CC BY
126
Бизнес в законе
4’2014
18. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
18.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТИВНОГО РИСКА СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ
Рамазанова Джамиля Исланбеговна, старший преподаватель
Место работы: ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный технический университет»
djami_ramazanova@mail.ru
Аннотация: Аннотация: Краткое описание: Работа посвящена использованию математической модели, позволяющая определить степень риска банкротства страховой компании.
Целью работы является вычисление страховых выплат и определение степени риска банкротства страховой компании, по итогам ее деятельности в течение определенного интервала времени. [Фельмер, 2008, с.24]
Источники и методология: использовались методы численного анализа, функционального анализа, теории вероятностей и математической статистики.
Результаты: Получены оценки объема страховых выплат и степени риска банкротства страховой компании на основе итоговых сумм страховых премий и выплат страховой компании
Заключение: Использованные источники, методология и полученные результаты позволяют делать вывод о том, что при вычислении вероятности разорения страховой компании на основе модели коллективного риска, достаточно рассмотреть итоговые суммы убытков страховых премий.
Ключевые слова: математическая модель коллективного риска, страховая компания, теория вероятности, банкротство, страховые премии
MATHEMATICAL MODEL OF COLLECTIVE RISK INSURANCE COMPANY
Ramazanova Djamilya Islanbegovna, senior teacher Work place: FGBOU VPO "The Dagestan State Technical University"
djami_ramazanova@mail.ru
Annotation: Short description: The work is devoted the use of mathematical models, which allows to determine the risk of bankruptcy of the insurance company.
The purpose of work is the calculation of insurance payments and the risk of bankruptcy of the insurance company, on results of its activity during a certain time interval.
Sources and methodology: methods have been used in numerical analysis, functional analysis, probability theory and mathematical statistics.
Results: The estimates of the volume of insurance payments and the risk of bankruptcy of an insurance company based on the total amounts of insurance premiums and payments of the insurance company have been obtained.
Conclusion: The used sources, methodology and the results obtained allow conclude that in the calculation of the probability of ruin of an insurance company based on the model of collective risk, it is enough to consider total amounts of losses of insurance premiums
Keywords: mathematical model of collective risk, insurance company, probability theory, bankruptcy, insurance premiums.
Страховая компания наряду с другими финансовыми институтами составляет органичный элемент финансовой системы общественного хозяйства. В управлении деятельностью страховой компании ведущую роль играют математические модели, позволяющие описать разные виды деятельности страховой компании.
Страхование, выступает как отрасль экономики, ее возникновение определяют тем, что множество областей человеческой деятельности связано с риском финансовых случайных потерь. [Королев, 2007, с. 87]
Основа деятельности страховой компании базируется на индивидуальном иске, равная конечной сумме выплаченных средств. Иск определяют как случайную величину, принимающую нулевое значение, если по данному страховому договору не наступил страховой случай, и страховщик не выплатил страховых выплат клиентам. Иск не равен нулю, если страховая компания выплатила клиенту по этому иску некоторые суммы. Тогда величина иска равна сумме этих страховых выплат. Условное значение величины иска при его ненулевом значении называют убытком.
Определение вероятности разорения и его времени наступления является важной задачей в классической теории риска.
Одной из классических моделей теории риска является модель коллективного риска (динамическая модель), рассматривающая возможность заключения страховых договоров в определенный промежуток времени, которая образует некоторый случайный процесс. Каждый договор имеет свою длительность действия, и в течение срока действия договора могут наступить страховые случаи, при которых страховая компания должна делать выплаты по искам. [Глисип, 2009, с. 45]
Поступление взносов в компанию неслучайно и подчинено линейному закону, а случайным является процесс страховых выплат:
R(t) = U + Ct - S(t), t > 0, (1)
N (t)
S (t) = 2 Xj,
где
и - первоначальный капитал страховой компании; c > 0- средняя величина поступающих премий;
S(t) - величина суммарных страховых выплат до момента t;
N(t) - процесс восстановления, описывает динамику по-
ступивших исков.
{X } - последовательность независимых, одинаково рас-
пределенных случайных величин, определяющих размер выплат.
Для определения вероятности банкротства страховой компании проведем анализ по оценке общего ущерба путём свёртки в формате модели коллективного риска:
Процесс выполняется в малых по размеру и неоднородных по составу портфелях, распределение ущерба которых не согласуется с нормальным законом.
Предположим, что надо определить риск-премию и надбавку за риск для портфеля из четырёх договоров, по которым с вероятностью 0,1 возможна компенсация ущерба или частичного в 100 тыс. руб., или полного в 200 тыс. рублей. Для оценки устойчивости этого портфеля необходимо оценить распределение суммарного
160
Рамазанова Д. И.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТИВНОГО РИСКА СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ
ущерба по всем договорам, учитывая, что вероятность отсутствия какой-либо компенсации q = 1 - 0,1 - 0,1 = 0,8. [Дробозина, 2007, с.78]
При этом риск-премия по одному договору определяется как: РП = 100 0,1 + 200 0,1 + 0 0,8 = 30 тыс. руб., а для четырёх договоров она равна 30 4 = 120 тыс. рублей. Но её хватает для возмещения только частичного ущерба по одному договору. Поэтому для нахождения относительной риск - надбавки применяется свёртка независимых одинаково распределённых случайных величин (договоров) с определеным переходом от одной к двум, от двух к трём и т.д.
Для двух договоров с их вероятностями 0,8; 0,1 и 0,1 в каждом возможны девять перекрёстных произведений вероятностей, сведённых в матрицу:
0,64 0,08 0,08 0,08 0,01 0,01 0,08 0,01 0,01
Эта матрица преобразуется в вероятности ущерба для новой случайной величины - объединения двух договоров - путём сложения вероятностей по диагоналям снизу вверх. Получаться следующие числа:
0,64; 0,08+0,08=0,16; 0,08+0,01+0,08=0,17;
0,01+0,01=0,02; 0,01.
Теперь добавиться третий договор с его вероятностями 0,8; 0,1; 0,1 и образуется матрица их перекрёстных произведений с вероятностями суммы двух предыдущих договоров:
0,512 0,128 0,136 0,015 0,008 0,064 0,016 0,017 0,002 0,001 0,064 0,016 0,017 0,002 0,001 Складывая их по диагоналям снизу вверх, получим вероятности ущерба для новой случайной величины -объединения трёх договоров. Значит: 0,512 0,192 0,216 0,049 0,027 0,003 0,001.
Также строится матрица для присоединения четвёртого договора с его вероятностями 0,8; 0,1 и 0,1. Так, выполнив перекрёстное перемножение этих вероятностей с общими для трёх договоров, получим:
0,4096 0,1536 0,1728 0,0392 0,0:116 0,0024 0,0008 0,0512 0,0192 0,0216 0,0049 0.0С27 0,0003 0,0001 0,0512 0,0192 0,0216 0,0049 0,0С27 0,0003 0,0001 Эта матрица преобразуется в распределение вероятностей ущерба для новой случайной величины -объединения четырёх договоров - путём сложения вероятностей по диагоналям снизу вверх. То есть: 0,4096; 0,2048; 0,2432; 0,080; 0,0481; 0,010; 0,0038; 0,0004; 0,0001.
В порядке контроля отметим, что сумма матричных, а также сложенных по диагоналям вероятностей должна быть равна 1.
Наконец, выполняя кумуляцию этих величин нарастающим итогом, получаем общие вероятности ущерба в целом по четырём договорам:
0,4096 0,6144 0,8576 0,9376 0,9857 0,9957 0,9995 0,9999 1.
Эти значения соответствуют вероятностям неразорения при количестве собранных риск-премий по каждому из четырёх договоров. Так, если их не будет ни в одном договоре, то вероятность неразорения 0,4096, это значит портфель быстро обанкротится. При одной собранной риск-премии по 30 тыс. рублей в каждом договоре (всего 120 тыс. руб.) вероятность неразорения 0,6144 (меньше 62%), что тоже недопустимо мало. Значат, в страховой взнос нужно включать надбавку за риск.
В случае если она составит одну риск-премию на все четыре договора, то есть по 30/4 = 7,5 тыс. рублей на один договор, то вероятность неразорения увеличиться до 0,8576 (более 85%), что близко к норме. А если надбавка за риск будет равна риск-премии в каждом договоре, то вероятность неразорения будет равна 0,9957, что прекрасно для портфеля. Но столько платить вряд ли согласятся клиенты, поэтому компромиссным решением будет надбавка за риск в каждом договоре в размере половины риск-премии, что обеспечит вполне приемлемую вероятность неразорения 0,9376 (около 94%).
Таким образом, в данной работе была вычислена вероятность разорения страховой компании на основе модели коллективного риска.
В итоге были получены оценки объема страховых выплат и степени риска банкротства страховой компании на основе конечных сумм страховых премий и выплат.
Список литературы:
1. Королев В. Ю., Бенинг В. Е., Шоргин С. Я. Математические основы теории риска. М. Физматлит, 2007г.
2. Jensen, M. C., &Meckling, W. H. 1976. Theory of the firm: Managerial behavior, agency costs, and ownership structure. Journal of Financial Economics, 3: 305-360.
3. Фельмер Г., Шид А., Введение в стохастические финансы. Дискретное время.- Издательство МЦНМО, 2008 г.
4. Глисип Ф.Ф., Китрар Л.А. Деловая активность на рынке страховых услуг. — Вопросы статистики. — 2009 г. — № 4.
5. Дробозина Л.А. Финансы. — М: Юнити, 2007г.
РЕЦЕНЗИЯ
на статью Рамазановой Джамили Исланбеговны «Математическая модель коллективного риска страховой компании» Статья «Математическая модель коллективного риска страховой компании» освещает проблему банкротства страховой компании, которая актуальна на сегодняшний день, поскольку с помощью математической модели коллективного риска можно определить степень риска банкротства страховой компании.
При написании статьи использовались методы численного анализа, функционального анализа, теории вероятностей и математической статистики.
Рамазанова Д.И. в своей работе осуществила подробный анализ материала выплат по искам страховой компании. Использованные источники, методология и полученные результаты позволяют делать вывод о том, что при вычислении вероятности разорения страховой компании на основе модели коллективного риска, достаточно рассмотреть итоговые суммы убытков страховых премий.
Источники, цитируемые в рецензируемой статье, отражают современную точку зрения на исследуемую проблему банкротства страховой компании.
Все разделы статьи логически взаимосвязаны, а положения статьи подтверждены цитатами из авторитетных источников и ссылками на научные исследования.
Рекомендую статью к публикации. Полагаю, что рецензируемая статья заслуживает публикации в научном издании, включенном в Перечень ВАК.
Научный руководитель, д.т.н., профессор
А.М. Абдулгалимов
161
