по определению не резервируемая, то нетрудно пенять, что произвольное количество огкгзов ее компонентов, приводящих к одинаковым последствиям, то есть имеющих одинаковые множества влияния, влияет на работоспособность системы тан же. как л отказ одною из этил компонентов Полому с ючлн зрения надежное ли системы все компоненты с едгскшовыми множествами } и {Д*} можно обьедпшпь о один условный компопеегг с теми же множествами влияния, просуммировал при зтом шгтеисшшостп их отказов. Очевидно, что условные хомпо ненты кроме одинаковыхмножеств влиянии должны име1ь к одинаковые множества контролируемости }.
Обозначим через т - общее число условных компонентов рассматриваемой системы, которые будут учитываться в надежностной модели системы тогда суммарная интенсивность отказов всех компонентов технической системы в течение времени конфликтной ситуации определится из выражения
¡и
где - интенсивность отказов £-го уловного компонента.
Граф надежностных состояний рассматр1таемой технической системы, участвующей в конфликтен ситуа цни. представлен на рис 1. Дгнный граф позволяет описать на формальном уровне поведение технической системы в процессе конфликта.
Приведенные на графе обозначения имеют следующий физический смысл: Е® (г = 1,2,..., - техническая система полностью исправна (всс компоненты исправны) н находятся в ?-м технологическом состоянии;
Еу (г = 1, п\к = 1,2,...>й) ~ система находится в г'-м технологическом состоянии со скрытым неконтролируемым отказом к-то условного компонента: ЕГ+1 (/ - 1,2,.... п) - техническая система находится в состоянии восста-
Г 12
новлсния после отказа компонента в 1-м техаслогичесхом состоянии: £ ; - техническая системе полностью
отказала (состояние «гибели» системы).
к к Обозначим р7 (Г) - вероятность состояния Ег техшгхескои системы о момент времени
Тогда вероятность безотказной работы рассматриваемой технической системы за задашюе время Г в про пессе конфликтной ситуации определится выражением
и+: и
т-х х Р}{*) *=(.' 1=1
С учетом сделанного выше описания работа технической системы в процессе конфликта следует. что она из состояния Е'? при выполнении любой технологической операции переходит в другое технологическое состояние И 11|1И (ТГКНЧГ ЛК|()<)т КММ1ЮНГЧ1И ПГрГ.ЧЦДИГ К ;фу|»1Г №у^/КН1Х:1Н(№ Ш1ШНИГ Г ИНКТНСИКНОГГНИ) (р'у +
) В состояние Е ? техническая системе может перейти из состояния Е^прн выполнении соответствующей
О с/л+1
операции с интенсивностью V-' () р1 нлн нз состояния прн окончании в ос становления после отказа с нн-
тексивносгью 11[/) р'"*^
Теперь, ислсльзуя известную методику [8. 9]. можно составить соответствующую графу на рис. 1 систему дифференциальных уравнении Колмогорова, описывающих поведение рассматриваемой технической системы в процессе конфликта.
Система уравнений имеет следующий вид
^р- - <у-: + ш Р? (О + 2 V чРЧ со+№?? (0'
(/-1.2,.....л)
•Л
—и,«¿<0+2 »>(1 -4)(1 -а*)рк}Ц)+4(0(1 -А* )(1-
1
(| —1,2,...,и; /г —1.2... .»О
У=1
* к-1 А-1 ;-1 •
(/ = 1.2,....//).
Репт?ние данной гястемы уравнений с начальными условиями
0) = р,(0); р*(0) = 0. (/ = 1,2,...,и; £ = 1,2,...,?И + 1) в аналитическом виде не предл-аю-яется ипчмяж-ньш в связи та сложиопгио коэффициентов яштяющих фунщихш времени тменяютгихтся в процеггр конфликтной ситуации. Поэтому решение системы уравнений следует искать приближенным численным метолом, основанным на методе дискретизации, подробно рассмотренным в [7] для решения уравнении подобного типа.
список литерлгуръ:
1 театтоу В К Г.опАкч оГМолпп£т Зуянт АМЯЕРге^ Тгапсе 1994 Я7р
2. Нартов Б. К . Братцев С. Г.. Мурзнн Ф. А., Пунхус А. А. Конфликт сложных систем. Модели и управление. М МАИ. 1995. 120 с.
3. Лефевр В. А. Конфликтующие структуры М.: Сов. радио. 1973. 159 с.
Л. Потапов В. И. Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, эссета навливасмых после отказов технических систем /' Проблемы управления и информатики 201№ 4. С. 70 78.
5. Потапов В. И. Задачи и численные алгоритмы оптимизации надежности аипаратно-избыточной технической сис1с.мы ь конфликтом ситуации при различных стратегиях защиты от атак аротвника .'/ Меха1рониА.л. интмлгичлции угрлчлгниг 9015 Т 16, № 9 С. 61 7—674
6. Potapov V L Model and Numerical Solving Algorithm of Counteraction Problem for Two Restored after Failure Redundant Engineering Systems И Journal of Automation and Information Sciences. 2015. Vol.47. P. 41-51
7. Потапов В. И. Противоборство технических систем в конфликтных ситуациях: модели и алгоритмы. Омск: ОмГТУ, 2015. 168 с.
8. Вентцель Е. С. Исследование операций. М: Сов. радио. 1972. 550 с.
9. Козлов Б. А., Ушаков И. А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. М.: Сов радио, 1975. 472 с.
