CC BY
22
УДК 539.374; 621.983
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПИРАМИДАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ ВЫСОКОПРОЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ В РЕЖИМЕ ПОЛЗУЧЕСТИ
Разработана математическая модель изотермического деформирования пирамидальных элементов при вязком течении анизотропных высокопрочных материалов, подчиняющихся энергетической теории ползучести и повреждаемости.
Ключевые слова: анизотропия, математическая модель, пирамидальный элемент, ползучесть, повреждаемость, напряжение, деформация, разрушение, формоизменение.
Рассмотрено деформирование системы пирамидальной формы, состоящей из стержней одинаковой длины, между которыми находятся плоские треугольные пластины, жестко приваренные к стержням по боковой поверхности в режиме ползучести. При нагружении к центральной точке прикладывается внешняя сила Р в направлении, перпендикулярном к плоскости системы. Предположим, что жесткость стержней значительно больше жесткости пластины. Формоизменение осуществляется в режиме ползучести. Пренебрегаем упругими и пластическими деформациями. Материал ортотропный с цилиндрической анизотропией, удовлетворяющей уравнениям теории течения [1-3].
Осуществим решение этой задачи для группы материалов, подчиняющихся энергетической теории ползучести и повреждаемости.
Свойства этих материалов описываются уравнениями
где , се, юА - интенсивности скоростей деформаций, напряжений и повреждаемость при деформации ползучести; В, п, т - константы материала, зависящие от температуры; А%р - удельная работа разрушения; сео - предел текучести, соответствующий степени деформации е ео при
температуре деформирования Т, найденный при статических испытаниях образцов.
В силу симметрии системы сила N и напряжение с в стержнях определяются по следующим соотношениям
С.С. Яковлев, С.Н. Ларин
(1)
P
N =—, (2)
c sin a
o = 2 P/(cF0sin2a). (3)
где c - число стержней, a, l = a/cos a - начальная и текущая длины стержня, F = a Foll - площадь поперечного сечения стержня в текущий момент времени, a - угол наклона стержня относительно основания конструкции. Скорость деформации стержня находится по формуле
X = a tg a. (4)
Подставим в первое из уравнений состояния материала входящие
величины oe , Xe с учетом выражений (3) и (4) и соотношений
oe =
2(RCX + Rcy + RcxRCy
to z =bc o,
xc = ¿ xc ; bc
(5)
где Р^ , Р^ - коэффициенты анизотропии при деформации ползучести. Тогда получим
Pndt
o" 1 -W
eo
cF0 V 2 J
n
(sin2a)ntgada
Bbc
„n+1
(6)
Рассмотрим два режима нагружения, когда скорость деформации X и сила Р постоянны во времени.
Пусть X = XI. Представим уравнение (6) в виде
P =
I „ \ш n cFn -, /
o„ (l-Wa) -T°sin2a(-^1n
eo
2
n+1 c n
Xi
V B J
(7)
Величина накопленных повреждений юА может быть вычислена по выражению
n+1
i-c n
n - m X1 t oeo
n
n+1
Afv B1npc n
n
n - m
(8)
Это уравнение определяет ю А =ю(^).
Изменение угла а в зависимости от времени находится по выражению
1
-Xct
a = arccos e S1 . (9)
Определив wA (t) из выражения (8) и a(t) из соотношения (9) и подставив их в уравнение (7), получим значение силы P(t), обеспечивающее деформирование при Xc = const.
Рассмотрим другой случай нагружения, когда P = const. Найдем значение накопления повреждений, для этого подставим выражения (3) и (4) во второе уравнение состояния (1)
P a
c Fq cos2 a A
(10)
пр
Проинтегрируем t — 0 wA — 0, найдем
уравнение (10) с начальным условием
(11)
юА = а0 а/ АПр, где о0 = Р/с^0 .
Угол а* в момент разрушения можно получить из (11) при ю А = 1
а* = аг^Апр/о о. (12)
Время разрушения получим, проинтегрировав уравнение (6)
а* / \ш
j (1 -wCa ) (sin2a)ntgada,
(13)
где
ґ2 Р^П
cF(
B
0У
(Seo )n
ß‘
П +1
(14)
На рис. 1 и 2 приведены графические зависимости изменения относительной силы деформирования Р = р(с^оео) от времени при постоянной скорости деформации и зависимости времени разрушения от угла деформирования при постоянной силе для алюминиевого сплава АМг6 при температуре деформирования 7=450°, механические характеристики которого приведены в работах [2, 3] соответственно.
Анализ графических зависимостей показывает, что с увеличением времени деформирования до определенного предела при постоянной скорости деформации величина относительной силы Р резко возрастает, с дальнейшим увеличением ? наблюдается его уменьшение.
Учет накопления повреждаемости в процессе формоизменения может значительно снизить расчетные величины Р свыше 50 % с ростом времени деформирования. Установлено, что с уменьшением величины
с
~0 = о0/Апр возрастает относительное время деформирования и предельный угол.
0,60 0,50 0,40 0,30
Р
0,20 0,10 0,00
0 40 80 120 160 200 с 240
1 --------^
Рис. 1. Зависимости изменения Р от ? при постоянной скорости деформации Х1 = 0,0028 1/с (кривая 1 - без учета повреждаемости;
кривая 2 - с учетом повреждаемости)
0,35 0,30 0,25 0,20 1 0,15
0,10 0,05
0,00
0 10 20 30 40 50 60 град. 70
а -------►
Рис. 2. Связь относительного времени деформирования с углом наклона стержня относительно основания конструкции
Полученные результаты могут быть использованы при разработке технологических процессов изотермического деформирования пирамидальных элементов при вязком течении анизотропных высокопрочных материалов, подчиняющихся энергетической теории ползучести и повреждаемости.
Работа выполнена по государственному заданию Министерства об-
367
разования и науки Российской Федерации на 2012-2014 годы и грантам РФФИ.
Список литературы
1. Малинин Н.Н. Ползучесть в обработке металлов. М.: Машиностроение, 1986. 216 с.
2. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2004. 427с.
3. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.
Яковлев Сергей Сергеевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ларин Сергей Николаевич, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
MA THEMA TICAL MODEL OF ISOTHERMAL DEFORMA TION OF PYRAMIDAL
ELEMENTSOF HIGH ANISOTROPIC MA TERIAL IN THE CREEP MODE
S.S. Yakovlev, S.N. Larin
A mathematical model of isothermal deformation of pyramidal elements in a viscous flow of anisotropic materials with high strength, obeying energy theory creep and damage.
Key words: anisotropy, a mathematical model, the pyramidal cell, creep, defect, stress, strain, fracture, forming.
Larin Sergei Nikolaevich, candidate of technical sciences, professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula state University,
Yakovlev Sergey Sergeevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University
