Научная статья на тему 'Перенос тепла кровью: сопоставление расчетных и экспериментальных данных'

Перенос тепла кровью: сопоставление расчетных и экспериментальных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
1568
168
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КОНВЕКТИВНЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛА / СОСУДЫ / КРОВОТОК / МАТЕМАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ / ТЕПЛООБМЕН / КОНДУКТИВНЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛА / КОНВЕКТИВНЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛА / СОСУДЫ / КРОВОТОК / МАТЕМАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ / HEAT TRANSFER / CONDUCTIVE HEAT TRANSFER / CONVECTIVE HEAT TRANSFER / VESSELS / BLOOD FLOW / MATHEMATICAL ANALYSIS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лучаков Ю. И., Камышев Н. Г., Шабанов П. Д.

Теплоперенос в организме, осуществляемый конвективным (с током крови) и кондуктивный (за счет разницы температур в различных точках) процессами, является крайне мало изученным явлением. Эксперименты и математический расчет показывают, что в коже самый верхний слой сосудов у поверхности состоит из петлевых капилляров, радиус которых не превышает 5-6 мкм. В этом слое конвективной составляющей не будет, и не будет никакого переноса тепла с помощью кровотока. Во втором слое (радиусы сосудов 20-25 мкм) тоже не будет конвективной составляющей переноса тепла по той же причине. В третьем слое сосуды имеют радиус около 50 мкм и при интенсивном кровотоке уже возможна конвективная составляющая из ниже лежащего слоя к верхнему. Еще на более глубоком расстоянии от поверхности кожи (радиус сосудов больше и меньше 50 мкм) при интенсивном кровотоке происходит перенос тепла за счет тока «теплой» крови в сравнении с переносом тепла по градиенту температуры между слоями. При интенсивном кровотоке и широком бассейне сосудистого русла в тканях преобладает конвективный теплоперенос, а не кондуктивный. При этом организм может активно изменять способ переноса в этих слоях путем простого изменения скорости кровотока. Увеличение кровотока на периферии приводит к тому, что теплообменниками становятся более мелкие сосуды, и конвективный теплоперенос усиливается, что увеличивает температуру периферической ткани, а значит и отдачу тепла в среду, и наоборот, снижение кровотока в периферических тканях приводит к тому, что и более крупные сосуды не будут теплообменниками тепла. Тепло будет переноситься из центра на периферию кондуктивным путем на большее расстояние, что приводит к снижению температуры кожи, а значит и уменьшит отдачу тепла в среду.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Heat transfer in blood vessels: comparison experimental and matHematical data1I P. Pavlov Institute Physiology RAS

Heat transfer in the organism, making by means of convective (with blood flow) and conductive (with difference of temperature in various points) processes is only light studied phenomenon. The experiments and mathematical analysis show that in the skin the upper layer of vessels consists of loop capillars with radius 5-6 mkm. In this layer, the convective component is absent, and heat transfer with blood flow is absent too. In the second layer of the skin (vessel radius 20-25 mkm), the convective component of heat transfer is also absent because of the same reason. In the third layer of the skin vessels with radius about 50 mkm, the convective component from low stratum to upper one is possible in intensive blood flow. Moreover, in deep layer of the skin (vessel radius is more or less than 50 mkm) heat transfer is registered in intensive blood flow due to flow of warm blood compared to heat transfer on temperature gradient between layers. In intensive blood flow and spread pool of vessels, the convective heat transfer dominates in comparison with conductive one. At this time, the organism can actively changes the way of heat transfer in these layers by means of simple change of blood flow speed. The increase of blood flow in periphery leads to situation when little vessels become heat transfers, and convective heat transfer is elevated that increases temperature of peripheral tissue and, as a result, heat delivery into environment. And the wrong way, the decrease of blood flow in peripheral tissues does not lead to heat transfer by big vessels. Heat will be transfer from the center to periphery by means of conductive way within long distance that leads to the skin temperature decrease and reduces heat delivery to environment.

Текст научной работы на тему «Перенос тепла кровью: сопоставление расчетных и экспериментальных данных»

ПЕРЕНОС ТЕПЛА КРОВьЮ:

СОПОСТАВЛЕНИЕ РАСчЕТНых

и экспериментальных данных

УДК 612.117.6

© Ю. И. Лучаков1, Н. Г. Камышев1, П. Д. Шабанов2

1 Институт физиологии им. И. П. Павлова РАН, Санкт-Петербург

2 Военно-медицинская академия им. С. М. Кирова, Санкт-Петербург

Ключевые слова:

теплообмен; кондуктивный перенос тепла, конвективный перенос тепла; сосуды; кровоток; математический расчет.

Теплоперенос в организме, осуществляемый конвективным (с током крови) и кондуктивным (за счет разницы температур в различных точках) процессами, является крайне мало изученным явлением. Эксперименты и математический расчет показывают, что в коже самый верхний слой сосудов у поверхности состоит из петлевых капилляров, радиус которых не превышает 5-6 мкм. В этом слое конвективной составляющей не будет, и не будет никакого переноса тепла с помощью кровотока. Во втором слое (радиусы сосудов 2025 мкм) тоже не будет конвективной составляющей переноса тепла по той же причине. В третьем слое сосуды имеют радиус около 50 мкм и при интенсивном кровотоке уже возможна конвективная составляющая из ниже лежащего слоя к верхнему. Еще на более глубоком расстоянии от поверхности кожи (радиус сосудов больше и меньше 50 мкм) при интенсивном кровотоке происходит перенос тепла за счет тока «теплой» крови в сравнении с переносом тепла по градиенту температуры между слоями. При интенсивном кровотоке и широком бассейне сосудистого русла в тканях преобладает конвективный теплоперенос, а не кондуктивный. При этом организм может активно изменять способ переноса в этих слоях путем простого изменения скорости кровотока. Увеличение кровотока на периферии приводит к тому, что теплообменниками становятся более мелкие сосуды, и конвективный теплоперенос усиливается, что увеличивает температуру периферической ткани, а значит и отдачу тепла в среду, и наоборот, снижение кровотока в периферических тканях приводит к тому, что и более крупные сосуды не будут теплообменниками тепла. Тепло будет переноситься из центра на периферию кондуктивным путем на большее расстояние, что приводит к снижению температуры кожи, а значит и уменьшит отдачу тепла в среду.

Теплоперенос в организме, осуществляемый конвективным (с током крови) и кондуктивным (за счет разницы температур в различных точках) процессами, является крайне мало изученным явлени-

ем. Если теплоперенос, обусловленный разницей температур между двумя точками в тканях, осуществляется в соответствии с законом Фурье, то теплоперенос, обусловленный течением крови в сосудах различного диаметра, имеет очень специфический и сложный характер. Дело в том, что сам перенос тепла кровью обусловлен множеством факторов, к которым относятся и архитектоника кровеносной сети, и геометрическая форма сосудов, их положение друг относительно друга, скорость кровотока и многие другие факторы, которые характеризуют перенос тепла кровью и определяют специфичность этого процесса. Для теплообмена организма со средой, прежде всего, важен процесс переноса тепла в тканях тела, расположенных на периферии организма. На периферии организма существует значительный градиент температуры, что еще больше усложняет процесс теплообмена между тканями и кровью, протекающей по различным сосудам. Помимо этого необходимо учитывать, что «теплая» кровь по артериальному руслу несет тепло от центра организма на периферию его, а «холодная» кровь по венозному руслу, оттекая от кожи, имея обратное направление, охлаждает ядро организма. Причем, так как артериальное и венозное русла обычно расположены рядом друг относительно друга, то возможен обмен теплом не только между кровью и окружающей тканью, но и между кровью в артериях и соответствующих венах гипотетически напрямую (Sholander et al., 1955, 1957; Лучаков, Морозов, 2000, 2001).

Анализ литературы показывает, что до настоящего времени полного изучения теплоотдачи из крови, протекающей по сложной сети сосудистого русла при различных условиях, не существует (Chato, 1980; Shitzer, 1980; Иванов, 2001). Поэтому для выяснения особенностей переноса тепла в организме важно исследовать процесс теплопереноса, как в отдельных сосудах, так и в целом сосудистом русле.

Экспериментальные исследования подобного рода провести крайне затруднительно. Поэтому анализ теплообмена между тканью и кровью, про-

научные обзоры

Т°тк = Сог^

Т° с

А

Б

Т

о

к

Т

тк

■ Рисунок 1. Модель отдачи тепла кровью в сосуде кожи

текающей в сосудах различного калибра, был проведен на математических моделях.

модель теплообмена крови с тканью

В работе использована модель отдачи тепла кровью при ее движении по микрососудам кожи (рис. 1). Для того чтобы результаты исследований были сравнимы, считаем, что на артериальном конце сосудов кровь входит с одной и той же температурой, равной

37,5 °С. При своем движении кровь через стенку сосуда отдает тепло в окружающую ткань, температура которой тоже задавалась постоянной и равной 34 °С (характерная температура кожи у человека). Для того чтобы описать процесс теплоотдачи крови при ее движении по сосуду, была составлена балансная схема для его элемента, который можно получить путем двухразового сечения сосуда на некотором расстоянии друг от друга. В соответствии с законом сохранения энергии должно выполняться следующее соотношение: изменение количества теплоты крови в таком элементе равняется количеству теплоты, которое уходит кондуктивным путем через боковую поверхность рассматриваемого элемента сосуда. Математически этот процесс можно описать так:

- с х т х (Т+т - Т;) = аЭф х S х (Т - Т0) х Дt (1),

где с — удельная теплоемкость крови; т —масса крови единичного объема; аэф — эффективный коэффициент теплообмена крови, двигающейся по сосуду; S — площадь боковой поверхности выделенного элемента сосуда; Тс — температура ткани, окружающей сосуд; Т; и Т;+1 — температура крови в выделенном элементе сосуда во время ^ и ^+-|, соответственно.

(А) и график температуры окружающей сосуд ткани (Б)

Вся трудность расчета заключается в определении коэффициента теплоотдачи, который в принципе зависит от тепловых параметров окружающей сосуды ткани, геометрии сосудистого русла, скорости движения крови и т. д. Эффективный коэффициент теплообмена крови в сосуде можно представить в соответствии с существующими данными (Исаченко, 1981) как

1

аэф 1 1 ,

-----+-------

а внут а внеш

где авнут — коэффициент теплоотдачи, связанный с конвекцией крови по сосуду; авнеш. — коэффициент теплоотдачи, связанный с теплоотдачей от сосуда в окружающую ткань. Для наших целей рассматриваемое движение крови считаем ламинарным. При ламинарном течении жидкости в трубах количество теплоты передается с помощью механизма теплопроводности по нормали к общему направлению движения потока. При этих условиях, согласно теории (Кутателидзе, 1970; Лойцянский, 1973; Исаченко, 1981), можно считать, что коэффициент теплоотдачи от движущейся крови к стенке сосуда постоянен и равен

а =3,66*-^,

внУт 5 ^

где Лкр — коэффициент теплопроводности крови; d — диаметр сосуда.

Отдача тепла от стенок сосуда малого диаметра тоже специфична. В нашем случае при столь малых диаметрах рассматриваемых сосудов теплоотдачу в ткани от стенок их возможно описать постоянным коэффициентом в следующем виде:

ас

, = 0,5х-

d

где Лтк — коэффициент теплопроводности в ткани. Отсюда в связи с тем, что эффективный коэффициент теплоотдачи есть линейная величина постоянных коэффициентов авнут и авнеш, то и сам коэффициент аэф тоже будет постоянной величиной.

Для решения уравнения (1) перейдем к дифференциальной форме этого выражения. В результате это уравнение примет следующий вид:

с х т х dT= -аэф х S х (Т-Тср) х dt

(2).

Постоянные величины S и т элемента объема можно раскрыть. В соответствии с рисунком 1 в следующем виде

S = 2 х п х Rц х Д|, т = р х п х R2ц х Д|, где р — плотность крови; Д1 — элементарная длина выделенного объема крови.

Подставляя эти соотношения в формулу (2) и производя соответствующие преобразования, получим следующее выражение:

х2

х dt

dT

эф

Т=(Та-Т„, )х

ехр

2ха

эф

XI

+ Та

(3),

т=(т»-т,р)-

ехр

/-0,22хД | л

---!---- X —

охрх рЦ V

ор

(4).

q = q - q = с х W х (Т - Т ) = с х W х ДТ

^ ^вх ^вых у вх вых' ’

где qвх и qвых — количество тепла в крови, входящей и выходящей из сосуда в единицу времени, соответственно; с — удельная теплоемкость крови; W — количество крови, входящее в сосуд в единицу времени, которое для каждого сосуда составляет величину р х п х R2 х V, где R — радиус сосуда, V — скорость движения крови в сосуде, г — плотность крови.

Эффективность поступления тепла в ткань из крови, двигающейся в различных сосудах, можно представить в виде отношения количества тепла, отданного кровью, к площади поверхности ^) самого сосуда:

Ар р»х-р»ых С*М АТ схпх^хухр С ХрX КхУ

ч - чвх чвых- х ДХ =— ---- ---:хДХ= ---------ХАТ ,

Б

Б

Б

2хпхКх|_

2х|_

Т-Тср схрх^|

Интегральное решение этого уравнения имеет следующее выражение в соответствии с данными авторов (Гутер, 1976, Амелькин, 1987):

/ ^ \

где Т0 — температура крови на входе в сосуд; Т — температура крови на выходе из сосуда. Время ^ движения крови по сосуду, определяется из соотношения t = L/V ,

где L — длина сосуда, а V — скорость движения крови по сосуду. Подставляя это выражение в формулу (3) и раскрывая значение аэфф в соответствии со значениями а и а можно получить следующее

внут внеш 1 ^

соотношение:

Исходя из этой формулы, и были во многом проведены исследования теплоотдачи из крови артериальных сосудов.

ТЕПЛОПЕРЕНОС КРОВьЮ В

артериальных сосудах

Процесс отдачи тепла из крови, движущейся в различных сосудах, в ткани можно представить в виде следующего выражения:

где L — длина сосуда.

В работе исследовалась теплоотдача из крови в кожных артериальных сосудах радиусом 0,005; 0,0075; 0,01; 0,015; 0,02 и 0,03 см. В таблице 1 приведены некоторые геометрические и физиологические характеристики этих сосудов, которые имеют важное значение для расчетов теплообмена между протекающей в них крови и окружающими их тканями кожи.

Обращает на себя внимание сложность и нелинейная зависимость этих характеристик при изменениях радиуса сосудов. Как следует из этой таблицы, с увеличением радиуса сосуда от 0,005 до 0,03 см, т. е. в 6 раз, линейная скорость увеличивается только в 4 раза, в то время как объемная скорость кровотока увеличивается в 144 раза. Время «пребывания» единицы объема крови в сосуде, что особенно важно для теплообмена, в крупном кровеносном сосуде уменьшается в 1,8 раз.

Еще раз стоит отметить, что температура крови на входе для всех рассматриваемых сосудов задавалась одинаковой и равной 37,5 °С, а температура тканей, окружающих сосуды считалась тоже одной и той же и равной температуре 34 °С.

Анализ графиков изменения температуры крови в сосудах различных размеров (рис. 2) свидетельствует о том, что, кровь поступая в сосуд радиусом 0,03 см с температурой 37,5 °С , покидает его с температурой 37,2 °С . В сосуде радиусом 0,02 см температура крови на его конце снижается уже на 1 °С. Такое различие в изменении температуры крови на выходе из этого сосуда по сравнению с сосудом радиусом 0,03 см обусловлено двумя причинами. Во-первых, в сосуде радиусом 0,02 см скорость движения крови меньше, чем в сосуде радиусом 0,03 см, поэтому увеличивается и время теплообмена крови в меньшем сосуде.

Во-вторых, происходит увеличение относительной поверхности этого сосуда по сравнению с предыдущим

■ Таблица 1. Геометрические и физиологические характеристики артериальных сосудов

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Радиус сосуда Длина сосуда Линейная скорость гровотока Объем сосуда Время нахождения единицы объема крови в сосуде Объемная скорость кровотока Поверхность сосуда

Я, см Ц см V, См/с Q х 10-3, см3 ^ с W х 10-3, см3/с Б х 10-2 см2

0,005 0,45 1,5 0,035 0,3 0,118 1,413

0,0075 0,52 2,3 0,092 0,23 0,406 2,449

0,01 0,6 3,0 0,188 0,2 0,942 3,77

0,015 0,75 4,0 0,53 0,187 2,826 7,065

0,02 0,85 4,8 1,068 0,177 6,032 10,68

0,03 1 6,0 2,827 0,166 16,954 18,85

Б

а

ю

Т, °С

■ Рисунок 2. Схематическое изображение сосудов (А) и изменение температуры крови в них (Б): радиусом 0,03 см (1), 0,02 см (2), 0,01 см (3), 0,005 см (4)

А

Б

и поэтому скорость теплоотдачи тоже увеличивается. Как показывают расчеты, количество отдачи тепла из крови, протекающей по еще более мелким сосудам, в ткани только увеличивается. Так, в конце сосуда радиусом 0,01 см температура крови падает с 37,5 до 34,7 °С, а в сосуде радиусом 0,005 см полное температурное равновесие д остигается уже на середине сосуда.

Таким образом, в нормальных физиологических условиях кровь в сосудах радиусом 0,005 см все избыточное тепло (по сравнению с окружающей тканью) отдает главным образом при своем движении только в первой половине сосуда, тогда как при движении по второй половине сосуда температура крови почти равна температуре окружающей ткани. Как следует из расчета, при движении по еще меньшим сосудам артериальная кровь еще быстрее отдает все избыточное тепло в окружающую их ткань. В капиллярах уже на артериальном конце сосуда температура крови сравнивается с температурой окружающей ткани.

Естественно, представленные зависимости температуры крови при движении ее по сосудам различного калибра справедливы только для усредненных данных характерных для нормальных физиологических условий (которые и были

использованы в наших расчетах). При изменении этих параметров будет меняться и эффективность теплоотдачи из крови в сосудах. Например, когда скорость кровотока в сосуде радиусом 0,005 см была увеличена с 1,5 до 4,5 см/с т. е. в 3 раза, что вполне реально для живого организма, то в результате этого изменения скорости, температура в сосуде, по нашим расчетам, стала соответствовать не кривой 2, а кривой 1 (рис. 3).

В этом случае температура крови даже в конце сосуда отличается на 0,5 °С от температуры окружающей ткани. Поэтому такой сосуд уже по всей длине является теплообменником для окружающих его тканей. Наоборот, снижение скорости кровотока в сосуде приводит к ухудшению тепло-переноса кровью. Так, уменьшение скорости кровотока в 3 раза в том же сосуде (радиусом 0,005 см) приводит к тому, что температура крови в нем, при прежних внешних условиях, будет соответствовать кривой 3. Как следует из рисунка, только в начале сосуда кровь имеет температуру выше окружающей ткани, а дальше температура крови и ткани сравнивается. При еще большем снижении скорости кровотока фактически все избыточное

■ Рисунок 3. Изменение температуры крови в сосуде радиусом 0,005 см при скорости ее движения 4,5 см/с (1), 1,5 см/с (2), 0,75 см/с (3)

тепло из крови будет уходить в ткань уже в начале артериолы, а сам он не будет играть роль теплообменника. Аналогичное явление имеет место и в других сосудах. При увеличении скорости кровотока увеличивается температура в сосуде, а значит и увеличивается теплоотдача из крови, протекающей по этому сосуду и наоборот.

Таким образом, организм, меняя скорость кровотока в артериолах различного калибра, может изменять отдачу тепла из крови в ткани.

зависимость поступления тепла В ТКАНИ из различных сосудов

Предыдущий анализ показал зависимость отдачи тепла из крови текущей по артериальным сосудам различного калибра. Однако для теплообмена внутри организма важна эффективность поступления тепла в ткань из сосудов различного радиуса.

Исходя из наших расчетов, следует, что из сосудов радиусом меньшим, чем 0,005 см все тепло крови уходит в окружающую ткань. Кровь из сосудов этого калибра уходит в следующие звенья кровеносного русла полностью отдав в ткань избыточное тепло, а температура крови сравнивается с температурой окружающей ткани этих сосудов. Для больших сосудов, например, R = 0,01 см, тепло из текущей по сосуду крови уходит не только в окружающую ткань, но и частично покидает сосуд вместе с кровью.

О, Вт

■ Рисунок 4. Количество тепла отданного кровью в различных сосудах в единицу времени

Таким образом, только часть избыточного тепла из крови в этом сосуде уходит в окружающую ткань, а часть уходит в последующее кровеносное русло. Однако общее количество тепла, поступающее из этого сосуда в окружающую ткань больше, чем из сосудов меньшего радиуса.

У еще большего сосуда ^ = 0,02 см) уже количество тепла уходящее в ткань сравнивается с количеством тепла уходящим с кровью из этого сосуда. По нашим данным, в таком сосуде половина количества тепла уходит в ткань, а вторая половина количества тепла уходит в другой сосуд вместе с кровью. Для довольно крупного сосуда радиусом 0,03 см уже, наоборот, только меньшая часть тепла уходит в ткань, а большая часть избыточного тепла покидает сосуд вместе с кровью. Опять-таки, несмотря на это, общее количество тепла, поступающее в окружающую ткань, больше чем у меньших сосудов.

Таким образом, несмотря на уменьшение эффективности отдачи тепла кровью из крупных сосудов, общий поток тепла в ткань из крупных сосудов больше. Эта зависимость обусловлена тем, что объём крови, протекающей по крупным сосудам, гораздо больше (значит и количество тепла), чем в малых сосудах. Так, в единицу времени количество крови, протекающей через сосуд радиусом 0,03 см, в 144 раза больше, чем через сосуд R = 0,005см. По нашим расчетам, зависимость количества теплоты, отданное кровью в единицу времени при ее движении по сосудам с различным диаметром, можно представить в виде графика (рис. 4).

ТЕПЛООБМЕН ТКАНИ И КРОВИ,

протекающей по венозным сосудам

Кровь, возвращаясь из капилляров кожи, проходит по венозному руслу кожи и далее попадает в ядро организма. При своем движении кровь в артериальном русле, вплоть до петлевых капилляров, охлаждается от температуры ядра до температуры оболочки, а при возвращении в ядро, она в венозном русле проходит от менее нагретых слоев оболочки к более теплым слоям ядра. При этом, конечно, и температура крови будет изменяться. Для исследования теплообмена между тканями и кровью в венозном русле, когда «холодная» кровь из оболочки тела поступает в «теплые» ткани ядра тела была создана математическая модель. Чтобы результаты анализа были сравнимы, считаем, что в любой нами рассматриваемый венозный сосуд кровь входит с одной и той же температурой равной 34 °С. При движении по сосуду она нагревается, за счет более теплой ткани, температура которой тоже задавалась постоянной и равной 37,5 °С. Как и в случае теплообмена крови в артериальном русле, была составлена балансная схема для элемента, которую можно получить путем двухразового сечения сосуда на расстоянии друг от друга. Тогда, при соблюдении закона сохранения энергии должно выполняться следующее соотношение: изменение количества теплоты элемента крови в этом сечении должно равняться количеству тепла, которое приходит кондуктивным путем через поверхность рассматриваемого элемента сосуда в единицу времени. Математически этот процесс можно описать как

с х т х (Тц+Т) = -аЭф х S х (Т -Тср) х Дt , где все величины имеют те же значения, что и в предыдущей формуле (1). Аналогично, как и в предыдущем случае для решения этого уравнения, переходим к дифференциальной форме:

dT

T-T

~a^xS xdt

cp

c xm

Сделав те же подстановки, как и в формуле 2, получим следующую формулу:

С1Т

T-T,

cp

0зфХ2 xdt cxp xRq

Интегральное решение этого дифференциального уравнения будет иметь следующий вид:

T :

(0 -TJ>

exp

0,22 х A l

—’--------х —

A

+ +

cp

(5),

где все величины аналогичны применяемым в формуле (4). Сравнивая выражение (4) и (5) видим, что формально получилось то же самое математическое выражение. Однако, так как Т0 меньше Тср, в отличие от предыдущего случая, и результаты изменения температуры для крови будут совершенно другими. Исходя из этой формулы и были проведены исследования обмена теплом между кровью в венозном русле и окружающей тканью.

Для математического исследования теплообмена венозной крови с окружающими ее тканями важно задать геометрические и физиологические данные венозного русла. Морфологические исследования кровеносного русла кожи показали, что артериолы и венулы обычно располагаются рядом друг с другом, повторяя геометрию кровеносного русла друг друга, и во многом совпадая по длине (Ryan, 1973; Алексеев,1982; Ткаченко и др., 1994). Конечно, несмотря на приблизительно одинаковую геометрию между артериальным и венулярным руслом, размеры вен по диаметру обычно больше в 2-2,5 раза, чем соответствующие артериолы (Алексеев, 1982). При этом давление в венозных сосудах гораздо меньше, чем в артериальных, что приводит к более низкой скорости крови в них по сравнению с соответствующими артериальными (Greenfield, 1963; Чернух, 1982; Ткаченко и др., 1994). Как и в случае анализа теплообмена между тканью и кровью в артериальном русле, для анализа теплообмена крови и ткани в венозном русле были выбраны характерные для кожи венулярные сосуды (которые по длине соответствуют артериальным сосудам, но по диаметру в 2-2,5 раза больше, чем соответствующие артериальные сосуды). В таблице 2 приведены некоторые характеристики венозных сосудов, которые использовались в расчетах.

Расчет изменения температуры крови в сосуде, исходя из формулы (5), когда температура крови, входящей в венулу, составляет 34 °С, а температура окружающей ткани составляет 37,5 °С, приведен на рисунке 5. Как следует из рисунка, уже в сосуде радиусом 0,01 см температура крови нагревается с 34 до 37,5 °С на середине сосуда.

По нашим данным, в еще более мелких сосудах, температура крови практически сразу при входе в сосуды сравнивается с температурой ткани окружающей их. В самых малых венулах диаметром 20 мкм и менее кровь течет с температурой равной температуре окружающей ткани. По нашим расчетам, в сосудах радиусом 0,015 см кровь на выходе из сосуда уже на небольшую величину, но отличается от температуры окружающей сосуд ткани. Значимое отличие температуры крови от температуры окружающей ткани существует в венулах радиусом 0,02 см. Темпера-

R, см 0,002 0,006 0,01 0,015 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

V, см/с 0,05 0,16 0,28 0,35 0,45 0,62 0,8 0,93 1,1

L, См 0,2 0,35 0,45 0,50 0,60 0,78 0,85 0,95 1,0

Т, °С 37,5 37,5 37,5 37,43 37,07 36,04 35,2 34,79 34,5

а

в

Т,"С

■ Рисунок 5. Схематическое изображение венозных сосудов различного размера (вверху) и изменение температуры венозной крови в сосудах радиусом Я = 0,04 см, Я = 0,03 см, Я = 0,01 см, Я = 0,006 см (внизу)

1

3

4

тура венозной крови при выходе из сосуда калибром 0,03 см составляет 36,04 °С. В венулах еще большего размера температура крови уже существенно отличается от температуры окружающей ткани. Так, в сосуде радиусом 0,04 см температура крови на выходе отличается от температуры ткани уже на 2/3 (рис. 5).

Таким образом, как и в случае с артериями, в венулах малого размера кровь фактически течет с температурой окружающей ткани. В более крупных венулах радиусом 0,01-0,015 см и больше, температура крови уже не успевает нагреваться до температуры окружающей ткани. А в больших венулах, радиусом 0,04 см и более, кровь только незначительно увеличивает свою температуру при прохождении по теплым тканям.

Необходимо отметить, что такие соотношения при теплообмене между кровью и тканью в венозном русле существуют только для усредненных данных, характерных для нормальных физиологических условий принятых в наших расчетах. При изменении скорости кровотока эти соотношения меняются (рис. 6). Из сосудов радиусом 0,02 см кровь при увеличении скорости в 3 раза выходит уже с температурой отличной от температуры окружающей ткани на 1,3 градуса. Наоборот, снижение скорости кровотока в сосуде в 2 раза приводит к тому, что кровь сравнивается с температурой ткани и в следующем раздвоении сосуда кровь протекает с температурой равной температуре ткани.

модель сосудистого русла

Понимание процессов теплоотдачи крови в отдельных сосудах имеет важное значение, однако для оценки процесса теплопереноса во всем организме важно знание переноса тепла уже в самом сосудистом русле. Поэтому в работе было построено сосудистое дерево, имитирующее реальное русло в коже, используя анатомические и физиологические данные и исходя из определенных закономерностей строения сосудистого дерева. Как показывают многочисленные экспериментальные исследования по архитектонике, сосудистое русло имеет сложную структуру с различными особенностями в различных органах и тканях.

Знание строения сосудистой системы позволяет анализировать и оценивать такие жизненно важные моменты для состояния здоровья организма, как распределение кровяного давления, линейную скорость кровотока в сосудах разного диаметра и разной генерации, снабжение тканей кислородом или глюкозой и т. д. (Орлов, Ноздрачев, 2005). Помимо этого, интерес к структуре и гемодинамике сосудистых бифуркаций обусловлен необходимостью изучать такие сосудистые заболевания, как атеросклероз, первичная локализация которого связана с разветвлением крупных стволов (Саго, 1971). Поэтому исследования по структурной системе кровеносного русла ведутся давно и в настоящее время нако-

научные обзоры

Т/С

■ Рисунок 6. Изменение температуры крови в венозном сосуде Я = 0.02 см при скорости V = У0 (1), при V=3 • У0 (2), при V =0.5• V0 (3)

плен обширный материал, позволяющий выделить определенные закономерности в разветвлении сосудистой сети, а также и в отношении физиологических параметров движения крови и в корневом и ответвляющихся сосудах. Это, прежде всего, размеры ответвляющихся сосудов, их угол отклонения, длины сосудов, скорости движения крови в них и т. д.

Как и в ряде работ (Голубь, 1976), нами было принято считать структурным элементом кровеносного дерева тройник (разветвление, бифуркация), состоящий из трех сосудов: ствола и двух ветвей (рис. 7). Это дало возможность реализовать основные функции кровеносного дерева. Такие, как перенос крови в стволовом сосуде и распределение потоков крови в участке ветвления. Кровоток в тройнике характеризовали средней скоростью для каждого из 3-х сосудов и обозначали в виде Уо — для стволового сосуда и и У2 для ответвлений. Для постройки расчетного дерева были использованы такие параметры тройника как относительное сечение ветви Н, которое задавалось формулой

Э2

Н =------! ,

' Э + Э2

где параметр I = 1,2, а также параметр К — коэффициент ветвления который определяется из формулы, и которая показывает изменение сечения русла при переходе через тройник,

Оо

где D0, D1, D2 — диаметры корневого сосуда и его ответвлений, соответственно.

Экспериментальные данные показывают, что обычно сосудистое разветвление ассиметрично и,

■ Рисунок 7. Схема сосудистого русла, состоящая из тройника

значит, сечение одной ветви больше сечения другой ветви. Только на границе с капиллярным руслом артериальные и венозные бифуркации близки к симметричным. В соответствии с экспериментальными данными (Мамасашвили, 1975; Голубь, 1976; Шошенко, 1982) в целом, в кровянном русле тканей коэффициенты ветвления (К) и относительное сечение ветвей (Н1) растет в направлении к капиллярам и становятся максимальными на уровне капилляров. В нашей работе сами величины (К) и (Н) брались из этих экспериментальных материалов. Исходя из определений величины (К) и (Н) и величины диаметра корневого сосуда фо) легко найти диаметр разветвляющих артерий, которые можно выразить в виде следующих формул:

о,=с„^к-н

Р2 = 0„^кх(1 -и).

При постройке сосудистого дерева совершенно необходимо учитывать и гемодинамику крови в сосудистом русле, и, прежде всего, это закон сохранения массы крови, который для бифуркации может быть записан в виде

V

*

К,

2

V ч0 у

где Уо, У1, У2 — скорости кровотока в корневом сосуде и в двух разветвляющихся сосудах, соответственно; Яо, Я1, Я2 — радиусы корневого и разветвляющихся сосудов, соответственно. Кроме того, в расчетах для определения теплоотдачи крови при движении ее по сосудистому руслу недостающие параметры, такие как длина сосудов, скорость крови в одном из тройника, брались равными средней длине сосудов

R х 10-2, см 3 1,475 0,82 0,52 0,324 0,206 0,135 0,085 0,052

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V, см/с 6,0 4,0 2,7 1,7 1,15 0,7 0,4 0,2 0,11

L, см 1,0 0,77 0,56 0,44 0,315 0,25 0,21 0,15 0,13

данного калибра и средней скорости крови в сосудах данного калибра.

Сосудистое русло в нашем случае начиналось с сосудов радиусом 0,3 мм, в связи с тем, что в более крупных сосудах изменение температуры крови очень незначительно. Конечно, исходя уже из этой сравнительно крупной артерии (диаметром 0,3 мм), как корневой, возможно построить огромное количество сосудистых деревьев. В нашей работе для анализа теплоотдачи крови в сосудистом дереве при дихотомии корневого сосуда всегда выбирался сосуд меньшего диаметра, что позволяет, во-первых, сузить количество выбранных сосудистых деревьев. Во-вторых, этот подход позволяет проследить теплоотдачу крови в сосудистом дереве, где кровь быстрее всего доходит до самых малых сосудов, что важно для анализа теплоотдачи из сосудов разных калибров. Величина параметров «Н» и «К» вначале задавались равными 0,21 и 1,15 и далее эти величины по мере разветвления сосудов возрастали при каждой следующей бифуркации и при уменьшении диаметра сосудов до уровня капилляров эти величины увеличивались до уровня 0,33 и

1,3, соответственно. Исходя из выше приведенных соображений, было построено сосудистое русло, которое представлено на рисунке 8. Табличные значения с морфологическими и гемодинамическими данными этого русла и потока крови в нем приведены в таблице 3.

Без сомнения, разработанная модель сосудистого дерева только в среднем имитирует реальную сосудистую сеть. Конечно, реальная архитектоника сосудистой системы может и отличаться от представленной на рисунке 8. Однако благодаря накопленному экспериментальному материалу по морфологии артериальной и венозной сосудистой системы можно утверждать, что приведенное сосудистое дерево (рис. 8) учитывает важнейшие параметры реальной морфологической сосудистой системы, а так же, что гемодинамические параметры не выходят за пределы возможных величин.

ОТДАЧА ТЕПЛА КРОВЬЮ В АРТЕРИАЛЬНОМ РУСЛЕ

Пространственное расположение сосудистого дерева в реальных тканях может быть самым разно-

образным. Тем не менее, выбрав несколько характерных пространственных положений сосудистого дерева возможно во многом охарактеризовать закономерности охлаждения крови при ее прохождении по этому руслу. Для анализа теплообмена организма со средой важно знание конвективного теплообмена, прежде всего в коже. Поэтому, считая, что приведенное выше сосудистое дерево расположено в коже организма, исследовался процесс теплоотдачи крови в этом сосудистом русле.

■ Рисунок 8. Схематическое изображение сосудистого русла из 9 звеньев

■ Рисунок 9. Изменение температуры в каждом звене сосудистого дерева (рис. 8) при Тср=34 °С и при V=Vср(1), V=0,5 х V (2), V=3 х V (3), V=15 х V (4)

ср ^ ' ср ^ ' ср ^ '

Прежде всего, в работе считалось, что исследуемое сосудистое дерево расположено параллельно поверхности кожи, что позволяет принять температуру окружающей ткани постоянной и равной 34 °С (температура поверхности кожи в термонейтральной зоне для человека). В самый крупный сосуд, рассматриваемого сосудистого дерева, кровь поступает из ядра организма с температурой 37,5 °С. Считая, что скорость крови в каждом звене сосудистого дерева равна средней скорости в сосуде этого диаметра, распределение температуры крови представлено на рисунке 9. Как следует из рисунка, уже в следующем звене, т. е. в сосуде R = 0,0147 см, происходит резкое снижение температуры крови с 37 до 35,8 °С и уже в сосуде радиусом 0,0052 см кровь полностью отдает избыточное тепло в окружающую ткань. В последующих сосудах кровь протекает с температурой равной температуре окружающей ткани.

При реакциях терморегуляции организма, когда необходимо увеличивать теплоотдачу в связи с повышением теплопродукции или наоборот уменьшить теплоотдачу из-за низкой температуры окружающей среды, резко меняется кровоток в кожных сосудах. При этом существенно меняется картина распределения температуры крови в различных сосудах (рис. 9). Так, увеличение скорости кровотока по всему сосудистому руслу в 3 раза, приводит к тому, что уже не только сосуды радиусом 0,030,0052 см будут теплообменниками в ткани, но и в следующем звене, в сосуде R = 0,0324 мм кровь частично протекает с температурой выше температуры окружающей ткани. Увеличение скорости крово-

тока в каждом звене сосудистого русла в 15 раз как бы включает следующее звено сосудистого дерева в процесс теплоотдачи. Как показывают расчеты, для включения в теплообмен сосудов еще более мелких, вплоть до капилляров, надо увеличивать скорость кровотока в 80-100 раз. Наоборот, снижение кровотока приводит к резкому снижению температуры крови в сосудистом русле. Так, снижение скорости крови в сосудах в 2 раза приводит к тому, что температура крови полностью сравнивается с температурой окружающей ткани уже в сосудах радиусом

0,0082 см. Фактически из теплообмена исключается звено сосудистого русла по сравнению с нормой. Конечно, в реальных условиях изменение линейной скорости кровотока в 80-100 раз при терморегуляционных реакциях организма, которые могут продолжаться достаточно долго, невозможно. Это еще раз подтверждает тот факт, что мелкие артериальные сосуды, а тем более капилляры, не могут быть теплообменниками в коже.

Таким образом, при увеличении скорости кровотока в сосудистом русле, расположенном параллельно поверхности кожи, становятся теплообменниками в коже не только достаточно крупные артериолы (как это имеет место при нормальной скорости кровотока), но и более мелкие. Причем, чем больше скорость кровотока, тем более мелкие артериолы становятся теплообменниками. Наоборот, снижение скорости кровотока в коже приводит к тому, что только в достаточно крупных сосудах (большие, чем сосуды радиусом 0,005 см) будет идти теплообмен между кровью и кожей.

т° с

■ Рисунок 10. Распределение температуры в ткани кожи от поверхности вглубь тела

Второе характерное пространственное распределение сосудистого дерева в коже, является перпендикулярное расположение по отношению к поверхности кожи. В этой ситуации уже невозможно предполагать наличие постоянной температуры в окружающей сосуды ткани. В соответствии с нашими экспериментальными данными, приводимыми выше, и литературными данными других исследователей, в коже и в прилегающих к ней тканях распределение температуры не линейно. График изменения температуры в этой области у человека и многих гомойо-термных животных можно представить в виде графика (рис. 10). Как следует из этого графика, на самой поверхности кожи температура составляет 34 °С, а на небольшом удалении от поверхности резко изменяется с градиентом температуры 0,032 °С/см. Затем резко замедляется, а градиент температур уменьшается в 10 раз и составляет 0,0036 °С/см.

Таким образом, расчетное сосудистое русло окружают ткани с различным перепадом температуры, что, несомненно, оказывает свою специфику на теплоотдачу из крови, протекающей по этому сосудистому руслу. Как и в первом случае, когда сосудистое дерево располагалось параллельно поверхности кожи, считаем, что кровь в корневой сосуд поступает из ядра организма с температурой

37,5 °С. Также полагаем, что скорость движения крови в каждом звене сосудистого дерева соответствует средней скорости движения крови, характерной для сосуда определенного диаметра. Физиологические и морфологические данные рассматриваемого сосудистого дерева соответствуют данным, приводимым в таблице 3. Расчет теплоотдачи из сосуда,

который окружает ткань с линейно изменяющейся температурой, уже нельзя проводить по тем же формулам (приводимым выше для анализа теплоотдачи из крови, двигающейся по сосудистому дереву расположенному параллельно поверхности кожи).

Для того чтобы описать процесс теплоотдачи крови при ее движении по сосуду при линейно изменяющейся температуре окружающей его ткани, была также составлена балансная схема энергии для элемента сосуда, как и в предыдущих случаях. В соответствии с законом сохранения энергии должно выполняться следующее соотношение: изменение количества теплоты крови в малом элементе сосуда равняется количеству теплоты, которое уходит кон-дуктивным путем через боковую поверхность рассматриваемого элемента сосуда в каждый момент времени.

Математически это соотношение можно описать так:

с х т х (Т+т-^) = -аЭф х S х (Т - Т0) хДt , где т — масса крови выделенного элемента крови; с — теплоемкость крови; S — площадь боковой поверхности элемента; аэф — эффективный коэффициент теплоотдачи от поверхности сосуда в ткань; Т и Тн-1 — температура крови в этом элементе сосуда во время ^ и ^+1 соответственно; Тт — температура крови в выделенном элементе сосуда за время Д! Преобразование возможно сделать те же, что были сделаны для получения формулы 5, однако необходимо учитывать, что температура в ткани будет уже не постоянна, а изменяться по линейному закону, а именно:

Тс = ах V х 1 +ТТО,

где V — скорость движения крови в сосуде, Тто — температура среды в начале сосуда, Т — температура среды в конце сосуда, L — длина самого сосуда, а параметр «а» равен соотношению (Т^Т^Д. Подставляя это выражение Тс в формулу (6) и переходя к дифференциалам, получим следующее выражение:

С1Т =Дх(т-ахУх 1 -ТТо)хС.

Интегрируя это выражение, получаем следующую формулу (6) для температуры крови в сосуде:

т -Тто = ху)ехр(Ах)ху+ахУх1+Тто (6),

где

а = Ь^Хух<+Тто

д_ - 2ха-зф _ -0,44хД

схрхр схрхК2

Полученная формула (6), описывающая изменение температуры крови в сосудах различного калибра при переменной температуре окружающей ткани, были использованы для анализа закономерности изменения температуры крови в сосудистом русле кожи расположенного перпендикулярно поверхности кожи.

Далее, было проанализировано изменение температуры крови, при движении ее по сосудистому руслу (рис. 8) с учетом изменения температуры окружающей ткани. Как показывают расчеты, в первом звене сосудистого дерева температура крови отличается от температуры ткани только на 0,02 °С. Более значительное уменьшение температуры крови наблюдается в последующих звеньях сосудистого дерева. Так, уже и в четвертом звене (сосуде радиусом 0,05 мм) температура крови, вытекающая из сосуда, почти не отличается от температуры окружающей сосуд ткани. В последующих звеньях сосудистого русла температура крови фактически сравнивается с температурой окружающей ткани кожи. Кровь в этих сосудах протекает с температурой почти равной температуре окружающей их ткани.

Для поддержания теплового гомеостаза при различных температурах среды или в связи с внутренними потребностями, организм осуществляет регуляцию кровотока в коже. Как показывают наши исследования, увеличение или, наоборот, уменьшение кровотока в сосудистом дереве резко меняет распределение температуры крови во всем сосудистом русле. Так, увеличение скорости кровотока в каждом звене рассматриваемого сосудистого дерева в 3 раза, приводит к тому, что кровь уже в сосудах 5 и 6 звена (с радиусом сосуда 0,032 мм и 0,021 мм) протекает с температурой выше температуры окружающей ткани. Увеличение скорости кровотока по всему сосудистому руслу в 20 раз приводит к тому, что уже и сосуды радиусом 0,013 мм являются теплообменниками. К противоположному эффекту приводит снижение кровотока в сосудистом дереве. Как следует из расчетов, снижение скорости кровотока в 3 раза от нормы приводит к тому, что тепловое равновесие между кровью и тканью уже наблюдается в четвертом звене сосудистого дерева и в последующих звеньях она протекает с температурой, равной температуре окружающей ткани.

Таким образом, как при параллельном расположении в коже сосудистого русла, так и при перпендикулярном расположении по отношению к поверхности кожи, теплоотдача из различных артериальных сосудов происходит различным образом. Если в крупных сосудах радиусом большем чем 300 мкм, кровь практически не остывает, то в сосудах радиусом меньшем, чем 50 мкм, температура ее

фактически сравнивается с температурой окружающей ткани. Поэтому теплообмен между кровью в артериальном русле и тканью в основном происходит в сосудах радиусом больше чем 0,005 см и меньших чем 0,05 см.

Как было показано выше, эти соотношения существуют при нормальных условиях, когда скорость кровотока равняется средней скорости для каждого звена сосудистого русла. Очень важным моментом являются изменения в теплоотдаче крови в различных сосудах при изменении скорости кровотока. При увеличении скорости кровотока становятся теплообменниками не только крупные сосуды, но и более мелкие. Наоборот, при уменьшении скорости кровотока уже только более крупные сосуды становятся теплообменниками.

Поэтому организм, варьируя скоростью кровотока в сосудистом русле кожи, может менять количество сосудов участвующих в теплообмене крови и окружающей ткани, что может служить (помимо увеличения крови в сосудистой системе) дополнительным механизмом эффективного влияния на теплообмен организма и среды.

ТЕПЛООБМЕН ТКАНИ И КРОВИ, ТЕКУЩЕЙ В ВЕНОЗНОМ РУСЛЕ КОЖИ

В коже кровь, проходя по артериальным сосудам, отдает тепло в окружающую ткань и при этом, как было выяснено выше, в микрососудах охлаждается до температуры тканей кожи. Далее кровь по венозному руслу возвращается из кожи в ядро организма, где располагаются ткани с постоянной и высокой температурой (приблизительно 37,5 °С). При этом венозная кровь, проходя по венозным сосудам, подвергается тепловому воздействию со стороны окружающих тканей, где температура может меняться на несколько градусов, а в экстремальных ситуациях на 15 и более градусов. Конечно, и температура крови при ее движении по венозным сосудам будет изменяться, испытывая тепловое влияние окружающих тканей. Поэтому в работе были исследованы закономерности процесса теплообмена крови, двигающейся по венозному руслу, с окружающими тканями кожи.

Для этого, прежде всего, было разработано венозное сосудистое русло. Исходя из данных авторов (Джонсон, 1982; Алексеев, 1982), можно считать, что параллельно артериальному руслу в тканях залегает венозное, а диаметр самих венул приблизительно в 2 раза больше диаметра соответствующих артериол. Поэтому для основы расчетов теплообмена крови и ткани в венозном русле было взято сосудистое арте-

R х 10-2, см 6 2,94 1,64 1,04 0,648 0,412 0,27 0,166 0,104

V, см/с 0,2 0,17 0,15 0,13 0,1 0,08 0,07 0,05 0,04

L, см 1 0,77 0,56 0,44 0,315 0,25 0,21 0,15 0,13

риальное русло (рис. 8), где соответствующие сосудистые звенья имеют одну и туже длину, а диаметр в

2 раза больше. Геометрические и морфологические данные сосудистого венозного дерева и скорости движения крови в них приведены в таблице 4.

Первоначально считаем, что венозное сосудистое дерево расположено параллельно поверхности кожи. «Холодная» венозная кровь от поверхности кожи с температурой 34 °С поступает в венозные капилляры, а оттуда она впадает в более крупные венозные сосуды. Так как венозное дерево расположено параллельно поверхности кожи, то, как и в случае с параллельно поверхности кожи расположенным артериальным деревом, считаем, что температура окружающей ткани есть величина постоянная и составляет 37 °С.

Для анализа теплообмена крови в венозной сосудистой системе можно воспользоваться формулой 5 для каждого звена. Как показывают расчеты, уже в первом звене сосудистого венозного дерева в сосуде радиусом 0,0104 мм «холодная» венозная кровь нагревается от ткани с температуры 34 °С до температуры 37 °С и в последующем по всему сосудистому венозному руслу протекает с такой высокой температурой без изменений.

Далее, для анализа теплообмена венозной крови с окружающей тканью, сосудистое венозное дерево было расположено перпендикулярно относительно поверхности кожи. В этом случае необходимо считать температуру в ткани, окружающей венозное дерево, переменной. Как и ранее считаем, что в глубине от поверхности кожи температура тканей изменяется в соответствии с графиком, приведенным на рисунке 10. Таким образом, кровь в венозное дерево будет входить с температурой 34 °С (температурой равной температуре поверхности кожи) и далее двигаться по венозному руслу, испытывая температурное влияние окружающей ткани с распределением температуры представленном на графике рисунке 10. При этих условиях процесс теплообмена венозной крови с окружающей тканью фактически возможно математически описать в виде той же формулы, которая была применена при описании теплообмена артериальной крови с тканью, где изменяется температура, а именно в виде формулы:

т =То -Тто -==ехр(Дх1:)+-АхУ+ахух^Тто

где

А = - 2 Хаэф = - 0,44 хЛ . схрхК схрхК2

Однако в данном случае величина «а» уже будет отрицательной т. к. в венозном русле кожи кровь двигается от менее нагретых слоев ткани к более нагретым.

Исходя из этой формулы, и были проведены расчеты теплообмена венозной крови с окружающей сосудистое дерево тканью. Прежде всего, при расчетах считалось, что скорость крови в каждом звене венозного дерева равна средней скорости (табл. 4). Как следует из расчетов, в первых семи сосудах температура крови фактически равна температуре окружающей ткани. В восьмом звене, в сосуде радиусом 0,0294 см уже течет кровь с температурой отличной от температуры окружающей ткани. Температура крови на выходе из восьмого сосуда составляет 36,94 °С, что на 0,3 °С ниже температуры ткани. В последующем девятом звене венозного дерева венозная кровь нагревается всего на 0,16 °С и далее в более крупных венозных сосудах, по нашим расчетам, фактически не повышается. Таким образом, венозная кровь при возвращении из периферических тканей в ткани ядра хоть и будет увеличивать температуру, но все же в ядре организма температура ее будет отлична от температуры тканей ядра.

Изменение скорости кровотока в венозном русле, по нашим расчетам, приводит к изменению теплообмена крови и окружающей ткани. Так увеличение скорости кровотока в каждом звене сосудистого дерева в 3 раза приводит к тому, что даже в сосуде радиусом 0,0324 мм венозная кровь течет с температурой ниже температуры окружающей ткани. Уменьшение скорости движения крови приводит к противоположному эффекту. Так, из расчетов следует, что понижение скорости крови в каждом звене венозного дерева в 2 раза при постоянстве всех остальных параметров, приводит к тому, что венозная кровь, оттекающая от кожи, будет отличаться от температуры ядра всего на 0,4 °С.

Таким образом, «теплая» артериальная кровь, поступающая в кожу из ядра организма отдает тепло в окружающие их ткани и температура крови в капиллярах, расположенных во внешних слоях кожи, приобретает температуру поверхностных слоев кожи. Далее, охлажденная кровь (до температуры поверх-

ностных слоев кожи) по венозной сосудистой системе возвращается в ядро организма и прогрессивно нагревается в мелких венулах. Однако, когда кровь поступает в достаточно крупные венозные стволы, но которые еще находятся не в ядре организма, температура крови уже мало изменяется, несмотря на то, температура окружающей ткани может повышаться. В ядро организма кровь, оттекающая от кожи, поступает по достаточно крупным сосудам, когда уже нет нагревания венозной крови за счет тепла тканей ядра организма. Поэтому венозная кровь, как показывают наши исследования, поступает в ядро организма, оттекая от кожи, охлажденной не до уровня температуры поверхностного слоя кожи, а до температуры ниже уровня температуры тканей ядра всего на несколько десятых градуса. Поэтому теплообмен между кровью (венозном русле) и тканью в основном происходит в сосудах радиусом больше чем

0,01 см и меньших чем 0,1 см. Причем, изменение скорости кровотока в венозной системе приводит к изменению температуры крови, оттекающей от поверхностных слоев кожи. Увеличение скорости кровотока в венозном русле приводит к тому, что венозная кровь, поступающая в ядро организма, не успевает достаточно сильно нагреться в тканях оболочки, с более высокой температурой, и поступает в ядро организма с еще более низкой температурой. Наоборот, уменьшение скорости кровотока в венозном дереве при прочих равных условиях приводит к тому, что кровь достаточно долго проходит по теплым тканям и нагревается больше, прежде чем поступить в ткани ядра.

Наши исследования хорошо согласуются с экспериментальными данными, приводимыми в работе (Хорева, 1989), где на живом кролике получены прямые данные о величине температуры крови в крупных венах, собирающие кровь с различных областей тканей кролика. В другой работе этого автора (Хорева, 1991) показано, что в крупных венах, температура крови отводящих кровь от кожи кролика, отличается от температуры ядра организма всего на 0,2-0,3°С.

ТЕПЛОПЕРЕНОС ЧЕРЕЗ КОЖУ ОРГАНИЗМА

Теплоперенос в оболочке организма осуществляется через ткани, где одновременно существует циркуляция крови по артериальному и венозному руслу. Поэтому существует сложный процесс переноса тепла: с одной стороны, теплая артериальная кровь поступает в эти ткани, с другой стороны, холодная венозная кровь вытекает из этой области. Более того, возможен тепловой обмен напрямую между артериальной и венозной кровью, т. к. арте-

риальное и венозное русла во многом расположены рядом друг с другом.

Для описания общего теплопереноса в коже требуется подробное знание архитектоники кровеносного русла, что возможно, т. к. в настоящее время анатомия сосудистого русла кожи человека выяснена достаточно подробно. Несмотря на то, что ряд моментов в архитектонике сосудистого русла оболочки тела был во многом выяснен в обзоре литературы, для построения тепловой модели теплопереноса в оболочке уместно здесь заострить внимание на ключевых моментах в строении сосудистого рисунка.

По данным ряда авторов (Lewis, 1927; Спаркс, 1982), артериолы, питающие кожу, образуют широкопетлистую сеть под гиподермой, которую обозначают как фасциальную сеть. Из этой сети в кожу направляются более мелкие сосуды, которые на нижней границе дермы делятся и анастомозируют друг с другом, образуя вторую глубокую так называемую субдермальную артериальную сеть, параллельную первой. Из субдермальной артериальной сети в собственно кожу поднимаются артериолы следующего порядка ветвления диаметром около 100 мкм. Эти короткие артериолы в самой дерме тоже делятся, образуя следующий слой артериального сплетения, сосуды которого имеют еще более мелкий калибр. От этого артериального сплетения отходят артериолы диаметром 40-50 мкм, а непосредственно на границе с сосочковым слоем располагается поверхностная артериальная сеть. От этого сплетения уже отходят артериальные сосуды, образующие капилляры (так называемые папиляр-ные капилляры). Плотность папилярных капилляров в коже соответствует плотности сосочков, меняясь в различных областях тела и составляя величину в 16-65 штук на один квадратный миллиметр поверхности кожи (Петрищев, 1984). Капилляры переходят в венулы, а те, в свою очередь, образуют мелкопетлистую поверхностную венулярную сеть сразу под сосочками кожи. Из поверхностной венулярной сети, которая расположена, как и поверхностная артериальная сеть, параллельно поверхности кожи, отходят венулярные сосуды, которые на уровне сетчатого слоя кожи образуют следующее венозное сплетение. В гиподерме залегает уже крупноячеистая емкая глубокая венозная сеть, к которой из вышележащего венозного сплетения отходят венулы. Это венозное сплетение расположено параллельно соответствующему артериальному сплетению, с которым оно связано множеством артериовеноз-ных анастомозов.

Четкую диаграмму сосудистого русла в коже человека приводит M. C. Conrad (1971) (рис. 11). Как

CAPILLARIES

SUPERFICIAL

PLEXUS

SUB-SUPERFICIAL

PLEXUS

INTERMEDIATE

PLEXUS

A-V ANASTOMOSIS

DEEP PLEXUS

■ Рисунок 11. Диаграмма сосудистого русла в коже человека по M. C. Conrad (1971)

■ Рисунок 12. Схематическое изображение кровеносного русла в коже. Заштрихованные сосуды — венулы, не заштрихованные сосуды — артериолы

видно из рисунка здесь можно выделить параллельно расположенные артериальные и венозные сплетения и сосуды, которые дают начало этим сетям. Также четко на этом рисунке можно видеть уменьшение размеров сосудов при приближении к поверхности кожи. Для построения модели теплопереноса была создана сосудистая сеть, которая имитирует реальную сеть в коже (рис. 12).

Как видно из рисунка, у поверхности кожи располагаются петлевые капилляры, которые объединяют самые верхние артериальные и венулярные сплетения радиус сосудов которых составляет около 4-5 мкм. На большей глубине параллельно предыдущему сосудистому сплетению располагается следующее более мощное сосудистое сплетение, размер сосудов которого в 2-3 раза больше чем у первого сплетения. Еще глубже в оболочке тела существует еще одно сплетение артериальных и венулярных сосудов, размеры которых в 3-5 раза больше, чем у предыдущего сплетения. Между собой эти сплетения соединяются сосудами соответствующих размеров. Тепло из ядра организма, где температура высокая, поступает в кожу, где в норме температура ниже на несколько градусов. Такая картина архитектоники кровеносного русла есть схема кровеносной системы кожи. Конечно, на каждом уровне помимо выделенных сосудов существуют другие, меньшего диаметра. Однако для создания математической модели теплопереноса важна именно величина размеров сосудов, потому что размеры сосудов определяют условия конвективного теплопереноса, как это следует из предыдущих исследований.

Исходя из рисунков 11 и 12, можно отметить еще, что артериолы и венулы, соединяющие сосудистые сплетения, проходят рядом. Также считаем, что эти соединяющие сосуды отстоят друг от друга на определенном постоянном расстоянии в каждом слое, то есть, на каждом уровне соединяющие сосуды образуют регулярную структуру. Поэтому можно выделить элемент ткани кожи (ткань вместе с сосудами ограниченная штриховыми линиями), который будет повторяться на всей длине уровня. На более глубоком уровне можно тоже выделить повторяющейся элемент сосудистого русла, только другого размера. Такая регулярная структура сосудов на каждом уровне позволяет рассматривать процесс теплопереноса только в одном элементе каждого уровня, чтобы оценить процесс теплопереноса во всем уровне. Этим повторяющимся элементом на каждом уровне является малый объем ткани, который включает рядом лежащие артериальные и венозные сосуды, характерные для каждого уровня (рис. 13). Как видно из рисунка, кровь по артерильным сосудам течет к плоскости I, а по венозному руслу кровь течет к плоскости II . В таком элементе ткани кожи уже возможно в процессе тепло-

■ Рисунок 13. Схематическое изображение регулярного элемента кожи

переноса оценить роль конвективного теплоперено-са по сравнению с кондуктивным.

Математически теплоперенос в таком элементе ткани описывается следующей системой уравнений:

дХ2

дХ2

дГ?

+-

+-

ЗУ2 дГ2

+

ік

ЗУ

Ж2

.35

Ж2

дГ,2

2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+—а -

2 0-72

_+ЗЕ+ЗЛ2-

дХ2 зу2 Ж2

т а’

ч

а,

= Л X-

ЗГа

Ж

.дГ,

да

дп

Ла Х Х ’

дп

дГу сГ^к

Лу х —^ =Лtk х —1к,

дп

дп

где Та = Т^ на поверхности раздела артериолы и ткани, Ту = Т^ на поверхности раздела венулы и ткани, Т* = Т0 при z = 0, Та = Т0 при z = 0, Ту = Т* при z = L,

а =

-Тть!І^хух1+Т

ТО ,

при z = L, на всех боковых поверхностях области

дТ

ж _

д п

= 0

а, дz

Пограничные условия можно представить в виде следующих соотношений:

Стационарную трехмерную задачу теплопроводности решали методом сеток. Для аппроксимации дифференциальных операторов разностями использовали равномерную сетку. Шаг сетки выбирали таким образом, чтобы в сосуд наименьшего размера попадало не менее пяти точек. Как показали результаты численных экспериментов, дальнейшее дробление сетки не приводит к существенному улучшению результатов расчетов. Сеточную задачу решали методом установления с применением расщепления по трем пространственным направлениям. Параболическую задачу движения крови в сосудах также решали численно с применением разностей против потока. Общее количество узлов сетки имело порядок 50 х 50 х 25. Время расчетов на компьютере с процессором Репйит составляло 1-3 ч.

Как показывают расчеты на модели, если сосуды имеют малые размеры, то конвективный тепло-перенос с кровью почти отсутствует. Температура артериальной крови, входящей в этот элемент ткани фактически равняется температуре венозной крови, выходящей из этого элемента кожи. В результате количество тепла входящее в этот элемент ткани с артериальной кровью, сравнивается с количеством тепла выводимого из этого элемента ткани вместе с венозной кровью. Если в такой системе вообще убрать кровоток то, как показывают расчеты, фактически никакого изменения ни в распределении температурного портрета, ни величины температуры не произойдет в рассматриваемой ячейке. В сосудах, радиус которых больше 50 мкм, температура на входе артериальной крови уже отличается от температуры венозной крови, выходящей из рассматриваемого элемента объема ткани кожи. В еще больших сосудах температура во входящей артериальной и выходящей венозной крови будет разниться. Так, в сосудах радиусом 100 мкм разница температур крови между входящей артериальной кровью и выходящей венозной кровью уже составит около 0,1 С. При этом, распределение температуры в ткани изменяется, что обусловлено наличием не только кондуктивной составляющей процесса теплопереноса в этом объеме ткани, но и конвективной. Изменение скорости кровотока в этих сосудах изменяет соотношение между конвективным процессом теплопереноса и кондуктив-ным. Так, если скорость крови в сосудах радиусом 40 мкм увеличится в 3-5 раз, то разница температуры крови между входящей артериальной и выходящей венозной составит около 0,08 С, что уже вносит конвективный вклад в перенос тепла от плоскости II к плоскости I в этом элементе ткани кожи. При снижении скорости кровотока в 2 раза уже и в сосудах радиусом 80 мкм температура крови в ар-териоле и венуле будет почти одинаковой и конвективного переноса не будет.

Исходя из полученных результатов на выделенном элементе объема ткани кожи, становятся понятными пути теплопереноса в коже, если архитектоника ее будет представлять схему, как на рисунке 11. Как видно из рисунка, самый верхний слой сосудов у самой поверхности кожи состоит из петлевых капилляров, радиус которых не превышает 5-6 мкм. Поэтому, как следует из анализа процесса теплопереноса на элементе ткани, в этом слое конвективной составляющей не будет, так как температура входящей артериальной крови будет равняться температуре выходящей венозной крови и поскольку их объемы одинаковы, то и никакого переноса тепла с помощью кровотока не будет. Во втором слое, где

радиусы сосудов, соединяющие рядом лежащие сплетения, не превышают 20-25 мкм, то, по нашим расчетам, тоже не будет конвективной составляющей переноса тепла по той же причине. В третьем слое сосуды, соединяющие рядом лежащие сплетения, имеют радиус около 50 мкм и, по нашим расчетам, при интенсивном кровотоке уже возможна конвективная составляющая из ниже лежащего слоя к верхнему. Еще на более глубоком расстоянии от поверхности кожи, конечно, залегают сосуды еще большие и меньшие, чем сосуды радиусом 50 мкм, что при интенсивном кровотоке приводит к большей составляющей переноса тепла за счет тока «теплой» крови, чем за счет переноса тепла по градиенту температуры между слоями. При интенсивном кровотоке и широком бассейне сосудистого русла в тканях уже будет преобладать в переносе тепла не кондук-тивный, а конвективный теплоперенос. При этом организм может активно изменять способ переноса в этих слоях путем простого изменения скорости кровотока. Увеличение кровотока на периферии, скажем на 3-м уровне, приводит к тому, что теплообменниками становятся более мелкие сосуды и конвективный теплоперенос усиливается, что увеличивает температуру периферической ткани, а значит и отдачу тепла в среду. Наоборот, снижение кровотока в периферических тканях приводит к тому, что и более крупные сосуды не будут теплообменниками тепла. Тепло будет переноситься из центра на периферию кондуктивным путем на большее расстояние, что приводит к снижению температуры кожи, а значит и уменьшит отдачу тепла в среду.

Литература

1. Алексеев О. В. Физиология кровеносной системы кожи // Кожа. - М., 1982. - С. 156-162.

2. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. — М., 1987. — 158 с.

3. Голубь А. С., Шошенко К. А. Распределение потоков крови при ветвлении артериальных микрососудов брыжейки лягушки // Бюл. экспер. биол. и мед. — 1976. — Т 81, № 3. — С. 307-309.

4. Гутер З. С., Ямпольский А. Р. Дифференциальные уравнения. — М., 1976. — 304 с.

5. Джонсон П. Периферическое кровообращение. — М.1982. — 440 с

6. Иванов К. П. Основы энергетики организма. — Л.: Наука, 2001. — Т. 3. — 278 с.

7. Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. — М., 1981. — 417 с.

8. Кутателидзе С. С. Основы теории теплообмена. — Новосибирск, 1970. — 660 с.

9. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М., 1973. — 904 с.

10. Лучаков Ю. И., Морозов Г. Б. Модельные исследования теплообмена между артериолами и венулами // Рос. физиол. журн. им. И. М. Сеченова. — 2000. — Т. 86, № 1. — С. 120-123.

11. Лучаков Ю. И., Морозов Г. Б., Румянцев Г. В. Математическая модель теплообмена между кровью круп-

ных артерий и вен // Рос. физиол. журн. им. И. М. Сеченова. - 2001. - Т. 87, № 7. - С. 1003-1007.

12. Мамисашвили В. А., Бабунашвили М. К., Мчедлиш-вили Г. И. Критерий оптимального функционирования подсистем крупных и мелких пиальных артерий // Физиол. журн. СССР им. Сеченова. — 1975. — Т 61, № 10. — С. 1501-1506.

13. Орлов Р. С., Ноздрачев А. Д. Нормальная физиология. — М., 2005. — 696 с.

14. Петрищев Н. Н. Кровоснабжение кожи. Физиология кровообращения // Физиология сосудистой системы. — Л., 1984. — С. 533-546.

15. СпарксХ. В. Кожа и мышцы // Периферическое кровообращение / Под ред. П. Джонсона. — М., 1982. — С. 237-285.

16. Ткаченко Б. И. Основы физиологии человека. Т. 1. — 1994. — 567 с.

17. Хорева Е. В. Теплоперенос в задней полой вене и брюшной аорте кролика // Физиол. журн. СССР им. И. М. Сеченова. — 1991. — Т. 77, № 2. — С. 106-110.

18. Хорева Е. В., Дымникова Л. П. Температурные различия между артериальной и венозной кровью в магистральных сосудах кролика // Физиол. журн. СССР им И. М. Сеченова. — 1989. — Т. 75, № 8. — С. 115401145.

19. Чернух А. М. Кожа и ее значение в жизнедеятельности организма // Кожа. — М., 1982. — С. 7-19.

20. Шмидт-Нильсон. Физиология животных. Приспособление к среде. Т. 1. — М., 1982. — 414 с.

21. Шошенко К. А., Голубь А. С., Брод В. И. и др. Архитектоника кровеносного русла. — Новосибирск, 1982. — 182 с.

22. Caro C. G. FitzGerald J. M., SchrterR. C. Atheroma and arterial wall shear: observations, correlation and proposal of a shear dependent mass transfer mechanism for atherogenesis // Proc. Roy. Soc. London, Ser. B. — 1971. — Vol.177, N 1046. — P.109-159.

23. Chato J. C. Heat transfer to blood vessels // J. Bio-mechan. Eng. — 1980. — Vol. 102. — P. 110-118.

24. Conrad M. C. Functional anatomy of the circulation to the lower extremities. — Chicago: Year Book, 1971.

25. Greenfield A. D. The circulation through the skin. Handbook of physiology. Circulation. — 1963. — Vol. 2, Sec. 2. — P. 1353-1386.

26. Lewis T. The blood vessels of the human skin, their responses. — London: Shaiw and Sos, 1927.

27. Ryan T. J. Structure, pattern and shape of the blood vessels of the skin // The Physiology and Pathophysiology of the Skin / Ed. A. Jarrett. — London, Academic Press, 1973. — P. 577-651.

28. Shitzer A., Kleins M. Trans of ASME // J. Biomechan. Eng. — 1980. — Vol. 102, N 2. — P. 162-169.

29. Sholander P. F. Schevill W. E. Conter-current vascular heat exchange in the fish of whaley // J. Appl. Physi-

ol. - 1955. - Vol. 8, № 3. - P. 279-282.

30. Sholander P. F., Krog J. Conter-current vascular heat exchange and vascular bundles in sloths // J. Appl. Physiol. - 1957. - Vol. 10. - P. 405-411.

HEAT TRANSFER iN BLOOD VESSELS: COMPARiSON EXPERiMENTAL AND MATHEMATiCAL DATA

Yu. I. Luchakov, N. G. Kamyshev, P. D. Shabanov

♦ Summary: Heat transfer in the organism, making by means of convective (with blood flow) and conductive (with difference of temperature in various points) processes is only light studied phenomenon. The experiments and mathematical analysis show that in the skin the upper layer of vessels consists of loop capillars with radius 5-6 mkm. In this layer, the convective component is absent, and heat transfer with blood flow is absent too. In the second layer of the skin (vessel radius 20-25 mkm), the convective component of heat transfer is also absent because of the same reason. In the third layer of the skin vessels with radius about 50 mkm, the convective component from low stratum to upper one is possible in intensive blood flow. Moreover, in deep layer of the skin (vessel radius is more or less than 50 mkm) heat transfer is registered in intensive blood flow due to flow of “warm” blood compared to heat transfer on temperature gradient between layers. In intensive blood flow and spread pool of vessels, the convective heat transfer dominates in comparison with conductive one. At this time, the organism can actively changes the way of heat transfer in these layers by means of simple change of blood flow speed. The increase of blood flow in periphery leads to situation when little vessels become heat transfers, and convective heat transfer is elevated that increases temperature of peripheral tissue and, as a result, heat delivery into environment. And the wrong way, the decrease of blood flow in peripheral tissues does not lead to heat transfer by big vessels. Heat will be transfer from the center to periphery by means of conductive way within long distance that leads to the skin temperature decrease and reduces heat delivery to environment.

♦ Key words: heat transfer; conductive heat transfer; convective heat transfer; vessels; blood flow; mathematical analysis.

♦ Информация об авторах

Лучаков Юрий Иванович — кандидат биологических наук, научный сотрудник лаборатории генетики поведения Института физиологии им. И. П. Павлова РАН, 199034, СПб, наб. Макарова, 6. E-mail: yluchakov@yandex.ru.

Камышев Николай Григорьевич — доктор биологических наук, заведующий лабораторией Института физиологии им. И. П. Павлова РАН, 199034, СПб, наб. Макарова, 6.

E-mail: yluchakov@yandex.ru.

Шабанов Петр Дмитриевич — д. м. н., профессор, заведующий кафедрой фармакологии.

Военно-медицинская академия им. С. М. Кирова

194044, Россия, Санкт-Петербург, ул. Академика Лебедева, д. 6.

E-mail: pdshabanov@mail.ru

Luchakov Yuriy Ivanovich - Candidate of Biological Sciences.

I. P Pavlov Institute of Physiology RAS.

199034, Russia, St.Petersburg, Adm. Makarov enbankment, 6. E-mail: yluchakov@yandex.ru.

Kamyshev Nikolay Grigorevich - Doctor of Biological Sciences, Head of the Laboratory. I. P Pavlov Institute of Physiology RAS. 199034, Russia, St.Petersburg, Adm. Makarov enbankment, 6. E-mail: yluchakov@yandex.ru.

Shabanov Petr Dmitrievich - Doctor of Medical Sciences, professor, Head of the Department of Pharmacology.

Military Medical Academy. Military Medical Academy,

194044, St.Petersburg, Acad. Lebedev street, 6.

E-mail: pdshabanov@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.