CC BY
1
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 2. С. 231-244
Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2024, vol. 24, iss. 2, pp. 231-244 https://mmi.sgu.ru https://doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-2-231-244, EDN: VLEBOS
Научная статья УДК 539.3
Математическая модель колебаний ортотропных сетчатых микрополярных цилиндрических оболочек в условиях температурных воздействий
Е. Ю. Крылова
Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, д. 83
Крылова Екатерина Юрьевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического и компьютерного моделирования, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-7593-0320, AuthorlD: 722982
Аннотация. В работе построена математическая модель колебаний микрополярных цилиндрических оболочек сетчатой структуры под действием вибрационных и температурных воздействий. Материал оболочки упругий, ортотропный, однородный, моделируемый псевдоконтинуумом Коссера, со стесненным вращением частиц. Принят закон Дюгамеля - Неймана. Сетчатая структура учтена по модели Г. И. Пшеничнова, геометрическая нелинейность — по теории Теодора фон Кармана. Уравнения движения, граничные и начальные условия получены из вариационного принципа Остроградского -Гамильтона на основе кинематической модели С. П. Тимошенко. Построенная математическая модель будет полезной, в том числе при исследовании поведения углеродных нанотрубок в различных условиях эксплуатации.
Ключевые слова: цилиндрические оболочки сетчатой структуры, математическое моделирование, термодинамика, углеродная нанотрубка
Благодарности: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 22-21-00331).
Для цитирования: Крылова Е. Ю. Математическая модель колебаний ортотропных сетчатых микрополярных цилиндрических оболочек в условиях температурных воздействий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 2. С. 231244. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-2-231-244, EDN: VLEBOS
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0) Article
Mathematical model of orthotropic meshed micropolar cylindrical shells oscillations under temperature effects
E. Yu. Krylova
Saratov State University, 83 Astrakhanskaya St., Saratov 410012, Russia
Ekaterina Yu. Krylova, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-7593-0320, AuthorlD: 722982
Abstract. In the work the mathematical model of micropolar meshed cylindrical shells oscillations under the action of the vibrational and temperature effects is constructed. The shell material is an elastic orthotropic homogeneous Cosserat pseudocontinuum with constrained rotation of particles. The Duhamel - Neumann's law was adopted. The mesh structure is taken into account according to the model of G. I. Pshenichnov, geometric nonlinearity according to Theodor von Karman theory. The equations of motion, boundary
and initial conditions are obtained from the Ostrogradsky- Hamilton variational principle based on the Tymoshenko kinematic model. The constructed a mathematical model will be useful, among other things, in the study of the behavior of carbon nanotubes under various operating conditions. Keywords: mesh structure cylindrical shells, mathematical modeling, thermodynamics, carbon nanotube Acknowledgements: This work was supported by the Russian Science Foundation (project No. 22-21-00331). For citation: Krylova E. Yu. Mathematical model of orthotropic meshed micropolar cylindrical shells oscillations under temperature effects. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2024, vol. 24, iss. 2, pp. 231-244 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-2-231-244, EDN: VLEBOS
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)
Введение
Научно-технический прогресс и развитие современных технологий неумолимо приводят к тому, что нано- и микроэлектромеханические системы (НЭМС и МЭМС) на углеродных нанотрубках (УНТ) начинают напрямую конкурировать и даже превосходить НЭМС и МЭМС, в которых используются традиционные материалы. Для использования УНТ в качестве конструкционных элементов НЭМС и МЭМС будушего необходимо хорошо разбираться в особенностях их поведения в зависимости от разного рода факторов (вибрационных, шумовых, тепловых, электростатических воздействий, влажности, диссипации внешней среды), что обусловливает необходимость создания максимально точных математических моделей и методов их расчета.
Анализ поведения УНТ лежит в плоскости научных интересов многих авторов и научных групп как в России, так и за рубежом. Для анализа поведения УНТ как механических объектов применялись балочные модели Эйлера - Бернулли [1], Тимошенко [2], Пелеха-Шереметьева [3], где учет размерно-зависимого поведения был связан с градиентной теорией упругости. Моментная теория упругости применялась к анализу УНТ в работе [4]. В [5] изучение динамики углеродных нанотрубок велось на основе градиентной теории упругости с учетом деформации сдвига. Модели поведения ортотропных микрополярных оболочек построены в работах [6,7]. Большинство авторов для анализа статики и динамики УНТ используют линейные модели [8-11], в то время как экспериментальные данные указывают на необходимость учета нелинейности при моделировании поведения рассматриваемых объектов [12]. В работе [13] предложена континуальная модель сетчатой оболочки, образованной двумя семействами гибких нелинейно-упругих волокон, сохраняющих свою ортогональность в процессе деформирования. Анализ поведения размерно-зависимых геометрически нелинейных сетчатых оболочек модели Кирхгофа - Лява с различной геометрией сетки приводится в работе [14]. УНТ как элементы электроники, в частности полевых транзисторов, зачастую работают в широком диапазоне температур под действием вибрационных нагрузок. Модель балки Эйлера - Бернулли в сочетании с нелокальной теорией упругости Эрингена используется для анализа влияния температурных градиентов на поведение УНТ в работах [15,16].
Теория колебаний УНТ как геометрически нелинейных ортотропных сетчатых цилиндрических оболочек с учетом сдвиговых деформаций, размерно-зависимого поведения, температурных и вибрационных нагрузок в известной автору литературе не встречалась. Математическая модель деформирования цилиндрической оболочки сетчатой структуры с учетом вышеописанных факторов построена в настоящей статье.
1. Обоснование методов и подходов
Следует отметить, что предложенная теория будет полезна при исследовании поведения любых конструкционных элементов в виде сетчатых цилиндрических оболочек в условиях температурных и вибрационных воздействий от макро- до наноразмера, в частности, таких как углеродная нанотрубка.
Углеродная нанотрубка является наноразмерным объектом, поэтому при исследовании ее поведения следует опираться на теории, учитывающие эффекты масштаба. В рамках данной работы используется моментная (микрополярная) теория со стесненным вращением частиц.
УНТ состоит из одной или нескольких свернутых в трубку графеновых плоскостей. Графен — кристаллический материал. В работе [17] экспериментально установлено, что в процессе деформации кристаллов важную роль играют сдвиги и повороты, а следовательно, обоснована необходимость использования при моделировании их поведения теорий типа С. П. Тимошенко.
Авторами работы [18] проведены квантово-химические исследования механических свойств графена и показано, что с уменьшением линейных размеров графенового листа разница между значениями модулей Юнга в двух взаимо перпендикулярных направлениях растет. Средствами молекулярной динамики в исследовании [19] получен аналогичный результат. Из этого следует необходимость построения общей теории колебаний УНТ с учетом анизотропии (ортотропии).
Углеродная нанотрубка как механический объект представляет собой замкнутую цилиндрическую оболочку сетчатой структуры. В рамках данной работы ее структуру предлагается учесть на основании теории Г. И. Пшеничного, которая предполагает, что регулярную систему густо расположенных ребер можно заменить сплошным слоем.
НЭМС и МЭМС, составными частями которых являются УНТ, приходится работать в условиях высоких температур, поэтому математическая модель строится с учетом стационарного уравнения теплопроводности.
Исследования особенностей нелинейной динамики конструкционных элементов НЭМС и МЭМС (сенсоров, транзисторов) в зависимости от условий их эксплуатации очень важны для понимания процессов, происходящих в приборах, для стабилизации режимов работы, нейтрализации пагубных внешних воздействий (тепловых, вибрационных и т.п.). Предложенная в данной работе теория позволяет проводить анализ нелинейной динамики сетчатых нанораз-мерных цилиндрических оболочек вследствие учета в ней геометрической нелинейности.
2. Математическая модель колебаний сплошной микрополярной оболочки в условиях температурных воздействий
цилиндрическая R3 область
h V I—i Т"» Г\ ТТ Г\ Л/Г в
Предположим, что замкнутая оболочка занимает в пространстве О = |0 < а < Ь; 0 < в < 2п; -1 < г < ||. Введем рассмотрение систему координат следующим образом:
- координата ъ отсчитывается от срединной поверхности оболочки вдоль ее наружной нормали;
- ось Оа направлена вдоль образующей;
- ось О в направлена вдоль окружности цилиндра, образованного срединной поверхностью оболочки (рис. 1).
Будем считать, что материал оболочки упругий, ор-тотропный, однородный, моделируемый псевдоконтинуумом Коссера (со стесненным вращением частиц). Определяющие соотношения для микрополярного ортотроп-ного материала будут иметь вид [20]:
Рис. 1. Расчетная схема цилиндрической оболочки Fig. 1. Design diagram of a cylindrical shell
eaa — «11 &aa + «12 &33 + ai3 azz;
¿33 — «12 &aa + «22 &/3/3 + «23 & zz';
eaa — «11 &aa + «12 &33 + «13 &zz; е33 — «12 &aa + «22 & 33 + «23 & zz; ezz — «13 &aa + «23 &33 + «33 & zz;
Xaa — &11 maa + b12 m/в + b13 mzz; Хвв — b12 maa + b22 m33 + b23 mzz; Xaa — b11 maa + b12 m/в + b13 mzz; X33 — b12 maa + b22 m33 + b23 mzz; Xzz — b13 maa + b23 m33 + b33 mzz;
(1)
¿ав = а44 &ав + «45 & ¡За; Хав = Ь44 Шав + Ь45 Шва; ¿га = Й67 &аг + «77 & га; Хга = Ьб7 таг + Ь77Шга;
¿ва = а45&ав + а55& ва; Хва = Ь45 Шав + Ь55 Шва; ¿гв = «89&вг + «99 &гв; Хгв = Ь89твг + ^99 Шгв;
¿аг = а66 &аг + аб7 &га; Хаг = Ьбб таг + &67 ™га; ¿вг = «88 &вг + а89&гв; Хвг = ^88 твг + ^9 Шгв,
(2)
Шг0 — компо-
где ао и Ь^ — упругие константы микрополярного ортотропного материала, ненты тензора силового и моментного напряжений соответственно, и хо — компоненты тензора деформации и тензора изгиба-кручения.
Приведенная ниже теория основана на кинематической модели С. П. Тимошенко. Компоненты вектора перемещений в таком случае примут вид [21]:
и(
= и(а, в, Ь) + (а, в, Ь)ив = V(а, в, Ь) + г^в(а, в, Ь)иг = т(а, в, Ь),
(3)
и, V, т — осевые смещения срединной поверхности оболочки в направлениях а, в, г соответственно, 7а, 7в — углы поворота поперечных сечений оболочки. Компоненты симметричного тензора деформаций цилиндрической оболочки с учетом принятых гипотез и геометрической нелинейности по теории Т. фон Кармана [22] примут вид
ди 1 (дт\ д^а
'-аа = — + - I — I + г-
да
да дv
¿ав = 2 1 Ядв + да
2\ да ) 1 Я 1 ди
1 дv 1 /дт\2 т ¿вв = Ядв + 2Я2{ дв) + Я +
1
Я дв
1 дт дт г
+ ~Яда~дв + 2
1 д^а + д^в
Я дв да
(4)
1
1 дт
¿вг =2 17в + Ядв - Я
1 дт
¿аг = 2 ^ + д~а) ' ^ =
Компоненты вектора микроповоротов 0а, вв, вг в случае среды Коссера со стесненным вращением частиц (псевдоконтинуума Коссера) будут иметь вид
вг = 2 (го1и)1, г = {а, в, г},
(5)
где и — вектор перемещений. Компоненты симметричного тензора изгиба-кручения запишутся следующим образом [23]:
Хаа
Хг
1 2 1 2
+
1 д2 т д^в
Ядадв 1 &у,
1
Яда
1 ди
Я2 дв " Я дв ' да 1 Я 1 д2 и
да
Хаг =
4
; Хвв
Хав = V д2 V
Ядадв + Я2 + дО2
2Я
а + д1в
1 ди дv
Ядв + да 1 д2
д2 т д^а д^в
т
1 дv
- Я2 дв + Я2 дв2
дадв
д2 т
+
+
дв
д^а
+
1 дт Я2 дв
Хвг
1
2Я
1 ди
Ядв2
+
дv дт дадв да
1а
л Я
г
да2 да
г д21а + ^ ; Ядадв + г да2 ) ;
да
1 д^в Я дв
(6)
д 2 7с
Я дв2
+
+ дадв)'
Следуя принятым гипотезам, пренебрегаем в законе Гука (1), (2) напряжениями &гг вследствие их малости по сравнению с другими напряжениями. Учитывая гипотезы Дюгамеля-Неймана, считаем, что тепловые деформации являются суперпозицией упругих деформаций и тепловых расширений. Принимая во внимание симметрию тензоров силовых и моментных напряжений («44 = «55, абб = «77, «88 = а99, Ь44 = Ь55, Ьбб = Ь77, Ь88 = Ь99), запишем определяющие соотношения для материала оболочки:
&аа —
«12
— . ¿аа
«22 А0
«12
¿аа
«12
А
0
¿вв
аа«22 - ав«12
А
А
А
¿вв
ав «11 - аа «12
А
0
0
©&ав =
©&вв = 1
«45 + «44
¿ав,
0
«22
«12
( аа — А
«12 «12
А еаа А0 Ао
А
о
"бвв
аа«22 - «12
А
евв
ав«11 - аа«12
А
о
о
В(ав 1
1
аг — : еаг 5 (вг — |
«67 + «66 «89 + «99
«45 + «44 евг,
-ав5
Ша
611 (611633 - ь2э) &12 (&12Ьзз - &13&23) , &13 (&12&23 - &13&22) -Хаа--X-Хвв +--X-Хгг,
А
А
А
(7)
швв —
Шгг —
&12 (&12&33 - &23&13) , 622 (611633 - 623 (6ц622 - &13&12)
Хаа + -X-Хвв--X-X
А аа А вв А 613 (612632 - 622613) 623 (611623 - 612613) 633 (611622 - 612)
А
Хаа
А
Хвв
А
Хгг,
1
1
1
Шав — 6 + 6 Хав5
645 + 644
Шаг —
"Хаг 5 Швг —
"Хвг •
где Ао — «11 «22 - «22, А
6б7 + 6б6 689 + 699
, В — ) — известная функция абсолютной
611 612 613
612 622 623
613 623 633
температуры оболочки аа, ав — коэффициенты теплового расширения материала в соответствующих направлениях.
Введем обозначения силовых и моментных усилий и моментов:
{^аа5 Маа} — ^ (Гаа0{ ' } — ^ (гак8 (Уаа• ^аа} — ^ Шаа0{ ' }
к к к
Гк Гк Гк
{Уга5 >7га} — ' Шгак50{0'1} ^ {Т5 Н} — ' ^в*{0'1}^ Уав — ' Шав ^5 (8)
Угг — I шгг ¿05 а ^ в-к
2
Коэффициент к5 характеризует распределение касательных напряжений по толщине оболочки (в настоящей работе принято к8 — 8/9 [24]).
Уравнения движения сплошной микрополярной ортортопной цилиндрической оболочки с учетом температурных воздействий, граничные и начальные условия получим из вариационного принципа Гамильтона - Остроградского [25,26]:
[ 1 (¿К - ¿и + ¿Ж + ¿Ж) ^ — О5 Ло
(9)
здесь К — кинетическая энергия, и — потенциальная энергия, Ж — работа внешних сил, связанная с распределенными силами (Жд) и диссипацией энергии (Же). С учетом моментной теории [27] потенциальная энергия и для бесконечно малых деформаций представима в виде
и — 1 [ (агзе%3 + ш%3хгз) ¿О. 2 7 п
Кинетическая энергия:
К — 2 Р
¿п
м2 / м2 + (дЛ
т) + V т) + V т )
¿^5
1
2
вариация работы внешних сил:
-2п п Ь 00
SWq = / / qSWe = / p¿дW^тdn, Jo Jo ¿п дЬ
¿ — коэффициент диссипации, р — плотность материала оболочки, д(а,@,Ь) — внешняя нормальная нагрузка.
Осуществляя варьирование, собирая коэффициенты при одинаковых вариациях, получим уравнения движения гладкой ортотропной микрополярной цилиндрической оболочки с учетом температурных воздействий:
д_ да
дЫаа 1 дТ 1
-аа +----1--
да + Ядв + 2 Я2
дУгг + д2 Угв
дУ,
вв
дв
1 дЩв + дт + ОФ Я дв + да + 2Я
дв2 дв 1 дУаа
1 д2 Уга , д2 и
+ — ^ ^ = рН-
+
2Я дадв 1 дУвв
дЬ2
2Я да 2Я да
1 дУ
ав
Уг
1 д2 Уг
1 д2У
в
2Я2 дв 2Я2 2 да2 2Ядадв
рН
д2
дЬ2'
дт
2 д дт 2 д дт 1 д дт 1
^да) + яда (тдв) + Ядв + ядв гввдв)- Я*вв+
+
а +1 дОгв
1 д2 Уаа + д2 Увв + 1 д2 Уав
1 д2 У
ав
да ' Я дв 2Ядадв 2Я дадв 2 да2 2Я2 дв2
1 дУга 1 дУгЯ , д^ д2 т
2я2 ~ов~ + +д = т + рН ^;
дМаа 1 дН 1 дУвв , 1 дУав , 1 д2 3
+ ~ ^ТТТ — Уга + Т^^ТТ;--н - —--Ъ
да
Я дв
г« + 1 д 23гв
2Я дв 2 да 2Ядадв 2Я2 дв2
дН + 1 дМвв
да + Я дв
1 дУг
2Я дв + 2Я
1 дУаа 1 д3вв Ягв - о^" +
рн! ;
12 дЬ2 ;
1 дУав + У
2 да 2Я да 2Я дв
1 д2 3га 1 д2 3гв рН3 д2 7в
2Я
2 да 2 да2 2Ядадв 12 дЬ2 '
и граничные условия:
= 0 или
д5и
Nаа +
1 дУг
да
Sv = 0 или
2Я дв JГol = 0 или {Уга}гв = 0;
0^-т +
УЁ1_ д_Уф_ дУга 2Я 2Я дв 2Я да
дби
2 1 Гв
У
1 га
2Я
в дв Увв Т 1 дУга 1 дУгв ^ 2Я - Т + + "
= 0 или {Уга }га = 0, {Угв }гв = 0;
2 да 2Я дв
= 0, {Ивв -
Уа
ав
1 дУг
06у да
0 или
1 д,1га
5-уа = 0 или |Маа + Уав + = 0, {
Уга + 2 Угв\ = 0, {Угв} Г«
1 д37
2Я 2 да 0; 1 д3гв
= 0;
Уг
= 0 + =0; Я 2Я 2Я да 2 дв 2Я) Г '
1 = 0;
в
^ = 0 или {3га }гв =0; =0 или {3га }га = 0, 3 }гв = 0;
дв I —
5^в = 0 или |
дв
Н Увв г Угг + 1 д3
Н —2— 3вв —~ + -
1_ 3
2 ' 2 да 2Я дв } Г
в
а
в
г
в
а
Мрр -Y„R--
1 d.j.
a/3
z/3
2 da
dS jp
da
ôw = О или
= 0 или {JZa}Va = {Jzp}Tf} = 0;
dw 2 T dw
aad^~Jidp~Qza +
— 0;
Г/з
(Щз
d(3
(10)
= 0 или {Jzp]Tf} = 0;
dw ^ 1 dYaa
~ Ida ~ ~da ~
1 dYaa 1 dYpp ldYaP Yz/3
2 R d/3 2 R d/3 2 da 2R
IdYpp 1 9YaP YZa 1 — П-
2 da 2 R d/3 ~ ~2R)r J 1 e
= 0,
dôw
da dôw
d/3
0 или {Yap}Ta = 0, {-Yaa + Ypp}Vp = 0; = 0 или {-Yaa + = 0, {ЗД = 0.
P
Для построения математической модели колебаний ортотропных сетчатых микрополярных цилиндрических оболочек в условиях температурных воздействий к уравнениям движения присоединим стационарное трехмерное уравнение теплопроводности
/1 <90 д2в\ 1 д2в д2в
где Аа, А/з, — компоненты тензора коэффициентов теплопроводности.
К уравнению теплопроводности присоединим граничные условия первого рода
3. Математическая модель колебаний сетчатой микрополярной оболочки в условиях температурных воздействий
Предположим, что рассматриваемая оболочка состоит из п семейств густо расположенных ребер аз> ^' — расстояние между ребрами, ширина ребер, угол между осью а и осью ребер ^'-го семейства соответственно (рис. 2). Опираясь на континуальную модель Г. И. Пшеничного [28], заменим регулярную систему ребер сплошным слоем.
Деформация оси какого-либо ребра равна деформации линии, совпадающей с осью этого стержня в расчетной модели. Будем считать, что одна из главных центральных осей поперечных сечений ребер оболочки совпадает с направлением нормали к срединной поверхности оболочки. В таком случае напряжения, возникающие в эквивалентной гладкой оболочке, связанные с напряжениями в ребрах, составляющих углы с осью а, будут иметь вид (1), (2). Данные соотношения получаются из условий равенства сил, действующих на одинаковых площадках оболочки, состоящей из системы ребер, и эквивалентной ей гладкой оболочки:
/V^i \\ф/
Рис. 2. Структура сетки цилиндрической оболочки Fig. 2. Cylindrical shell mesh structure
3 = 1
{cri, mi}ôj cos2 (fj
CLq
3=1
{cri, m? }ôj sin2 (fj
CLq
, , {&3, Ш3 }£о сов б1П {& а в, Шав } = ^ -—----,
Шг
3=1
Г Т ^ {&г ,Ш3г }$3 сов (
{&га, Шга} = ¿^ - - , {&гв, Шгв} = ¿^
= Ш3г
= «3 ,
3=1
{&3г, Ш3гб1п (3
(11)
3=1 3 3=1 3
Дополнительные условия статической эквивалентности исходной сетчатой оболочки и
эквивалентной ей сплошной:
& = &аа СОБ ( + &вв Б1П (з + &ав СОБ ( Б1П ( , = &га СОБ ( + Б1П ( ,
= Шаа соб2 ( + Швв б1п2 ( + Шав соб ( б1п ( , ш^ = шга соб ( + Ш^в б1п ( + Шгг,
(12)
получим с помощью метода множителей Лагранжа из условия достижения функционалом стационарного значения. При построении функционала используется выражение для потенциальной энергии деформации, выраженной через напряжения и моменты высших порядков. Введем следующие обозначения:
А,* = £
3=1
¡3 шв8 (3 Б1П* (3 з к = 0-4, с! = ^, с2 = - ,
Ао Ао
В =
С3 = - А, С4
Ао
Ьц (ЬцЬзз - Ь2з) А ,
1
«45 + «44
С5
1
«б7 + «бб
Сб
1
О Ь12 (Ь12 Ьзз - Ь13Ь23) „
В2 =--А-, В3 =
«89 + «99
Ь13 (Ь12 Ь23 - Ь13Ь22 ) А
„ Ь22 (ЬцЬзз - Ь?з) Ь23 (ЬцЬ22 - ЬхзЬ12) Ьзз (ЬцЬ22 - Ь?2)
В 4 = -7-, В5 =----, Вб =--
А
В
1
Ь45 + Ь44
В8
А 1
А
Ьб7 + Ьбб
В
1
Ь89 + Ь99
Жесткость стержней на изгиб в плоскости, касательной к срединной поверхности оболочки, не учитывается, поэтому порядки систем дифференциальных уравнений, описывающих поведение сетчатых и сплошных оболочек, совпадают. При этом совпадают и формулировки граничных условий соответствующих краевых задач [28].
Учитывая обозначения и (3)-(9), (11), (12), можно записать выражения для классических усилий и моментов, а также усилий, вызванных моментными напряжениями, для цилиндрической гладкой оболочки, эквивалентной исходной сетчатой (отметим, что в свойствах гомогенизированной оболочки температурный фактор не учитывается):
N8
2(А22 Сз + А 40 С2 ) Я
1 дт
-т + ^тт + — - *
дv дв
2Я дв
\\ Л ^ (1 ди дv
) + Аз1 С4{ Ядв + да+
Нз
М8 = — Маа 24
2 дт дт ди дт 2
+ Кда-вр) +(А40С1 + А22СЧ2да ПдЯ) )
А31С4 Я4 + ^^ + 2(А4оС2 + А22Сз) Я 1 д1в
Т в
О
N8 N.
аа'
в ;
аа;
Нк<
2
М8в
Н8 = М8аа
А20С5 7а +
ЧЯ дв да ) \Я дв
М8а с заменой А40 ^ А22, А22 ^ А04,
с заменой А40 ^ А31, А22 ^ А13, дт
да
л ^ I v 1дт\
+ АпСб( ^ - 2Я + Ядё)\
да
А31 ^ А13; А31 ^ А22;
= ога
с заменой А20 ^ А11, А11 ^ А
02;
3
Ух
2(А40(В - Вз) + А22(В4 - В5))
Я дв
+ 2А4о(Вз - В)дав+ д 2
т
(-п п л тэ ( 1 д7в 1 д^ 1 д2 т
+2А22 (В5 - В2) — + Аз1 - Я - Я дв + аа + Я да2 2(А4о(В - В) + А22(В - В4)) д^ + 2 (А40(В - Вз) + А22(В - В)) ди +
Я
+
да ' Я2
2(А4о(В1 - В2) + А22(В - В)) д2
дв
т
_
с заменой
Я
А40 ^ А22 •
двда А22 ^ А04,
А31 ^ А
13;
Уав = У<аа, с заменой А40 ^ А31, А22 ^ А13, А31 ^ А22;
У;
А11В9
Я
Та
1_ Л
Ядв 2
+
д2 V дт
дадв да
+ 2Аю (В3) - В д2т +
Я
дадв
+
2Аю(В5 - Вб) /д7,
Я
1 +2А (В В ) д7в , 2АЮ (В3)+ В5 дV +
дв - Ядв ^ +2А10 (В3 - Вб) "да + —я—дв+
+А20В8
д2 V дт 7в 1 д2 и \
да2 - Я2 дв - я + Я2 - Ядадв;
У-в = У?а с заменой А11 ^ А02, А02 ^ А11, А10 ^ А01; у ¡г = У/а с заменой Аи ^ А01, А02 ^ А10, А10 ^ А00;
53 (А22 В + А04В4) дтв ; 24Я да ;
л =
Ла = 48
А11В Я
П _ _ А^ / _ д2 7Л + 2А10 В5 дтв
^Я дв2 дадв У Я ^дадв да2 У Я да
= Ла
с заменой А11 ^ А02, А20 ^ А11, А10 ^ А01.
Подставляя полученные выражения в уравнения движения элемента гладкой оболочки, получим разрешающую систему уравнений движения микрополярной ортотропной цилиндрической оболочки модели С. П. Тимошенко, эквивалентной исходной сетчатой оболочке, с учетом температурных воздействий в перемещениях.
4. Численный эксперимент
Методом установления [29] исследуется поведение цилиндрической микрополярной оболочки, состоящей из двух семейств взаимоперпендикулярных ребер под действием статической нормальной распределенной нагрузки в стационарном температурном поле. Торцы оболочки считаем шарнирно опертыми. Граничные условия на основании обобщенных граничных условий (10) в таком случае будут иметь вид
+
2Я дв
ди(а,в) да
= 0; Маа + Уав + дv(а, в)
1 дЛ
2Я дв
дт(а,в) д7а(а, в)
0; Уа = Уа
дв
дв
да
дтв (а, в) дв
Л
0;
0;
v(а, в) = т(а, в) = Тв(а, в) = 0 при а = 0, а = Ь.
Рассматриваются нулевые начальные условия.
Температурное поле находится из стационарного уравнения теплопроводности с граничными условиями первого рода. Далее находятся температурные усилия и моменты, которые подставляются в качестве нагрузки в систему уравнений движения элемента оболочки. Дифференциальная задача в частных производных, описывающая движение элемента оболочки, сводится к задаче Коши методом Бубнова - Галеркина в высших приближениях.
Для удовлетворения граничных условий компоненты вектора перемещений и углы поворота выбираются в следующем виде:
w(a, в)
ЕЕ cos( Т) sin( f
i=i j=1 \ / \
EE Cij sin( T) sin( ^
i=i j=1 v 7 v
v(a,e) :
7«(а,в)
EEBijsi
i=i j=i
, in^ (je
sinl tJ cos T
те(а,в) = EE Kijsin i=i j=i
EE«
i=i j=i
' je
ij
. / je
cosl — J sin т
cos
2
(13)
Следуя процедуре метода установления, было выбрано значение коэффициента диссипации е = 0, 5. Далее для ряда значений параметра нормальной постоянной во времени нагрузки qi была получена последовательность прогибов wi для выбранной точки оболочки (|, п) при соответствующих значениях температуры. На основе этих данных строились зависимости w(q).
Параметры численного эксперимента: h = 0.002 мкм, R = 0.02 мкм, b = 1 мкм, ^ = ¿2 = 0.002 мкм, ai = a2 = 0.002 мкм, ^ = 45o, ^ = 135o, v = 0.36, E =1 ТПа (материал оболочки — графен).
Сходимость решения, полученного по методу Бубнова - Галеркина, приведена в таблице.
Сходимость решения (1 = 0.002 мкм, q = 0.2 Па, без учета температуры
в точке (2, п))
Table. Convergence of the solution (1 = 0.002 mkm, q = 0.2 Pa, excluding temperature at point (|, n))
n = m 1 3 5 7
w(2, п), мкм 0.001309800 0.000405923 0.000449531 0.000436341
n = m 9 11 13 15
w(2, п), мкм 0.000437318 0.000435868 0.000436013 0.000435907
Для получения численных результатов в представлениях функций (13) брались п = т = 11.
Следует отметить, что результаты, полученные на основании гипотез Кирхгофа - Лява и С. П. Тимошенко, при I = 0.002 мкм и значениях нагрузки д е [2; 5] Па отличаются на 3%. В данном диапазоне нагрузок прогиб оболочки в точке (|, п) равен примерно толщине оболочки.
Результаты численного эксперимента показывают, что учет моментных напряжений вносит существенный вклад в результаты расчета прогибов оболочки. С ростом дополнительного независимого параметра /, связанного с учетом в математической модели микрополярной теории, растет изгибная жесткость оболочки (рис. 3). Графики получены при температуре В = 293К, параметр I е 0,0.003,0.005 мкм, значение нагрузки менялось в диапазоне д е [0,1] Па.
На рис. 4 приведены эпюры прогиба углеродной нанотрубки п) при д =1 Па, I = 0.002 мкм, без учета тепловых расширений и с двумя вариантами равномерного нагрева В = 400 К, В = 600 К (ат = 0.000004 К-1). Коэффициент теплового расширения графена (ат) в диапазоне температур В е [400,1300] имеет значение = 0.000004 К-1 [30]. На графиках видно, что нагрев увеличивает прогиб оболочки. Так, при В = 600К прогиб превышает две толщины оболочки.
Рис. 3. График w(q) в зависимости от значения l (цвет онлайн)
Fig. 3. Graph of w(q) depending on the value of l (color online)
0 = 600K
0.8 a. 10
Рис. 4. График w(a,n) в зависимости от температуры (цвет онлайн)
Fig. 4. Graph of w(a,n) depending on temperature (color online)
Заключение
В работе построена математическая модель колебаний ортотропных сетчатых цилиндрических оболочек с учетом сдвига, под действием температурных, статических и вибрационных нагрузок. Модель дает возможность исследовать оболочки с различной геометрией сетки, что может быть полезным при проектировании конструкционных элементов НЭМС и МЭМС. На основании полученной модели проведен анализ статики изотропной углеродной нанотрубки вследствие температурных воздействий и стационарной нагрузки.
Список литературы
1. Peddieson J., Buchanan R., McNitt R. P. Application of nonlocal continuum models to nanotechnolo-gy // International Journal of Engineering Science. 2003. Vol. 41. P. 595-609. https://doi.org/10. 1016/S0020-7225(02)00210-0
2. Bazehhour B. G., Mousavi S. M., Farshidianfar A. Free vibration of high-speed rotating Timoshenko shaft with various boundary conditions: effect of centrifugally induced axial force // Archive of Applied Mechanics. 2014. Vol. 84, iss. 12. P. 1691-1700. https://doi.org/10.1007/s00419-013-0762-5
3. Karlicic D., Kozic P., Pavlovic R. Flexural vibration and buckling analysis of single-walled carbon nanotubes using different gradient elasticity theories based on Reddy and Huu-Tai formulations // Journal of Theoretical and Applied Mechanics. 2015. Vol. 53, iss. 1. P. 217-233. https://doi.org/10. 15632/jtam-pl.53.1.217
4. Иванова Е. А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н., Фирсова А. Д. Об определении упругих модулей наноструктур: теоретические расчеты и методика экспериментов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2005. № 4. С. 75-85. EDN: OOYYQR
5. Daneshmand F., Rafiei M., Mohebpour S. R., Heshmati M. Stress and strain-inertia gradient elasticity in free vibration analysis of single walled carbon nanotubes with first order shear deformation shell theory // Applied Mathematical Modelling. 2013. Vol. 37, iss. 16-17. P. 79838003. https://doi.org/10.1016/j-.apm.2013.01.052
6. Саркисян C. О., Фарманян А. Ж. Математическая модель микрополярных анизотропных (ортотропных) упругих тонких оболочек // Вестник Пермского государственного технического университета. Механика. 2011. № 3. С. 128-145. EDN: OFUQLD
7. Taliercio A., Veber D. Torsion of elastic anisotropic micropolar cylindrical bars // European Journal of Mechanics - A/Solids. 2016. Vol. 55. P. 45-56. https://doi.org/10.1016/j-.euromechsol.2015.08.006
8. X. Zhou, L. Wang Vibration and stability of micro-scale cylindrical shells conveying fluid based on modified couple stress theory // Micro and Nano Letters. 2012. Vol. 7, iss. 7. P. 679-684. https://doi.org/10.1049/mnl.2012.0184
9. Safarpour H., Mohammadi K., Ghadiri M. Temperature-dependent vibration analysis of a FG viscoelastic cylindrical microshell under various thermal distribution via modified length scale parameter: A numerical solution // Journal of the Mechanical Behavior of Materials. 2017. Vol. 26, iss. 1-2. P. 9-24. https://doi.org/10.1515/jmbm-2017-0010
10. Sahmani S., Ansari R., Gholami R., Darvizeh A. Dynamic stability analysis of functionally graded
higher-order shear deformable microshells based on the modified couple stress elasticity theory // Composites: Part B. 2013. Vol. 51. P. 44-53 https://10.1016/j.compositesb.2013.02.037
11. Krylova E. Yu., Papkova I. V., Sinichkina A. O., Yakovleva T. B., Krysko-yang V. A. Mathematical model of flexible dimension-dependent mesh plates // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1210. Art. 012073. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1210/1/012073, EDN: VVUQIS
12. Scheible D. V., Erbe A., Blick R. H. Evidence of a nanomechanical resonator being driven into chaotic response via the Ruelle-Takens route // Applied Physics Letters. 2002. Vol. 81. P. 1884-1886. https://doi.org/10.1063/1.1506790
13. Еремеев В. А. Об одной нелинейной модели сетчатой оболочки // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2018. № 4. С. 127-133. https://doi.org/10.31857/ S057232990000704-4, EDN: YOCSWL
14. Крылова Е. Ю., Папкова И. В., Салтыкова О. А., Крысько В. А. Особенности сложных колебаний гибких микрополярных сетчатых панелей // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 1. С. 48-59. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2021-21-1-48-59, EDN: MYYGLY
15. Sedighi H. M., Malikan M., Valipour A., Zur K. K. Nonlocal vibration of carbon/boron-nitride nano-hetero-structure in thermal and magnetic fields by means of nonlinear finite element method // Journal of Computational Design and Engineering. 2020. Vol. 7, iss. 5. P. 591-602. https://doi.org/ 10.1093/jcde/qwaa041
16. Sedighi H. M. Divergence and flutter instability of magneto-thermo-elastic C-BN hetero-nanotubes conveying fluid // Acta Mechanica Sinica/Lixue Xuebao. 2020. Vol. 36, iss. 2. P. 381-396. https://doi.org/10.1007/s10409-019-00924-4
17. Панин В. Е. Основы физической мезомеханики // Физическая мезомеханика. 1998. T. 1, № 1. C. 5-22. EDN: KWPHTL
18. Глухова О. Е., Кириллова И. В., Коссович Е. Л., Фадеев А. А. Исследование механических свойств графеновых листов различных размеров // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2012. T. 12, вып. 4. C. 63-66. https: //doi.org/10.18500/1816-9791-2012-12-4-63-66, EDN: STJIYV
19. Имран М., Хуссейн Ф., Халил Р. М. А., Саттар М. А., Мехбооб Х., Явид М. А., Рана А. М., Ахмад С. А. Анизотропия тепловых и механических свойств графена: молекулярное моделирование // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2019. T. 155, вып. 2. C. 295-305. https://doi.org/10.1134/S0044451019020093, EDN: YVYMEH
20. Саркисян С. О., Фарманян А. Ж. Термоупругость микрополярных ортотропных тонких оболочек // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2013. № 3. С. 222-237. https://doi.org/10.15593/perm.mech/2013.3.222-237, EDN: RDKNJH
21. Шереметьев М. П., Пелех Б. Л. К построению уточненной теории пластин // Инженерный журнал. 1964. Т. 3, вып. 3. С. 34-41.
22. Karman T. V. Festigkeitsprobleme im Maschinenbau // Mechanik / ed. by : F. Klein, C. Muller. Wiesbaden : Vieweg+Teubner Verlag, 1907. P. 311-385. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16028-1_5
23. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. Москва : Изд-во Московского ун-та, 1999. 328 с.
24. Вольмир А. C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. Москва : Наука, 1972. 432 c.
25. Hamilton W. Report of the Fourth Meeting // British Association for the Advancement of Science. London, 1835. P. 513-518.
26. Ostrngradsky M. Mémoires de l'Academie impériale des sciences de St.-Pétersbourg. St.-Pétersbourg : L'Impr. de l'Academie imperiale des sciences, 1850, vol. 8, iss. 3. P. 33-48.
27. Sun C. T., Zhang Y. Size-dependent elastic moduli of platelike nanomaterials // Journal of Applied Physics. 2003. Vol. 93, iss. 2. P. 1212-1218. https://doi.org/10.1063/U530365
28. Пшеничнов Г. И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. Москва : Наука, 1982. 352 с.
29. Krysko V. A., Awrejcewicz J., Komarov S. A. Nonlinear deformations of spherical panels subjected to transversal load action // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2005. Vol. 194, iss. 27-29. P. 3108-3126. https://doi.org/10.1016/j-.cma.2004.08.005
30. Schelling P. K., Keblinski P. Thermal expansion of carbon structures // Physical Review B. 2003. Vol. 68, iss. 3. Art. 035425. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.035425
References
1. Peddieson J., Buchanan R., McNitt R. P. Application of nonlocal continuum models to nanotechnology. International Journal of Engineering Science, 2003, vol. 41, pp. 595-609. https://doi.org/10.1016/ S0020-7225(02)00210-0
2. Bazehhour B. G., Mousavi S. M., Farshidianfar A. Free vibration of high-speed rotating Timoshenko shaft with various boundary conditions: effect of centrifugally induced axial force. Archive of Applied Mechanics, 2014, vol. 84, iss. 12, pp. 1691-1700. https://doi.org/10.1007/s00419-013-0762-5
3. Karlicic D., Kozic P., Pavlovic R. Flexural vibration and buckling analysis of single-walled carbon nanotubes using different gradient elasticity theories based on Reddy and Huu-Tai formulations. Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2015, vol. 53, iss. 1, pp. 217-233. https://doi.org/ 10.15632/jtam-pl.53.1.217
4. Ivanova E. A., Morozov N. F., Semenov B. N., Firsova A. D. Determination of elastic moduli of nanostructures: Theoretical estimates and experimental techniques. Mechanics of Solids, 2005, vol. 40, iss. 4, pp. 60-68.
5. Daneshmand F., Rafiei M., Mohebpour S. R, Heshmati M. Stress and strain-inertia gradient elasticity in free vibration analysis of single walled carbon nanotubes with first order shear deformation shell theory. Applied Mathematical Modelling, 2013, vol. 37, iss. 16-17, pp. 7983-8003. https://doi.org/10.1016/j-.apm.2013.01.052
6. Sarkisjan S. O., Farmanyan A. Zh. Mathematical model of micropolar anisotropic (orthotropic) elastic thin shells. PNRPU Mechanics Bulletin, 2011, iss 3, pp. 128-145 (in Russian). EDN: OFUQLD
7. Taliercio A., Veber D. Torsion of elastic anisotropic micropolar cylindrical bars. European Journal of Mechanics - A/Solids, 2016. vol. 55, pp. 45-56. https://doi.org/10.1016/j-.euromechsol.2015.08.006
8. Zhou X., Wang L. Vibration and stability of micro-scale cylindrical shells conveying fluid based on modified couple stress theory. Micro and Nano Letters, 2012, vol. 7, iss. 7, pp. 679-684. https://doi.org/10.1049/mnl.2012.0184
9. Safarpour H., Mohammadi K., Ghadiri M. Temperature-dependent vibration analysis of a FG viscoelastic cylindrical microshell under various thermal distribution via modified length scale parameter: A numerical solution. Journal of the Mechanical Behavior of Materials, 2017, vol. 26, iss. 1-2, pp. 9-24. https://doi.org/10.1515/jmbm-2017-0010
10. Sahmani S., Ansari R., Gholami R., Darvizeh A. Dynamic stability analysis of functionally graded higher-order shear deformable microshells based on the modified couple stress elasticity theory. Composites: Part B, 2013, vol. 51, pp. 44-53. https://10.1016/jxompositesb.2013.02.037
11. Krylova E. Yu., Papkova I. V., Sinichkina A. O., Yakovleva T. B., Krysko-yang V. A. Mathematical model of flexible dimension-dependent mesh plates. Journal of Physics: Conference Series, 2019, vol. 1210, art. 012073. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1210/1Z012073, EDN: VVUQIS
12. Scheible D. V., Erbe A., Blick R. H. Evidence of a nanomechanical resonator being driven into chaotic response via the Ruelle - Takens route. Applied Physics Letters, 2002, vol. 81, pp. 1884-1886. https://doi.org/10.1063/U506790
13. Eremeyev V. A. A nonlinear model of a mesh shell. Mechanics of Solids, 2018, vol. 53, iss. 4, pp. 464-469. https://doi.org/10.3103/S002565441804012X, EDN: LTJZSA
14. Krylova E. Yu., Papkova I. V., Saltykova O. A., Krysko V. A. Features of complex vibrations of flexible micropolar mesh panels. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2021, vol. 21, iss. 1, pp. 48-59 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2021-21-1-48-59, EDN: MYYGLY
15. Sedighi H. M., Malikan M., Valipour A., Zur K. K. Nonlocal vibration of carbon/boron-nitride nano-hetero-structure in thermal and magnetic fields by means of nonlinear finite element method. Journal of Computational Design and Engineering, 2020, vol. 7, iss. 5, pp. 591-602. https: //doi.org/10.1093/jcde/qwaa041
16. Sedighi H. M. Divergence and flutter instability of magneto-thermo-elastic C-BN hetero-nanotubes conveying fluid. Acta Mechanica Sinica/Lixue Xuebao, 2020, vol. 36, iss. 2, pp. 381-396. https: //doi.org/10.1007/s10409-019-00924-4
17. Panin V. E. Foundations of physical mesomechanics. Physical Mesomechanics, 1998, vol. 1, iss. 1, pp. 5-22 (in Russian). EDN: KWPHTL
18. Glukhova O. E., Kirillova I. V., Kossovich E. L., Fadeev A. A. Mechanical properties study for graphene sheets of various size. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2012, vol. 12, iss. 4, pp. 63-66 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2012-12-4-63-66, EDN: STJIYV
19. Imran M., Hussain F., Khalil R. M. A., Sattar M. A, Mehboob H., Javid M. A., Rana A. M., Ahmad S. A. Anisotropic thermal and mechanical characteristics of graphene: A molecular dynamics study. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2019, vol. 128, iss. 2, pp. 259-267. https://doi.org/10.1134/S1063776119020079, EDN: DAUGJF
20. Sargsyan S. H., Farmanyan A. J. Thermoelasticity of micropolar orthotropic thin shells. PNRPU Mechanics Bulletin, 2013, iss. 3, pp. 222-237 (in Russian). https://doi.org/10.15593/perm.mech/ 2013.3.222-237, EDN: RDKNJH
21. Sheremetiev M. P., Pelekh B. L. To the construction of a refined theory of plates. Engineering Journal, 1964, vol. 3, iss. 3, pp. 34-41 (in Russian).
22. Karman T. V. Festigkeitsprobleme im Maschinenbau. In: Klein F., Muller C. (eds.) Mechanik. Wiesbaden, Vieweg+Teubner Verlag, 1907, pp. 311-385. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16028-1_5
23. Erofeev V. I. Volnovye protsessy v tverdykh telakh s mikrostrukturoy [Wave Processes in Solids with Microstructure]. Moscow, Moscow University Press, 1999. 328 p. (in Russian).
24. Volmir A. C. Nelineynaya dinamika plastin i obolochek [Nonlinear Dynamics of Plates and Shells]. Moscow, Nauka, 1972. 432 p. (in Russian).
25. Hamilton W. Report of the Fourth Meeting. In: British Association for the Advancement of Science, London, 1835, pp. 513-518.
26. Оstrоgradskу M. Memoires de l'Académie imperiale des sciences de St.-Pétersbourg. St.-Pétersbourg, L'Impr. de l'Academie imperiale des sciences, 1850, vol. 8, iss. 3, pp. 33-48.
27. Sun C. T., Zhang Y. Size-dependent elastic moduli of platelike nanomaterials. Journal of Applied Physics, 2003, vol. 93, iss. 2, pp. 1212-1218. https://doi.org/10.1063/1.1530365
28. Pshenichnov G. I. Teoriya tonkikh uprugikh setchatykh obolochek i plastinok [Theory of Thin Elastic Mesh Shells and Plates]. Moscow, Nauka, 1982. 352 p. (in Russian).
29. Krysko V. A., Awrejcewicz J., Komarov S. A. Nonlinear deformations of spherical panels subjected to transversal load action. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2005, vol. 194, iss. 27-29, pp. 3108-3126. https://doi.org/10.1016/jxma.2004.08.005
30. Schelling P. K., Keblinski P. Thermal expansion of carbon structures. Physical Review B, 2003, vol. 68, iss. 3, art. 035425. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.68.035425
Поступила в редакцию / Received 12.10.2022
Принята к публикации / Accepted 19.09.2023
Опубликована / Published 31.05.2024
