CC BY
31
© В.Л. Лапшин, Н.В. Тельнов, 2009
В.Л. Лапшин, Н.В. Тельнов
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЧАСТИЦ МИНЕРАЛЬНОГО СЫРЬЯ С ВИБРОДЕКОЙ ПРИ УСЛОВИИ НЕРАВНОМЕРНОЙ АМПЛИТУДЫ КОЛЕБАНИЙ ПО ДЛИНЕ ДЕКИ
Рассматривается математическая модель процесса вибрационной сепарации мелкоразмерного минерального сырья на вибродеке с неравномерной амплитудой колебаний по длине деки. Модель учитывает упругие, вязкие и пластические свойства материала. Приводится решение дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кутта.
Ключевые слова: движение частиц минерального сырья, упругая деформация, вибрационная сепарация минерального сырья.
гг азируясь на достигнутых успехах в теории вибрационных лЗ процессов, с целью более точного определения силы нормальной реакции была разработана упруго-вязко-пластичная модель процесса вибрационного движения частиц минерального сырья на этапе контактного взаимодействия с виброорганом сепаратора в нормальном к рабочей поверхности направлении [1]. Данная модель имеет в своем составе дополнительный элемент сдвига Рг, который позволяет отдельно учитывать потери энергии при ударном взаимодействии, связанные с необратимыми процессами, которые могут протекать в ходе ударного взаимодействия частицы с рабочим органом (образование пластических деформаций, смятие и разрушение микронеровностей на площадке контакта).
В начальный момент контакта система модель-поверхность виброоргана испытывает упругую деформацию. При определенных условиях, когда контактное усилие достигает предельного значения , параллельно начинают развиваться необратимые процессы. При разгрузке системы, когда контактное усилие уменьшается от своего максимального значения до нуля, исчезают только упругие деформации. Потенциальная энергия упругой деформации переходит в кинетическую энергию движения частицы на этапе полета.
Рис. 1. Схема взаимодействия упруго-вязко-пластичной модели с вибродекой
Для исследования процесса движения частицы по вибродеке с неравномерной амплитудой колебаний по длине деки были получены соответствующие дифференциальные уравнения движения модели. В нормальном к рабочей поверхности направлении (по оси Y) на этапе контактного взаимодействия они имеют вид (рисунок): •• • •
т1 У1 + СУ (У1 - У 2 ) + КУ1(У1 - У2) = -Р1 у - т1 АУ (х)®2^П Ш ; (1)
т2 У 2 + К7 2 У2 + РУУ2 + С7 (У 2 - У1) + КУ1(У2 - У1) =
(2)
= -Р2у - т2Ау (х)ш sin Ш +
8Т
• • ••
где у1, у 2, у1, у 2, у15 у 2 - ускорение, скорость и перемещение масс т1 и т2 относительно виброоргана в нормальном направлении;
Ау (х)М SІnШ - ускорение виброоргана в нормальном направлении; Р1у, Р2у - проекция силы тяжести масс т1 и т2 на нормаль к виброоргану; Ау (х) - закон изменения амплитуды колебаний по
длине деки по оси У; Ку 1- коэффициент жесткости упругого элемента упруго-вязкого блока модели; Су - коэффициент вязкости вязкого элемента упруго-вязкого блока модели; Е5Т - усилие, соответствующее началу проявления необратимых процессов; Ку2 -коэффициент жесткости упругого элемента упруго-пластического блока модели; Ру - коэффициент сдвига упруго-пластического блока модели или коэффициент податливости материала.
Вся масса частицы моделируется с помощью инерционного элемента т1, масса элемента т2 принимается ничтожно малой (т2 ^ 0). Она введена для удобства математического описания системы с помощью двух дифференциальных уравнений второго порядка. Закон изменения амплитуды колебаний по длине деки
Ау (х) имеет линейный характер и зависит от координаты х рассматриваемой точки деки:
Ау (х) = Ау тт + 8 Ау (ХН + Ах) , 8 Ау = ААу / 1, ААу = Ау шах - Ау min
где хн - координата частицы на вибродеке к началу расчётного этапа ее движения; Ах - перемещение на расчётном этапе; 8Ау - относительное изменение амплитуды колебаний Ау по длине деки;
ААу - абсолютное изменение амплитуды колебаний Ау по длине деки.
Для решения полученной системы уравнений целесообразно использовать численный метод Рунге-Кутта. Отличие от базовой
модели состоит в том, что появляется новая переменная Ау ( х) . Вследствие этого возникает необходимость совместного решения уравнений (1) и (2) с уравнениями, описывающими движение частицы скольжением по оси X. Преобразованные уравнения (1), (2) для решения численным методом Рунге-Кутта имеют вид:
у = А11 (У 1 - у 2 ) + А12(У - у2) + А13 - (Ау шin + 8Ау (хН + Ах ))Ш SІn Ш ';
• • • •
У 2 = А21у2 + А22 У 2 + А23 (у2 - У\) + А24 (У 2 - У\) + А25 + А26 -
-( Ау шin + 8 Ау ( хН + Ах )Ш SІn )
где А11 = -Су / т1; А12 = -Ку 1 / т1; А13 = -Ру 1 / т1;
А21 = - Ку 2 / т2; А22 = -Ру / т2 ; А23 = - Ку 1 / т2 ; А24 =
= -Су / т2; А25 = -Р2у ; А26 = -^?Т / т2
Решение системы уравнений (1), (2) численным методом Рун-ге-Кутта с учетом указанных отличий записывается:
• •
а1 = М (А11(у1 - у 2 ) + А12(у1 - у2) + А13 - .
-(Аушin + 8Ау (хН +Ах)Ш^Ш Ш))
• •
Ь1 = М (А21У2 + А22У2 + А23( У2 - У1) + А24( У 2 - У1) + А25 + А26 -- (АШ1п у + 8Ау (хн + АхШ 2 ^ Ш Ь
• • •
а2 = dt(А11(у1 + а1 /2 - у 2 - Ь1/ 2) + А12(у1 + у1 dt /2 +
+аldt /8 - У2 - у2 dt /2 - Ь^Мг /8) + А13 -
8,1 х +1 Ах + хМ /2 + аМ/8 I |Шsm Ш
Аш1иу + 8Ау ^хн +^Ах + хdt/2 + аМ/8а>(t + dt|2) ); • •
Ь2 = М (А21 (у2 + у 2 М /2 + ЬМ /8) + А22 (у2 + у 2 Мг /2 + ЬМ /8) + ••
+А23 (у2 + у 2 М /2 + Ьх<к / 8-у1 - у1 М /2 - аМ /8) +
+А24( у 2 + Ь1 /2 - у1 - а1 /2) + А25 + А26 -
АШ1Пу + 8Ау ^хн +^Ах + х М /2 + ЬХ<М /8||ю^тю(г + Ж/2) );
а3 = Мг (А11( у1 + а2 /2 - у 2 - Ь2 / 2) + А12( у1 + у1 Мг /2 + аМ /8 -
—У2 — у 2 Мг /2 — Ь1^/г /8) + А13 —
АШ1Пу + 8Ау ^хн +^Ах + хМг/2 + а1Мг/8Ц®2 sinш (г + 2) );
Ь3 = Мг (А21 (у2 + у 2 Мг /2 + ЬМ /8) + А22 (у2 + у 2 Мг /2 + ЬМ /8) +
• •
+А23 (У2 + у2 Мг /2 + Ь1^М/ /8 — У1 — У1 Мг /2 — а^Мг / 8) + ••
+А24(у 2 + Ь2 /2 - у1 - а2 /2) + А25 + А26 -
' г
Ашт у + 8Ау
хн +1 Ах + хМг/2 + Ь1Мг/8 I |М sinю (г + Мг/2) |);
а4 = Мг(А11(у1 + а3 -у2- Ь3) + А12(у1 + у1 Мг + а3Мг/2 -—у 2 — у 2 Мг — Ь3Мг / 2) + А13 —
' ‘ ’ аМ/2 | |Ш smШ
АШ1Пу + 8Ау хн + ^ Ах + х Мг + а3М1 /211 о2 sin ю (г + Мг) |);
• •
Ь4 = М (А21 (у2 + у 2 М + Ь3 М) + А22 (у2 + у 2 Л + Ь3Мг /2) + •• +А23 (У2 + у 2 М + Ь3$г /2 — У1 — У1 Мг — а3$г / 2) +
••
+А24( У 2 + Ь3 - У1 - а3) + А25 + А26 -
Ашту + 8Ау'хн + |^Ах + хМ + Ь3М/2||ю2 бшо(г + М) );
у1 = у1 + у1 М + Мг(а1 + а2 + а3)/6; у1 = у1 + (а1 + 2а2 + 2а3 + а4)/6;
• • • у2 = у2 + у 2 М + М (Ь1 + Ь2 + Ь3)/6; у 2 = у 2 + (Ь1 + 2Ь2 + 2Ь3 + Ь4)/6;
• •
#1 = Су (у 1 — у 2 ) + Ку 1 (у 1 — у 2 ) ; #2 = Ку 2 у 2 + Ру у 2 + FST ;
#1 = #2.
Задаваясь начальными значениями параметров
• • • •
У1 = У1Н , У1 = У1Н , У2 = У2Н , У 2 = У2Н , г = *Н , рассчитывают
••
у1, у 1, у2, у2 в момент времени г=г+Мг, на следующем шаге вычисления повторяются.
Рассмотрим модель движения частицы скольжением по виброоргану (по оси X). По данному направлению может быть принята более простая модель. В связи с малыми размерами и массой частицы ее можно рассматривать как абсолютно твердое тело. Использование механореологической модели в касательном к органу направлении для частиц малых размеров нецелесообразно [1]. Динамика движения в данных условиях упруго-вязко-пластичного тела будет несущественно отличаться от динамики движения абсолютно твердого тела. Таким образом, упрощение модели в данном случае на наш взгляд оправдано и эффективно с точки зрения ее практического применения.
Уравнение движение частицы на этапе скольжения с учетом движения по вибродеке с неравномерной по длине деки амплитудой колебаний имеет вид:
где Ртр (г) = fскN1(t)Sign - сила трения скольжения; fcк - ко-
туды колебаний по длине деки по оси X; Рх - проекция силы тяжести на ось X.
Сила трения является функцией времени Етр (г) = f (г), так
как зависит от силы нормальной реакции, определяемой системой уравнений (1), (2).
Закон изменения амплитуды колебаний по длине деки Ах (х) зависит от координаты х рассматриваемой точки деки и описывается аналогичным образом:
длине деки; АЛх - абсолютное изменение амплитуды колебаний
тх = -т1 Лх (х)ш2 sin Ш - Fтр (Ї) - Рх;
(3)
эффициент трения скольжения; Лх (х)- закон изменения ампли-
Лх по длине деки.
Решение уравнения на этапе скольжения с учетом движения частицы по вибродеке с изменяющейся по длине деки амплитудой колебаний записывается:
••
х = -(АХ шт +8 Ах(хн + Ах))0 2 SІn Ш - Ртр (Ут - Рх1™ ';
В1 = М(-(Ахшт + 8Ах (хн + Ах))0 ®ПШ - Ртр О) / т -Рх/
В2 = Мг(-(АхШ1П + 8Ах (хн + (Ах + хМг /2 + ВМ / 8)))ю2х х(г + Мг /2) - Гтр (г+Мг /2)/ да - Рх / да);
В3 = Мг (-(Ах Ш1П + 8Ах (хн + (Ах + хМг /2 + ВМ / 8)))ю2 S/nю х х(г + Мг /2) - Гтр (г + Мг / 2) / да - Р х / да);
В4 = Мг(-(АхШ1П + 8Ах (хн + (Ах + хМг + В3Мг / 2)))ю2S/nю х х(г + Мг) -Етр(г+Мг)/да -Р х /да);
х = х + хМг + Мг (В1 + В2 + В3)/6; х = х+ (В1 + 2В2 + 2В3 + В4)/6
Задаваясь начальными значениями параметров хн, хн, гн рассчитывают х, х в момент времени г = г + Мг . На следующем шаге ••
хн = х, хн = х, г = г + Мг и вычисление повторяется.
Разработанная математическая модель (уравнения (1)-(3)) позволяет учесть при исследовании процессов вибрационной сепарации минерального сырья влияние упругих, вязких (диссипативных) и пластических свойств материала на динамику ударного взаимодействия частицы материала с рабочей поверхностью деки при движении по виброоргану с неравномерной амплитудой колебаний по длине деки. При этом модель более точно отражает поведение частицы материала в нормальном к виброоргану направлении и позволяет упростить расчет в направлении, параллельном рабочей поверхности виброоргана.
1. Лапшин В.Л. Адаптация упруго-вязко-пластичной модели к процессам вибросепарации мелкоразмерного сырья [Текст] / В. Л. Лапшин, Е. И. Демаков // V международная научно-практическая конференция «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности». - С.-Пб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. - С. 227-234. ЕШ
Lapshin V.L., Telnov N. V.
Irkutsk State Technical University, Irkutsk, Russia
MATHEMATICAL MODEL OF CONTACT INTERACTION OF PARTICLES OF MINERAL RAW MATERIAL WITH VIBRATING DECK ON CONDITION THAT DECK MOVES WITH UNEVEN AMPLITUDE
Here we examine the mathematical model of process of vibrating separation of fine-grained mineral raw material on the vibrating deck provided that deck moves with uneven amplitude. The model takes into account elastic, viscous and plastic properties of material. The solutions of the differential equations with the aid of the Runge-Kutt’s numerical methods have been given.
Key words: motion of mineral particles, elastic deformation, oscillating separation of mineral raw materials.
— Коротко об авторах ------------------------------------------
Лапшин В.Л. - доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой сопротивления материалов Тельнов Н.В. - аспирант
ГОУ ВПО «Иркутский государственный технический университет» 1 apshin@istu. irk.ru
