Математическая модель гидролитосферных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 28.50

DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-9-863-868

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОЛИТОСФЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ

С. В. Быстров1, В. В. Григорьев1, О. К. Мансурова2, И. М. Першин3, М. И. Першин4

1Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия 2Санкт-Петербургский горный университет, 199106, Санкт-Петербург, Россия

3Филиал Северо-Кавказского федерального университета, 357501, Пятигорск, Россия

E-mail: [email protected] 4Южный федеральный университет, 344006, Ростов-на-Дону, Россия

Многие гидролитосферные процессы описываются уравнениями в частных производных, математические модели которых не имеют аналитического решения; в некоторых случаях отсутствуют и их математические модели. Представлена методика построения аппроксимирующей модели гидролитосферного процесса, использование которой позволяет на основе частотного метода синтеза и качественной теории распределения мод проектировать распределенные регуляторы, обеспечивающие требуемые показатели качества.

Ключевые слова: гидролитосферные процессы, распределенные объекты, уравнения в частных производных

Математические модели гидролитосферных процессов описываются системами уравнений в частных производных с соответствующими граничными условиями. Каждое месторождение минеральных вод является уникальным и характеризуется конкретной совокупностью геометрических и физических параметров, определяющих динамику гидролитосферных процессов. Математические модели ряда месторождений минеральных вод приведены в [1—4]. Основные задачи рационального природопользования — синтез системы управления дебита-ми добывающих скважин и формирование оптимальных технологических режимов эксплуатации месторождений. Оптимальные режимы эксплуатации месторождений рассмотрены в работах [1, 5, 6], Методы определения оптимального числа добывающих скважин приведены в работе [1].

На примере гидролитосферного процесса рассмотрим сочетание обычного частотного метода синтеза и качественной теории для улучшения динамических характеристик замкнутой системы управления. Математическая модель гидролитосферного процесса имеет следующий вид:

— для горизонта грунтовых вод

dhi(x,y,z,т) _ д2h\(x,y,z,x) ^ д2x,y, z, x) | д2x,y, z,x)

dT _ ^x д? y д? + K z dzi2 ;

0 < x < Lx; 0 < y < Ly; 0 < z < Lz

— для водоносного горизонта

сН2(х, У, 2, х) = _\_ Л2

С

Эх

2,х

Э Н2( х У, 2 х) + к Э Н2( х У, 2 х)

- я

2,х'

сх2

сН 2(х, у, ^,х)

2, У'

су2

+ к

'2,2'

с2 Н 2( х, у, г, х) ^

Сг,2

+ У\(. У2, /, х)§2( х0, /, Уо, /, 20, / X

где к\ — напор грунтовых вод; Н2 — напор в водоносном горизонте; х, У, г — пространственные координаты; т — время; У\(уу, т) — понижение напора, вызванное входным воздействием (дебитом) /-й добывающей скважины (в рассматриваемом случае/=\.. .5); 52(х°,/, У°,/, 20,/) — функция, равная единице, если х= х°,/, У= У°,/, 2= 20,/, где х°,/, У°,/, 20, / — координаты расположения добывающих скважин; к1 х, к1ук1 2 — коэффициенты фильтрации по пространственным координатам для горизонта грунтовых вод (при /=\ Ь\,х= 0,252 м/сутки, к\,У= 0,252 м/сутки, к\,2=0,29\ м/сутки) и пласта (при /=2 к2х=0,\45 м/сутки, к2,У=0,\93 м/сутки, к22=0,0\94 м/сутки);

— упругоемкость пласта ( ^ = 0,0005 м-\); Я2,х — скорость течения в водоносном горизонте (для рассматриваемого месторождения Я2,х= 0,\ м/ч).

Граничные условия между пластами задаются в следующем виде (условия Дарси): — для грунтовых вод

¿\ (х, У, 4\, х) = к\ (х, У, ¿21, х) + Ь\ ■ (Н2 (х, У, 0, х) - к\ (х, У, 4., х));

Н2 (х, У, 0, х) = Н2 (х, У, 0, х) - Ь ■ (Н2 (х, У, 0, х) - И\ (х, У, , х));

СН 2 (х У, 2, х) = 0. С2 '

— для боковых граней

/\(0,У,2,х) = ¿,0; Н2(0,У,2,х) = Н

2,0'

Ьх, У, 2, х)

= 0;

СН 2 (Ьх, У, 2, х)

сх сх

6Ъ\( х, 0,2, х) = 8И\( х, Ьу , 2, х)

= 0;

= 0;

су су

Н2 (х, 0,2, х) = Н2 (х, Ьу, 2, х) = Н2 0,

где А\,0, Н20 — начальные состояния грунтовых вод и пласта; Ь\ —коэффициент перетекания (Ь\ = 0,00032 сутки-\).

Входным воздействием на объект управления служит функция и(у/, т) (дебит добывающих скважин), которая связана с функцией У\(у/, т) соотношением У\(у/, т) =Кпи(у/, т), /=\, 2, ..., 5. Значение коэффициента передачи Кп определяется с использованием методики „колодца" [\, 2]. В рассматриваемом случае Кп=0,000\. Функцией выхода служит изменение уровня понижения (Н2) давления в точках установки добывающих скважин.

Геометрические данные месторождения, схема которого показана на рис. \, приведены в таблице, где Ду, Дх, Д2\, Д22 — шаги дискретизации математической модели по пространственным координатам.

Ьх Ьу Ь\ Ь22 ДУ Дх Д2\ Д22

520 м 450 м 50 м 70 м 450 м/8 520 м/8 50 м/6 70 м/6

Добывающие скважины располагаются в следующих точках: х0/=3Дх; 20/=Ь2\+3Д22;

У0/= Ау+Ау/.

С использованием приведенной выше модели и геометрических и физических данных была составлена дискретная модель объекта управления.

VX, у, 2, т) Грунтовые воды

н 2( х, у, г, т) Водоносный горизонт

3Ах

Добывающие скважины

Рис. 1

Методика проведения численных исследований с использованием дискретной модели объекта управления, описанная в работах [1—4], заключается в следующем: для определения реакции системы на заданную пространственную моду входного воздействия оно скачкообразно подается на объект управления в виде выбранной пространственной моды

и(у] )= Лг 8т(ууД ш/Ьу,

где у=^у+^у/; г — номер моды (в рассматриваемом случае выбраны 1-я и 5-я пространственные моды); А и у — амплитуда и частота пространственной моды.

На рис. 2, а, б показаны графики реакций объекта соответственно на 1-ю и 5-ю пространственные моды входного воздействия в точке расположения во второй добывающей скважине (при этом Лг=1) при ^1=12,666/0,924=13,708 (а) и К5=4,238/0,383=11,065 (б). Коэффициенты усиления К равны отношению функции выхода Н2 (понижения уровня в точке расположения скважины) к входному воздействию (Ц).

а)

Н2, м

95

90

0

60

120

180

240

300

т, ч

б)

Н2, м 103

100

0

60

180

240 т, ч

120 Рис. 2

Были также исследованы динамические характеристики объекта управления. При этом входное воздействие было сформировано в виде

и^,х)= Ып(уг- у/)8т(ют), уг= пг/Ьу, ю=0,00001.

Результаты моделирования представлены графиками входного воздействия и переходного процесса на рис. 3, а, б.

Ь

Ь

z

х

Ь

у

Ь

X

а)

б)

Н2, м 103 100 97 94

0

300

400

100 200

Рис. 3

Вычислим для рассматриваемого объекта управления сдвиг по фазе:

Дф = -2л-24/176 = -0,857 рад. В работах [7, 8] исследованы передаточные функции аппроксимирующих звеньев для объектов с распределенными параметрами. Показано, что для описания динамических характеристик гидролитосферных процессов может быть использована передаточная функция вида

К-С?) = -К-ехр(--,-Дг), , = 12" (1)

- +1

\ а

где ? — оператор Лапласа.

Методика определения параметров аппроксимирующего звена (К, Дг, а), описанная в работах [7, 8], состоит из следующих этапов.

1. Записывая соотношение (1) для стационарного случая, по 1-й и 5-й пространственным модам (с учетом вычисленных коэффициентов К и К5), получаем следующую систему уравнений:

К

К1 =-ехр (--1Дг);

1 -1 + 1 }

К 5 =

К

Р 5 + 1

\1/2

ехр (-р5Дг),

\1/2

-1=(2), -5=(^2 Г.

Решая систему уравнений относительно Дг и К, получаем Дг=6,690662, К=14,463761. 2. Приняв в (1) ?=/ю, запишем соотношение для определения фазы:

Дф = -Дг • 1т -1 - агс^т -1 / (Яе -1 +1)). (2)

Подставив исходные данные (ю = 0,00001, Дф = -0,857) в соотношение (2), вычислим значение параметра а: а = 0,000391.

Полученная передаточная функция аппроксимирующего звена записывается в виде

»ал (?) = 14,п463761 • ехр(-Р,- • 6,690662), Р,- =1 +^2 .

Р, +1

'0,000391

0

Использование полученной аппроксимирующей модели гидролитосферного процесса месторождения минеральных вод позволяет на ее основе синтезировать системы управления дебитами добывающих скважин и формировать оптимальные технологические режимы эксплуатации месторождений. Представленная модель ориентирована на использование качественной теории распределения мод при проектировании распределенных регуляторов.

список литературы

1. Кисловодское месторождение углекислых минеральных вод: Системный анализ, диагностика, прогноз, управление / А. В. Малков, И. М. Першин, И. С. Помеляйко и др. М.: Наука, 2015. 283 с.

2. Малков А. В., Першин И. М. Системы с распределенными параметрами. Анализ и синтез. М.: Научный мир, 2012. 476 с.

3. Першин И. М., Веселов Г. Е., Першин М. И. Синтез распределенных систем управления гидролитосферными процессами месторождений минеральных вод // Изв. ЮФУ. Технические науки. 2014. № 8. С. 123—137.

4. Martirosyan A. V., Martirosyan K. V., Pershin I. M. Analysis of the Caucasus mineral waters' field's modeling // Modern Applied Science. 2015. Vol. 9, N 1. P. 204—210.

5. Першин И. М., Малков А. В., Першин М. И. Оперативное и стратегическое управление режимами эксплуатации гидролитосферных процессов // Недропользование XXI век. 2014. № 6. С. 40—47.

6. Першин И. М., Кузьмин Н. Н., Малков А. В. Формирование целевых функций в задачах управления гидролитосферными процессами // Материалы 5-й Рос. мультиконф. по проблемам управления: „Информационные технологии в управлении" (ИТУ-2012). 2012. С. 622—632.

7. Першин М. И. Исследование погрешностей динамических характеристик распределенных объектов при аппроксимации // Современная наука и инновации: науч. журн. 2014. № 4(8). С. 46—50.

8. Веселов Г. Е., Першин М. И. Проектирование распределенных систем управления гидролитосферными процессами // Изв. вузов. Геология и разведка. 2016. № 1. С. 99—105.

Сведения об авторах

Сергей Владимирович Быстров — канд. техн. наук, доцент; Университет ИТМО; кафедра систем

управления и информатики; E-mail: [email protected] Валерий Владимирович Григорьев — д-р техн. наук, профессор; Университет ИТМО; кафедра систем

управления и информатики; E-mail: [email protected] Ольга Карибековна Мансурова — канд. техн. наук, доцент; СПГУ, кафедра автоматизации технологи-

ческих процессов и производств; E-mail: [email protected] Иван Митрофанович Першин — д-р техн. наук, профессор; Филиал СКФУ, кафедра управления в

технических и биотехнических системах, Пятигорск; E-mail: [email protected] Максим Иванович Першин — аспирант; ЮФУ, Ростов-на-Дону;

E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

систем управления и информатики 21.03.17 г.

НИУ ИТМО

Ссылка для цитирования: Быстров С. В., Григорьев В. В., Мансурова О. К., Першин И. М., Першин М. И. Математическая модель гидролитосферных процессов // Изв. вузов. Приборостроение. 2017. Т. 60, № 9. С. 863—868.

MATHEMATICAL MODEL OF HYDROLITHOSPHERIC PROCESSES

S. V. Bystrov1, V. V. Grigoriev1, O. K. Mansurova2, I. M. Pershin3, M. I. Pershin4

1ITMO University, 197101, St. Petersburg, Russia

2Saint Petersburg Mining University, 199106, St. Petersburg, Russia

3Branch of North-Caucasus Federal University, 357501, Pyatigorsk, Russia E-mail: [email protected] 4South Federal University, 344006, Rostov-on-Don, Russia

It is noted that many of hydrolithospheric processes are described by partial differential equations, and corresponding mathematical models do not have analytical solutions; in several cases, there are no mathematical models, too. Therefore, to solve a practical problem, such as synthesis of control system of flow rate of producing wells or formation of an optimal technological modes of operation field, it is necessary to develop an approximate model. A method of approximating model construction for a hydrolithospheric process is presented. The proposed approach is based on the methods of frequency synthesis and distribution of high-quality modes theory. Design of distributed regulators using the developed method is reported to ensure required quality parameters.

Keywords: hydrolithospheric processes, distributed objects, partial differential equations

Data on authors

Sergey V. Bystrov — PhD, Associate Professor; ITMO University, Department of Computer

Science and Control Systems; E-mail: [email protected] Valery V. Grigoriev — Dr. Sci., Professor; ITMo University, Department of Computer Science

and Control Systems; E-mail: [email protected] Olga K. Mansurova — PhD, Associate Professor; Saint Petersburg Mining University, De-

partment of Technological Process Automation and Production; E-mail: [email protected]

Ivan M. Pershin — Dr. Sci., Professor; North-Caucasus Federal University, Pyatigorsk

Branch, Department of Control of Technical and Biotechnical Systems; E-mail: [email protected]

Maxim I. Pershin — Post-Graduate Student; South Federal University, Rostov-on-Don;

E-mail: [email protected]

For citation: Bystrov S. V., Grigoriev V. V., Mansurova O. K., Pershin I. M., Pershin M. I. Mathematical model of hydrolithospheric processes. Journal of Instrument Engineering. 2017. Vol. 60, N 9. P. 863—868 (in Russian).

DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-9-863-868