Математическая модель электропроводности супракристаллических планарных и нанотубулярных структур Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 537.311

Р. А. БРАЖЕ, В. С. НЕФЁДОВ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ СУПРАКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛАНАРНЫХ И НАНОТУБУЛЯРНЫХ СТРУКТУР

Предложена двумерная модель электропроводности однослойных 2В листов и нанотрубок. Рассчитаны коэффициенты электропроводности для графеновых и супракристаллических 2Б листов и нанотрубок.

Ключевые слова статьи: электропроводность, углеродные нанотрубки, супракристаллические структуры.

Углеродные нанотрубки обладают уникальными электрическими свойствами [1], что делает их перспективным объектом для наноэлектроники. Электрические параметры одностенных углеродных нанотрубок характеризуются значительным разбросом. Электропроводность графена и углеродных нанотрубок определяется свободными электронами. В отсутствие дефектов при низких температурах электроны движутся, не испытывая рассеяния, что соответствует баллистическому механизму проводимости. Измеренные значения электрического сопротивления одностенных углеродных нанотрубок при комнатной температуре лежат в диапазоне от 1,5 до 104 кОн [ 1 ].

В данной работе мы предлагаем двумерную модель электропроводности, с помощью которой можно определить соответствующие двумерные (поверхностные) коэффициенты электропроводности для графеновых и супракристаллических 2Т) листов и нанотрубок [2].

Обобщённое уравнение явлений переноса в двумерном случае по аналогии с трёхмерной задачей [3] можно записать в виде

<№ * О)

2 с1х

где Ш - переносимая физическая величина; (г?) - средняя арифметическая скорость частиц;

средняя длина свободного пробега; п2 - число частиц на единицу площади; IV - ширина площадки, через которую переносится величина за время Ш.

Пусть переносится электрический заряд:1? = д, причём каждая частица переносит от столкновения к

столкновению лишь долю заряда, участвующего в дрейфе под действием электрического поля, т. е.

Щ е<р/2 е2<р (2)

Ш -¡¡2 Л ,,-1 ,,,! & ................ — ■ ............\ /

1 ЦГТ кБТ 2 кБТ'

Здесь е - элементарный заряд; - энергия заряда, приобретаемая им при движении в электрическом поле с текущим значением потенциала (р\ Щ = квТ- энергия хаотического теплового движения заряда; кв- постоянная Больцмана. Подставляя полученное выражение в (1), получаем

1 е2 с1<р

йа = < V >< Я > V т/й^* К }

н 2 ~ 2к3Т йх

Так как каждый заряд обладает двумя степенями свободы (г = 2), то его средняя энергия

Ш0Щ

* т* < V2 > ,,,

- кБТ = квТ — ——--. (4)

© Браже Р. А., Нефедов В. С., 2012

Следовательно,

1 е2 п^е2 <Л>

- Щ < X Л > ——- = ——--—■ = йг2, (5)

2 - 2к8Т 2т*<&> £ К }

где (72 - двумерная электропроводность, а т - эффективная масса электрона. Таким образом, уравнение электропроводности можно записать в следующем виде:

(6)

* тйх

где коэффициент двумерной электропроводности

ще1 < X >

~ 2т*' < V >" (7)

Так как -<1(р/с1х = Е (напряжённость электрического поля), то выражение (6) представляет собой закон Ома в дифференциальной форме для плотности поверхностного тока:

&<2

= (8)

шш

С другой стороны, ¡2 = Ш2Ы), где {и} - средняя скорость дрейфа носителей заряда, причём

{и) — где - их подвижность. Следовательно, двумерная электропроводность графена и углеродных нанотрубок может быть представлена в виде

&2 =

(9)

Супракристаллические планарные и нанотубулярные структуры в ряде случаев обладают свойствами собственных полупроводников [4, 5]. Тогда формула (9) принимает вид

^«•«яО*»**^ (Ю)

где ¡лп и ир- соответственно подвижности электронов и дырок, а двумерная концентрация собственных носителей заряда [6]

Г Р 1

(11)

шТУ

В выражении {\\)Nc1лNv - соответственно эффективные числа состояний в зоне проводимости и в валентной зоне; ширина запрещённой зоны; Г- абсолютная температура. В свою очередь,

= ' еХР

2 кпТ.

где и тПр - соответственно эффективные массы электронов и дырок, а к - постоянная Планка.

Подвижности электронов и дырок могут быть выражены через среднее время свободного пробега носителей заряда {г} [8]:

Поскольку при столкновениях электронов и дырок с атомами рождаются фононы, то за<г) можно принять время спонтанного испускания фононов .„10~*13с для оптических фононов и

^КГ^С для акустических фононов [7]).

Таким образом, для расчёта двумерной электропроводности планарных и нанотубулярных структур необходимо найти вначале для соответствующего направления дрейфа носителей заряда следующие величины:^, Это возможно, если для исследуемой структуры известно строение энергетических зон.

Следует иметь в виду, что в общем случае электропроводность, подвижность и эффективная масса носителей заряда является тензорами. В частности, тензор обратной эффективной массы имеет вид [6]

дгЕ д2Е

Г1 -

àp.x дРхРу

дгЕ д2Е

IßPyPx Щ

(14)

где pxJ}y - компоненты вектора импульса соответствующего носителя заряда (электрона или дырки) в кристаллической системе координат, причём р - кк, к - волновое число, a h — Ы{2п) -

приведённая постоянная Планка.

Для графена и углеродных нанотрубок, энергетический спектр электронов и дырок известен [8], что позволяет рассчитать их электропроводность в зависимости от направления и температуры по формулам (9)-04). Для супракристаллических планарных и нанотубулярных структур строение энергетических зон ещё предстоит исследовать.

Обратим внимание, что в направлении, обозначаемом как «зигзаг», в K-точке зоны Бриллюэна для графена ширина запрещённой зоны равна нулю, эффективная масса электрона также равна нулю (он становится безмассовым двумерным дираковским фермионом), и вычисление электропроводности по формуле (9) приводит к неопределённости вида О4». Более сложная, квантовая теория электропроводности показывает, однако, что и в этом случае электропроводность не опускается ниже минимальной величины - кванта электропроводности 2e2/h [8].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лобач, А. С. Электропроводность наноматериалов на основе одностенных углеродных нанотрубок / А. С. Лобач, Л. И. Буравов, Н. Г. Спицына, А. В. Елецкий // Сборник стендовых докладов на 2-м Международном форуме по нанотехнологиям. - М., 2009.

2. Браже, Р. А. Супракристаллические нанотрубки / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Радиоэлектронная техника: межвуз.сб. науч. тр. - Ульяновск, 2010. - С.148-155.

3. Браже, Р. А. Избранные лекции по физике. Часть 6. Статистическая физика и термодинамика: Методические указания для студентов УлГТУ / Р. А. Браже, В. М. Прокофьев. - Ульяновск : УлГТУ, 2003.- 42 с.

4.Браже, Р. А. Компьютерное моделирование физических свойств супракристаллов / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки - 2011. - №2 (18). - С. 105-112.

5. Браже, Р. А. Компьютерное моделирование электрических свойств супракристаллических нанотрубок / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки - 2011. -№3. - С. 131-139.

6. Орешкин, П. Т. Физика полупроводников и диэлектриков / П. Т. Орешкин. - М. : Высш. шк., 1977.-448 с.

7. Гантмахер, В. Ф. Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках / В. Ф. Гантмахер, И. Б. Левинсон. - М. : Наука, 1984. - 352 с.

8. Dubois, S. М.-М. Electronic properties and quantum transport in Graphene-based nanostructures / S. M.-M. Dubois, Z. Zanolli, X. Declerck, J.-C. Charlier // Eur. Phys. J. B. - 2009. - DOI: 10.1140/epjb/e2009-00327-8.

Браже Рудольф Александрович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой «Физика» УлГТУ. Имеет публикации в области компьютерного материаловедения. Нефёдов Вадим Сергеевич, аспирант кафедры «Физика» УлГТУ.