Математическая модель и алгоритм численной реализации конвективного теплообмена в аппарате с вращающейся рабочей поверхностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5:621.694

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА В АППАРАТЕ С ВРАЩАЮЩЕЙСЯ РАБОЧЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Л.Р. ПАНТЕЛЕЕВА, Я.Д. ЗОЛОТОНОСОВ

Предложены математическая модель и численный алгоритм решения задачи конвективного теплообмена в условиях противоточного движения пара и жидкости в теплообменнике с внутренней вращающейся трубой, выполненной в виде непрерывного ряда конфузорно - диффузорных элементов.

Важнейшей задачей современной теплотехники является проблема интенсификации процессов конвективного теплообмена, осуществляемая различными методами. К ним относятся методы воздействия на поверхность теплообмена, гидродинамического воздействия на поток жидкости, воздействия на физические свойства жидкости.

Одним из перспективных направлений в этой связи является исследование, связанное с вопросами интенсификации процессов рекуперативного теплообмена при движении пара и жидкости в теплообменнике типа «труба в трубе», внутренним элементом которого является вращающаяся труба сложной геометрической формы, коаксиально расположенная относительно неподвижной трубы.

Известно, что при течении вязкой жидкости в неподвижных волнистых трубах, представляющих собой цепочку конфузорно-диффузорных элементов, число Нуссельта увеличивается в 1.5 раза, а теплосъем на 30-60% выше по сравнению с гладкими трубами [1,2].

Кроме того, вращение канала относительно своей оси оказывает существенное влияние на интенсивность процесса теплопереноса, число Нуссельта в этом случае может возрасти в 3-5 раз [3].

В связи с этим, представляет научный и практический интерес исследование течения сред в волнистых трубах в полях массовых центробежных сил.

Рассмотрим ламинарное и осесимметричное течение вязкой жидкости в теплообменнике с вращающейся рабочей поверхностью типа «труба в трубе». Внутренним элементом такого теплообменника является цепочка конфузорно-диффузорных элементов с углом расширения 7-9°, жестко связанных между собой, вращающихся вокруг своей оси и смонтированных коаксиально относительно неподвижной трубы (рис. 1).

Установка состоит из волнистой трубы 1, установленной в подшипниках 2, жестко связанной с коаксиальной трубой 3. Для исключения вибрации труб при вращении внутренняя труба смонтирована на ребрах 4, жестко связанных с внутренней поверхностью внешней трубы. Вращение системы коаксиальных труб обеспечивается с помощью клиноременной передачи от электродвигателя 5. Подача рабочей жидкости осуществляется через патрубок 6, подача пара в противоток - через патрубок 7.

© Л. Р. Пантелеева, Я.Д. Золотоносов Проблемы энергетики, 2003, № 1-2

Рис.1. Схема экспериментальнойустановки

В условиях противоточного движения пара и жидкости происходит непрерывный сброс пленки конденсата с поверхности вращающейся трубы, что способствует образованию капельной конденсации и увеличению коэффициента теплоотдачи на внешней стенке.

Для описания процесса теплопереноса используется цилиндрическая система координат. Нулевое значение радиальной координаты г совпадает с осью трубы, осевой координаты г - с входным сечением, а угловой координаты р - с вертикальным сечением трубы (рис. 2).

Рис.2. Диффузорный элемент в цилиндрической системе координат

Поскольку рассматриваемая труба переменного сечения, для численной реализации данной задачи целесообразно перейти от области течения с криволинейными границами к прямолинейной области. Для этой цели вводим замену переменных в уравнениях: энергии

_ г - г г “ Ь ’ Г " Я( г)’

теплопроводности (в стенке трубы )

г ~ = г - Л( *)

ь’ ь ’

где Л(г) = го + ^у в случае диффузора и Л(г) = Ло - &8У в случае конфузора.

Введем безразмерную переменную Л = Л(г)/Ь и безразмерные параметры

температур: * = Т/То, 0 = ®/ То, 0п = Тп/То , где Т - температура жидкости с

начальной температурой То ; ® - температура стенки трубы и Тп - температура

пара в ядре потока. Тогда краевую задачу конвективного теплообмена для диффузорного участка трубы можно записать

Pe

'(f + HFtgy)) + HR —1 = ( + ¥2tg2 +1 — + 2TRtgy-— + R 2 ^Ц- ; (1)

У Пд¥ dz) V /d¥2 ¥ d¥ sr d¥dz ft2

2 2 в 1 д2 в д2e _

(1 + tg Y)—2 + +2tgYd~^^—Г = 0; (2)

g~2 r + R d¥ 5¥Sz gz2

t (0, ¥) = 1; (3)

d: (Z ,0) = 0; (4)

or

t (z,1) = в( Z ,0); (5)

IT jr Лc

—(z ,1) = K^R—(z ,0), Kl=-—; (6)

dr dr Яж

(0, ~) = 0; (7)

дв дв — + — tgy dz sr

e~z,h) —в-e(Z,h)), h =—^~ , (8)

dr Ac L cosy

где Pe = U0R(z)/a — число Пекле; f, H - соответственно безразмерные радиальная и осевая составляющие скорости жидкости [4,5]; Яс ,Яж - соответственно коэффициенты теплопроводности стенки и жидкости; h — толщина стенки; а — коэффициент теплоотдачи от пара к стенке.

Предложенная задача для безразмерной температуры жидкости рассматривается в области Г1 ={(z,r); 0 < Z < 1, 0 < r < 1}, а для безразмерной

температуры стенки - в области Г2 = {z,r); 0 < z < 1, 0 < ~ < h}.

Решение уравнений энергии (1) и теплопроводности (2) с граничными условиями (3)-(8) будем проводить на основе численного алгоритма, предложенного в [6]. Для этого в области Г1 построим сетку © Проблемы энергетики, 2003, № 1-2

®1Н =\г^, г); = уН, ц = Т\; у = о, М, г = о, М; НМ = 1,Т\М = 1} и запишем

разностное уравнение, аппроксимирующее уравнение (1) на этой сетке, в виде ^ +1 - +1 +1 _ ^

Ре (//+1 + НУ+1г^г) 1+1 г-1 + ну+1 &+1 г г ' ' 2Т1 Н

л Л+1 - ^+1 ^+1 - ^ - ^+1 + ^

= + _ _Ш--------Ьк + 2гіЯІ±1tgr—---і+1---+ (9)

Г 2т1 2т1к

-і+1 2 ^Ч1 -Ч + Й-1 + (^+1)2 _і______і і .

Н2

г = 1, М -1, у = 1, N -1, где *■! - значения сеточной функции, соответствующей функции /(г,Г) в узлах

і

73 г* '

(V,ц), І = 0,N, і = 0,М.

Для расчета температурного поля в(ї,г) в области Г построим сетку

®2Н = &,~). ^ = Н ~ = (і - М)т2; І = , і = М,М + К; НN = 1,т2К = Н }.

Разностное уравнение теплопроводности запишем в виде

2 І1 - 20І+1 +І1 1 0/++/ -0/+/

(1 + tg 2у)-^----1--------------------------------— +--— +

(10)

І1 -І -^/+11 +в{ 1 ОІ+1 -20/ + 0/-1

+ 2tg^-i±i---------------------------------------------= 0;

2т2Н Н2

г = М +1, М + К -1, у = 1, N -1,

где 0У - значения сеточной функции, соответствующей функции 0(г, ~) в узлах

(гУ,~), у = оМ, г = М,М + К .

При построении уравнений (9),(1о) использовалась обобщенная неявная трехслойная схема.

Аппроксимируем граничные условия (3)-(8) следующим образом:

= 1, г = о,М; (11)

гз - г3 г1 -і

2гі

= 0, 3 = 0,N ;

*Ы = 0М, 3 = 0, N ;

(12)

(13)

3+1 *М-1 = ^ +1_^ -1 , 3 = 0,N ;

2т1

2т2

(14)

00-00 1 00-0-1 __________________________

----— + 1 . 1 = 0, і = М +1, М + К;

т2

к

(15)

М+К+1 ^і^+^-1 а

2т2

= Т- (°п ~вМ+К ), 3 = 0, N

(16)

Разностная схема (9)- (16) аппроксимирует исходную краевую задачу (1)- (8) на сетке а к =®1к + ®2к с первым порядком относительно к , т и г2. Разностная краевая задача абсолютно устойчива, так как уравнения (1),(2) аппроксимировались неявными схемами. Таким образом, из основной теоремы о сходимости разностных схем [7] в силу линейности разностных операторов следует, что решение разностной задачи (9)- (16) сводится к решению исходной краевой задачи (1)-(8), причем порядок точности определяется порядком аппроксимации.

Разностное уравнение энергии (9) можно записать в виде трехточечного уравнения

аі*{+1 - ЬІ(І+1 + сІ*{+і = -аІ, І =1М -1 і = 0N -1

(17)

где

_1_

Т1

- РеІЇ+1 + Ні+ХП*8У 1 + ті2 % 2у + 1 + гіЯ3 +\у

2

Т1

- +--------+ -

2тІ

Ре

&+1 нІ+1 + 2(1 + Ті 2 2Г) (Я3+1)2

--------------І-------Z--------------Z---

_1_

Т1

ґ р/і + + ні +1тіІ8Г 1 + Ті 2іЕ V 1 ТіЯ3+1tgr

2

2Т

к

аі =

к

к

сі =

(г

- РеН>+1 И/+1 + 2( Я+1)2

г и

! Г:Я3 +1/&У , / / .

(/ +г т (^/+1 - (/-1)-

Т1

(Я!+1)2 ,/-1

г = 0, М.

Исключая (-1 из условия (12) и уравнения (17) при г = 0, получим разностное граничное условие

.-+1 = «о+£0 1+1 + ¿0 , / = 0^.

0 Ь0 1 ¿0

Разностный аналог уравнения теплопроводности в стенке канала (10) представляется в виде

«ДЙ1 - РД!+1 + пвЩ = -/, г = М+1, М+* -1, / = 0, N -1,

(18)

где

а

т2

1 + & 2 7

(ИГ

т2 2(~ + Я3+1) и

в = 2(1 + & Г)______

в 2 2 ’

И

п = — т2

2

1 + (И У + 1 +

т2 2(~ + Я!+1) и

/ = -^М + Т/ -М!+1) + \в!-1,

И2 * ИТ2 11 1+1 И2 *

г = м , м+к.

Из соотношения (15) выражение для / принимает вид

/г

(иг 1

Ит2 И2

д0 д0 при ; = 0

Д- ИТ2 М+1 при !=

На границе жидкость- стенка (при / = М) заданы условия сопряжения (13), (14). Из условия (14) найдем

Д/+1 = Д/ Т2 (*!+1 */+1 ) ; = 0 N

ДМ-1 =ДМ+1 ^ —/+1 ((М+1 *М-1), ! = 0, N

К^Я Т1

И

1

1

*М+1 =-----Г- аМ*М-1 + ЬМ*М 1 - ^М], ! = 0,N -1,

СМ ^ '

и, подставляя его в (19), получим

ДММ'^1 = дМм+-1----=гт+2;-(Ьм(М+ 1 -/м + см ур-1 - ^м ), ! = 0,N -1. (20)

КЛЯ Т1СМ

Обозначим р = 72/КдЯ3+1Т1См и подставим (20) в (18) при г = М. Учитывая соотношение (13), получим

ам /ам + см )р(м-1 - (амьм Р + Рм рм1 +

(21)

+ (ам + Гм = -/м +ам^мр),

3 = 0, N -1.

После подстановки граничного условия (16) в (18) при і = М + К имеем

в+1 = о аМ+К + УМ+К в+1 +

М+К С КРы+К + 2г2аЬГМ+К М+К-1

+ ЛС'('м+К + 2т2а^внГМ+К

(22)

¿сРы+К + 2т2а^У М+К

3 = 0, N -1.

Введем на а к сеточную функцию !■ :

і! =

іі, і = 0, м -1, 3 = 0, N

»7 7 7 О 7

вК і = ы,ы + К, 3 = 0, N. „ 1 ^

Тогда для нее будем иметь систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей

di, i = 1, M + K -1,

tj+1 = «0 + c0 7j+1 + d0 10

tj+1 =o aM+K + cM+K t

lM+K =Ac . b + 2t aJ- 1

*cbM+K + 2T2aLcM+K

M+K

tj+1

M+K-1

+ &cdM+K + 2T2aJ^ncM+K &cbM+K + 2T2aJcM+K

где коэффициенты «i, bi, cj и правая часть di определяются в соответствии с (17),

Система уравнений (23), для которой выполняется условие преобладания диагональных элементов, решается методом прогонки [7].

Полученные решения из уравнений (1)-(8) являются исходными данными для расчета следующей конфигурации - конфузорной части трубы. Итак, последовательно решая системы дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями, получаем новые исходные данные Т1 для последующих элементов трубы, двигаясь от «тарелки к тарелке».

In the work, the mathematical model and numerical algorithm of the solution of a convective heat exchange problem at a countercurrent movement of vapor and fluid in the heat exchanger with an internal rotated pipe made as a continuous series of constrictor and diffuser elements are suggested.

1. Мигай В.К., Быстров П.Г. Интенсификация теплообмена в волнистых трубах // Теплоэнергетика. -1976. - №11.- С.74 - 76.

2. Гортышев Ю.Ф., Олимпиев В.В. Теплообменные аппараты с интенсифицированным теплообменом. - Казань, КГТУ, 1999. - 175 с.

3. Халатов А.А., Авраменко А.А., Шевчук И.В. Теплообмен и гидродинамика в полях массовых сил. - Киев: Инст. техн. теплоф., 1996.-280с.

4. Сайфутдинова А.Р., Золотоносов Я.Д., Шафигуллин Т.Р., Математическая модель течения инжектирующей жидкости во вращающемся осесимметричном конвергентном канале центробежного струйного подогревателя// Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. -2001.-№5-6.-С. 36-41.

5. Шафигуллин Т.Р., Золотоносов Я.Д. К вопросу исследования сопряженной задачи течения вязкой жидкости и конвективного теплообмена во вращающейся трубе и конвергентном канале пароструйного подогревателя// Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики.-2002.-№1-2.-С.

6. Никифоров А.Н., Паутова Н.А. Численное моделирование сопряженного конвективного теплообмена в каналах// Известия высших учебных заведений. Электромеханика.- 1998. - №1. - С. 21-25.

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1983. - 616 с.

(18), (21).

Summary

Литература

121-123.