Научная статья на тему 'Математическая модель гидроакустического пьезопреобразователя в форме полого эллиптического цилиндра'

Математическая модель гидроакустического пьезопреобразователя в форме полого эллиптического цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
178
29
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ / ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ / СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ / PIEZOELECTRIC TRANSDUCER / ORTHOGONAL CURVILINEAR COORDINATES / NATURAL OSCILLATIONS

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Балабаев Сергей Михайлович, Ивина Наталья Федоровна

Получена система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая собственные колебания пьезопреобразователя в форме полого эллиптического цилиндра. Для решения поставленной задачи применена теория электромагнитного поля, теория упругости и электроупругости, уравнения математической физики, элементы тензорного анализа и ортогональные криволинейные координаты.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

MATHEMATICAL MODEL OF HYDROACOUSTIC PIEZOTRANSDUCER IN THE FORM OF A HOLLOW ELLIPTIC CYLINDER

The system of partial differential equations describing the natural oscillations of the piezoelectric transducer in the form of a hollow elliptic cylinder is obtained. Electromagnetic field theory, theory of elasticity and electro-elasticity, equations of mathematical physics, elements of tensor analysis and orthogonal curvilinear coordinates applied to the solution of this problem.

Текст научной работы на тему «Математическая модель гидроакустического пьезопреобразователя в форме полого эллиптического цилиндра»

ПРОМЫШЛЕННОЕ РЫБОЛОВСТВО. АКУСТИКА

УДК 539.3

С.М. Балабаев, Н.Ф. Ивина

Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет,

690087, г. Владивосток, ул. Луговая, 52б

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОАКУСТИЧЕСКОГО ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ В ФОРМЕ ПОЛОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО

ЦИЛИНДРА

Получена система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая собственные колебания пьезопреобразователя в форме полого эллиптического цилиндра. Для решения поставленной задачи применена теория электромагнитного поля, теория упругости и электроупругости, уравнения математической физики, элементы тензорного анализа и ортогональные криволинейные координаты.

Ключевые слова: пьезопреобразователь, ортогональные криволинейные координаты, собственные колебания.

S.M. Balabaev, N.F. Ivina MATHEMATICAL MODEL OF HYDROACOUSTIC PIEZOTRANSDUCER IN THE FORM OF A HOLLOW ELLIPTIC CYLINDER

The system of partial differential equations describing the natural oscillations of the piezoelectric transducer in the form of a hollow elliptic cylinder is obtained. Electromagnetic field theory, theory of elasticity and electro-elasticity, equations of mathematical physics, elements of tensor analysis and orthogonal curvilinear coordinates applied to the solution of this problem.

Key words: piezoelectric transducer, orthogonal curvilinear coordinates, natural oscillations.

Введение

Пьезокерамические преобразователи (пьезопреобразователи) являются одним из основных типов гидроакустических излучателей и приемников, применяемых на практике. Одним из достоинств пьезокерамики является возможность изготовления преобразователей различных геометрических форм. К настоящему времени разработана в основном классическая одномерная теория расчета пьезопреобразователей простейших геометрических форм: длинных стержней, коротких и длинных полых круговых цилиндров, тонких пластин. Эта теория не охватывает другие типы преобразователей, представляющих практический интерес с точки зрения получения широкой полосы излучения и формирования заданных характеристик направленности.

Для анализа математических моделей пьезопреобразователей классических типов применяются самые простые системы координат: прямоугольная и цилиндрическая. Это связано с тем, что их одномерные математические модели описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые в этих системах имеют наиболее простой вид. Кроме того, в применяемом математическом аппарате необходимо, чтобы пьезопреобразо-ватель был ограничен координатными поверхностями соответствующей системы координат, на которых задаются необходимые краевые условия.

Применение других известных систем ортогональных криволинейных координат позволит разработать математические модели пьезопреобразователей неклассических форм, например, в виде эллиптического цилиндра, эллипсоида вращения и некоторых других. Эти преобразователи могут обладать и определенными преимуществами при использовании их в качестве гидроакустических излучателей с точки зрения расположения в корпусе обтекателя подводного аппарата и формирования определенной характеристики направленности.

Целью настоящей работы является разработка математической модели преобразователя неклассического типа в виде эллиптического полого цилиндра.

Объекты и методы исследований

Объектом исследования является гидроакустический излучатель неклассического типа в форме полого эллиптического цилиндра, ограниченный координатными поверхностями эллиптической цилиндрической системы криволинейных ортогональных координат. Для решения поставленной задачи применена теория электромагнитного поля, теория упругости и электроупругости, уравнения математической физики, элементы тензорного анализа и ортогональные криволинейные координаты.

Результаты и их обсуждение

Предварительно рассмотрим систему эллиптических цилиндрических координат [1-3]. Координатными линиями этой системы в плоскости хОу являются два взаимно ортогональных семейства софокусных эллипсов и гипербол. При параллельном переносе по перпендикуляру к плоскости хОу рассматриваемые эллипсы и гиперболы опишут эллиптические и гиперболические цилиндры, образующие две системы взаимно ортогональных поверхностей. Третья система координатных поверхностей состоит из плоскостей, параллельных плоскости хОу. Уравнения координатных поверхностей в прямоугольной

(х, у, г) и эллиптической цилиндрической системах (V, Т], г) имеют вид

X

У

d 2ch 2v d 2 sh 2v

= 1,

X

У

j2 2 il ■ 2

d cos г/ d sin /

z = const.

=1,

v = const, / = const, z = const.

Эллиптические цилиндрические координаты связаны с прямоугольными координатами соотношениями

x = dchv cos/, y = dshv sin z = z.

Так как поляризация рассматриваемого цилиндра предполагается перпендикулярной к цилиндрическим эллиптическим поверхностям (частным случаем является хорошо известный радиально поляризованный круговой пьезоцилиндр), то криволинейные эллиптические координаты должны быть пронумерованы следующим образом: Oty = z, Oj = 1,

а3 = v.

Тогда коэффициенты Ляме [4] равны hy = 1, hj = h3 = dh, где

/2 -2 \1/2 h = í sh v + sin 1] I , 2d - расстояние между фокусами.

Векторные дифференциальные операторы Градиент

gradФ = — dh

дФ e дФ e

ev + e1

dv д1

+ ■

дФ_

dz

■ez.,

(1)

где ev е^, ez - единичные векторы, касательные к соответствующим координатным

линиям и направленные в сторону возрастания этих параметров. Дивергенция

divu

Ротор

= —^т-ísh2vuv + sin 2m]) + — +—1 ' ии3\ v ' 1' ли

2dh

rotu

1 duz duv

dh д1] dz

ev +

dh ^ ди

дU диТ uuv +__1

дv д1

'

диz

дz

1 диz

V

дz dh дv

1 +

+

—1 г-ísh2vu„ - sin2iuv I + — 2dh 1 v d

dh

ди1 диу дv дц

z

(2)

(3)

Теперь можно приступить к разработке математической модели пьезопреобразователя в виде полого эллиптического цилиндра. Пьезопреобразователь выполнен из пьезокерами-ки и ограничен двумя эллиптическими цилиндрами, на которых нанесены серебряные электроды. Большая полуось внутреннего эллипса равна а, большая полуось внешнего эллипса равна Ь . Преобразователь может быть акустически нагружен по внешней поверхности и иметь внутреннее заполнение. В режиме излучения на пьезопреобразователь подается электрическое напряжение Vехр(—1Ш) (V - амплитуда электрического напряжения; ( - круговая частота; ? - время; / - мнимая единица). В режиме приема упругая волна, падающая на преобразователь, генерирует в нем электрическое напряжение, которое снимается с его электродов и подается на электронный блок.

В основу решения задачи о колебаниях пьезопреобразователя должны быть положены дифференциальные уравнения движения, уравнения Максвелла для электромагнитного поля, система электромеханических уравнений состояния и граничные условия для упругих и электрических полевых тензоров.

Поскольку в интересующем нас диапазоне частот размеры преобразователя значительно меньше длины электромагнитной волны, уравнения Максвелла можно заменить уравнениями электростатики, которые при отсутствии свободных зарядов имеют вид

divD = 0, (4)

rot E = 0, (5)

где D - вектор электрической индукции; E - напряженность электрического поля. Дифференциальные уравнения движения в тензорной записи имеют вид [5]

2

В uk Bak!

Р—^Т = -ВГ , (6)

Bt2 Вщ

где р - плотность пьезокерамики; u^ - компонента смещения, - тензор напряжений. Систему электромеханических уравнений состояния запишем в виде

7kl = cklijsij - eklmEm,

(7)

D = e -s- + fs E

^n mj^ij ^ ^nm^m? E

где cklij - тензор модулей упругости при постоянном электрическом поле; eklm - тензор

s

пьезоэлектрических постоянных; sj - тензор деформации; Snm - тензор диэлектрической

проницаемости при постоянной деформации. Перепишем систему (7) в матричных обозначениях

7 = cfj sj - eimEm, (К j = 1 - 6Х (8)

Dn = enjsj + sSnmEm, Кn = 1 - 3). (9)

В дальнейшем анизотропией пьезокерамики и прямым пьезоэффектом будем пренебрегать, поскольку такое же допущение принимается и в большинстве работ, в которых рассматривается классическая одномерная теория для пьезопреобразователей известных типов. Тогда упругие постоянные керамики будут описываться только двумя упругими постоянными Ламе: X и ц. Также предполагаем, что у индукции и напряженности

электрического поля отлична от нуля только одна компонента (Dv, Ev ), перпендикулярная координатным поверхностям, на которых нанесены электроды. Тогда уравнение (9) запишем в виде

Dv =sEv. (10)

Ограничимся анализом работы пьезопреобразователя в режиме излучения при гармонической зависимости от времени exp(-ifflt), временной множитель в дальнейших выкладках опускается.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Из уравнения (4) с учетом (10) находим напряженность Ev = C / h. Проинтегрировав напряженность, определим C. В результате получим

Ev = V /

dh ln

b W b 2 - d2

V? 2 a - d

Введем обозначение V = V /

V

b W b 2 - d 2

ln

a - d j

,тогда

Ev = V1/ (dh).

Условие (5) также выполняется:

rotE =

1 ( . „ V, ^ 1 д (

2dh3

- sin 2/—

dh

dh д /

v dh j

ez =

V, sin 2/ + V, sin 2/

2d2h4

2d2h4 j

ёг = 0.

В статье [4] для описания колебаний пьезопреобразователя в произвольной ортогональной системе криволинейных координат получено неоднородное векторное дифференциальное уравнение

_ _ 2_ —

(Л + 2¡и)grad(divu) - ¡urot(rotu) + po u = -F, (11)

где F - возбуждающая сила, обусловленная электрическим полем.

Распишем векторное уравнение движения (11) для компонент смещения, используя выражения для векторных дифференциальных операторов (1-3), в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных для пьезопреобразователя рассматриваемого типа:

2 2 д uv д u

д 2u

(Л + 2j)^2v + U^f + Л + u)-- -(Л + 3U¡

дv

д/

д—v

sh2v дщ 2h2 д/

• +

+

(Л + 3ju)

sin 2/ <^uг

__/ + uv

2h2 дv 4h4

[л(4h2ch2v - 3sh22v) + 4juh2 (2ch2v + cos2/7) -

/ 2 2 \n 3u/(^ + ju)sh2vsin2/ 2 2 2 2 2

-3j(2sh 22v + sin2 2// ]--^-^- + P®2d 2h 2uv = - d 2h 2 Fv,

2 2 д u/ д u

д 2uv

(л + 2j)^f+ + (л + и)^ -(л + + (12)

V J д/2 дУ2 v }дф K *J 2 - V '

2h2 дv

. 4s h2v дuv u/

+(л + 3j)—2—v+—4

V 2h2 д/ 4h4

[л( 4h 2 cos2/ - 3sin2 2/) + 4jh 2 (2cos2/ + ch2v)

-3u(2sin22/ + sh22v)]- 3uv(л + и)42vsin2/ + poOd2h2u/ = -d2h2F^

4h

Выражения для компонент возбуждающей электрической силы для общего случая получены в статье [4], приведем их окончательные выражения для рассматриваемого типа пьезопреобразователя:

1

ц

d 2h 2

^33

V1 д (dh) а

dh дц дц

Г V Л dhe3i~

V

dh

у

Ve33 sin 2ц 2d 2h 4 :

Fv

d 2h 2

e31

Vi д (dh)__

dh dv dv

d(h VP

dhe33 —-

dh у

Vie3is h2v 2d 2h 4

Если пьезопреобразователь нагружен с акустической стороны, то уравнения движения пассивной среды получаются из (12) при ^ = 0. Также будем полагать, что пьезопостоянные не зависят от координат, такое допущение будет справедливо, если поляризация всех участков пьезокерамики достигла насыщения.

На свободных поверхностях пьезопреобразователя должны выполняться следующие граничные условия: отсутствие касательных и нормальных механических напряжений. На нагруженных на жидкость поверхностях преобразователя должны выполняться граничные условия: отсутствие касательных напряжений, непрерывность нормальных смещений и нормальных напряжений.

Компоненты тензора напряжений (закон Гука с учетом обратного пьезоэффекта: уравнение (8)), которые понадобятся при решении краевых задач для выполнения граничных условий, равны

avv =

_ (Л + 2ju)

а

2dh3 (Л + 2jj

2h

duv

dv

цц

2dh3

2h2

du

ц

sin2цu

ц

дц

sh2vuv

Л

2dh3

Л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2dh3

sh2vuv + 2h

sin2цuц + 2h

2д^

дц

2 дИу

дv

- e

33

Vi dh

31

Vi dh

ац

j

2dh3

2h2

дuv дм

ц

дц дv

- sin2цмv - sh2vu

ц

Выводы

На основе теории электромагнитного поля, теории упругости и электроупругости, уравнений математической физики и элементов тензорного анализа получена математическая модель пьзопреобразователя в форме полого эллиптического цилиндра в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных (12). Решение полученной системы дифференциальных уравнений при соответствующих граничных условиях существующими аналитическими методами представляет значительные (и, вероятно, непреодолимые в настоящее время) математические трудности. Именно поэтому аналитическими методами решены только простейшие одномерные задачи для преобразователей классических типов. Более перспективными и реальными методами анализа пьезопреобра-зователей нетрадиционных типов являются численные методы. Для анализа собственных колебаний преобразователей - метод конечных элементов. Для анализа акустического излучения - комбинированный метод конечных и граничных элементов и комбинированные

численно-аналитические методы. Достаточно подробно все эти методы рассмотрены в монографиях авторов [6-8] для анализа неодномерных моделей преобразователей классических типов.

Список литературы

1. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М. : Наука, 1967. 780 с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. : Наука, 1973. 832 с.

3. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М. : Наука, 1968. 620 с.

4. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Гидроакустические преобразователи нетрадиционных типов и их математические модели // Науч. тр. Дальрыбвтуза. Владивосток : Дальрыбвтуз, 2016. Т. 39. С. 81-88.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. М. : Наука, 1987. 248 с.

6. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Компьютерное моделирование колебаний и излучения тел конечных размеров (методы конечных и граничных элементов). Владивосток : Даль-наука, 1996. 213 с.

7. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Компьютерное моделирование и анализ собственных колебаний пьезопреобразователей методом конечных элементов. Владивосток : Дальрыб-втуз, 2007. 242 с.

8. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Компьютерное моделирование и анализ излучения гидроакустических пьезопреобразователей и антенн. Владивосток : Дальрыбвтуз, 2013. 196 с.

Сведения об авторах: Балабаев Сергей Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: [email protected];

Ивина Наталья Федоровна, доктор технических наук, доцент, e-mail: [email protected].

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.