CC BY
20
УДК 519.6; 532.546
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНЖЕКЦИИ СЕРОВОДОРОДА В ПОРИСТУЮ СРЕДУ, НАСЫЩЕННУЮ НЕФТЬЮ И ВОДОЙ
М.К. Хасанов
Выполнено численное моделирование инжекции жидкого сероводорода в пористую среду, насыщенную нефтью и водой, сопровождающейся образованием газогидрата Построены автомодельные решения для случая, когда образование газогидрата происходит на фронтальной поверхности вытеснения нефти сероводородом. Численно исследована зависимость координаты, давления и температуры фронта гидратообразования от массового расхода инжекции и начальной водонасыщенности пористой среды.
Ключевые слова: математическая модель, автомодельное решение, пористая среда, фильтрация, газогидраты, сероводород.
Введение. Подземное захоронение сероводорода, вырабатываемого промышленными объектами, в нефтегазовых коллекторах является одним из методов снижения его эмиссии в атмосферу [1,2]. Поскольку при долгосрочном подземном хранении утилизируемых газов в виде флюида существует риск их утечки на поверхность, то рассматривается возможность их перевода в газогидратное состояние, которое по сравнению со свободным состоянием, позволяет хранить одинаковое количество газа при значительно меньших давлениях [3-5].
Поскольку любые технологические идеи должны быть подкреплены соответствующими расчетами, основанными на теоретических моделях, то актуальной задачей является построение адекватных математических моделей гидратообразования, учитывающих тепломассоперенос в пористой среде. Математические модели образования газогидратов в протяженных пористых пластах при инжекции газа сформулированы, в частности, в работах [6,7]. Однако в данных работах закачивается, тот же самый газ, который насыщает пласт в начальном состоянии. Математические модели инжекции жидкого и газообразного диоксида углерода в пласт, содержащий метан и воду в свободном состоянии, представлены в работах [8,9]. В настоящей работе построена математическая модель образования газогидрата И28 при закачке жидкого сероводорода в пласт, насыщенный нефтью и водой.
Постановка задачи. Условия существования газогидрата сероводорода показаны на фазовой диаграмме (рис.1) [3]. На данной диаграмме кривая gh определяет трехфазное равновесие между водой, газообразным сероводородом и его газогидратом, кривая Ш - равновесие между водой, жидким сероводородом и его газогидратом, а кривая ^ - двухфазное равновесие между жидким и газообразным сероводородом. Соответственно
337
газогидрат сероводорода существует левее кривых gh и ¡Н. В квадруполь-ной точке Q (302,6 К и 2,24 МПа) все четыре указанные фазы находятся в равновесии. Начальные значения давления и температур пласта в рассматриваемой задаче лежат выше кривой ¡^ и левее кривой ¡Н (т.е. в области существования жидкого сероводорода и его газогидрата).
р, МПа
273 283 293 303
Рис. 1. Фазовая диаграмма системы «Н$-Н20»
Пусть через скважину, вскрывшую пласт на всю толщину, закачивается жидкий сероводород. В данной работе будем рассматривать модель с поршневым вытеснением нефти сероводородом, а также случай, когда значение исходной водонасыщенности пласта не превышает 0,2, тогда воду можно считать неподвижной. Рассматривая масштабы времени, значительно превышающие характерное время кинетики процесса гидратообра-зования и учитывая, что в рассматриваемой задаче начальное состояние пласта соответствует условиям образования газогидрата сероводорода можно полагать, что гидратообразование происходит на фронтальной границе вытеснения нефти сероводородом. Следовательно, в рассматриваемом случае в пласте образуются две характерные области. В первой (ближней) области поры насыщены жидким сероводородом и его газогидратом, а во второй (дальней) области - нефтью и водой.
Основные уравнения. Примем следующие упрощающие предположения: пористость пласта постоянна; скелет пористой среды, газовый гидрат и вода несжимаемы и неподвижны; температуры пористой среды и насыщающего вещества совпадают (однотемпературная модель). Гидрат является двухкомпонентной системой с массовой концентрацией сероводорода G.
Система основных уравнений, описывающая процессы фильтрации и теплопереноса в пористой среде и представляющая собой законы сохранения масс и энергии, закон Дарси и уравнение состояния, в осесиммет-ричном случае при отмеченных выше допущениях в каждой из областей имеет вид [7]
Э {rimSi) + - ~Э(гР,т8, и) = 0;
Эt г Эг
дT 0 ЭT 1 Э
Рс^7 + = "Ч"
Эt Эг г Эг
\ЭГ
гА— Эг
тЯ, и 0P; (2)
т Эг
Р5 = Ро* ехР(ь (Р - Ро)), Р1 = Р01(1 + р1 (Р - Ро)). Здесь t - время, с; г - радиальная координата, м; т - пористость, д. ед; р - давление, Па; Т - температура, К; нижние индексы га,1 относятся соответственно к параметрам сероводорода и нефти; - насыщенность пор, д. ед; р, - плотность, кг/м3; к - фазовая проницаемость, м2; и, - действительная средняя скорость, м/с; с, - удельная теплоемкость, Дж/(К кг); Цг - динамическая вязкость, Па с; Р, - коэффициент сжимаемости, Па-1; рс и к - эффективные значения объемной теплоемкости, Дж/(К м ), и коэффициента теплопроводности, Вт/(м К), для насыщенного пласта. Поскольку основной вклад в значения рс и X вносят соответствующие параметры горной породы, то в дальнейшем будем считать их постоянными величинами.
Зависимость коэффициента фазовой проницаемости к от насыщенности Б, и абсолютной проницаемости к0 зададим на основе формулы Ко-зени [10]:
к, = ко Я3 (га, I).
На границе между областями выполняются соотношения, следующие из условий баланса массы и теплоты:
к8 Эр1 8 1 = т
т 8 Эг
г \
—ShG + ^
Уп;
V Р8 у
к Эр2 т Эг
тЯь Рь(1 - 0)Уп = тЯ^р м?Уп; (3)
0Т1-10Т2
Эг Эг
Здесь Ьу1 - удельная теплота образования газогидрата из жидкого сероводорода и воды, Дж/кг; нижние индекс 7=1,2 относятся соответственно к параметрам в первой и второй области; G - относительная массовая концентрация сероводорода в газогидрате, д. ед.; - начальная водона-
А—1 - А—2 = трhLhShVn
сыщенность пласта, д. ед; Vn - скорость движения границы гидратообра-зования, м/с. Температуру и давление на этой границе будем считать непрерывными. Здесь и далее нижний индекс п относится к параметрам на границе между областями, а нижние индексы w и h - соответственно к параметрам воды и газогидрата.
Из третьего уравнения системы (3) для величины гидратонасыщен-ности в первой области имеем
о _ РwOw0
Н~ РИ (1 - О)'
Введем безразмерную величину Р1, равную приведенной плотности жидкого сероводорода:
Р1 =Рз/Р0з = ехР(Р5 (Р1 - Р0 )).
На основе системы (2) уравнения пьезопроводности и температуропроводности в каждой из областей запишутся в виде
ЭР
1
Эг
= С1
(р )1 Э
М. _ С(Т)х ЭР1
Эг
1
г Эг
ЭТ1
ЭР
1
Эг
Эг Эг
(Т)
ЭР2 (Р) 1 Э
Эг
= с 2
г Эг
ЭР
1 _Э_
г Эг
Л
Эг
2
Эг
(4)
где
ЭТ2 Эг
= С(Т) X 2
ЭР2 ЭТ2
Эг Эг
(Т)
1 _Э_
г Эг
ЭТ2
Эг
с 2Р) =
с(Т} =
к1
А
рс
(Р)
Хт =
т (1 - Ои )Р з р0
(5)
X 2 =
Р01с1к1
тт(1 - ^0)Ь1 зР з р1
Будем полагать, что через скважину, которая вскрыла пласт на всю его толщину, инжектируется жидкий сероводород с заданным массовым расходом Q и температурой Те. В результате его инжекции образуется область, насыщенная сероводородом и его газогидратом. В данной работе будем рассматривать достаточно большие значения времени после начала инжекции сероводорода, при которых радиус первой зоны гп значительно превышает радиус скважины ге . Тогда можно полагать, что величина ге практически не оказывает влияния на особенности протекания процесса гидратообразования в пласте. Тогда условия на скважине с учетом закона Дарси примут вид
г
г
г = ге
рР0з
V
ЭР
Эг
= Q, Т=Те (ге ® 0, г > 0).
Автомодельное решение. Введем автомодельную переменную:
Х = г/ а/С^ .
Для этой переменной из (4) и (5) получим решения для давления и температуры в каждой из областей:
QmAI(X, Хп; Л1).
Р = Рп +
Т1 = Тп +
2рР0зкз (Те - Тп (X, Xп)
(0, X п)
0 <Х<Х
п
(6)
Р2 = Р0 +
(Рп - Р0 )
1(x,¥;Л2) .
Т2 = Тп +
I (X п, ¥; Л2)' (Тп - Т0 V2 (X, ¥
J 2 (X п, ¥)
Xn < X <
(7)
где Л j = Х^/ С(Т) (/=1, 2) и введены обозначения интегралов:
ь 1
I (а, Ь; с )= Г- ехр
а X
4с
V У
ь1
dX, ^1(а, Ь)= Г—ехр
а X
X2
ь1
J2 (а, Ь ) = | - ехр
п ^
'-XI
4
4
- ВД
dX,
Х 2 Р2
4.
На основе соотношений (3) с учетом решений для давления и температуры (6) и (7) получим уравнения для нахождения координаты границы гидратообразования и значений параметров Рп и Тп на ней:
^ А
ркзР
ехр
^ X2 ^
зк оз
т
4Л1
= А1Рп X п;
(8)
Р0 /ехР
А X 2^
4Л2
У _
(Тп - Те )ехР
' X 2 4 - Х1Рп
V У
I (X п, ¥; Л2)
(Т0 - Тп )ехР
^ п;
(9)
' X 2
- X 2 Рп
J^ (0, X п)
J 2 (X п, ¥
^ 2, (10)
п
) [ РhGSh
(Т) (
I (Т)
+1 -I, Л2 = -8„о), В
тРhLhSh 2рс
где А1
к8 V р08
Записанная система уравнений в работе решалась следующим образом. Выразив из уравнения (9) величину рп (как функцию Хп) и подставив данное значение рп в уравнение (8), получаем трансцендентное уравнение с одной неизвестной Хп, которое в работе решено методом половинного деления. Затем из уравнений (9) и (10) определяем значения давления Рп и температуры Тп на границе Хп между областями.
Результаты расчетов. На рис. 2 приведена зависимость автомодельной координаты границы гидратообразования, а также давления и температуры на ней от массового расхода инжекции сероводорода при двух разных значениях исходной водонасыщенности пористой среды 8^0=0,05 (кривая 1) и Я„0=0,2 (кривая 2). Для остальных параметров, характеризующих систему, приняты следующие значения: т = 0,3, р0 = 6 МПа, Те=293 К, Т0 = 293 К, к0 = 110-12 м2, О = 0,24, X = 2 Вт/(м-К), рс = 2-106 Дж/(К-кг), ^ = 210-4 Па^с, щ = 210-3 Па-с, Р8 = 3^10"9 Па-1, Р/ = 110-9 Па-1, рh = 1003 кг/м3, р„ = 1000 кг/м3, р0, =890 кг/м3, р0/=900 кг/м3, с = 1800 Дж/(Юкг), с1 = 1900 Дж/(К^кг), Lh = 4,1105 Дж/кг.
Согласно рис. 2 с повышением массового расхода инжекции скорость движения границы фазовых переходов увеличивается. Это обусловлено тем, что в рассматриваемой задаче движение данной границы лимитируется скоростью вытеснения нефти жидким сероводородом, которая увеличивается с интенсивности закачки. Также видно, что с ростом исходной водонасыщенности скорость границы вытеснения увеличивается. Это обусловлено тем, что скорость вытеснения Уп прямо пропорциональна средней действительной скорости движения флюида и,, которая связана со скоростью фильтрации и, следующим соотношением:
где величина скорости фильтрации и, зависит от расхода инжекции.
Поскольку с ростом водонасыщенности второй области (и соответственно с ростом гидратонасыщенности первой области) величина насыщенности пор сероводородом и нефтью Я, уменьшается, то согласно (11) в этом случае при фиксированном массовом расходе (и соответственно скорости фильтрации) увеличивается средняя действительная скорость течения сероводорода и нефти.
Также рис. 2 показывает, что давление на фронте вытеснения нефти сероводородом увеличивается с ростом массового расхода инжекции, при чем тем быстрее, чем выше исходная водонасыщенность пористой среды. Это обусловлено тем, что увеличение расхода закачки соответствует увеличению давления на скважине и прилегающей к ней области пласта. При
и = (¡=s,
(11)
этом чем больше водонасыщенность (и соответственно гидратонасыщен-ность) пористой среды, тем меньшая доля объема пор приходится на закачиваемый сероводород и тем большее давление на скважине необходимо создавать для подержания данного расхода его закачки.
Рис. 2. Зависимость автомодельной координаты, давления и температуры фронта образования газогидрата от массового расхода инжекции при исходной водонасыщенности БМ00=0,05 (кривая 1)
и Бмо0=0,2 (кривая 2)
Кроме того, в соответствии с рис. 2 с увеличением расхода инжек-ции и величины начальной водонасыщенности пористой среды происходит повышение температуры на фронте гидратообразования. Это обусловлено тем, что гидратообразование сопровождается выделением скрытой теплоты фазовых переходов, а с повышением расхода закачки согласно рис. 2 происходит увеличение скорости движения границы фазовых переходов (т.е. интенсивности гидратообразования). При этом количество выделяющегося тепла прямо пропорционально исходной водонасыщенности пористой среды. Кроме того, поскольку часть тепла, выделяющегося на границе гидратообразования, отводится через стенки скважины, то с увеличением координаты фронта фазовых переходов происходит уменьшение интенсивности отвода тепла через стенки скважины. Указанные факторы согласно рис. 2 приводят к росту температуры на этой границе при увеличении расхода закачиваемого сероводорода и начальной водонасыщенности пористой среды.
Вследствие этого при достаточно больших значениях исходной водонасыщенности пористой среды температура на границе гидратообразования может превысить равновесную температуру разложения газогидрата сероводорода (штриховая линия), что будет соответствовать неполному переходу воды и закачиваемого жидкого сероводорода в газогидратное состояние.
Заключение. Построена математическая модель инжекции жидкого сероводорода в пористую среду, насыщенную нефтью и водой, сопровождающейся гидратообразованием. Установлено, что с повышением массового расхода инжекции и начальной водонасыщенности происходит увеличение координаты, давления и температуры границы образования газогидрата сероводорода.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Республики Башкортостан (проект 17-48-020123 р_а).
Список литературы
1. Machel H. G. Geological and hydrogeological évaluation of the Nisku Q-Pool in Alberta, Canada, for H2S and/or CO2 storage// Oil Gas Sci. Technol. 2005. Vol. 60. P. 51-65.
2. Numerical modeling of injection and mineral trapping of CO2 with H2S and SO2 in a sandstone formation / T.Xu, J.A.Apps, K.Pruess and H.Yamamoto // Chemical Geology. 2007. Vol. 24. No 3-4. P. 319-346.
3. Бык С.Ш., Макогон Ю.Ф., Фомина В.И. Газовые гидраты. М.: Химия, 1980. 296 с.
4. Оценка возможности захоронения углекислого газа в криолито-зоне Западной Сибири / А.Д.Дучков, Л.С.Соколова, Д.Е.Аюнов, М.Е.Пермяков // Криосфера Земли. 2009. Т. 13. № 4. С. 62-68.
344
5. Чувилин Е.М., Гурьева О.М. Экспериментальное изучение образования гидратов СО2 в поровом пространстве промерзающих и мерзлых пород // Криосфера Земли. 2009. Т. 13. № 3. С. 70-79.
6. Хасанов М.К. Исследование режимов образования газогидратов в пористой среде, частично насыщенной льдом // Теплофизика и аэромеханика. 2015. Т. 22. № 2. С.255-266.
7. Шагапов В.Ш., Хасанов М.К., Мусакаев Н.Г. Образование газогидрата в пористом резервуаре, частично насыщенном водой, при инжек-ции холодного газа // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 3. С. 462-472.
8. Цыпкин Г.Г. Образование гидрата углекислого газа при его ин-жекции в истощенное месторождение углеводородов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2014. № 6. С. 101-108.
9. Цыпкин Г.Г. Образование гидрата при инжекции жидкой двуокиси углерода в пласт, насыщенный метаном и водой // Известия РАН. МЖГ. 2016. № 5. С. 99-107.
10. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1982. 211 с.
Хасанов Марат Камилович, канд. физ.-мат. наук, доц., hasanovmkamail.ru, Россия, Стерлитамак, Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета
MATHEMATICAL MODEL OF INJECTION OF HYDROGEN SULFIDE TO POROUS MEDIUM, SATURATED OIL AND WATER
M.K. Khasanov
Numerical modeling of injection of liquid hydrogen sulfide into a porous medium saturated with oil and water is presented, accompanied by the formation of H2S gas hydrate. Self-similar solutions are constructed for the case where the formation of a gas hydrate occurs on the frontal surface of oil displacement by hydrogen sulfide. The dependence of the coordinate, pressure, and temperature of the hydrate front on the mass injection rate and the initial water saturation of the porous medium is studied.
Key words: mathematical model, self-similar solution, porous medium, filtration, gas hydrates, hydrogen sulphide.
Khasanov Marat Kamilovich, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, hasanovmka mail.ru, Russia, Sterlitamak, Sterlitamak Branch of the Bashkir State University
