CC BY
88
Известия Института математики и информатики УдГУ
2016. Вып. 2 (48)
УДК 621.31
© В. В. Зиновьев, А. П. Белътюков, О. А. Бартенев
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ^-ФУНКЦИИ ЛАМБЕРТА
В статье рассматривается модель солнечного фотоэлектрического преобразователя как единичного источника. Используется ^-функция Ламберта для получения параметров солнечного элемента. Показывается универсальность такого подхода.
Ключевые слова: солнечная энергетика, модель солнечного элемента, ^-функция Ламберта.
Введение
В настоящее время развивается солнечная энергетика, использующая фотоэлектрические преобразователи. Фотоэлектрический преобразователь (ФЭП) позволяет превращать энергию оптического излучения непосредственно в электроэнергию, минуя стадии тепловой и механической форм энергии. Работа ФЭП основана на явлении внутренних) фотоэффекта в полупроводниковой структуре с р п-переходом.
Когда ФЭП облучается солнечным светом, он ведет себя в базовом режиме как источник тока в соответствии со своей вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Реперными точками ВАХ (рис. 1) являются точка холостого хода, которая характеризуется напряжением холостого хода (ихх) при токе, равном нулю, точка короткого замыкания, которая характеризуется током короткого замыкания (/кз) при напряжении, равном нулю, и точка, в которой мощность ФЭП максимальна (имм, !мм)- Эти четыре основных параметра (ихх? !кз? имм и 1мм) позволяют описать вольт-амперную характеристику ФЭП и могут использоваться для моделирования выходных электрических параметров.
Рис. 1. Типичная вольт-амперная характеристика ФЭП
Вольт-амперную характеристику ФЭП экспериментально получают на заводе-изготовителе. Для изучения ФЭП при различных режимах работы необходимо иметь модель ФЭП аналитическое соотношение между электрическими параметрами ФЭП и внешними условиями (интенсивность солнечного излучения, температура и т.н.).
Цель данной работы показать универсальный метод, который позволял бы достаточно точно определять ряд электрических характеристик ФЭП.
Существует несколько методов для моделирования параметров ФЭП: метод касательных Ньютона, метод Гаусса-Зейделя, использование ^-функции Ламберта, РБрше-моделирование.
В работе представлена математическая модель фотоэлектрического преобразователя с учетом влияния внешних факторов: энергетической освещенности и температуры. Модель основывается на использовании ^-функции Ламберта. Этот метод отличается универсальностью и точностью для определения электрических параметров ФЭП.
§ 1. Модель ФЭП
Модель отражает взаимоотношения четырех экспериментально измеряемых неременных ФЭП: ток (/н), напряжение (ии), энергетическая освещенность (Е) и температура элемента (Т).
ФЭП можно представить в виде эквивалентной электрической схемы замещения на рис. 2 (однодиодная модель или 5-параметричеекая модель). Существуют также многодиодные модели [1]. Однодиодная модель отличается простотой и достаточно точно описывает характеристики ФЭП для большинства применений.
По закону Кирхгофа, соотношение токов в цепи имеет вид
1Ш — /ф /д /дш •
Рассматривая диод как идеальный, можно записать для однодиодной модели следующее уравнение, определяющее связь действующих тока и напряжения:
т- 7- Y I I e ' ( ^^н + Ifi -Rfl л л иКш
/и = /ф - /«ж ( ехр ( A.fc.T ) - 1 ) - -Д-, (1)
где /н — ток нагрузки, А; ин — напряжение нагрузки, В;
/ф — фототок (ток, произведенный фотогальваническим эффектом), А; /он — обратный ток насыщения, А; е — заряд электрона (е — 1,602177 • 10_19 Кл); А — фактор идеальности р-п-перехода (А — 1... 5); к ................. постоянная Больцмана (к — 1,380649 • 10_23 Дж/К);
Т
Яп и Яш — последовательное и параллельное (шунтовое) сопротивление, Ом. С учетом термического напряжения
уравнение (1) примет вид
= " (6ХР { А ■ UT )-1)- —R^Г" • (2)
Модельные параметры I0H, Rn и Rm можно рассчитать на основе паспортных данных
I
ратуры.
/
т ^з + к1кз (Т - То)
ехр
и™+куж(Т-Т0) А-ит
1
/
ихх — напряжение холостого хода, В; кк
стого хода соответственно, А/К и В/К;
То То — 298
Параметры /кз, ихх, к1кз и кихх указаны в паспорте на солнечный модуль. Фототок прямо пропорционален освещенности и увеличивается с ростом температуры солнечного элемента [2]:
Е
1ф = Тг(1кЭ + кКЗ(Т-Т0)), (4)
Ео
Е2
Ео Ео — 1000 2
Параметры Яп и Яш можно определить численным методом, например по методике, приведенной в [2]. Метод основан на последовательном приближении значений Яп и Яш к оптимальным, при которых совпадают три характерные точки ФЭП (холостого хода, короткого замыкания и максимальной мощности) модельной вольт-амперной характеристики и паспортной.
Трансцендентные уравнения типа (1) решаются с использованием численных методов. Существует множество различных численных методов с разной точностью и трудоемкостью. Далее будет приведен способ решения уравнений такого типа с использованием ^-функции Ламберта.
§ 2. Моделирование параметров солнечного элемента с использованием Ш- функции Ламберта
Уравнение (2) можно записать для трех характерных точек ВАХ: • точка короткого замыкания:
- /о
ехр
-^КЗ-!!
Аир
1
/-
-
(5)
точка холостого хода:
0 — /ф - /
ехр
и
Аи
1
и
-
(6)
точка максимальном мощности:
/
ехр
имм + —ММ—I]
Аи
1
имм + —мм— п
-
(7)
Принимая во внимание, что производная мощности ФЭП в точке максимальной мощности равна нулю:
дР тт д/ т
~ди = дй + '
получаем следующее равенство:
и
Аи
^М Г) \ I иыы + ю
1 — тт—Яп ехр
и
Аи
1/
I--IX,
-
и
Уравнения (5)-(8) представляют собой систему с четырьмя неизвестными, две из которых (Яп и Яш) находятся в составе эквивалентной схемы замещения. Необходимо вывести уравнения для сопротивлений Яп и Яш. Для этого проведем ряд преобразований. Результатом будут следующие уравнения:
• уравнение для Яп, которое определяется только паспортными данными ФЭП:
Аитимм(21мм 1кз) _
(^ММ^КЗ + и^х (1ММ ^КЗ Ж^ММ 1ММЯП ) Аит (^м^ ^ХХ^ММ )
(имм + 1ММЯП ихх \ /„ч
—ж—;; (9)
• уравнение для определения Яш с учетом рассчитанного сопротивления Яп запишется в виде
^ _ (^ММ ^ММ Яц) (С^мм Яп(-^кз ^мм) А11т) (10)
(имм 1ММЯП )(1КЗ ^ММ) Аи>1ММ
Я
записать в форме, удобной для дальнейшего введения ^-функции Ламберта. Согласно [3] ^-функция Ламберта определяется как
W (х)е№ (х) = ж,
где х — комплексное число.
Ламберта есть функция, обратная к функции W = хех. W-фyнкция не является ни четной, ни нечетной функцией. Она определена на интервале (—1/е, те), где принимает значения от —те до те, причем для отрицательных х функция двузначна. Точка с координатами (—1/е — 1) делит график функции W(х) на две ветви: верхнюю Wo(ж), называемую основной, и нижнюю W_l(ж).
Для преобразования экспоненциальных трансцендентных уравнений используется следующее соотношение:
Уе¥ = X ^ У = W(X). (11)
Уравнение (9) можно переписать в следующем виде:
имм (21ММ ^КЗ) I 2имы ^ХХ . ^М^ и^х^М
■ ехр--——--Ь
^м^ + ихх (1мм ^кз) \ А ' ит ^мм^кз + ихх (1мм ^кз)
А ' ит ^мм^кз + ихх (1мм !кз)
^ММ ^ ^ММ-^КЗ и^СХ-^ММ | (12)
А ' ит ^мм^кз + ихх (1мм ^кз) )
Далее, используя соотношение (11), уравнение (12) преобразуем к виду, содержащему W-функцию Ламберта:
А ' ит имм1кэ + ихх (1мм ^кз)
__( ^кз) ехр ( ^ХХ ^ имм1кэ и^ХХ^ММ || (13)
\ ^мм^кз + ихх (1мм ^кз) \ А ' ит ^мм^кз + ^хх (1мм ^кз) ) )
где W_l — отрицательная ветвь W-фyнкции Ламберта, так как левая часть уравнения (13) -1
Я
представляется в следующем виде:
Я = а^_1(Ь ■ ехр(с)) — (й + с)), (14)
где
А • и
а
/ /
имм/кз + ихх (/мм /кз) /1 г\
2и и и / и / 2и - и и / - и /
С =--гт--Ь ■
( —
А • и имм/кз + ихх (/мм /кз)
имм ихх
А • и
Точное аналитическое решение уравнения (1) в виде ин — /(/н) можно также вывести, используя ^-функцию Ламберта.
Для этого производится ряд преобразований. Умножив обе части уравнения (1) на
-
А • и
и введя следующую замену:
- - - 1 /3 = —/н +1Ф л .тт +1ш а -ТТ ~и* А -ТГ ' ^
А • и А • и А • и А • и
получим:
Кш /1 Кп \
р=1ова^гт ехр [ивА^гт+4 ; • (17)
Чтобы использовать ^-функцию Ламберта, необходимо привести уравнение (17) к виду вехр(в) — /(в) Для этого умножим обе части уравнения (17) на экспоненту от правой части
равенства (16). После упрощения получим:
--
вехр(в) — Хэн ^ ^ ехр ( ^ ^ ( /н + /ф + /0н ). Решение (18) можно записать в виде, содержащем ^-функцию Ламберта:
в
и
/
/ Кш ( Кш \\
[7Я = А ■ [7Т ■ IV I /он^д ехр I — ( 1И + /ф + 1ов) ) ) /е(-йп -йш) Дш(/ф + Хэн)- (20)
/ — /(и )
обе части уравнения (1) умножаются на
А • ит • г1'
где
-
г 1 = 1 + —.
-
После дальнейших преобразований и применения ^-функции Ламберта получим следующую формулу:
А-ит ( Ка {ин + Кп(1ф + 10н)\\ 1ф + ^он — /н =--^—И^ /он-г^т-ехр - ^- +
К V А • ит • г1 \ А • ит • г1 ) ) г1
/ (^1,1,^1) = 0 / (и2,1,Е2) = 0
/ (ип,1,Еп) = 0
Рис. 3. Последовательное соединение фотоэлементов
§ 3. Модель последовательного соединения солнечных элементов
Для солнечных энергоустановок используются модули, представляющие собой электрические соединения отдельных элементов. Последовательное соединение из п солнечных элементов показано на рис. 3.
п
/ (иь1,Е1) = 0, / (и2,1,Е2) = 0,
/ (ип,1,Еп) = 0.
[/(иг,1,Ег)] = [0].
Или
Ток в цепи может меняться от 0 до максимального значения 1тах, которое равно току короткого замыкания (!кз) при максимальной энергетической освещенности. Вектор тока, состоящий из дискретных значений с шагом Д1, можно записать так:
[I (к)] = [0, Д1,2Д1,...,кД1,...,1тах ].
Каждому значению 1к соответствует значение иг — напряжение г-го солнечного элемента, которое определяется по формуле (20).
Поскольку в последовательном соединении п солнечных элементов, то каждому 1к будет п иг
Ег
жений отдельных элементов:
к
и (к) = ¿2 иг(к).
г=1
Таким образом, модель последовательного соединения солнечных элементов описывается двумя векторами:
[1к] = [1Ъ 12,...,1к 1К],
и ] = [иьи2,...,ик ,...,ик ].
На основе этого можно составить эквивалентную электрическую схему и ВАХ всего модуля и изучать его характеристики, используя ^-функцию Ламберта.
§ 4. Моделирование параметров солнечного модуля
Для примера выбран солнечный модуль KC200G японской фирмы Kyocera мощностью 200 Вт, параметры которого приведены в таблице 1. Модуль состоит из 54 последовательно соединенных элементов. Электрические параметры схемы замещения для модуля приведены в таблице 2. Токи /он и /ф рассчитаны по формулам (3) и (4) соответственно. Сопротивления Rn и Rm по формулам (14), (15) и (10). Параметр A для кремниевых поликристаллических солнечных элементов принимается равным 1,3.
Таблица 1. Паспортные параметры солнечного модуля KC200G при 25°, AMI,5, 1000 Вт/м2
1мм 7,61 А
Uмм 26,3 В
р 1 макс 200,143 Вт
иXX 32,9 В
I&1 8,21 А
Ки -0,1230 В/К
IÜ 0,0032 А/К
А^элом 54
Таблица 2. Расчетные параметры модели KC200G при стандартных условиях
Лш 9,825 • 10"8 А
8,214 А
415,405 Ом
Rn 0,221 Ом
С
я
2
а ß
0
В целях сравнения на языке программирования Python была написана программа для решения уравнения (2) численным методом Ньютона (метод касательных). Для четырех уровней освещенности были вычислены координаты точек вольт-амперной характеристики модуля. Результаты приведены на рис. 4.
На рис. 5 приведены ВАХ, рассчитанные с использованием ^-функции Ламберта по формуле (20). Расчеты проводились в свободной системе компьютерной алгебры Maxima.
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
_ \
* -
ч \ % \ * \ * } %
\ \ ч »
\ » \ 1 \ t \
N N 1 \ V \\ * 11
N * 1V
N А
1000 Вт, м
800 Вт, м
600 Вт, м
400 Вт, м
200 Вт. м
30
35
5 10 15 20 25
Напряжение модуля, В
Рис. 4. ВАХ модуля КС200С при различных оевещенноетях, построенная методом Ньютона
Заключение
В данной работе было показано использование ^-функции Ламберта для определения параметров ФЭП. Получены уравнения для построения вольт-амперных характеристик солнечного модуля в двух формах: = f (/н) и 1Н = f (ии); получены уравнения для вычисления сопротивлений Дп и Кш. При этом в расчетных формулах используются только паспортные
с
я 2
а
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
100^^/м2
800 Вт/м2
600 2
400 2
200 2 200
10 15 20 25
Напряжение модуля, В
30
35
Рис. 5. ВАХ модуля КС200Ст при различных оевещенноетях, построенная с использованием ^-функции Ламберта
данные солнечного модуля. Использование ^-функции Ламберта дает универсальный метод для получения электрических параметров любых солнечных модулей.
Сравнение результатов по методу Ньютона (рис. 4) и с использованием ^-функции Ламберта (рис. 5) показало их совпадение с достаточной точностью. Причем метод Ньютона является численным итерационным, дающим результат с определенной заданной точностью, а при использовании ^-функции Ламберта получаются готовые формулы в явной форме для вычисления искомых значений.
Список литературы
1. Quaschning V.. Hanitsch R. Numerical simulation of current-voltage characteristics of photovoltaic systems with shaded solar cells // Solar Energy. 1996. Vol. 56. Issue 6. P. 513 520.
DOI: 10.1016/0038-092X(96)00006-0
2. Villalva M.G.. Gazoli J.R.. Filho E.R. Comprehensive approach to modeling and simulation of photovoltaic arrays // IEEE Transactions on Power Electronics. 2009. Vol. 24. Issue 5. P. 1198 1208. DOI: 10.1109/TPEL. 2009.2013862
3. Дубинов A.E., Дубинова И.Д., Сайков С.К. ^-функция Ламберта и ее применение в математических задачах физики. Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2006. 160 с.
Поступила в редакцию 01.06.2016
Зиновьев Виталий Валерьевич, аспирант. Удмуртский государственный университет. 426034. Россия, г. Ижевск, ул. Университетская. 1. E-mail: vi777vz:<igmail.com
Бельтюков Анатолий Петрович, д. ф.-м.н.. профессор, заведующий кафедрой теоретических основ информатики. Удмуртский государственный университет. 426034. Россия, г. Ижевск, ул. Университетская. 1.
E-mail: belt.udsu <> mail.ш
Бартенев Олег Архипович, к. ф.-м. и., доцент, заведующий кафедрой теплоэнергетики. Удмуртский государственный университет. 426034. Россия, г. Ижевск, ул. Университетская. 1. E-mail: boa2iciudsu.ru
0
5
V. V. Zinov'ev, A. P. BeVtyukov, O.A. Bartenev
Mathematical model of the photovoltaic converter using the Lambert W function
Keywords: solar energy, solar cell model, Lambert W function. MSC2010: 93A30
W
used to obtain the solar cell parameters. Versatility of this approach is shown.
REFERENCES
1. Quaschning V., Hanitsch R. Numerical simulation of current-voltage characteristics of photovoltaic systems with shaded solar cells, Solar Energy, 1996, vol. 56, issue 6, pp. 513-520.
DOI: 10.1016/0038-092X(96)00006-0
2. Villalva M.G., Gazoli J.R., Filho E.R. Comprehensive approach to modeling and simulation of photovoltaic arrays, IEEE Transactions on Power Electronics, 2009, vol. 24, issue 5, pp. 1198-1208.
DOI: 10.1109/TPEL. 2009.2013862
3. Dubinov A.E., Dubinova I.D., Saikov S.K. W-funktsiya Lamberta i ee primenenie v matematicheskikh zadachakh fiziki (Lambert W function and its application in mathematical problems of physics), Sarov: Russian Federal Nuclear Center, 2006, 160 p.
Received 01.06.2016
Zinov'ev Vitalii Valer'evich, Post-Graduate Student, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, I, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: vi777vz@gmail.com
Bel'tyukov Anatolii Petrovich, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Theoretical Foundations of Computer Science, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: belt.udsu@mail.ru
Bartenev Oleg Arkhipovich, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Thermal Engineering, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: boa2@udsu.ru
