CC BY
43
УДК 62l.3l3
В.Е. Плюгин
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ЭНЕРГИИ С МАССИВНЫМ РОТОРОМ
Приведенірезультати теоретичних досліджень, отримана математична модель електромеханічного перетворювача енергіїз масивним ротором в сталому і перехідному режимахроботи.
Приведены результаты теоретических исследований, получена математическая модель электромеханического преобразователя энергии с массивным ротором вустановившемся и переходномрежимах работы.
Электромеханические преобразователи (ЭМПЭ), предназначенные для транспортировки, нагрева рабочей нагрузочно-охлаждающей среды, представляют собой асинхронный двигатель с внешним массивным ферромагнитным ротором [l, 2]. На сегодняшний день отсутствует единый подход в моделировании такого типа машин.
В настоящей работе рассматривается формирование математической модели ЭМПЭ с массивным ротором в соответствие с теорией обобщенной электрической машины [3].
В общем случае при наличии и-магнитосвязанных контуров уравнения Кирхгофа можно записать в виде матрицы, содержащей мгновенные значения токов и напряжений, дифференцируемые полные и взаимные индуктивности обмоток [3].
Однако, такая система уравнений не позволяет непосредственно путем математических преобразований перейти к описанию конкретного ЭМПЭ, исходя из представлений о данном виде ЭМПЭ.
Так, уравнения асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором получают из известной обобщенной модели, записанной в двухфазной системе координат. Между тем, эта модель не имеет непосредственной связи с упомянутой выше системой уравнений.
Целью настоящей работы является получение такой системы уравнений обобщенного ЭМПЭ, которая при наличии заданных условий трансформируется или, пользуясь терминами объектно-ориентированного проектирования [4], мутирует в заданный вид ЭМПЭ. В работе [5] была сформирована модель ЭМПЭ с массивным ротором, однако результаты исследования показали, что полученные результаты нуждаются в корректировке и изменении.
Отправной точкой в получении обобщенной модели будет обобщенная модель асинхронной машины для установившегося режима [6], представляемая графически в виде Т-образной схемы замещения (рис. l):
U = ~Ёо + hirl + jxl )>
U2 = Ёо_ ^2 (r2 + jx2 о)~ _ ^2 .Z^o; (l)
s
h = ll +12,
где x 20 - индуктивное сопротивление ферромагнитного ротора, х^о - индуктивное сопротивление обмотки ротора, а - коэффициент, учитывающей свойства ферромагнитного материала.
Уравнения обычного асинхронного двигателя (так далее будем называть асинхронный двигатель с к.з. ротором) получаются из (l), если положить а = l и х/20 = 0.
Рис. 1. Т-образная схема замещения обобщенной асинхронной машины
Уравнения асинхронного двигателя с массивным ротором получаются из (1), если положить а = уаг (обычно принимают а = 0,5) и х ^о = 0.
Рассмотрим, как от обобщенной модели установившегося режима (1) перейти к системе дифференциальных уравнений режима динамического.
Интерес представляет второе уравнение системы (1), записанное для цепи ротора, поскольку для цепи статора преобразования будут аналогичны известным для обобщенного ЭМПЭ. Запишем развернутое выражение для цепи ротора (принимаем и2 = 0):
0 = Ео -- А2*20. (2)
5 Я
Умножим обе части уравнения (2) на яа, что соответствует переходу от машины с заторможенным ротором к машине с вращающимся ротором:
0 = Е?0^а - Ї2 г2 - А2 *2 0 - //2 х20*а (3)
При учете Е0 = -]хт/т и /т = /1 + /2 получим
0 = -/ХтІ15а - ]ХтЇ2- Г/'2 - ^/2. (4)
Перейдем к следующим обозначениям:
/5 = /й /г = /2; Гг = г2
и запишем уравнение (4) в проекции на ось а двухфазной системы координат, вращающейся со скоростью ротора
0 _ ~Ахт/шЯ ~ /Хт/тЯ ~ гг/т ~ /Х20/га _ /Х20/гаЯ . (5)
Объединим параметры при соответствующих токах и умножим обе части уравнения на -1:
0 = (гг + /Хт5'а + ІХ'і 0 + /х205'а')/ га + /хт/на ^. (6)
В уравнении (6) при токе ротора входит индуктивное сопротивление х 20 без яа, а также отсутствуют выражения для токов статора и ротора по оси р. Выполним преобразования путем добавления и вычитания одноименных слагаемых, выразим скольжение я как 1 - V, где V = юг / - относительная скорость.
;Т’ X2 0
0 - (rr + Jxm(1 ~v)a + jX2o(l _ v)a + jx20(1 ~v)a]1ra + (7)
^ jx20^ra _ jx20(1 _ v) 1ra ^ Jxm^sas ■
Введем э.д.с. вращения, добавляя в уравнение (7)
±/xmV/ra, ±/'x/20V/ra, ±jx"20^0.. При TOKe /ra ИМееМ!
0 = (rr + jxm [(1 _v)” +VJ+ jx20 [(1 _v)” +VJ +
+ jx20 ,(1 - v)“ + v|Ka + (jx20 - jxm v “ jx20V “ (8)
jx20v~ jx20(1 -V)a)Ira■
При учете /rp = jlra.'.
(4 + jxm [(1 - V)“ + vj+ jx20 [(1 - V)
+ jx20 [(1 _ v)a + v])^ra + (x2 01 “I1 _ v)'
+ vj +
\a
(9)
-(jx 2о + jx2)v) І
;p,
(12)
d
— І Гі h-----Li lL„ H--------Mi
d
usa і “|“ dt Ll j^a 1 dt ^';a’
0 _~dtMkvisa r; ^~dtL2ky ^~dtl(320kv li;a ^
+ (lo20ks _(lo20 + L2 )ro)i;p _ Ma|isp,
0 = M&isa + (- l020ks + (lo20 + L2 )ro)i;a +
+ 1 ;; + ~t_L2kv + ~la20kv \;a + ~d^Mk'^is
(14)
d
d
d
*sa I r1 + dj L1 lisa ^ dtMim,
d
d „ ( d , V
0 _ dtMkvisa дr; ^~dfL20 F™ ^
+ (lo20ks _ L20ro);p _ M®isp,
0 = М»^а +(- la20ks + L20ra)i;a + (15)
r; ^ ~ditL20kv )т ^ ~dtMkvisa,
d
d
где _/'х 2 = /хт + _/'х//20 - полное индуктивное сопротивление обмотки ротора.
При токе статора введем ±/хт\/5а
Іхт [і1 _ у) ^ _ Іхт^/яа . (10)
При учете /5р = из (10) получим выражения для токов статора:
Іхт [(1 _ у) ^ _ хт у-^5р . (11)
Введя коэффициенты к5 = 1 - (1 - у)а и к =
= (1 - у)“ + V, запишем уравнение для цепи ротора по оси а с учетом (9) и (11):
0 = (гГ + ку (/х2 + /х20 ) 1 га + (х20к5 ~
- (х'20 + х2 )у)/гр + ІхтК/ш - хт уЛр.
Выражение для цепи ротора по оси р выводится аналогично. Запишем уравнение (12) для мгновенных значений с учетом хт = юМ, х72 = ю£2, х/20 = ю/п20 и
}(й=й/йґ.
—Мкуі5а +| гг л---------L2kv н-1^20)ку \га +
Ж У ш У Ж 2 У Ж 020 ^га (13)
+ (1о20к5 _(1ст20 + ^2 )®)гр _МЮі5р.
Система дифференциальных уравнений обобщенного ЭМПЭ в окончательном виде:
ИГ1 + —^ / 5Р+ —;Мігї
где І20 = /П20 + М.
Преобразуем систему (15) к удобному для моделирования виду. Раскрыв скобки и выполнив группировку, для оси а получим:
0 = гЛа + ~ф (^20іга + Мі5а)ку _ю(^20ігр + Мі5р)+ ,
dt
(16)
0 - r;i;p + ~Г (L20i;p + Misf,)kv +ro(L20i;a + Misa)
^ 1о20к^ггр •
Аналогично для оси р:
А.
■Гг$ ' 20(гр 1 ■ -- г2о ха/ (17)
_ 1о20кхгга •
В (16) и (17) слагаемые, заключенные в скобках, являются потокосцеплениями ротора по осям а и р:
^га _ -^20гга ^ ;
^;р - L20i;p + Misp.
(1S)
С учетом (18), преобразуем систему (15), записав ее относительно потокосцеплений (для случая юК = юг): с№„
dt
sp
dt
d¥rr
usa r1isa^ro^sp,
— Msp — rlisp _ ®^sa,
dt k
dT;p _ ^ 1 dt k.,
(19)
(r;i;p _ksl<j20i;a)-
Дополнив систему (19) уравнениями движения (20) и момента (21), получим полную систему дифференциальных уравнений для ЭМПЭ с массивным ротором:
d M e + M c
— ю = p—e---------
dt J r
(20)
3M
-(^sP^;a-^sa^;P^ (21)
^=ІГ1 + —гк >р+ —гМг*.
При подстановке в (14) а = 1 и х 20 = 0 получим систему дифференциальных уравнений для обычного асинхронного двигателя.
Система дифференциальных уравнений для ЭМПЭ с массивным ротором при учете х/720 = 0 будет иметь вид:
Ме =- Р- 2
2 1ф2 - М 2
Моделирование двухмодульного ЭМПЭ [1] с массивным ротором мощностью 75 кВт по уравнениям (19) - (21) было выполнено в пакете МАТЬАВ. Результаты эксперимента, проведенного на ОАО "ПЭМЗ им. К. Маркса" и моделирования представлены на рис. 2 (электромагнитный момент и скорость).
В заключение надо отметить, что уравнения статических режимов это частный случай системы уравнений динамики. При решении новых задач электромеханики следует начинать с дифференциальных уравнений, а затем, получив из них уравнения установившегося режима, рассматривать схемы замещения и векторные диаграммы.
м
рад/с
60-
40-
20-
0-
Рис. 2. Переходные характеристики пуска ЭМПЭ с массивным ротором на холостом ходу
В случае ЭМПЭ с массивным ротором, ввиду отсутствия математической модели, построенной на основании теории объектно-ориентированного ЭМПЭ, в настоящей работе был рассмотрен алгоритм обратного преобразования путем решения от частного к общему.
Дальнейшие этапы обобщения планируется выполнить в ближайшее время таким образом, чтобы получить модель, являющуюся базовым, родительским классом для основных типов машин вида цилиндрических [7].
ВЫВОДЫ
1. Рассмотрен метод получения уравнений обобщенной математической модели ЭМПЭ с массивным ротором путем преобразований от частного к общему
- от комплексных уравнений установившегося режима, до системы уравнений режима динамического.
2. Полученные уравнения обобщенной модели ЭМПЭ с массивным ротором могут быть применены для описания процессов преобразования энергии в двухфазной системе координат.
3. Анализ уравнений напряжений обобщенной модели идеализированного электромеханического преобразователя, асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором и ЭМПЭ с массивным ротором позволяет выделить характерные признаки, которые приводят к изменению уравнений при переходе от обобщенной машины к ее конкретной реализации. Выделенные признаки могут быть использованы в анализе мутаций электрических машин в соответствие с положениями теории эволюции электромеханических систем [7], а также в объектно-ориентированном проектировании электромеханических преобразователей [4].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пат. № 50242 Україна, МКИ 7Б26Б 17/18. Шнековий сушильний апарат / Заблодський М.М., Захарченко П.І., Шинкаренко В.Ф., Плюгін В.Є. та інш.; заявник і патентов-ласник Донбас. держ. техн. ун-т. №2001128244; заявл. 03.12.2001; опубл. 17.01.2005, Бюл. №1. - 3 с.: іл..
2. Пат. № 75771 Україна, МПК Н05Б 6/10. Пристрій для видалення парафіну зі стінок нафтогазових свердловин /
Заблодський М.М., Дорофєєв В.М., Захарченко П.І., Шинкаренко В.Ф., Плюгін В.Є. та інш.; заявник і патентовласник Донбас. держ. техн. ун-т. - №2001128246; заявл. 03.12.2001; опубл. 15.10.2004, Бюл. № 10. - 3 с.: іл.
3. Копылов П.П. Математическое моделирование электрических машин: учеб. [для студ. высш. учебн. завед.] / Копылов П.П. - М.: Высш. шк., 2001. - 327 с.
4. Объектно-ориентированное проектирование электромеханических преобразователей энергии с совмещенными функциями / Заблодский Н.Н., Плюгин В.Е. // Сб. наук. праць ДонДТУ. Алчевськ: ДонДТУ, ВПЦ "Ладо", Вип. 34. -2011. - С. 321-327.
5. Математическая модель асинхронной машины с массивным ротором в установившихся и переходных режимах / Плюгин В.Е. // Сб. наук. праць ДонДТУ. Алчевськ: ДонДТУ, ВПЦ "Ладо", 2010. - Вип. 32. - С. 359-365.
6. Куцевалов В.М. Вопросы теории и расчета асинхронных машин с массивными роторами / Куцевалов В.М. - М.-Л.: Энергия, 1966. - 304 с.
7. Шинкаренко В.Ф. Основи теорії еволюції електромеханічних систем: [монографія] / Шинкаренко В.Ф. - К: Наукова думка, 2002. - 288 с.
Bibliography (transliterated): 1. Pat. № 50242 Ukrai'na, MKI 7F26B 17/18. Shnekovij sushil'nij aparat / Zablods'kij M.M., Zaharchenko P. I., Shinkarenko V.F., Plyugin V.G. ta insh.; zayavnik і patentovlasnik Donbas. derzh. tehn. un-t. №2001128244; zayavl. 03.12.2001; opubl. 17.01.2005, Byul. №1. - 3 s.: il.. 2. Pat. № 75771 Ukraina, MPK N05B 6/10. Pristrij dlya vidalennya parafinu zi stinok naftogazovih sverdlovin / Zablods'kij M.M., Dorofeev V.M., Zaharchenko P.I., Shinkarenko V.F., Plyugin V.G. ta insh.; zayavnik і patentovlasnik Donbas. derzh. tehn. un-t. - №2001128246; zayavl. 03.12.2001; opubl. 15.10.2004, Byul. № 10. - 3 s.: il. 3. Kopylov I.P. Matematicheskoe modelirovanie 'elektricheskih mashin: ucheb. [dlya stud. vyssh. uchebn. zaved.] / Kopylov I.P. - M.: Vyssh. shk., 2001. - 327 s. 4. Ob'ektno-orientirovannoe proektirovanie 'elektro-mehanicheskih preobrazovatelej 'energii s sovmeschennymi funkciyami / Zablodskij N.N., Plyugin V.E. // Sb. nauk. prac' DonDTU. Alchevsk: DonDTU, VPC "Lado", Vip. 34.
- 2011. - S. 321-327. 5. Matematicheskaya model' asinhronnoj mashiny s massivnym rotorom v ustanovivshihsya i perehodnyh rezhimah / Plyugin V.E. // Sb. nauk. prac' DonDTU. Alchevs'k: DonDTU, VPC "Lado", 2010.
- Vip. 32. - S. 359-365. 6. Kucevalov V.M. Voprosy teorii i rascheta asinhronnyh mashin s massivnymi rotorami / Kucevalov V.M. - M.-L.: 'Energiya, 1966. - 304 s. 7. Shinkarenko V.F. Osnovi teorii evolyucii elektromehanichnih sistem: [monografiya] / Shinkarenko V.F. - K.: Naukova dumka, 2002. - 288 s.
Поступила 25.10.2011
Плюгин Владислав Евгеньевич, к.т.н., доц.
Донбасский государственный технический университет каф. "Электрические машины и аппараты"
94204, Алчевск, пр. Ленина, 16
тел. (06442) 3-82-66, e-mail: vlad.plyugin@mail.ru
Pliugin V.E.
A mathematical model of an electromechanical energy converter with a massive rotor.
Results of theoretical research are given; a mathematical model of an electromechanical energy converter with a massive rotor in static and dynamic modes is developed.
Key words - mathematical model, asynchronous motor, massive rotor, electromechanical energy converter.
