CC BY
30
УДК 681.5
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-9-720-724
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫМ ПОЛЕМ КАМЕРЫ ТЕРМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
С. В. Быстров1, В. В. Григорьев1, О. К. Мансурова2, И. М. Першин3, М. И. Першин3
1Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия E-mail: grigvv@yandex.ru
2Национальный минерально-сырьевой университет „Горный ", 199106, Санкт-Петербург, Россия
3 Филиал Северо-Кавказского федерального университета, 357501, Пятигорск, Россия
Рассматривается проблема использования методики качественного распределения мод, определяющих показатели качества процессов в линейных системах с распределенными параметрами. Для разработки частотной методики синтеза распределенных регуляторов использована модификация критерия Найквиста, позволяющая проводить анализ параметров областей расположения пространственных мод, связанных с показателями качества процессов. Приведена конструкция камеры термической обработки, используемой при моделировании тепловых процессов.
Ключевые слова: распределенные системы, пространственные моды, качественное распределение, камера термической обработки.
Введение. Рассматривается задача применения качественной теории для синтеза систем управления с распределенными параметрами. Под качественным распределением мод понимается расположение мод (корней) в круге радиусом r >0 с центром в точке (Р, j0), причем сумма P+r должна быть меньше нуля, т.е. данный круг должен лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости корней [1—4], где параметр Р определяет среднюю скорость сходимости процессов к положению равновесия, а параметр r — отклонения траекторий движения от их средних значений.
Рассмотрим применение качественной теории к синтезу распределенной системы управления, передаточная функция которой по отдельным модам может быть представлена в виде отношения полиномов:
_ Рц (s) А,л ( s)
W (s) л_ 1,2..., (1)
где ^ — оператор Лапласа.
Сведем задачу качественного расположения мод к классической задаче определения устойчивости, для чего введем конформное отображение левой полуплоскости комплексной плоскости в круг произвольным радиусом г с центром в точке (Р, jo) посредством преобразования 5! = (1 + ^) / (1 - ^) • г - р . Полагая, что 5=/ю , 51=jG>1, получаем
jш = j ((((ш2 + (г + р)2 )) + (ш2 - (г2 - р2 ))/(ш2 + (г + р)2 )).
Передаточная функция (1) примет следующий вид:
А (51)
^ (51) = Л 1 . (2)
Л А,л (51)
В работах [1, 3, 5] показано, что критерий Найквиста может быть применен к системам с распределенными параметрами и характеристический полином по каждой пространственной моде замкнутой системы должен иметь все корни, относительно переменной 51, в левой полуплоскости.
Описание объекта управления. В качестве объекта управления рассмотрим нагревательную камеру, предназначенную для термической обработки различных изделий. Конструкция камеры показана на рисунке, а, где 1 — стенка камеры, выложенная из теплоизоляционного материала; 2 — транспортер, изготовленный из жаростойкой (нихромовой) сетки; 3 — валики, обеспечивающие движение сетки вдоль камеры; 4 — изделия; 5 — секционный нагреватель (число секций равно 16).
Температура внутри камеры устанавливается в зависимости от технологического процесса и может изменяться от 300 до 900 °С. Информация о температуре снимается с помощью датчиков 6 (число таких датчиков 16), расположенных внутри камеры на плоскости {у,х,2=2 }. Входное и выходное отверстия камеры закрыты гибкими шторками.
Для построения математической модели температурных полей камеры введем следующие допущения:
— температура передней и задней поверхностей камеры поддерживается постоянной;
— нижняя часть камеры и боковые поверхности теплоизолированы;
— входное воздействие (тепловой поток) излучается секционным нагревателем;
— скорость движения транспортера в камере определяется технологическим процессом.
Математическая модель объекта управления. Схема камеры, используемая при моделировании тепловых процессов, представлена на рисунке, б. Геометрические параметры камеры (в метрах) приведены в таблице.
Ьх Ьу ¿1 ¿2 2' Х1 У1
3 1 0,29 0,05 0,2 0,23 0,6 0,21
С учетом принятых выше допущений математическая модель объекта управления имеет следующий вид:
— для температурного поля в зоне 1:
ёТ(у, х, г, т) ё т
= а
ё 2Ч, у, х, г, т) + ё 2?1( у, х, г, т) + ё 2^( у, х, г, т)
ёх ёу
0<у< Ьу, 0<х< Ьх, 0 ^^ь — для температурного поля в зоне 2:
ёг2
ё?2( у, х, г, т) ё т
= а
ё Т2(у, х, г, т) + ё Т>(у, х, г, т) + ё Т>(у, х, г, т)
ёх ёу
0<у< Ьу, 0<х< Ьх, — для температурного поля в зоне 3:
- V
ё?2( у, х, г, т) ёх
ёТз( у, х, г, т) ёт
= а
ё Т3(у,х,г,т) + ё Тз(у,х,г,т) + ё Тз(у,х,г,т)
ёх ёу
0<у< Ьу, 0<х< Ьх, 12<г<Ь2;
ёг 2
здесь Тг(у, х, г, т) — температурное поле в /-й зоне нагревательной камеры, /=1, 2, 3; а/ — коэффициент температуропроводности /-й среды; V — скорость движения транспортера в нагревательной камере.
Граничные условия с учетом принятых допущений записываются в виде следующих соотношений:
— для границы раздела фазовых переменных Т1, Т2:
X,
ёТ (у, х, 71, т) ёТ2 (у, х, 71, т)
-= X 2-
ёг ёг
ёТ( у, х, 0, т)
, Т1(у, х, 71, т) = Т? (у, х, 71, т),
ёг
= 0, 0<у< Ьу, 0<х< ЬХ;
— для границы раздела фазовых переменных Т2, Тз:
X 2
ёТ2(у, х, 72, т) =х ёТз(y, x, 72, т)
ёг
, Т2(У, x, Z2, т) = Тз(У, x, Z2, т),
ёг
0<у< Ьу, 0<х< Ьх,
где Х1, Хз — теплопроводность воздуха, Х2 — усредненная теплопроводность зоны расположения транспортера с изделиями.
Входное воздействие (тепловой поток секционного нагревателя) на объект управления может быть определено как
-X,
ёТз( y, х Ьг, т) ёг
= и (у, х, т), 71<у< 72, Х1<х< Х2;
(з)
ёТз(У, x, Ь2 , т)
ёг
= 0, 0<у< 71, 0<х< Х1; 72<у< Ьу, Х2<х< Ьх. Граничные условия для боковых поверхностей определяются выражениями Т (у, 0, г, т) = Т (у, Ьх, г, т) = 0, 0<у<Ьу, 0<г< 71, 0<х< Ьх, 0<2<7ь Т2(у,0, г, т) = Т> (у, Ьх, г, т) = 0, 0<у< Ьу, 7х<х<7г,
ёУ)(0, х, г, т) ёТ2( Ьу, x, ^ т) 0 0<<Ь 7<<7
—-- =-^-= 0, 0<х<Ьх, 71<г<12;
ёу ёу
Тз(у,0, г, т) = Тз(у, Ьх, г, т) = 0, 0<у<Ьу, 12<2<2з;
= ^■ x-z-Т> = 0, 0<x< Lx, Z2<z<Z3.
dy dy
Начальные условия полагаются нулевыми. Теплофизические параметры заданы следующими значениями: a1 = a3 = 0,000004 м2/с, a2 = 0,000019 м2/с; X1 = X3 = 0,059 Вт/(м-°С>,
X2 = 12,01 Вт/(м-°С>. Управляющим воздействием служит тепловой поток нагревателей
*
(функция U(xy,T>>, а функцией выхода — температурное поле Т3(ху,г=2 ,т), состояние которого измеряется с помощью датчиков.
Заключение. Для системы управления температурным полем камеры термической обработки построена математическая модель, позволяющая анализировать протекающие динамические процессы и применять методику качественного распределения мод для синтеза распределенных регуляторов, обеспечивающих желаемые показатели качества процессов [3—7].
список литературы
1. Григорьев В. В., Быстров С. В., Першин И. М. Синтез распределенных регуляторов: Учеб. пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2011. 200 с.
2. Qualitative exponential stability and instability of dynamical systems / V. V. Grigoriev, O. K. Mansurova. St. Petersburg, 2001. Preprint of 5th IFAK Symp. on Nonlinear Control Systems (N0LC0S'01>.
3. Григорьев В. В. , Быстров С. В., Мансурова О. К., Першин И. М. Анализ устойчивости линейных систем с распределенными параметрами // Мехатроника, автоматизация, управление. 2013. № 9. С. 2—5.
4. Першин М. И. Проектирование системы управления параметрами Кисловодского месторождения минеральных вод. Технологии развития курортно-рекреационного комплекса СКФО // Сб. науч. тр. 2-й науч.-практ. конф. преподавателей, студентов и молодых ученых СКФУ: „Университетская наука — региону". Пятигорск: Изд-во СКФУ, 2014. Т. 1. С. 141—155.
5. Першин И. М. Синтез систем с распределенными параметрами: проблемы и перспективы // Мехатроника, автоматизация, управление. 2005. № 6. С. 2—10.
6. Малков А. В., Першин И. М. Системы с распределенными параметрами. Анализ и синтез. М.: Научный мир, 2012. 476 с.
7. Першин И. М., Веселов Г. Е., Першин М. И. Синтез распределенных систем управления гидролитосферными процессами месторождений минеральных вод // Изв. Южн. фед. ун-та. Технические науки. 2014. № 8. С. 123—137.
Сведения об авторах
Сергей Владимирович Быстров — канд. техн. наук, доцент; Университет ИТМО, кафедра систем
управления и информатики; E-mail: sbystrov@mail.ru Валерий Владимирович Григорьев — д-р техн. наук, профессор; Университет ИТМО, кафедра систем
управления и информатики; E-mail: grigvv@yandex.ru Ольга Карибековна Мансурова — канд. техн. наук, доцент; Университет „Горный", кафедра автомати-
зации технологических процессов и производств; E-mail: erke7@mail.ru
Иван Митрофанович Першин — д-р техн. наук, профессор; Филиал СКФУ, кафедра управления в
технических и биотехнических системах; E-mail: ivmp@yandex.ru
Максим Иванович Першин — аспирант; Филиал СКФУ, кафедра управления в технических и био-
технических системах; E-mail: ivmp@yandex.ru
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
систем управления и информатики 22.04.15 г.
Университета ИТМО
Ссылка для цитирования: Быстров С. В., Григорьев В. В., Мансурова О. К., Першин И. М., Першин М. И. Математическая модель системы управления температурным полем камеры термической обработки // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 9. С. 720—724.
MATHEMATICAL MODEL OF CONTROL SYSTEM FOR TEMPERATURE FIELD OF THE HEAT TREATMENT CHAMBER
S. V. Bystrov1, V. V. Grigoriev1, O. K. Mansurova2, I. M. Pershin3, M. I. Pershin3
1ITMO University, 197101, Saint Petersburg, Russia E-mail: grigvv@yandex.ru
2National Mineral Resources University, 199106, Saint Petersburg, Russia
3 Branch of the North-Caucasus Federal University, 357501, Pyatigorsk, Russia
Application of the method of qualitative distribution of modes determining the process feature parameters in linear systems with distributed parameters is considered. A frequency technique is developed for synthesis of distributed regulators on the base of modified Nyquist criterion allowing for analysis of parameters of the layout areas of spatial mod-related indicators of quality processes.
Keywords: distributed systems, spatial mode, quality distribution, heat treatment chamber.
Data on authors
Sergey V. Bystrov — PhD, Associate Professor; ITMO University; Department of Computer
Science and Control Systems; E-mail: sbystrov@mail.ru Valery V. Grigoriev — Dr. Sci., Professor; ITMO University; Department of Computer Science
and Control Systems; E-mail: grigvv@yandex.ru Olga K. Mansurova — PhD, Associate Professor; University of Mines, Department of Automation of Technological Processes and Productions; E-mail: erke7@mail.ru
Ivan M. Pershin — Dr. Sci., Professor; NCFU, Branch in Pyatigorsk; Department of Control
in Technical and Biotechnical Systems; E-mail: ivmp@yandex.ru Maksim I. Pershin — Post-Graduate Student; NCFU, Branch in Pyatigorsk; Department of
Control in Technical and Biotechnical Systems; E-mail: ivmp@yandex.ru
For citation: Bystrov S. V., Grigoriev V. V., Mansurova O. K., Pershin I. M., Pershin M. I. Mathematical model of control system for temperature field of the heat treatment chamber // Izvestiya Vysshikh Ucheb-nykh Zavedeniy. Priborostroenie. 2015. Vol. 58, N 9. P. 720—724 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-9-720-724
