Математическая модель и оптимизация вертикального взлёта вертолёта с учётом эксплуатационных условий и аэродинамического демпфирования Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

В01: 10.18287/2541-7533-2017-16-3-94-103

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ОПТИМИЗАЦИЯ ВЕРТИКАЛЬНОГО ВЗЛЁТА ВЕРТОЛЁТА С УЧЁТОМ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ УСЛОВИЙ И АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ

кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры аэродинамики и динамики полёта;

филиал Военно-воздушной академии, г. Сызрань; onushkin163@gmail.com

кандидат технических наук, доцент кафедры технической механики; филиал Самарского государственного технического университета, г. Сызрань; sizov.syzran@gmail.com

кандидат технических наук, доцент кафедры аэродинамики и динамики полёта; филиал Военно-воздушной академии, г. Сызрань; halfboat@mail.ru

кандидат технических наук, исполнительный директор; Центр научно-технических услуг «Динамика», г. Жуковский; dinamika@dinamika-avia.ru

Разработана математическая модель вертикального взлёта вертолёта, учитывающая эксплуатационные условия и индивидуальные возможности конкретного вертолёта. Создана методика оптимизации вертикального взлёта, основанная на генетическом алгоритме. Оценено влияние массы, высоты площадки и температуры наружного воздуха на параметры оптимального закона управления при вертикальном взлёте вертолёта Ми-8МТ.

Вертолёт; вертикальный взлёт, эксплуатационные условия; оптимизация; управление; генетический алгоритм.

Цитирование: Онушкин Ю.П., Сизов Д.А., Полуяхтов В.А., Островой А.В. Математическая модель и оптимизация вертикального взлёта вертолёта с учётом эксплуатационных условий и аэродинамического демпфирования // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. 2017. Т. 16, № 3. С. 94-103. DOI: 10.18287/2541-7533-2017-16-3-94-103

Введение

Оптимизация взлёта и посадки вертолётов является популярным и востребованным направлением в научном мире. Шмитц [1] выполнял оптимизацию взлёта тяжело-нагруженного вертолёта в двухмерной постановке. Динамика движения моделировалась методом баланса мощностей, и при заданном горизонтальном смещении с помощью модифицированного метода проекции градиента (modified gradient projection algorithm) максимизировалась высота подъёма. Сербе и Райхерт [2] оптимизировали взлёт «по-самолётному» и посадку вертолёта, используя метод баланса мощностей и предварительно рассчитанные сетки потребных мощностей. Окуно и Кавачи [3] с помощью нелинейной теории оптимального управления (nonlinear optimal control theory) проводили оптимизацию взлёта и последующей посадки в случае отказа одного из двигателей вертолёта в двухмерной постановке, добиваясь минимальной вертикальной скорости посадки. В [4] решалась аналогичная задача с помощью метода последовательного восстановления градиента (sequential gradient-restoration algorithm). Целевая функция в работе зависит от расстояния между точками взлёта и посадки. В [5] разработали нечёткий контроллер для управления различными манёврами одновинтового вертолёта. Оптимальные значения параметров контроллера рассчитывались в этой работе с помо-

УДК 629.735+533.65+519.6

© 2017

Ю. П. Онушкин

Д. А. Сизов В. А. Полуяхтов А. В. Островой

щью генетического алгоритма [6]. В [7] создали методику оптимизации взлёта и посадки, основанную на дискретизации задачи методом конечных элементов. В этой работе минимизируется целевая функция, которая зависит от просадки вертолёта в процессе разгона и общего шага (ОШ) несущего винта (НВ). Аузяк, Будин и Дрёмов [8] проводили оптимизацию вертикального взлёта и посадки прямым методом приближённой оптимизации, разработанным в Академии им. Жуковского. В этой работе минимизируемая целевая функция зависит не только от координаты и скорости вертолёта, но и от времени, затраченного на выполнение манёвра.

Таким образом, исследование методик оптимизации строго вертикальных режимов полёта вертолёта в литературе представлено недостаточно, несмотря на то, что практически любое полётное задание предполагает наличие двух вертикальных режимов полёта - взлёта и посадки. Важным является ещё и тот факт, что при выполнении этих манёвров в опасной близости от земли должны учитываться индивидуальные возможности вертолёта и эксплуатационные условия. Кроме того, в случае применения военных вертолётов из засад вертикальные взлёт и посадка должны быть выполнены за минимальное время.

Постановка задачи

Из вышеизложенного следует, что необходимо создать математическую модель вертикального взлёта вертолёта в произвольных эксплуатационных условиях (т.е. могут варьироваться масса вертолёта, высота площадки, температура наружного воздуха).

На математическую модель должны быть наложены следующие ограничения:

- конечная высота вертолёта не может быть больше его статического потолка при заданных эксплуатационных условиях;

- с целью ускорения выполнения взлёта темп изменения ОШ должен быть максимальным, но при этом обеспечивающим постоянство частоты вращения НВ.

Далее необходимо выполнить верификацию математической модели путём сравнения расчётных результатов с данными, полученными в лётном эксперименте.

В заключение следует выполнить оптимизацию вертикального взлёта и выяснить влияние эксплуатационных условий на оптимальные законы управления. Оптимальным будем считать такой закон управления, в результате применения которого в заданных эксплуатационных условиях вертолёт вышел на заданную высоту с нулевыми скоростью и ускорением за минимальное время (с учётом погрешностей измерения указанных величин).

Математическая модель вертикального взлёта

При создании математической модели сделаны следующие допущения:

- движения вертолёта вокруг центра масс парируются лётчиком, следовательно, задача сводится к изучению движения центра масс;

- масса вертолёта не изменяется в процессе взлёта;

- в начальный момент времени значение ОШ НВ меньше взлётного и вертолёт покоится на поверхности земли;

- взлёт выполняется в штилевых условиях;

- частота вращения НВ постоянна.

Задача решается в одномерной постановке, т.е. исследуется движение вертолёта вдоль неподвижной связанной с землёй вертикальной оси у (начало координат располагается в точке, соответствующей нулевой барометрической высоте).

Дифференциальное уравнение движения вертолёта имеет вид

У =

0, t <т,

T - Q

m

g, t >т,

(1)

где T - сила тяги НВ; Q = Q(y) - сила лобового сопротивления планера; m - масса вертолёта; g - ускорение свободного падения; т - время отрыва вертолёта от площадки, характеризуемое равенством T = mg.

Для определения значения силы тяги НВ использовалась известная квазистационарная постановка, при которой

T = KCtF р

2

(2)

Здесь F - ометаемая площадь НВ; р = р(у) - плотность воздуха; с - угловая скорость НВ; R - радиус НВ. Коэффициент тяги НВ Ct в формуле (2) является функцией ОШ НВ. Зависимость Ct(р) близка к линейной (рис. 1) и обычно находится из

натурного эксперимента.

Коэффициент K, входящий в (2), учитывает влияние «воздушной подушки», дающей дополнительный прирост тяги в непосредственной близости от поверхности земли. Значение коэффициента K зависит от расстояния от земли до колёс и диаметра НВ вертолёта [9-11] (рис. 2).

1.25

1.20

1.15

1.10

1.05

1.(10

\\ - Мн-26

-----Мн-8

............ч\ ......... Мн-24

\\

...... .... \ ... . .... ......

10

15

20

25

30

Ра

ССТОЯВНЁ ОТ 1ЁМ.1Н ДО КОЛЁС. №1

Рис. 1. Эмпирическая зависимость между коэффициентом тяги и ОШ НВ вертолёта Ми-8МТ

Рис. 2. К определению эмпирического коэффициента влияния «воздушной подушки» для различных типов вертолётов

Сила тяги НВ зависит не только от координаты, но и от вертикальной скорости вертолёта, что объясняется аэродинамическим демпфированием, обусловленным изменением условий обтекания элементов лопастей. Это изменение можно количественно охарактеризовать приращением ОШ НВ (положительным при посадке и отрицательным при взлёте):

Ар = агС^-

У

сп

0,7

У

сп

0,7

где г07 - радиус характерного сечения лопасти.

Учитывая указанные зависимости, а также тот факт, что ОШ НВ является некоторой функцией времени, характеризующей управление, получаем окончательное выражение для силы тяги НВ:

Т = Т (у, у, г ) = К (у )С( ( ) + Ар(у р(у .

Очевидно, существует и предельное значение силы тяги, которое может быть реализовано на конкретном вертолёте в заданных эксплуатационных условиях. Определить это значение с учётом этих условий, а также связанных с износом лопаток турбокомпрессора индивидуальных возможностей вертолёта позволяет метод энергий [12], из которого можно найти максимально возможную нормальную скоростную перегрузку

«7=/ (г•, ш, у),

где г - температура наружного воздуха.

Далее легко найти искомое предельное значение тяги НВ согласно определению перегрузки:

Ттах _ Птах ,

после чего можно определить взлётное значение ОШ НВ ртах из (2) с учётом известной зависимости Сг (р).

Верификация математической модели

Верификация математической модели проводилась посредством сравнения результатов расчётов с результатами лётного эксперимента, проведённого на аэродроме «Троекуровка» (Сызранский район Самарской области). В ходе лётного эксперимента на вертолёте Ми-8МТ был выполнен вертикальный взлёт на высоту 50 м от поверхности земли (барометрическая высота площадки 150 м) с последующим висением. Масса вертолёта составляла 11 100 кг (с относительной погрешностью ±2%), температура воздуха за бортом 23,4±0,1°С. Полётная информация получена с бортового устройства регистрации (БУР). Согласно тактико-техническим данным БУР барометрическая высота измерялась с погрешностью ±4%, ОШ НВ - с погрешностью ±5%. Снятые с БУР значения ОШ были обработаны медианным фильтром и переданы в описанную выше математическую модель. Сопоставление результатов лётного эксперимента и расчёта приведено на рис. 3.

Как видно из рисунка, предлагаемая математическая модель позволяет получить характер изменения барометрической высоты, близкий к реальному. Также практически совпадают расчётное и экспериментальное время отрыва вертолёта от поверхности земли. При одном и том же законе изменения ОШ НВ расчётная барометрическая высота несколько превышает полученную в лётном эксперименте (в конечной точке разность составляет 7 м), что, однако, приемлемо с учётом заявленной погрешности её измерения.

Рис. 3. Экспериментальные и расчётные зависимости ОШ НВ и барометрической высоты вертолёта от времени

Таким образом, предлагаемая математическая модель является адекватной и может быть использована для получения новых результатов, в том числе для оптимизации вертикального взлёта.

Методика оптимизации вертикального взлёта

Очевидно, существует бесконечное множество законов управления (pit), позволяющих реализовать вертикальный взлёт. В настоящей работе исследуется закон, который может быть задан следующей зависимостью темпа изменения ОШ от времени:

k, t е [0, ti), 0, t е [ti, t2), pp(t) = \-k,t е [t2, t3), k, t е [t3, t4),

0, t > t

4

где I - время, с; - некоторые значения времени, ^ > 0, > ; к - максимальный темп изменения ОШ, град/с. Для вертолёта Ми-8МТ параметр к может быть принят равным 5 град/с.

Используются также следующие граничные условия:

Ф(0) = Ро,

Ф(0 = Фтах, Ф(0 = Phover,

У (0) = о,

где ф0 - заданное начальное значение ОШ; фтах - максимально возможное при данных эксплуатационных условиях значение ОШ НВ, которое можно найти из метода энергий, как было показано выше; (phover - значение ОШ НВ, обеспечивающее висение вне зоны влияния «воздушной подушки» (K = 1), которое можно определить из формулы (2) с учётом зависимости Ct (ф), подставив вместо силы тяги НВ вес вертолёта.

Введём новые параметры At12 = t2 -11 и At23 = t3 -12, обозначающие соответственно время удержания постоянного значения ОШ НВ и время, в течение которого производится его уменьшение c целью гашения вертикальной скорости.

Поскольку параметры k, ф0, фтах и (phover известны, нетрудно выразить значения

t1 и t4 :

t = Фтах -Ф0 '1 _ '

k

Phover -(фтах - kAt23 )

t4 = t1 + At12 + At23 +-

k

Таким образом, при использовании предлагаемого закона для вертикального взлёта в описании управления присутствуют два неизвестных параметра: At12 и At23.

Поскольку дифференциальное уравнение движения вертолёта (1) может быть решено только численно, для оптимизации необходим численный метод, позволяющий получить приближённое решение задачи в виде набора параметров At12 и At23, соответствующих вертикальному взлёту, наиболее близкому к оптимальному.

В данной работе используется генетический алгоритм [6], с помощью которого выполняется случайное генерирование, комбинирование (crossover) и мутация исходных параметров для заданного числа поколений. Комбинирование и мутация исходных параметров с учётом наложенных ограничений производится с помощью метода, предложенного Дебом [13]. В каждом поколении отбираются наилучшие решения, характеризуемые минимальными значениями целевой функции, которая имеет вид

F = AtU + Л \y (t4 )| + A31у (t4 )| + Л4 \У - y (t4 )|,

где У - требуемое значение барометрической высоты; Л1 - постоянные коэффициенты, подбираемые опытным путём. Все последующие расчёты были выполнены с использованием значений Л1 = 2, Л2 = Л4 = 4, Л3 = 6, которые позволили минимизировать время выполнения вертикального взлёта, обеспечив при этом значительно меньшие по сравнению с погрешностями измерений отклонения ускорения, скорости и координаты от требуемых значений.

Результаты

С использованием представленных выше математической модели и методики оптимизации были проведены исследования влияния эксплуатационных условий (массы вертолёта, высоты площадки, температуры наружного воздуха) на параметры, характеризующие оптимальный закон управления вертикальным взлётом вертолёта Ми-8МТ. Если не указано иное, в описанных ниже численных экспериментах масса вертолёта составляла 11 100 кг, барометрическая высота 0, заданное изменение высоты 50 м, температура наружного воздуха 15°С, начальное значение ОШ НВ 3°. Взлётное значение ОШ НВ соответствовало частоте вращения НВ, равной 95% от максимального значения.

Влияние массы. Была произведена оптимизация вертикального взлёта вертолёта для трёх значений массы: 10 000, 11 100 и 12 000 кг (рис. 4, а).

Видно, что время удержания постоянного значения ОШ (следовательно, и время выполнения вертикального взлёта) ожидаемо растёт с увеличением массы вертолёта. Кроме того, для массы 12 000 кг особенно хорошо заметно влияние «воздушной подушки», дающей значительный прирост вертикальной скорости на начальном этапе.

Влияние высоты площадки. Высота площадки, с которой производится взлёт, влияет на плотность воздуха, на максимально возможное значение ОШ НВ и, в конечном итоге, на параметры оптимального вертикального взлёта (рис. 4, б). Были проведены два численных эксперимента для барометрических высот 0 и 500 м.

Можно заметить, что при увеличении барометрической высоты площадки с 0 до 500 м время выполнения оптимального взлёта возрастает на 50%.

8 7

<Р, б град 5

4

3

4

3

М

Л -1 1 о

50 40 30 20 10 о

Рис. 4. Зависимости оптимального ОШ НВ, скорости и координаты вертолёта от времени при варьировании некоторых исходных параметров: а - массы вертолёта; б - барометрической высоты площадки; в - температуры наружного воздуха

...... ........ ........ ........ ....

* : • {

0 10 20 30 40 50 60 70

0 10 20 30 40 50 60 70

/

[ #* 7 /

/ 10000 кг

1 * /г /' ° .... 11100 кг

........ 12000 к 1

0 10 20 30 40 50 60 70 1, с

0 5 10 15 20 25 30 35

500 400 300 200 100 0

5 10 15 20 25 30 35

! .... ...

0

..... 500 м

0 5 10 15 20 25 30 35 и с

4

3 2 1 0

50 40 30 20 10 о

10

20 30

10 20 30

40

Г\

\

.1 .....1 • 1 1

40

1 ! 1 ■ 1 ........ .

......./ .........

/

10 20 30 40

(> с

а

в

б

Влияние температуры наружного воздуха. Температура наружного воздуха в значительной степени влияет на возможности силовой установки, а следовательно и на максимально возможное значение ОШ НВ. В численных экспериментах, результаты которых показаны на рис. 4, в, масса вертолёта составляла 10 000 кг, а температура наружного воздуха 15 и 30°С.

Видно, что повышение температуры до 30°С существенно увеличивает время выполнения оптимального вертикального взлёта.

Заключение

В работе выполнен анализ и оптимизация начальных этапов взлёта, а именно отрыва, вертикального набора высоты и зависания. Результаты исследования могут быть использованы для создания программы автоматического управления как пилотируемого вертолёта, так и беспилотного. Дальнейшие исследования предполагается проводить в области оптимизации остальных этапов взлёта, а также разработки оптимизационного алгоритма выполнения посадочного манёвра и посадки.

Библиографический список

1. Schmitz F.H. Optimal Takeoff Trajectories of a Heavily Loaded Helicopter // Journal of Aircraft. 1971. V. 8, Iss. 9. P. 717-723. DOI: 10.2514/3.59162

2. Cerbe T., Reichert G. Optimization of helicopter takeoff and landing // Journal of Aircraft. 1989. V. 26, Iss. 10. P. 925-931. DOI: 10.2514/3.45863

3. Okuno Y., Kawachi K. Optimal Takeoff of a Helicopter for Category A V/STOL Operations // Journal of Aircraft. 1993. V. 30, Iss. 2. P. 235-240. DOI: 10.2514/3.48271

4. Zhao Y., Jhemi A.A., Chen R.T.N. Optimal Vertical Takeoff and Landing Helicopter Operation in One Engine Failure // Journal of Aircraft. 1996. V. 33, Iss. 2. P. 337-346. DOI: 10.2514/3.46943

5. Phillips C., Karr C., Walker G. Helicopter Flight Control with Fuzzy Logic and Genetic Algorithms // Engineering Applications of Artificial Intelligence. 1996. V. 9, Iss. 2. P. 175-184. DOI: 10.1016/0952-1976(95)00008-9

6. Goldberg D.E. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Boston: Addison-Wesley Publishing Company, 1989. 432 p.

7. Bottasso C.L., Croce A., Leonello D., Riviello L. Optimization of critical trajectories for rotorcraft vehicles // Journal of the American Helicopter Society. 2005. V. 50, Iss. 2. P. 165-177. DOI: 10.4050/1.3092853

8. Аузяк А.Г., Будин В.И., Дрёмов Ф.В. Математическое моделирование оптимального управляемого полёта вертолёта на вертикальных режимах // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2010. № 1. С. 19-23.

9. Инструкция экипажу вертолёта Ми-8МТ. Книга 1. М.: Воениздат, 1982. 440 с.

10. Инструкция экипажу вертолёта Ми-24В. Книга 1. М.: Воениздат, 1987. 311 с.

11. Руководство по лётной эксплуатации вертолёта Ми-26Т. Книга 1. М.: Министерство гражданской авиации СССР, 1988. 402 с.

12. Михайлов С.А., Онушкин А.Ю. Метод энергий в вопросе расчёта манёвренных возможностей вертолёта с учётом конкретных эксплуатационных условий // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2007. № 2. С. 7-11.

13. Deb K. An efficient constraint handling method for genetic algorithms // Computer Methods in Applied mechanics and engineering. 2000. V. 186, Iss. 2-4. P. 311-338. DOI: 10.1016/s0045-7825(99)00389-8

MATHEMATICAL MODEL AND OPTIMIZATION OF HELICOPTER VERTICAL TAKEOFF CONSIDERING OPERATIONAL CONDITIONS AND AERODYNAMIC DAMPING

© 2017

Candidate of Science (Engineering), Professor of the Department of Aerodynamics and Flight Dynamics;

Branch of Air Force Academy, Syzran, Russian Federation; onushkin163@gmail.com

Candidate of Science (Engineering), Associate Professor of the Department of Engineering Mechanics;

Branch of Samara State Technical University, Syzran, Russian Federation; sizov.syzran@gmail.com

Candidate of Science (Engineering), Associate Professor of the Department of Aerodynamics and Flight Dynamics; Branch of Air Force Academy, Syzran, Russian Federation; halfboat@mail.ru

Candidate of Science (Engineering), executive director; Center of sci-tech services "Dinamika", Zhukovsky, Russian Federation; dinamika@dinamika-avia.ru

A mathematical model of helicopter vertical takeoff was created. The model takes into account operating conditions and individual performance capabilities of a given helicopter. An optimization technique based on a genetic algorithm was introduced. The influence of mass, initial height and outside air temperature on the parameters of the optimal control law in case of vertical takeoff of Mi-8MT helicopter was estimated.

Helicopter; vertical takeoff; operating conditions; optimization; control; genetic algorithm.

Citation: Onushkin Yu.P., Sizov D.A., Poluyakhtov V.A., Ostrovoy A.V. Mathematical model and optimization of helicopter vertical takeoff considering operational conditions and aerodynamic damping. Vestnik of Samara University. Aerospace and Mechanical Engineering. 2017. V. 16, no. 3. P. 94-103. DOI: 10.18287/2541-7533-2017-16-3-94-103

References

1. Schmitz F.H. Optimal Takeoff Trajectories of a Heavily Loaded Helicopter. Journal of Aircraft. 1971. V. 8, Iss. 9. P. 717-723. DOI: 10.2514/3.59162

2. Cerbe T., Reichert G. Optimization of helicopter takeoff and landing. Journal of Aircraft. 1989. V. 26, Iss. 10. P. 925-931. DOI: 10.2514/3.45863

3. Okuno Y., Kawachi K. Optimal Takeoff of a Helicopter for Category A V/STOL Operations. Journal of Aircraft. 1993. V. 30, Iss. 2. P. 235-240. DOI: 10.2514/3.48271

4. Zhao Y., Jhemi A.A., Chen R.T.N. Optimal Vertical Takeoff and Landing Helicopter Operation in One Engine Failure. Journal of Aircraft. 1996. V. 33, Iss. 2. P. 337-346. DOI: 10.2514/3.46943

5. Phillips C., Karr C., Walker G. Helicopter Flight Control with Fuzzy Logic and Genetic Algorithms. Engineering Applications of Artificial Intelligence. 1996. V. 9, Iss. 2. P. 175-184. DOI: 10.1016/0952-1976(95)00008-9

6. Goldberg D.E. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Boston: Addison-Wesley Publishing Company, 1989. 432 p.

7. Bottasso C.L., Croce A., Leonello D., Riviello L. Optimization of critical trajectories for rotorcraft vehicles. Journal of the American Helicopter Society. 2005. V. 50, Iss. 2. P. 165-177. DOI: 10.4050/1.3092853

8. Auzyak A.G., Budin V.I., Dremov F.V. Mathematical modeling of an optimal controlled helicopter flight at vertical regimes. Russian Aeronautics. 2010. V. 53, Iss. 1. P. 26-32. DOI: 10.3103/s1068799810010046

Yu. P. Onushkin

D. A. Sizov

V. A. Poluyakhtov

A. V. Ostrovoy

9. Instruktsiya ekipazhu vertoleta Mi-8MT. Kniga 1 [Helicopter Mi-8MT. Operating Procedures. V. 1]. Moscow: Voenizdat Publ., 1982. 440 p.

10. Instruktsiya ekipazhu vertoleta Mi-24V. Kniga 1 [Helicopter Mi-24V. Operating Procedures. V. 1]. Moscow: Voenizdat Publ., 1987. 311 p.

11. Rukovodstvo poletnoy ekspluatatsii vertoleta Mi-26T. Kniga 1 [Helicopter Mi-26T. Flight Manual. V. 1]. Moscow: Ministerstvo Grazhdanskoy Aviatsii SSSR Publ., 1988. 402 p.

12. Mikhailov S.A., Onushkin A.Yu. Power balance method in calculation of helicopter maneuverability taking into account specific operational conditions. Russian Aeronautics. 2007. V. 50, Iss. 2. P. 121-128. DOI: 10.3103/s106879980702002x

13. Deb K. An efficient constraint handling method for genetic algorithms. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2000. V. 186, Iss. 2-4. P. 311-338. DOI: 10.1016/s0045-7825(99)00389-8