Математическая модель массопереноса в обратноосмотическом аппарате трубчатого типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.021.3:66.011

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАССОПЕРЕНОСА В ОБРАТНООСМОТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ ТРУБЧАТОГО ТИПА

© В.Л. Головашин, С.И. Лазарев, В.В. Мамонтов

Ключевые слова: математическая модель, аппараты трубчатого типа.

Предложена математическая модель, описывающая нестационарный массоперенос в обратноосмотическом аппарате трубчатого типа. Адекватность математической модели проверена с использованием обратноосмотической мембраны Е8РЛ для минерализированной технической воды на лабораторной установке с модулем трубчатого типа. Получены расчетные формулы для определения средней производительности и среднего давления в трубчатом баромембранном аппарате. Выявлены основные закономерности нестационарного процесса обратноосмотического разделения.

ВВЕДЕНИЕ

Для описания и объяснения явления массопереноса при обратном осмосе, а также для построения математических моделей и расчета данного процесса используются различные подходы и уравнения переноса растворенного вещества и растворителя через мембрану для жидкой и мембранной фазы [1-4].

При проектировании баромембранных процессов необходимо знать основные параметры для простейшей схемы обратноосмотического разделения (рис. 1).

Основными параметрами для каждой схемы являются: К - коэффициент удержания; V, с - объем, м3, и концентрация, кг/м3, в емкости исходной жидкости; Ок, Ор -расход исходной жидкости, концентрата и пермеата, кг/с; с^, ск, ср - концентрация растворенных веществ в исходной жидкости, концентрате и пермеате, кг/м3.

Зная параметры для простейшей схемы обратноосмотического разделения и производительность по одному из потоков (в зависимости от цели процесса -разделение или концентрирование), можно рассчитать время разделения, необходимую площадь мембран для

V» ,С0

каждой стадии процесса и тем самым определить конструктивные параметры обратноосмотической установки.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Рассмотрим задачу массопереноса через мембрану при движении жидкости в кольцевидном канале, образованном цилиндрическим корпусом и трубкой (мембраной).

Основные допущения.

1. Насос обеспечивает постоянство подачи.

2. В промежуточной емкости режим идеального перемешивания.

3. Изменением плотности жидкости пренебрегаем.

4. Режим течения жидкости ламинарный Яе < 2300.

5. Свойства мембраны учитываются коэффициентом удержания и удельной производительностью.

Математическая запись задачи:

Начальные условия:

У (0)= у

сг (0 ) = сг 0

(1)

(2)

Материальный баланс по растворителю в промежуточной емкости:

ййут=-0г + ок

йт * к

(3)

(4)

Рис. 1. Схема обратноосмотического разделения. 1 - исходная емкость; 2 - насос; 3 - трубчатый мембранный модуль

Материальный баланс по растворенному веществу в промежуточной емкости:

й (У • с*) = —С* • с* • йт + Ск • Ск • йт

(5)

Материальный баланс мембранного модуля по растворителю:

С; = Ок + Ор

(6)

Материальный баланс мембранного модуля по растворенному веществу:

лать допущение о квазистационарности гидродинамических процессов в модуле.

Гидродинамика в мембранных каналах различных типов описывается уравнениями Навье-Стокса и неразрывности [1, 2]. Уравнения гидродинамики можно решить при некоторых допущениях [3]. Для нахождения поля скоростей в канале (в двухмерном случае) необходимо решать систему уравнений Навье-Стокса и неразрывности, которая для ламинарного режима принимает вид:

С; ■ йУ + У ■ йс* = —Оу ' С; ' Ф т + Ок ' Ск ' Ф т (7)

Продифференцируем (5)

с* • йУ + У • йс* = —С* • с* • йт + Ск • ск • йт (8)

Подставим в (8) выражение из (7)

с* • йУ + У • йс* = —С* ■ с* • йт + (с* ■ с* — Ср • ср) ■ йт (9)

Преобразуем (4) с использованием (6)

йУ _ г Л =-°'

(10)

ди дУ п

-----+ — = 0

дх ду

1 дР _• = у

р дх

( Л2

д2и (х, у)

ду2

(18)

(19)

Проинтегрируем уравнение (19) с учетом условий прилипания на стенках канала:

и (х, Р1 ) = и (х, Р2 ) = 0

0 < х < Ь;

Р < у < Я2.

(20)

(21)

(22)

йУ = — Ор • й т

(11)

Подставим (11) в (9)

—с

у Ср • йт+У ■ йс* =—С* • с* ■ йт+(С* • с* — О • ср) • йт(12) После несложных преобразований получим

У • йсу = су • Ор • й т — Ор • ср • й т

У • йсу = су • Ор • йт — Ор • су-(1 — К)• йт

йсг _с£-ОрК

У

(13)

(14)

(15)

Подставим в (15) и (10) выражение, определяющее удельную производительность модуля

йсу су ■ к (АР — Ап).Рт ■ К

У

(16)

(17)

где т - время разделения раствора, с; Ал - осмотическое давление раствора, Па; Ят - площадь трубчатой мембраны, м2.

Систему уравнений (16)-(17) интегрируем с учетом начальных условий (1) и (2).

Поскольку в аппарате насос обеспечивает постоянство подачи, а исследованные концентрации незначительно влияют на плотность разделяемого раствора, в каждый момент времени интегрирования можно сде-

Для ламинарного стационарного потока получено следующее решение уравнений гидродинамики:

и(х, у) = • (у2 — у • р — у • Р2 + р • Я) •йР(х) (23)

24 йх

где Р(х) - распределение давления по длине канала, Па; ц - вязкость раствора, Па-с; Р12 - радиусы трубчатой мембраны и корпуса, м.

Определим неизвестную величину Р(х).

Запишем уравнение расхода через канал.

Я2 1 ФР( х)

6(Л у) = {-—(у2 — у • Я,- у • Я + Я- Я )-^— Ф (24)

«2-Ц Фх

После интегрирования имеем йР (х)

О^х)=^ —- • (Я—р23—3 • я • р22—3 • р2 • р2 ) (25)

Для нахождения давления продифференцируем уравнение расхода по х

(2Р( х)

дОх) =—•-(Х— •( Р - Р -3 • Я-Р -3 • Р2- Р )• (х (26) 12 Ц

С другой стороны, изменение расхода в канале записывается выражением

V

'///////////////////////////х

ОМ 0(х+с1х)

М

/_ X

JVdx

Рис. 2. Схема изменения расхода в канале

йО(х) = О(х + йх) — О(х) = У(х) • йх = к • Р(х) • йх (27)

На рис. 2 показана схема изменения расхода в канале, образованном цилиндрическим корпусом и мембраной.

Приравняем правые части уравнений (26)-(27) и проинтегрируем с учетом граничных условий:

Р(0)=Р„;

Р(Ь)=Рк.

(28)

(29)

Получено следующее выражение для распределения давления по длине канала:

Р(х) =

Рп -соб^А-х)-$іпЬ(А- х) — Р, • собЬ( А-Ь) -$тЬ(А-х) + Р • $іпЬ(А- х) яілЬ( А • Ь)

(30)

где Рп _ к - давление в начале и конце канала;

А =

( Я — Я )

(31)

Выход ретентата

где к - водопроницаемость мембраны, м^м^с-Па.

Среднюю производительность на границе канала можно записать как:

О- = к-Р

Среднее давление по длине канала:

1 ь

Р = Ь' IР (х )•йх

(32)

(33)

Данные выражения подставляем в уравнения (16) и (17), пренебрегая перепадом осмотического давления, ввиду малых концентраций исследованных веществ, и заменяя перепад давления через мембрану средним значением давления в канале. Средний коэффициент удержания определяем по формуле:

К = 1 —

1

1 + (т— 1)

1 — ехр

• ехр

О -8

рзт

' Д,

(34)

где у - равновесный коэффициент распределения; к - толщина активного слоя мембраны, м; Б0 - коэффициент диффузии в растворе, м2/с; 8 - толщина пограничного диффузионного слоя, м.

Для проверки адекватности математической модели были проведены эксперименты по разделению многокомпонентных растворов минерализированной технической воды на лабораторной обратноосмотической установке с мембранным модулем трубчатого типа, представленным на рис. 3. Эксперименты проводились при постоянном давлении (4 МПа) и температуре (293 К), с использованием обратноосмотической мембраны Б8РЛ.

Выход

пермеата

Выход

пермеата

Вход, исходного раствора

0

Рис. 3. Схема мембранного модуля трубчатого типа. 1 - цилиндрический корпус; 2 - мембрана; 3, 4 - фланцы; 5 - трубные решетки; 6 - пористая трубка; 7, 8, 9, 10 - штуцера

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проверка адекватности математической модели заключалась в сравнении расчетных и экспериментальных значений технологических параметров процесса обратноосмотического разделения: 1. концентрации и объема раствора в исходной емкости; 2. коэффициента удержания и производительности по пермеату, для исследованных систем раствор-мембрана, в зависимости от времени ведения процесса.

Основные результаты экспериментов и расчета изображены на рис. 4-7. Из графиков видно, что расхождение между экспериментальными и расчетным данными не превышает ±15 %, что свидетельствует о приемлемости разработанной математической модели реальным массообменным процессам в обратноосмотических аппаратах трубчатого типа. Полученные результаты можно использовать при проектировании и расчете обратноосмотических установок и технологических схем баромембранного разделения.

Сисх, 0.18 кг/м5

0.17

0.16

0.15

0 14

0,13

0.12

0 11

г

г*"'

0 2 4 6

—х—расчетная зависимость

10 12 14 16 18 20 х, ч

■ экспериментальные значения

Рис. 4. Зависимость концентрации раствора в исходной емкости от времени концентрирования V, м3 0 006

0.005

0.004

0.003

0.002

0.001

' 'Л—

0 2 4 6 8

—х— расчетная зависимость

10 12 14 16 18 20 1, ч

■ экспериментальные значения

Рис. 5. Зависимость объема раствора в исходной емкости от времени концентрирования

U 0.9G

0.34

0.92

о.э

e-X—5 f '• e-X—)

X 4

0.86

0.84

О 82

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 I, ч

—х—расчетная зависимость ■ экспериментальные значения

Рис. 6. Зависимость коэффициента удержания от времени концентрирования

с 21

G х 10 ,

20.5

20

13.5

19

18.5

18

4^,

10

14

16

20 1, ч

—><—- расчетная зависимость ■ экспериментальные значения

Рис. 7. Зависимость удельной производительности по пермеату от времени концентрирования

ЛИТЕРАТУРА

Дытнерский Ю.И. Баромембранные процессы. Теория и расчет. М.: Химия, 1986.

Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса / В.И. Полежаев, А.В. Бунэ,

Н.А. Верезуб и др. М.: Наука, 1997.

Химическая гидродинамика. Справочное пособие / Кутепов А.М., Полянин А.Д., Запрянов З.Д. и др. М.: Квантум, 1996.

Чураев Н.В. Физикохимия процессов массопереноса в капилярно-пористых телах. М.: Химия, 1990.

Поступила в редакцию 6 сентября 2008 г.

Golovashin V.L., Lazarev S.I., Mamontov В.В. Mathematical model of mass transfer in reverse osmosis device of tubular type. The mathematical model describing non-stationary mass transfer in a reverse osmosis device of tubular type is offered. Adequacy of the mathematical model is checked using a reverse osmosis membrane ESPA for mineral technical water on laboratory installation with a module of tubular type. Calculation formulas for definition of an average productivity and average pressure in a tubular reverse osmosis device are obtained. The basic laws of non-stationary process of reverse osmosis divisions are revealed.

Key words: mathematical model, device of tubular type.

1.

2

3.

LITERATURE

1. Dytnersky Y.I. Baromembrane processes. Theory and calculation. M.: Khimiya, 1986.

2. Mathematical modelling of convective heat and mass exchange on the basis of Navier-Stokes’ equations / V.I. Polezhaev, A.V. Bune, N.A. Verezub, etc. M.: Nauka, 1997.

3. Chemical hydrodynamics. Handbook / Kutepov A.M., Polyanin A.D., Zapryanov Z.D., etc. M.: Kvantum, 1996.

4. Churaev N.V. Physics and chemistry of processes of mass transfer in capillary-porous bodies. M.: Khimiya, 1990.