Математическая модель изменения температуры поверхности вымени во время доения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 637.112

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ ВЫМЕНИ ВО ВРЕМЯ ДОЕНИЯ

А.В. Цвяк

В данной статье рассмотрен вопрос определения и изучения пространственно-временного изменения температуры поверхности вымени во время доения. Полученная автором математическая модель может быть использована при разработке технических средств контроля за процессом молоковыведения, в основу которых будет положена оценка изменения температуры вымени животного.

Ключевые слова: температура вымени, кровоснабжение, доение.

Мы задались целью моделирования процесса пространственно -временного изменения температуры Т (х ,y,z,t) вымени. Связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке тела устанавливается неоднородным, нестационарным, дифференциальным уравнением теплопроводности (или уравнением Фурье):

ср^ = ЛД Т + qv (1)

где с - удельная теплоемкость, р - плотность материала, Л - теплопроводность материала, д - оператор Лапласа, qv - функция объемного тепловыделения.

Уравнение (1) называется однородным при q v = 0. Для стационарных

дТ

процессов — = 0.

Ткани тела животных обладают невысокой теплопроводностью, поэтому передача тепла от ткани к ткани происходит в небольших количествах и с малой скоростью. Решающую роль в изъятии тепла от тканей, продуцирующих его в больших количествах, и предупреждении их перегревания играет кровь. Обладая высокой теплопроводностью, кровь переносит к тканям с низким уров -нем теплообразования отнятое тепло и, таким образом, содействует выравниванию уровня температуры в различных частях тела [1].

Уравнение теплопроводности является дифференциальным уравнением в частных производных параболического типа. Для полного математического описания конкретного процесса, уравнение дополним начальными и граничными условиями.

Построим модель теплопроводности в слое кожи вымени. Моделируемый процесс будем считать стационарным и однородным относительно плоскости «XY». Изменение температуры происходит только в направлении нормали к касательным, проведенным к поверхности вымени, т.е. вдоль координаты «Z».

Рис. 1. Схема элемента артериального русла кожи: Z — ось, перпендикулярная поверхности кожи; г г2, г3, г4, г5, г6, г7, г8 - координаты, соответствующие делению слоя кожи на уровни; ц> 2 - угол отклонения оси сосуда в слое [г г2 ] от оси Z

Температура тканей вымени Т в (г ) в любой точке моделируемого слоя определяется решением модифицированного дифференциального уравнения теплопроводности, учитывающего генерацию тепла в объеме ткани:

а2Тв(г) ду(г) _

йг 2 ^ Яв и (2)

где у (г) - функция генерации тепла, неявно зависящая от ъ\ Ав - коэффициент теплопроводности кожи вымени.

Кожа вымени состоит из эпидермиса и дермы. Кровь поступает в дерму по малым артериям и артериолам из артерий, расположенных в подкожной клетчатке. В самых нижних отделах дермы эти малые артерии дают многочисленные ответвления, которые, анастомозируя между собой и с соседними сосудами, образуют глубокую артериальную сеть, параллельную поверхности кожи. От этой сети в сторону эпидермиса (в направлении оси Ъ„ рисунок 1) отходят ветвящиеся артериолы. Плоскость начала этих артериол является нижней границей (г 0 = 0 ) моделируемого слоя. Для кожи характерно последовательное дихотомическое разделение артериол. В слое дермы при гъ г2, г3, г4 происходит разделение артериальных сосудов под некоторым углом на два одинаковых меньшего диаметра. При этом выполняется условие несжимаемости крови. На основании этого условия вычисляется скорость движения крови по сосудам при г 6 [г0 , г 5 ]. При г4 сосуды соединяются с подэпидермальной артериальной сетью, находящейся в слое [г4, г4]. Эта сеть моделируется углом отклонения сосудов, близким к 90°, она уравновешивает кровоток и давление в участке кожи. От подэпидермальной сети в сосочковый слой отходят прекапиллярные артериолы, каждая из которых разветвляется на п 6 капилляров при г 6 [2].

Длина каждого из сосудов в модели определяется толщиной слоя, в котором расположен сосуд и углом отклонения сосуда от оси Ъ. В слое эпидермиса 2 6 [г7 ] кровеносных сосудов нет. На поверхности кожи вымени учитываются процессы отвода тепла путем излучения, испарения и конвекции. Температура окружающей среды считается постоянной. Температура ткани и температура крови в капиллярах практически равны. Это значит, что в рассматриваемых условиях капилляры всех слоев кожи и венозное русло находятся в состоянии теплового равновесия с окружающей тканью и, следовательно, дают пренебрежимо малый вклад в процессы генерации тепла в слое кожи.

Сформулируем краевую задачу для процесса теплопереноса в ткани вымени с кровеносными сосудами. На границе значения температуры дермы кожи и крови Т кр (г) задается постоянными, что соответствует контакту этой поверхности с более глубоким слоем ткани вымени, имеющим постоянную температуру:

Т в ( 0 ) = Т Во (3)

Ткр(О) = Ткро

Уравнения представляют собой граничные условия первого рода. На границах 21 при I = 1, 2,.., 6 выполняются граничные условия четвертого рода:

Тв(^ - 0) = Тв(^ + 0)

(4)

йг 1

= —т.

г-0

йг

А-П - Тк

в йг в

Процесс теплообмена поверхности г = I с окружающей средой описывается нелинейным граничным условием третьего рода:

1 = - Аа(Т * (I ) - Т ¿кр) - Т в (I) - Т 0кр) - (5)

где Тв - температура тканей вымени, А = 0,98 - поглощательная способность кожи, К = 2 , 7 Вт/(м2оС) - коэффициент, учитывающий теплоотдачу путем конвекции, и^(Токр, Р) - общие влагопотери с поверхности кожи вымени, Р -атмосферное давление, S - общая площадь поверхности кожи вымени, - доля поверхности вымени в величине потоотделительной реакции; - доля поверхности вымени от общей поверхности кожи.

Первое слагаемое в правой части уравнения (5) описывает вклад излучения в общие энергопотери с поверхности Ь, второе - конвекции, третье - испарения. Задача моделирования процесса теплопроводности в слое кожи вымени с кровеносными сосудами включает решение дифференциального уравнения вто -рого порядка (2) с граничными условиями первого (3), четвертого (4) и третьего рода (5).

Известными параметрами модели являются толщина дермы и эпидермиса, поверхностная плотность сосудов, их диаметр и длина, скорость течения крови по сосудам, температура ткани и крови при , углы отклонения осей

сосудов от оси г, параметры теплоотвода различных участков поверхности кожи, физические параметры ткани и крови, температура окружающей среды. Зависимости температуры крови в сосудах и температуры тканей вымени от координаты г - неизвестные функции.

Тепловая энергия, выделяющаяся через стенки кровеносных сосудов в единицу времени, определяет удельную скорость генерации тепла в объеме ткани. Изменение температуры крови при ее движении по сосудам описывается при 2 6 [2; _1 , 2;] уравнением

_ 2аэф

йг срт^и^соБср

:( т кр (2 )-т в (2) ) (6)

где ^ - производная по координате г; а э ф ; - эффективный коэффициент

теплообмена крови, двигающейся по сосуду; £ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 - номер уровня генерации сосудов в слое дермы 2 6 [2; _ 1,2;]; с - теплоемкость крови; р -плотность крови; - внутренний радиус сосуда; - скорость движения крови по сосуду; I - средний угол отклонения сосудов в слое I от оси Ъ.

Распределение сосудов по поверхности рассматриваемого участка кожи считаем однородным. Средний угол отклонения оси сосуда от оси Ъ рассчитываем по формуле:

' 1 (7)

сР1 = агид

где // I - поверхностная плотность сосудов.

Число сосудов мг, пересекающих элемент сечения дермы, перпендикулярный оси 7, можно рассчитать по формуле:

^ = ¿сеч/ (8)

где - площадь выделенного элемента сечения ткани вымени.

На основании закона теплоотдачи Ньютона количество теплоты, вы -деляющееся через стенки сосудов, вычисляется по формуле:

* 3 ; = —* (2 - 2 _ 1 ) (9)

Удельная скорость генерации тепла через стенки сосудов типа г.

«п (2) =-^--(10)

Эффективный коэффициент теплообмена крови, двигающейся по сосуду того или иного вида, вычисляется по формуле:

1 -+-

а э ф I = Щ] 1 (11)

где - коэффициент теплоотдачи, связанный с конвекцией крови по сосуду; - коэффициент теплоотдачи, связанный с теплоотдачей от сосу-

да в окружающую ткань.

А

авш — р

' I

авнешн Ь = 0 , 2 5— (12)

"I

где Якр - коэффициент теплопроводности крови, Я Ь - внешний радиус сосуда.

Опыты, проведенные В.П. Мещеряковым, показывают, что преддоильной подготовка вызывает увеличение объемной скорости кровотока в вымени коров, обусловленное расширением кровеносных сосудов. Аналогичное сосудорасширяющее действие оказывает введение гормона окситоцина [3].

Будем считать, что в слое кожи вымени 2 6 [20,27] присутствуют нормальные (верхний индекс 1) и подвергшиеся действию окситоцина (верхний индекс 2) сосуды, в слое 2 6 [27 ,28] сосуды отсутствуют, поэтому (V(2) в уравнении (2) равно (2) при 2 6 [2 Ь _±,2Ь], I =1, 2, ..., 7 и равно нулю при 2 6 [2 7, Ь ], а условие на границе г = 0 имеет вид:

т Кр ( 0 ) = т Кр 0 (13)

Ткр(О) = Ткро

ТТк(0) = Тхко

Аналитическое решение поставленной нелинейной краевой задачи крайне трудоемко, поэтому её решение следует искать в численном виде. Для этого можно воспользоваться методами сведения краевой задачи к задаче Коши и прогноз-коррекцией.

Для решения поставленной задачи дифференциальное уравнение второго порядка (2) преобразуем к двум уравнениям первого порядка, введя вспомогательную переменную Т т = Итерационной переменной является значение

Т т ( 0 ) . В первой итерации задается некоторое исходное значение Т т ( 0 ) = Т т 0 0 = 0 ) . В каждой итерации на отрезках 2 6 [2Ь _ ±,2Ь], (1=1, 2, ..., 7) для определения неизвестных Т КР (2) , Т ^ (2 ) , Т I (2) , Т ]т (2) (/ - номер итерации) решается система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

=--—(г) _

йг срт/г^фЛ кр

2 у 2

— _ 2аэф^ су2] г7\ _ т; ^ йг срг^созср^ }

с1Т]т(г) _ ^^аэф¿(Ткр00_ ТТк +ягг2м?аэ2ф г(Т^(г)_ТТк(г)) йг Л^соз(р1

йг

с граничными значениями Т ^ (z j ) , Т ^ (z j _ ± ) , Т ¡^ (z j _ ± ) , Т ^ (z j _ х ) . Для этой системы уравнений можно воспользоваться методом Рунге -Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага, разбиения h, реализованным во встроенной функции Rkadapt программного пакета Mathcad v 15. Погрешность мето-

1,4

да пропорциональна h .

Полученная математическая модель может быть использована при разработке технических средств контроля за процессом молоковыведения, в основу которых будет положена оценка изменения температуры вымени животного.

Литература:

1. Калантаевская К.А. Морфология и физиология кожи человека. Киев, 1965. 267с.

2. Иванов К.П., Лучаков Ю.И. Эффективность теплообмена между тканями и кровью в кровеносных сосудах различного диаметра // Физиологический журнал. 1994. Т.80. №3. С. 100105.

3. Мещеряков В.П. Регуляция кровообращения в вымени коровы: автореф. дис. ... канд. биол. наук. Боровск, 1987. 17с.

Цвяк Алексей Владимирович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Оренбургский научный центр Уральского отделения Россельхозакадемии Тел. 8(987)8508993 E-mail: tsviak@rambler.ru

This article discusses the definition and study of the spatial and temporal changes in the surface temperature of the udder during milking. Obtained by the author mathematical model can be used in the development of technical means of control over the process of lactation, which will be based on assessments of changes in temperature udder health.

Keywords: temperature udder, blood supply, milking.