CC BY
17
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 66.066:022.63
С. И. Поникаров, И. Н. Поникарова
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАССОПЕРЕНОСА
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-КОНТАКТНОМ ЦЕНТРОБЕЖНОМ ЭКСТРАКТОРЕ
Ключевые слова: математическая модель, массоперенос, степень извлечения, слой Экмана, дисперсная фаза, центробежное
поле.
В работе получена система уравнений для описания массопереноса в безнапорном центробежном экстракторе с коаксиальными цилиндрами, работающими как с постоянной угловой скоростью вращения, так и с изменяющейся во времени угловой скоростью.
Keywords: mathematical model, mass transfer, the degree of extraction, Ekman layer, the dispersed phase, the centrifugal field.
We obtain a system of equations to describe the mass transfer in the unconfined centrifugal extractor with coaxial cylinders, working as a constant angular velocity of rotation, and with time-varying angular velocity.
В работе [1] нами была предложена математическая модель и численная процедура расчета развития течения в пограничном слое при наличии двух несмешивающихся жидкостей. Обработкой численных результатов установлено, что границы раздела фаз в пределах слоя Экмана при разгоне описывается уравнением
'Ь= екр<-п?1ВеГпп + ПО - «теМ (1)
где В = 0,134 + 0,024G;
D= 1,086 -0.847G;
Е = ¿и/и , Щ = E^/W/Vj,.
ь = & = аса.
щ
Граница раздела фаз при торможении является зеркальным отражением границы при разгоне относительно линии r = гг. Используя уравнение границы раздела фаз и найденное экспериментально распределение концентрации в пленке жидкости, в каждый момент времени определялось количество компонента, перешедшего из одной фазы в другую. Результаты расчетов были обработаны в виде зависимости степени извлечения А от числа Фурье Fо.
Обработка проводилась по зависимости, используемой для определения степени извлечения при образовании капли [2]
А = gvFh, (2)
При этом учитывали, что в эксперименте степень извлечения меняется только во время изменения угловой скорости, а при постоянной угловой скорости А = const. Подставляя в (3) экспериментальные значения А и Fо, методом наименьших квадратов получено значение а = 3,81, для времени, соответствующем изменению угловой скорости ротора центробежного экстрактора (участки 1 и 3 рисунке 1). На других участках (2 и 4 рисунке 1) степень извлечения можно считать постоянной.
С целью проверки правильности полученной зависимости проведены расчеты массопереноса в зоне пленочного течения. Математическая модель такого процесса в одном канале будет иметь вид:
Кк - кв = АщЬ* - aj) + qT - ^Чм (3)
ft- ft = - =S> + Ii] + ЧЛ'
Для qT, дл справедливы зависимости
Ъ =
Чл =
(4)
где равновесные концентрации в тяжелой и легкой фазах определяются по равновесной кривой и отношению объемов фаз в проникающей пленке и противоположном слое.
Рис. 1 - График изменения угловой скорости вращения ротора
Для определения степени извлечения Ац при послойном течении вне пограничных слоев Экмана воспользуемся уравнением Хигби. Возможность его применения для случая равномерного вращения показана в [3]. С учетом того, что степень извлечения равна коэффициенту массопередачи, умноженному на площадь поверхности контакта и деленному на производительность, а время контакта равно длине пути, деленной на скорость, получим
, А CiL'
- = (5)
Скорость на границе раздела фаз U может быть определена на участке торможения (участок 3 рисунке 1) по зависимости, полученной в работе [4,5] для случая торможения жидкости в цилиндре
U - air-
'KMEl-fL-Etf
где
(6)
На участке
разгона (участок 1 рисунок 1) жидкости можно положить О = З^Ог-Ь О^/Ш, Так как скорость границы раздела зависит от времени, то следует опре-
делять среднюю степень извлечения за период Т. На рисунке 2 приведено сравнение концентраций в тяжелой фазе, рассчитанных по модели (3) и экспериментальных результатов, отклонения не превышают 17%.
Таким образом, как приведенная модель массо-переноса (4), так и полученная зависимость для степени извлечения в слое Экмана (3) удовлетворительно описывает процесс в пленочной зоне центробежного экстрактора.
Рис. 2 - Сравнение экспериментальных и расчетных концентраций на выходе из аппарата для различных систем
Как следует из описания структуры потоков [6], центробежный экстрактор откликается на импульсное возмущение как система, состоящая из ячеек идеального перемешивания без обратных потоков. Причем каждый канал соответствует одной ячейке. С учетом того, что в каждом канале массоперенос осуществляется в капельной зоне (при движении капель и их коалесценции) и зоне послойного течения (через цилиндрическую границу раздела фаз и в слоях Экмана), математическая модель массопере-носа в центробежных экстракторах примет вид:
Гк - Йй = Ал-иОЪ! -
Здесь 1 - номер ячейки по ходу тяжелой фазы.
Из рисунка 3 следует, что массообмен на капельной стадии практически не зависит от режима вращения центробежного экстрактора. Степень извлечения при движении капель определяется по зависимости [8]
.
Для У(а) и Да) справедливы выражения
(7)
= О, а ( -
ДО =
с». - Г«« >
5 1 \t-fW
РК7
Рис. 3 - К.п.д. по Мерфри различных стадий мас-сообмена в зависимости от числа Россби
Так как зависимость от Ун очень слабая, то скорость можно определить по уравнению для равномерного вращения [7]
Для коэффициента истечения ц справедливо
-В!Р13
Степень извлечения при коалисценции [8,9] определится
= (8) Скорость V удовлетворяет уравнению
Для проверки справедливости предложенной модели были проведены опыты при переменной угловой скорости вращения ротора на трехканальном центробежном экстракторе. Экспериментальные исследования массопереноса проводились на установке и по методике, описанной выше. Трехканаль-ный экстрактор имел следующие размеры контактных зон: сечение 10х10 мм; начальные радиусы контактных ячеек - 0.102, 0,118, 0.132 м. Числа оборотов составляли 715-1020 об/мин; 825-1020 об/мин; 1020-1500 об/мин. Сравнение концентраций на выходе из экстрактора, рассчитанных по модели (6) и полученных в результате опытов, приведено на рисунке 4. Отклонения не превышают 15%, что подтверждает правильность предложенной математической модели.
Рис. 4 - Сравнение концентраций на выходе из экстрактора, полученных экспериментально и при расчете
Обозначения:
а - диаметр капель, м;
Ад - степень извлечения при движении капель;
Ак - степень извлечения при коалесценции капель;
Ац - степень извлечения в зоне цилиндрической границы
раздела;
Ь - ширина канала, м;
D - коэффициент диффузии, м/с;
d0 - диаметр отверстия диспергатора, м;
dн - наибольший диаметр сопла диспергатора, м;
Fц - площадь цилиндрической границы раздела фаз, м2;
- высота канала, м; q - количество массы, попадающее в основной слой при исчезновении зоны проникновения, кг/м3; Q - производительность, м3/с;
(г^,ф) - цилиндрические координаты, z - ось вращения ротора;
гн - радиус истечения фазы, м; Дг - подпор истекающей фазы в сопле, м; гг - радиус границы раздела фаз, м; Rг - гидравлический радиус проникающей пленки, м; t - время с момента переключения электродвигателя, с; Т - период изменения угловой скорости вращения, с; U - скорость жидкости на границе раздела фаз относительно стенок, м/с;
V(a) - скорость капли диаметром а, м/с; Vн - скорость истечения из сопла, м/с; 1' - средняя скорость дисперсной фазы, м/с; W - объем проникающей фазы, м3;
х, у - концентрации целевого компонента в тяжелой и легкой фазах соответственно, кг/м3; 5 - отклонения луча осциллографа, мм; 5с - толщина слоя, через который движется капля, м; Дх - движущая сила процесса массопереноса, кг/м3; Дш - приращение угловой скорости, 1/с;
|i - коэффициент истечения; П - к.п.д. по Мерфри;
V - коэффициент кинематической вязкости, м2/с;
р - плотность, кг/м3;
ст - межфазное натяжение, Н/м;
8 = Лоо/оо - число Россби;
Fa = Dt/Ej — число Фурье.
Индексы:
1,2 - номер стадии массообмена,
н, к - начальная и конечная концентрации, соответственно,
* - равновесная,
т, л - тяжелая и легкая фаза, соответственно, i - номер ячейки по ходу тяжелой фазы.
Литература
1. Гасилов В.С., Гришин Д.Н., Поникаров С.И. Влияние двухслойности жидкости на развитие течения вблизи вращающейся плоскости при разгоне //Изв. РАН, сер. МЖГ. 1997, № 3. С. 67.
2. Варфоломеев Б.Г., Леппе Л.И., Пебалк В.Л. К расчету массопереноса в дисперсной фазе при жидкостной экстракции //Хим. пром. 1995, № 8. С. 431.
3. Александровский С.А., Поникаров И.И., Дулатов Ю.А. Исследования двухслойного течения и массопередачи через поверхность раздела в кольцевом канале центробежного аппарата //Казан. хим.-технол. ин-т. Казань, 1985 г. 17 с. Деп. в НИИТЭХим. № 673 хп-85.
4. Weidman P.D. On the spin-up and spin-down of a rotating fluid //J.Fluid Mech. 1976. V. 77, № 4. Р. 685.
5. Салин А.А., Гришин Н.С., Поникаров С.И. Действие сил Кориолиса на радиальные потоки в центробежных экстракторах. Вестник Казанского технологического университета. Т. 17. №8, 216 (2014)
6. Поникаров С.И., Гасилов В.С. Продольное перемешивание в каналах центробежного экстрактора //Теор. основы хим. технол., 1998. Т. 32, № 1.
7. Поникаров С.И., Кафаров В.В. Истечение из сопел во вращающуюся жидкость другой плотности //Теор. основы хим. технол. 1997. Т. 31, № 5. С. 453.
8. Дулатов Ю.А., Александровский А.А. Массопередача в секционном центробежном экстракторе. //Казан. хим.-технол. ин-т. Казань, 1986 г. 7 с. Деп. в НИИТЭХим. № 49 хп-86.
9. Салин А.А., Гришин Н.С., Поникаров С.И. Особенности движения радиальных потоков в центробежных экстракторах безнапорного типа. потоки в центробежных экстракторах. Вестник Казанского технологического университета. Т. 17. №4, 216 (2014
© С. И. Поникаров - д.т.н., профессор, заведующий кафедрой МАХП КНИТУ; И. Н. Поникарова - к.т.н., доцент кафедры Инженерной компьютерной графики и автоматизированного проектирования КНИТУ, romanova_rg@mail.ru.
© S. I. Ponikarov - Doctor tehnichskih Sciences , Professor, Head of Department of Mechanical MACP KNRTU, I. N. Ponikarova -Candidate of Technical Sciences., associate professor , assistant professor of the Engineering computer graphics and aided design KNRTU, romanova_rg@mail.ru.
