МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОМПЛЕКСНОЙ СИСТЕМЫ МОНИТОРИНГА ПОЖАРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ ОБЪЕКТОВ ЭНЕРГЕТИКИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 614.842.4 DOI 10.25257/FE.2019.2.9-15

ЗЫКОВ Владимир Иванович Доктор технических наук, профессор Академия ГПС МЧС России, Москва, Россия E-mail: zykov01@mail.ru

ЖУРАВЛЁВ Денис Евгеньевич Академия ГПС МЧС России, Москва, Россия E-mail: tkcdenis@mail.ru

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОМПЛЕКСНОЙ СИСТЕМЫ МОНИТОРИНГА ПОЖАРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ ОБЪЕКТОВ ЭНЕРГЕТИКИ

Статья посвящена вопросам создания математической модели автоматической системы мониторинга пожарной безопасности на объектах энергетики. Для этого рассматривается система мониторинга как система массового обслуживания, где поток событий будет создаваться автоматическими установками пожарной сигнализации на объектах энергетики, а передача данных о событиях на объектах энергетики будет осуществляться непосредственно в Национальный центр управления в кризисных ситуациях (НЦУКС) МЧС России по ведомственным каналам связи.

Ключевые слова: объект энергетики, система массового обслуживания, поток событий, комплексная система мониторинга, пожарная безопасность, математическая модель, пожарная сигнализация, каналы связи.

Комплексная система мониторинга пожарной безопасности объектов энергетики (далее - КСМПБ) представляет собой территориально распределённую вычислительную сеть, узлы которой организуются в каждом структурном подразделении (на каждом отдельно стоящем объекте) МЧС России. Таким образом, КСМПБ представляет собой совокупность каналов связи (собственных и арендуемых), средств связи и сетевого оборудования.

Узлы Московского региона образуют ячеистую топологию с двумя центрами, находящимися

в г. Москве (рис. 1). Для организации связи используются в основном выделенные каналы связи. Ряд узлов КСМПБ Московского региона объединён собственными каналами связи на основе волоконно-оптических линий связи. Каждый региональный сегмент КСМПБ объединяет объекты МЧС России, расположенные в одном регионе (субъекте РФ). Главный узел каждого регионального сегмента КСМПБ расположен в Главном управлении МЧС России (ГУ МЧС России) по субъекту Российской Федерации [1].

Рисунок 1. Топология сети комплексной системы мониторинга пожарной безопасности МЧС России

© Зыков В. И., Журавлёв Д. Е., 2019

9

В

АЛГОРИТМ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОЙ СИСТЕМЫ

случае возникновения нештатной ситуации на объекте энергетики сигнал от датчиков (пожарных извещателей) поступает на автоматические установки пожарной сигнализации (АУПС), установленные непосредственно на контролируемом объекте и подключённые к КСМПБ. Событие представляет собой структурированную информацию о нештатной ситуации. Все сообщения, полученные от автоматических систем пожарной сигнализации и пожаротушения на объектах энергетики, хранятся на управляющем сервере.

События и сообщения, поступающие в КСМПБ, могут иметь собственный или присваиваемый КСМПБ уровень критичности.

Поддерживаемые КСМПБ уровни критичности:

- критичный - пожар на объекте, нештатная ситуация;

- важный - пропадание связи с автоматической системой пожарной сигнализации и пожаротушения на объекте энергетики;

- информационный - проведение технического обслуживания автоматической системы пожарной сигнализации и пожаротушения на объекте энергетики.

На сервер поступает информация от АУПС. Он обрабатывает сообщения о произошедшем событии и заносит их в базу данных согласно заданной структуре [2, 3].

Комплексная система автоматически (без участия технического персонала) обнаруживает широкий перечень АУПС на объектах энергетики, подключённых к системе, и обеспечивает наглядное отображение их состояния на мониторе.

В том случае, когда КСМПБ не в состоянии автоматически определить АУПС на объекте энергетики, можно задать связность или любой другой параметр в ручном режиме. Управление КСМПБ основывается на взаимодействии между управляющим сервером и конкретными АУПС на объектах энергетики.

Для описания математической модели предлагается использовать одноканальную систему массового обслуживания (СМО) с ожиданием, конечным источником приоритетных и неприоритетных заявок, экспоненциальным входным потоком и законом распределения Эрланга 4-го порядка для длительности обслуживания.

В данной модели канал связи применяется для обслуживания классов требований к (к > 1), отличающихся степенью важности. Для отличия классов по степени важности каждому классу требований приписывается приоритетный индекс / (1 < / < к), причем / = 1 обозначает самую высокую степень важности, / = к - самую низкую. Решение о выборе следующей заявки может осуществляться по внесистемной приоритетной дисциплине, т. е. оно зависит от номера приоритета, которому принадлежит требование.

Предлагаемая математическая модель в общем виде описывается следующим образом: на один обслуживающий канал связи из независимых конечных источников поступают заявки к (к > 2) типов. Заявки, поступающие из /-го источника (1 < / < к) объёмом N. , называются заявками /-го класса. Предполагается, что каждая заявка поступает на обслуживание после пребывания в источнике в течение случайного времени (со средним значением), определяемого экспоненциальным законом распределения.

Длительность обслуживания заявок 1-го класса (1 < 1 < к) является независимой, одинаково распределённой случайными величинами с плотностью Информацию об источниках можно записать в виде N N N N

Единый подход к анализу внесистемных приоритетных дисциплин основан на понятии цикла обслуживания заявок, т. е. периода времени от момента поступления на обслуживание и до момента, когда канал связи освобождается для обслуживания заявок этого же класса. Используемый в данном случае метод анализа состоит в исследовании процесса на периоде занятости и в получении с помощью теории восстановления результатов для исходного процесса. Тогда исследование процесса с приоритетами сводится к изучению процесса на цикле обслуживания, который имеет на один класс заявок меньше, чем исходный процесс. Для моделей N1, N2, ..., N., ..., N|¡ в случае, когда к = 2, т. е. с двумя классами приоритетов, заявки первого класса условно назовём приоритетными, а второго класса - неприоритетными. Такой подход не нарушает общности в характере рассматриваемой математической модели и практически устанавливает два класса приоритета для КСМПБ на объектах энергетики.

В результате теоретических исследований могут быть получены формулы для математической модели сети связи. Для случайных величин, характеризующих приоритетные требования на цикле обслуживания, вводится индекс 1, а для неприоритетных требований - 2.

Вероятность того, что сеть связи свободна и заявки любого приоритета на обслуживание не поступают, определяется следующим выражением:

р™=рА\+тп

1

е=0

где ф(е) =

+ МАие > Ф(е-1) А 72{\+тх2)

х71(тхг)(\-72(х1+тхг))]

, (1) при ефО,

при е = 0;

P0 - предельная вероятность состояния СМО; m - текущая последовательность чисел от 1 до е;

- интенсивность поступления заявок (интенсивность входного потока вызовов); e - последовательность целочисленного ряда, принимающего значения 0, 1, 2 и т. д.; в, - средняя величина времени обслуживания приоритетных требований на периоде занятости; P1 - вероятность того, что сеть связи в момент времени t свободна при условии, что она обслуживает приоритетные заявки:

1

' 1 Л Ф(е\

(2)

где Тп1 - время обслуживания приоритетной заявки.

С помощью формул (1) и (2) было определено среднее число приоритетных и неприоритетных требований (для дисциплины обслуживания с абсолютным приоритетом и с дообслуживанием), находящихся в сети в текущий момент времени соответственно:

£(М1) = Л^1-[(1/Х1Гп1)(1-/?)) £(М2) = ЛТ2-[(1/ 2Гп2)(/>-Р0<2')]

где E(М1) и Е(М2) - среднее число сообщений, поступивших за время Тп1.

Интервал разгрузки от приоритетных заявок определяется выражением

АМ ад,+ 8

к

271,

где 8 =

КГ)

е=0

' 1 Л Ф(е).

; E(C2) - средняя продолжи-

=М(2))

+

-i\е{с2)р^

1+

к

Предлагаемая математическая модель даёт возможность исследовать процесс обмена информацией между сервером КСМПБ и АУПС на объектах энергетики. Время обмена информацией в сети связи напрямую зависит от момента срабатывания датчиков на защищаемом объекте энергетики, времени передачи информации от датчика на пульт оператора, а затем и в Национальный центр управления в кризисных ситуациях МЧС России. Для оценки работы сети передачи сообщений в сети связи вводится понятие эффективности функционирования сети.

Для передачи сообщения в сети связи затрачивается определённое время (чистое время) передачи сообщений Тп и некоторое непроизводительное время Тн из-за недостаточно эффективной работы сети связи (канала связи) и время отклика датчиков и серверного оборудования. Вследствие постоянно меняющегося характера работы канала связи непроизводительные затраты времени являются случайной величиной. Следовательно, сеть передачи информации функционирует более эффективно в том случае, когда при одном и том же времени передачи информации отношение Тп /(Тп + Тн) будет больше. Таким образом, эффективность функционирования сети связи представляет собой математическое ожидание случайной величины отношения времени передачи сообщений к общему времени доставки информации в различные моменты времени. Эффективность функционирования является показателем качества использования сети связи для выполнения заданных функций в сети и определяется по формуле

ут.+т.

V ш ш у

(3)

тельность цикла обслуживания неприоритетного требования; С2 - плотность вероятности цикла обслуживания неприоритетного требования.

Интервал разгрузки сети от неприоритетных заявок соответствующего конечного источника N2 определяется следующей формулой:

где Р0(2) - определяется выражением (1).

На основе классификации заявок, поступающих в КСМПБ по приоритетам, была построена математическая модель сети, которая позволяет проводить исследование функционирования сети связи в целях определения среднего числа приоритетных и неприоритетных требований в зависимости от поступающей нагрузки.

где п - число возможных состояний сети связи; р 1 - предельные вероятности состояния сети; Тп. - эффективное время передачи сообщения при у-й заявке; Тну - непроизводительные затраты времени передачи сообщения при у-й заявке.

Формула (3) может быть использована в качестве основной характеристики эффективности функционирования сети связи лишь в случаях, когда время передачи информации не нормируется. Вероятность того, что необходимое сообщение будет передано в НЦУКС в течение заданного времени, может быть названа оперативностью связи п и определена как

п = р(т + т < Тп),

^ 4 ш ш — Пп

где тп - заданная величина времени для передачи сообщений в системе связи (критерий оперативности).

В сети передачи информации в качестве непроизводительных затрат следует принимать время, затраченное на срабатывание датчиков на объекте, время передачи информации от датчика на пульт оператора на объекте, а затем и в НЦУКС МЧС России

и т. п. В этом случае эффективность функционирования будет определяться как

Т +Т ■

V га ОЖ1 У

где Т - время ожидания при /-й заявке (непроизводительные затраты времени); Р. - предельная вероятность 1-го состояния сети связи.

Если принять качество и надёжность передачи информации идеальными, то в соответствии с моделью процесса передачи информации эффективность функционирования может быть вычислена с помощью выражения

£ = Р0 + Р1 +

Т +t

V п 1 ож У

¡=2

где Р0 - предельная вероятность состояния сети, когда канал обслуживания свободен; Р1 - предельная вероятность состояния системы, когда канал обслуживания занят, но очереди нет (процесс обслуживания одной заявки); Тп - среднее значение (математическое ожидание) случайной величины времени передачи сообщения; toж - среднее значение (математическое ожидание) случайной величины времени ожидания.

Используя нормировочное условие

получаем

= Р0 + Р1 +

(4)

В этом случае оперативность связи определяется выражением

0 = Ро + Рг (5)

Подставив в формулы (4) и (5) значения Р0, Р1 и toж, получим формулы для вычисления показателей эффективности функционирования и оперативности связи для сети передачи информации.

Для сети передачи информации с распределением времени обслуживания в соответствии с законом Эрланга 3-го порядка величины Р0, Р1, toж, согласно формулам (6) и (7), определяются следующим образом:

Ро =

(зц)3

Рг

N п[(М^У-!) + Зц)3-(Зц)3] (б) (ЗЦ)3 ; (6)

N

ц 1-

N-1

хП

т=1

. е=1

X ц,

(7)

Для сети передачи информации с экспоненциальным законом распределения времени обслуживания (в соответствии с законом Эрланга 1-го порядка) значения Р0, Р1 и t0K определяются соответственно из следующих выражений:

Ф(<?) =

1/рее! при е ф 0, 1 при е = 0;

Ро=7

l+Np + NpJd(r)pee\

_е=0___1

ЛТ-1 ...

хХС-у*! V

е=0

Для расчёта эффективности функционирования, оперативности связи и среднего времени ожидания в сети передачи информации был разработан алгоритм расчёта.

Эффективность функционирования сети передачи информации, оперативность связи и среднее время ожидания зависят от трёх основных параметров системы связи: интенсивности входного потока X, среднего времени передачи сообщений Тп и числа источников заявок (объектов) N.

Алгоритм расчёта заключается в том, что определение всех возможных значений величин Е, 0, t01K ведётся в три этапа. На первом этапе определяется зависимость Е, 0, toж от N для разных значений X и Тп. Затем вычисляется зависимость Е, 0, taк от X для конкретного значения N и различных значений Тп. На третьем этапе определяется зависимость величин Е, 0, t01K от Тп для конкретного значения N и различных значений X [4-11].

Разработанный алгоритм расчёта был реализован на персональном компьютере. Результаты расчёта представлены в виде графических зависимостей. Вид окна ввода параметров оперативности и эффективности функционирования сети связи представлен на рисунке 2, а результаты расчёта их оптимальных значений в зависимости от числа объектов в сети передачи информации - на рисунке 3.

Рисунок 2. Вид окна ввода параметров оперативности связи и эффективности функционирования сети связи

E, Q 1

1-1-1-1-1-1-1-1-1-г

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 N

Рисунок 3. Зависимость оперативности связи Q и эффективности функционирования Е сети связи от количества объектов N

На рисунке 5 показаны зависимости времени ожидания от числа объектов в системе связи при различных значениях времени передачи сообщения тп.

На рисунке 6 приведены графические зависимости оперативности связи от числа объектов при различных величинах приведённой нагрузки р = ХТп.

На рисунке 7 представлена зависимость эффективности функционирования сети связи от числа объектов при X = 1,0 сообщ./мин и различных значениях Гп. Как видно из этих графиков, эффективность функционирования сети связи с ростом числа объектов монотонно уменьшается, так как резко возрастают затраты времени на ожидание освобождения канала связи.

В отличие от эффективности функционирования параметр оперативности связи в меньшей степени зависит от числа объектов в сети связи и в большей степени определяется величиной нагрузки в сети.

t

ож 10 8 6 4 2 0

т-1-1-1-1-1-1-1-г

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 N

\ C:\WindOTrt\iyittm32\CMDtrt

icrosoft Uindous [Uersion 6.1.7601] (с) Корпорация Майкрософт (Microsoft Corp.), 200?. Все права зацицены.

C:\U=er5\14066)pinS 10.128.143.25S

«»ем пакетами с 10.128.143.25S по с 32 сайтами данных: тост от 10.128.143,255: число сант-32 орсмя-Шмс TIL-248 тоет or 10.128.143.255: число байг-32 оремя=132мс TIL«248 Ответ от 10.128.143.255: число еайт»32 ореня-132нс TIL"248 Ответ от 10.128.143.255: число байт=32 араня-132ис 111=248

Статистика Ping для 10.128.143.255:

Пакетов: отправлено ■ 4, получено я 4, потеряно ■ О (Оу. потерь)

Приблизительное время лриенд-передачи в мс:

Минимальное " 132мсек, Максимальное ■ 132 мсек, Среднее ■ 132 мсек

Рисунок 4. Время передачи сообщения в ГУ МЧС России по Камчатскому краю

При проведении расчётов учитывалось, что непроизводительные затраты времени складываются из времени отклика датчиков на объекте мониторинга и времени прохождения сигнала через серверное оборудование и каналы связи и составляют 132 мсек (0,0022 мин) для самого удалённого объекта мониторинга, который находится в ГУ МЧС России по Камчатскому краю (рис. 4).

Рисунок 5. Зависимость среднего времени ожидания от числа объектов N сети связи для различных значений

среднего времени передачи сообщения Тп при интенсивности входного потока X = 0,5 сообщ./мин: --Т = 3;--Т = 2,5;--Т = 2;

п ' п ' ' п '

Т = 1,5; - Т = 1;--Т = 0,8;

п 11 п п

--Т = 0,6;--Т = 0,5;--Т = 0,4

Q 1 -

0,80,60,40,20 -

—I-1-1-1-1-1-1-1-1-1-

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 N

Рисунок 6. Зависимость оперативности Q связи от числа объектов N при различных значениях средней продолжительности передачи сообщения Тп для интенсивности входного потока X = 0,5 сообщ./мин: --Т = 0,3;--Т = 0,4;--Т = 0,5;

п ' ' п ' ' п ' '

- Т = 0,6; - Т = 0,8;--Т = 1;

- Т = 2,5;

Т = 3

Т = 1,5

п '

Т = 2

п

100 200 300 400 500 600 700 800 9001000 N

Рисунок 7. Зависимость эффективности функционирования сети связи Е от числа объектов N при различных значениях средней продолжительности передачи сообщения Тп для интенсивности входного потока % =1,0 сообщ./мин:

--Тп = 0,3;--Тп = 0,4;--Тп = 0,5;

- Т = 0,6; - Т = 0,8;--Т = 1;

- Т = 1,5;

■ - Т = 2,5;

Пользуясь полученными кривыми, можно установить число объектов, которое должно обслуживаться КСМПБ при определённых условиях, например, при определённых величинах эффективности

функционирования и оперативности связи. Кроме того, можно определить допустимое время ожидания при различном числе защищаемых объектов и разном времени передачи и обработки сообщений, а также решать другие вопросы, связанные с оптимизацией построения сети связи и передачи информации МЧС России.

Рассчитав параметры системы, можно опытным путём достигнуть таких результатов, при которых КСМПБ будет функционировать с максимальной эффективностью при оптимальных экономических затратах [12].

Таким образом, построенная математическая модель комплексной системы мониторинга пожарной безопасности объектов энергетики позволяет прогнозировать её функционирование, рассчитывать основные параметры сети связи: эффективность её функционирования и оперативность связи в зависимости от нагрузки в системе и от числа защищаемых объектов.

Гибкость комплексной системы мониторинга даёт дополнительные возможности для дальнейшего наращивания и развития системы в целом в соответствии с возникающими потребностями МЧС России.

Т = 2

п

Т = 3

п

ЛИТЕРАТУРА

1. Зыков В. И., Левчук М. С., Иванников А. П. Система радиоканального мониторинга комплексной безопасности объектов в составе ЦУКС // Пожарная безопасность в строительстве. 2011. № 3. С. 24-30.

2. Craig Hunt. TCP/IP Network Administration. O'Reilly & Associates, Inc. 1994.

3. Жожикашвили В. А, Вишневский В. М. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ. М.: Радио и связь, 1988. 192 с.

4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Издательский центр «Академия», 2005. 573 с.

5. Фомин Г. П. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности. Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2000, 142 с.

6. Зыков В. И., КомандировА. В., МосягинА. Б., Тетерин И. М, Чекмарев Ю. В. Автоматизированные системы управления и связь. Учебник. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Академия ГПС МЧС России, 2006. 665 с.

7. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие. 11-е изд., перераб. М.: Высшее образование, 2007. 404 с.

8. Дудин А. Н. Простейшая система массового обслуживания, функционирующая в случайной среде // Межвузовский сборник «Вероятностное моделирование систем и сетей обслуживания». Петрозаводск: Петрозаводский Государственный университет, 1988. С. 14-20.

9. Abate Joseph, Whitt Ward. Simple spectral representations for the M/M/l Queue. Queueing Syst. 1988. vol. 3, No. 4. P. 321-346.

10. Afanas'ev L. G., Kibkalo A. A. Uniform bounds for the periodic queue in the M{t)/G/1/ system // Soviet Math. 1988. V. 40, № 4. P. 454-457.

11. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966. 432 с.

12. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем. Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2006. 432 с.

Материал поступил в редакцию 11 марта 2019 года.

Vladimir ZYKOV

Grand Doctor in Engineering, Professor

State Fire Academy of EMERCOM of Russia, Moscow, Russia

E-mail: zykov01@mail.ru

Denis ZHURAVLEV

State Fire Academy of EMERCOM of Russia, Moscow, Russia E-mail: tkcdenis@mail.ru

MATHEMATICAL MODEL OF COMPREHENSIVE FIRE SAFETY MONITORING SYSTEM AT POWER ENGINEERING FACILITIES

ABSTRACT

Purpose. The relevance of the article is accounted for the need to create a comprehensive fire safety monitoring system at power engineering facilities. Working out a mathematical model for comprehensive assessing general properties of mathematical model functioning is considered in the article.

Methods. We have developed an algorithm for calculating the efficiency of data transfer network functioning, communication operativeness and average response time depending on communication system main parameters: input density, average message transfer time and a number of application sources (power engineering facilities).

Findings. The developed mathematical model of the comprehensive fire safety monitoring system at power engineering facilities allows predicting its operation, calculating main parameters of communication network: its efficiency and communication operativeness

depending on the system load and on the number of protected facilities.

Research application field. The study results should be included in research and development works of research institutions of EMERCOM of Russia and other ministries and government agencies.

Conclusions. Working out comprehensive fire safety monitoring system at power engineering facilities allows ensuring stable and effective functioning of network infrastructure of the monitoring system on the whole, as well as its further development and reasonable use of available resources.

Key words: power engineering facility, queuing system, events flow, comprehensive monitoring system, fire safety, mathematical model, fire alarm, communication channels.

REFERENCES

1. Zykov V.I., Levchuk M.S., Ivannikov A.P. Radio channel monitoring system integrated security objects in the Crisis Management Center. Pozharnaya bezopasnost v stroitelstve, 2011, no. 3, pp. 24-30. (in Russ.).

2. Craig Hunt. TCP/IP Network Administration. O'Reilly & Associates, Inc. 1994.

3. Zhozhikashvili V.A., Vishnevskiy V.M. Seti massovogo obsluzhivaniya. Teoriya i primenenie k setyam EVM [Queueing networks. Theory and its network application]. Moscow, Radio i svyaz Publ., 1988. 192p.

4. Venttsel E.S. Teoriya veroyatnostey [Theory of probability]. Moscow, Akademiya Publ., 2005. 573 p.

5. Fomin G.P. Sistemy i modeli massovogo obsluzhivaniya v kommercheskoy deyatelnosti [Systems and models of mass service in commercial activity].Moscow, Finansy i statistika Publ., 2000. 142 p.

6. Zykov V.I., Komandirov A.V., Mosyagin A.B., Teterin I.M., Chekmarev Yu.V. Avtomatizirovannye sistemy upravleniya i svyaz. 3-e izd, perepab. [Automated control systems and communications. 2nd ed. and rev.]. Moscow, State Fire Academy of EMERCOM of Russia Publ., 2006. 665 p.

7. Gmurman V.E. Rukovodstvo k resheniyu zadach po teorii veroyatnostey i matematicheskoy statistike [Guide to solving problems on probability theory and mathematical statistics]. Moscow, Vysshee obrazovanie Publ., 2007. 404 p.

8. Dudin A.N. About queuing system operating in the random environment Veroyatnostnoe modelirovanie sistem i setei obsluzh, 1988, pp. 14-20. (in Russ.).

9. Abate Joseph, Whitt Ward. Simple spectral representations for the M/M/l Queue. Queueing Syst, 1988, vol. 3, no. 4. pp. 321-346.

10. Afanasev L.G., Kibkalo A.A. Uniform bounds for the periodic queue in the M(t)/G/1/system // Soviet Math, 1988, vol. 40, no. 4, pp. 454-457.

11. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Vvedenievteoriyumassovogo obsluzhivaniya [Introduction to queueing theory]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 336 p.

12. Berezhnaya E.V., Berezhnoy V.I. Matematicheskie metody modelirovaniya ekonomicheskikh system [Mathematical methods of modeling of economic systems]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 2006. 432 p.

© Zykov V., Zhuravlev D., 2019

15