Математическая модель электротехнических систем с частотно-регулируемыми асинхронными двигателями в режимах детерминированного хаоса

Аношенкова Екатерина Викторовна; Федянин Виктор Викторович; Федоров Дмитрий Владимирович; Троценко Виктор Васильевич

УДК 621.318 Е. В. АНОШЕНКОВА

РО!: 10.25206/1813-8225-2018-157-50-53

В. В. ФЕДЯНИН Д. В. ФЕДОРОВ В. В. ТРОЦЕНКО

Омский государственный технический университет, г. Омск

омский государственный аграрный университет им. П. А. Столыпина,

г. Омск

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЧАСТОТНО-РЕГУЛИРУЕМЫМИ АСИНХРОННЫМИ ДВИГАТЕЛЯМИ В РЕЖИМАХ

ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА

Проведены теоретические и экспериментальные исследования переходов электротехнических систем с частотно-регулируемыми асинхронными двигателями с положительной обратной связью из режима развитого хаоса к различным регулярным и хаотическим симметричным колебаниям. На основе структурного подхода к движению электротехнической системы в фазовом пространстве возможно исследование устойчивости межгрупповых движений, рассматриваемых во всем их разнообразии, как задача структурного анализа устойчивости. При этом в связи с простотой и обозримостью структур межгрупповых движений к исследованию устойчивости последних могут успешно применяться качественные методы.

Ключевые слова: хаотический режим, синфазные колебания, стабилизация хаотических колебаний.

Исторически первым является следующее определение режима детерминированного хаоса: детерминированный хаос — это суперпозиция очень большого числа неустойчивых периодических движений. Второе определение детерминированного хаоса формулируется так: детерминированный хаос связан с устойчивостью системы к малым изменениям своих начальных условий. Это — так называемый «эффект бабочки» [1]. Итак, детерминированный хаос — это неустойчивое и чувствительное к начальным условиям явление. При этом траектории движения в фазовом пространстве ограничены, в то время как показатель Ляпунова имеет положительное значение. Если имеется хотя бы один положительный показатель Ляпунова, то это означает наличие спонтанно образующейся положительной обратной связи (ПОС) в контурах замкнутой системы управления [2].

Электротехническая система (ЭТС) с частотно-регулируемым асинхронным двигателем (ЧРАД) представляет собой сложную систему с замкнутым контуром управления, которая имеет несколько переменных и параметров, её параметры включают в себя электрическое сопротивление, индуктивность, механическую инерцию вращения, коэф-

выпрямитель фильтр инвертор

Рис. 1. Структурная схема преобразователя частоты

фициента демпфирования и т.д. Входные переменные включают напряжение, ток, частоту и т.д. [3]. Выходные переменные включают в себя скорость вращения, мощность (момент) на валу и т.д. Изучение изменения этих переменных в ЭТС с ЧРАД под влиянием хаоса станет важной основой исследования всей системы с ЧРАД в хаотическом режиме [4]. Осуществление перехода математической модели трехфазного асинхронного двигателя из трехфазной системы координат к двухфазной (й, д)

синхронно вращающейся системе отсчета представлено системой дифференциальных уравнений:

Сю ПрЬш , . .

-Ж = ИГ ^^ --

' J Ь

^ г,

сИ

¿V ГС

м

1 Ь

= — Vга + («1 - ю) Vщ

1/ч Ь

= -^гVгq - К - ю) V, I*

Т^Г V ГС +-ТГ" ЮV Г

(1)

С1„

-V ГС +-

"«V г,

стЬД ^ +«11-а

■С

стЬ,

янные времени, что дает возможность определить и рассмотреть наиболее важные зависимости развития динамических систем [6].

Существует два главных вида преобразователей частоты: с прямой взаимосвязью и с переходным контуром непрерывного тока. В первоначальном случае выходное напряжение синусоидальной формы складывается из зон синусоид преобразуемого входного усилия. Ввиду этого наибольшее значение выходной частоты принципиально никак не может быть одинаковым частоте питающей сети. Колебание на выходе преобразователя данного вида, как правило, находится в диапазоне от 0 до 25 — 33 Гц. Однако максимальное распространение приобрели преобразователи частоты с переходным контуром непрерывного тока, сделанные на основе инверторов напряжения [7].

Математическая модель такого рода схемы замещения (2) и методика численно-аналитического решения отображающей её концепции нелинейных дифференциальных уравнений, с переменными матрицами Л. и Ъ. вида

Математическая модель ЭТС с ЧРАД (1) позволяет анализировать режим детерминированного хаоса, используя положительную обратную связь выдержкой времени. Результаты имитационного моделирования показывают, что реализовать ЭТС с ЧРАД с хаотической генерацией осуществимо с помощью метода управления.

Одним из ограничивающих условий формирования преобразователей частоты выступает малая исследованность их нелинейных динамических качеств.

Подчеркнем то, что математические модификации частотных преобразователей обязаны принимать во внимание не только лишь нелинейные качества широтно-импульсной модуляции, но и нелинейности, сопряженные с неопределенностью факторов коммутации неконтролируемых полупроводниковых компонентов в режимах непрерывистых токов, так как присутствие подобного рода нелинейностей значимым способом обогащает разнообразие существования и формирования разных детерминированных и беспорядочных состояний замкнутой системы автоматического регулирования [5]. Структурная схема, показанная на рис. 1, представлена идеальными компонентами, но математические модели данных компонентов предусматривают нелинейности и общие посто-

(X (Я

= д.[кР(¡ОХ + Ь[кр(а 1 = 1 ... 3.

(2)

Коэффициенты матрицы находятся в зависимости от значения коммутационной функции К [а(Х,0] не знакомого ве ктор а неус т о йчивых состояний X, значения кото]оого фороируются последовательностью, £ = 1, 2, ..., [8].

При достижении коэффициентом усиления противоположной овязо пределоного значения свойств енна ртчата ста б ильнофтч р абочего режима, сопровождающаяся появлением низкочастотных субгармоник.

Из еолвфенных бифуркационных диаграмм, приведенных нарис.2, и фазовых портретов виден характер процессов, протекающих в системе.

Математическая мор ель асинхронного двигателя и его механичеокоф нагрузки. Для асинхронных двигателей в ситхронно вращающейся системе от-счетас угеовой вкоросттю оэе для ротора и обмотки статора, соответственно [6]:

(3)

>Я)" 'ох (Я) "о0(Я)" ое(Я)"

1ь0 ф о мр Г о ь(Я) ф ООе о^Я

П) у (г) ю о с0)_ о о (Я) ,

и вых

Рис. 2. Бифуркационные диаграммы

RЛ + RIL2Ш

>

Ь

еО2 "zT)(t)" рмр 'мРгОУ

/е). (OH. мор

(4)

Используя уравнения (3) и (4), модель асинхронного двигазеня выражается сеедующим оОразом:

Зу Р ав-'е^ю (Ъ ^DOe(Î)î(î) а" m(î)}, зз

(5)

где

i i (у0) (R) (Mt) 1 1 (0) (t)

Из

ви

О

M,,

ие

В р

а В,

О а«,.

Ro Муе 0

- Мие Rs - Ls°-

0 LsP И)

~Lr 0 M 0 "

0 в. 0 M

M ) Lt о

0 M 0 Ls

( 0 L( 0 M "

-L 0 -M 0

0 0 0 0

0 0 0) 0

ззе Tt

в) р ие),

Я£ (6) О Я£(6 + 2я).

sn(t)~

(t) е Sb(t)

_Uc(t). (Sc(t)_

(тс (t) ,

ыав

Ubc

Пса

Пая

ii bn

îîcn

II

(ùt

ù)t

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0)1

Oit

=t=f

2я

M р

где 1ёг — ток ротора по оси Я н — тос ротора по оси д; Р1 — ток статора по оси а,; [ — оок статора по ос и о; о— — наприжтние р>тз;^р)];5а по оси й; идг — напряжение ротсфт по оси с;; и^ — напряже -ние статора пт оси й; и] — наиряжение статора по оси д ои — утеаовая скорость ротора; Кг — со-противленик ибиоиок ^от^рот; Я — стпротивление обмоток статор а; 0к — итдуктивнонсь рассеяния;

— собствеиная индухтитнтстк сттторной обмотки; М — взаиминя тнтуктивноснь ; Р, — число пар полюсов.

Динамическар моде/а вращательного движения выражается как:

01е0) о о I СбасТ] + И-С) - П/'(Т-Т)};

Рис. 3. Выходное напряжение шестиимпульсного преобразователя

где и,с — постоянное напряжение на конденсаторном фильтре С; Ба, и — функции, поедставояю-щие: харкктеристики преобразователей.

Они, как правило, являются сбалансированными и пер со дическими с периодом у о Ре / ае , где /е о а/Я соответствует рабочей частоте инвертора.

На рис. 3 показаны примеры шестиимпульсной формы выходного напряжения [10].

Тогда , бь , и можно разложить в ряд Фурье в виде:

~Sa)t) cos)Troe + v т )

Sb)t) = ]L Kt cos)Troe - Te /3 + vT) . (8)

_sc)t)_ t=1 cos)(roe - 2Te /3 +■ vT)

Это дает возможность получить следующее вы-р ажение:

(9)

(,d.(t)) («а(И)"

Sqs)t) = MTi-1 sb)f)

0 ЛИ)_

Из уравнения (7) и (8) можно получить:

где I — момент инерци и; 5 — к оэффициент затухания; Ть — внешниК момион нааразки.

Вращающий момтнт нагрузке Ть ипределяется характер иститами мехониче ско й нигрузки [4].

Т равна констаите и пе.ио-ооно изменяется по 0.

8ds)M) "sca)f(" "sd,)T"

8jt) = С-1 sb)f) 11 d( И) = sgs(f) 8d()t( =

0)t) sjt) _ 0

ccosvs! ЛО!3)т • OtJ + vj"

2- Kl sin vt Kt sin)( • )И + vт ) 8d(И)

0 т=1 0

(6)

В реальных ЭТН т Ч-ааД асть много примеров механических нагяуток, аотт[эые удовлетворяют уравнению (6).

Математическая модель инвертора и выпрямителя. Инвертор роялизретса таким образом, что его выходные напряяеноо яа, иь и ер выражаются как [9]:

л/3 /2-

ыходнае напряжение ЧРАД задается с помощью выражения (5)

ut) = Il ,0, S) (t)udc (t), sqs (t)udc (t^^

(10)

(7)

О братим вн и мание, что sds(t) и s (t), определенные в уравнении (9), я в ля ются п ерио дическими функциями с пер иодом

sds(8 = )ds)t + Tu),

sjt) = s Jt + Te ).

52

Если Kn = О для всех л>2 в уравнении (8), то s (i)

И S ( t) ЯВЛЛЮТСЯ ПОСТоЯННЫМИ.

Уравнение фильтра выражаепся как

^ (d = " T" ВМя(Я s TdeT) -Я е=)}, с(Я L„

du,

1

. d=~№M в ~~8 от y) — ¡dc =(}, d Я М (

(18 )

где e(t) — выходяош на^]зяже^1^ие выпрямителя.

С учотош ;з.лконв сохранения энергии оося инвертора имоео:

iоеЯT(яP) = -L()Tв(t( + ПнTTy^t-■ (12)

Подстаенм в (Я0( правув чаеть (правнония (12), тогд а

ГоЛМ) = Ü)2m^t)(^) Т (^KM H TfJ)-

Отсюдв я^1]ге^^ет cвeгyв:(щeа ^лпипни)

(=(- = Ж))2(оЯ( а --(л—л^Л (13)

Е ели пгедпонежиеь, чте e (Л) яеясеянтся источником постоовноео нешт5гжеш^я е —) = Е,п, подставив выражение( 1T) в урвпненив (( (), птлучаем:

TеГRе(е(в-Яp-{Rо(о(е(аudcEе)-EH,

dt

ШТяс dt

(Я) = t(L Iв(t)е{idIH)Пdп(t) и (ЛпЯ)Плп(Я))} .

М

3. Федянин В. В. Разработка и исследование генератора ./^терминированного хаоса // Актуальные вопросы образования и науки: сб. науч. тр. Тамбов: Консалтинговая компания Юком, 2013. Ч. 9. С. 145-146. ISBN 978-5-4343-0480-1.

4. Опман Е. В., Рысев П. В., Свешникова Е. Ю., Зиган-швн Д. И. Хаос в системе связанных нелинейных генерато-еов. Управление и синхронизация // Энергосбережение и энец гетос а в Омской области. 2005. № 1 (14). С. 82-86.

5. Chiang H. D., Liu C. W., Varaiya P. P. [et al.]. Chaos in a àmple power system // IEEE Transactions on Power Systems. 19еЗ: Vol. 8. no 4. P. 1407-1417.

6. Опман Е. В., Рысев П. В., Свешникова Е. Ю., Зиганшин Д. И. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов // Динамика систем, механизмов и машин: материалы V Междунар. науч.-техн. конф. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2004. Кн. 1. С. 229-234.

7. Федянин В. В., Федоров В. К. Особенности режимов детерминированного хаоса преобразователей постоянного напряжения для ветро- и гелиоэлектростанций // Известия Томского политехнического университета. 2016. Т. 327, №. 3. С. 47-56.

8. Nayfeh M. A., Hamdan A. M. A., Nayfeh A. H. Chaos and instability in a power system - Primary resonant case // Nonlinear Dynamics. 1990. Vol. 1, no 4. P. 313-339. DOI: 10.1007/ BF01865278.

9. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1962. 358 с.

10. Федянин В. В. Алгоритм и программа формирования широтно-импульсной модуляции в режиме детерминированного хаоса: свидетельство о регистрации электронного ресурса № 21895 от 01.06.2016. М.: ВНТИЦ, 2016. № 50201650231 от 01.06.2016.

Проведенные исследования показали, что при определенных параметрах в системе с широтно-им-пульсной модуляцией (ШИМ) первого рода после однопериодного процесса происходит бифуркация Хопфа и появляется квазипериодический процесс. Причем при снижении коэффициента заполнения ШИМ квазипериодический процесс в системе наступает при меньших коэффициентах регулирования (Крг). Изменение вида ШИМ качественно изменяет бифуркационные диаграммы выходного напряжения, и в случае модуляции первого рода пропуск точек коммутации происходит при меньших значениях К , чем в случае ШИМ второго

рег J 1

рода.

Библиографический список

1. Андерсон П., Фуад А. Управление и устойчивость энергосистем. М.: Энергия, 1981. 567 с.

2. Yixin Y., Hongjie Jia, Peng Li [et al.]. Power system instability and chaos // Electric power systems research. 2003. Vol. 65, no 3. P. 187-195.

АНОШЕНКОВА Екатерина Викторовна, ассистент кафедры «Теоретическая и общая электротехника» Омского государственного технического университета (ОмГТУ).

ФЕДЯНИН Виктор Викторович, ассистент кафедры «Электрическая техника» ОмГТУ. ФЕДОРОВ Дмитрий Владимирович, аспирант кафедры «Электрическая техника» ОмГТУ. ТРОцЕНКО Виктор Васильевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Технический сервис, механика и электротехника» Омского государственного аграрного университета им. П. А. Столыпина. Адрес для переписки: OpmanEV@yandex.ru

Для цитирования

Аношенкова Е. В., Федянин В. В., Федоров Д. В., Троцен-ко В. В. Математическая модель электротехнических систем с частотно-регулируемыми асинхронными двигателями в режимах детерминированного хаоса // Омский научный вестник. 2018. № 1 (157). С. 50-53. Б01: 10.25206/1813-8225-2018-157-5053.

F