CC BY
86
УДК 681.51
Д. А. Гривенев
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ ВАЛА ГЕНЕРАТОРА
Работа посвящена построению математических моделей электрогидравлической системы регулирования скорости вращения вала генератора переменного тока. Данные модели могут быть использованы при синтезе законов регуляторов и проведения анализа изменения интересующих переменных, которые на реальном объекте не доступны для прямого наблюдения.
Электрогидравлическая система регулирования, математическая модель, безразмерная математическая модель, модель в отклонениях от стационарного режима, линеаризованная модель, анализ переходных процессов.
D.A. Grivenev MATHEMATICAL MODEL OF GENERATOR ELECTRO HYDRAULIC CONTROL SYSTEM
This work is dedicated to the construction of electro hydraulic control system mathematical models of alternating current generator shaft rotation speed. The given models can be used in the synthesis of control laws and carrying out of the change analysis, interesting variables which object are not accessible for the direct supervision.
Electro hydraulic control system, mathematical model, dimensionless mathematical model, stationary mode deviation model, linearization model, transients analysis.
За последние 20 лет при разработке систем автоматического управления электроснабжением и силовой установкой летательных аппаратов произошел переход к электронно-гидравлическим комплексным агрегатам. Данные системы управления обеспечивают минимальные габариты и массы исполнительных механизмов при максимальной их выходной мощности и быстродействии в сочетании с удобством управления. Основным этапом при разработке таких систем является построение их математической модели, которая адекватно описывает процессы, протекающие в объекте управления. Помимо этого, с помощью полученной модели можно синтезировать закон управления для конкретного объекта и провести анализ изменения интересующих параметров, которые на реальном объекте не доступны для прямого наблюдения, так как не всегда имеется возможность установки соответствующих датчиков. Данная работа посвящена построению математических моделей электрогидрав-лической системы регулирования скорости вращения вала генератора переменного тока.
Функциональная схема системы управления: ГП - гидромеханический привод;
ГПр - гидропреобразователь; Р - редуктор; ГУ - гидроусилитель; ВЦН - вспомогательный центробежный насос; ДЛП - двигатель линейного перемещения; ДЧВ - датчик частоты вращения
Для построения математической модели опишем все узлы функциональной схемы системы управления, приведенной на рисунке.
Гидропреобразователь. Момент, развиваемый турбиной ГПр, и функция от перемещения рейки поворотных лопаток описываются следующими уравнениями:
Mт =(/(И) - О1 '®г/®н )'®Н , (И) = ^ ' И3 + d0 ' И2 + C0 ' И + О ,
где Мт, Н м - момент, развиваемый внешней турбиной ГПр; юн, рад/с - угловая скорость внутренней турбины (насоса ГПр); юг, рад/с - угловая скорость внешней турбины ГПр
(вала генератора); Ь, м - перемещение рейки поворотных лопаток, которое изменяется в
2 2
пределах Ит{а < И < Итах; АН), кгм /рад - функция перемещения рейки поворотных
2 2 2 2 2 лопаток; а\, кг'м /рад - коэффициент пропорциональности; а0, кг'м /рад , с0, кгм/рад , d0,
22
кг/рад и Ь0, кг/(м-рад ) - коэффициенты уравнения, описывающего зависимость момента, развиваемого турбиной от положения рейки поворотных лопаток.
Угловая скорость внутренней турбины ГПр определяется следующим выражением:
(2)
где йг, рад/с
йп тіп £йп £йп тах
угловая скорость приводного вала, которая лежит в пределах ; кр - коэффициент преобразования редуктора.
Вспомогательный центробежный насос. Данный узел описывается уравнениями момента сопротивления и перепада давления на ВЦН:
М» = а, Ю,,
^ "2 ~г> ^Рвцн = Ъ1 -Юг , (3)
где Ывцн, Н-м - момент сопротивления ВЦН; Арвцн, Па - перепад давления на ВЦН;
2 2 2 а2, кг м /рад и Ъ\, кг/(м рад ) - коэффициенты пропорциональности.
Генератор. Уравнение, описывающее угловое ускорение ротора генератора:
Лй,/й = (мт - Ы, - Ыщ, )/3,, (4)
где Мг, Н-м - момент сопротивления генератора; 3г, Н-м-с - момент инерции ротора генератора.
Момент сопротивления генератора определяется следующим уравнением:
Ы,, = (к, - N, + ко ■ М„ )/Ю, , (5)
где N5, Вт - электрическая нагрузка генератора; N0, Вт - номинальная мощность генератора; кэ, к0 - коэффициенты пропорциональности, определяющие зависимость момента сопротивления генератора от электрической нагрузки и мощности генератора. Частота тока генератора определяется следующим уравнением:
/ = йг - /о/йго , (6)
гдеГц - номинальная частота тока; юго, рад/с - номинальное значение угловой скорости вала генератора, соответствующее номинальной частоте тока.
Электрогидроусилитель состоит из двигателя линейного перемещения и гидроусилителя.
Двигатель линейного перемещения применяется в качестве исполнительного механизма для линейного реверсивного перемещения золотника с усилием, пропорциональным току управления. Тяговое усилие ДЛП Еа, Н определяется по следующей формуле:
где ка, Н/А - коэффициент, который рассчитывается исходя из заданного тягового усилия электромагнита ДЛП при заданном токе; I, А - управляющий ток в катушке электромагнита ДЛП, определяемый по следующей формуле:
где Ь, Гн - индуктивность катушки электромагнита; г, Ом - внутреннее сопротивление катушки; и, В - управляющее напряжение ШИМ-сигнала.
Гидроусилитель включает золотник и сервопоршень. Перемещение золотника с якорем х ограничено упорами и лежит в пределах - хтах < х < хтах, м. Суммарная подвижная масса золотника с якорем т, кг.
Сила, необходимая для преодоления гидравлического сопротивления, определяется следующей формулой:
где Fd, Н - сила динамического трения золотника с якорем; Fz, Н - сила, действующая на золотник; Fmp, Н - сила трения движения золотника, значение которой может быть в пределах FMp min < FMp < FMp max Н; sing (x) - функция, определяемая следующим образом:
sing (x) = -1 при x < 0, sing (x) = 0 при x =0, sing (x) = 1 при x > 0.
На якорь также действует сила трения покоя, которая соответствует началу движения якоря. Эта сила является малой величиной и для упрощения записи математической модели ее учитывать не будем.
Сила динамического трения определяется следующим соотношением:
где кг, м - коэффициент пропорциональности; рр, Па - давление рабочей жидкости на входе в гидроусилитель (давление на сливе мало и принимается равным нулю):
где кр1 и кр2 - коэффициенты пропорциональности; р01 и р02, Па - начальные давления в соответствующих полостях.
Скорость перемещения сервопоршня определяется следующими формулами:
в полостях со скоростью перемещения сервопоршня.
Учитывая вышеприведенные уравнения и проведя несложные преобразования, запишем математическую модель гидроусилителя:
LI = -rI + U,
(8)
Fm = т- d2 х/ dt2 = Fa - Fd - Fz - Fmp • sign {dx/dt),
(9)
Fd = d■ dx|dt, где d, кг/с - коэффициент динамического трения.
Сила, действующая на золотник, определяется следующей формулой:
(10)
(11)
Pp = АРцн + ЬРвцн = b2 • W + ЬРвцн ;
(12)
где Ь2, кг/(м ■ рад2) - коэффициент пропорциональности; р1 и р2, Па - давление в полостях сервопоршня:
пРи х < °: p1 = kp1-Pp - kp1-Po1, Р2 = kp1-р^кр2 + Р01; пРи х > °: Р2 = kp2 • Рр - кР2 • Р02 , Р1 = кР2 • Р2ІкР1 + Р02 ,
(13)
(14)
где к1 и к2, м12 • кг 12 - коэффициенты пропорциональности, определяющие связь давления
т. х = Fa -Fd Fd = d*x;
'Fz- FmP *sign (dxldt);
Pp =
Fz = h =
b2 w+DPe4H;
\kz-(K'Pp+koi* Poi)-x x<0; Ikz -(K' Pp + k02 * P02 ) * X x ^ 0;
k1*4pp - P01 *x x <0; k2* Vpp - P02 *x x ^0;
где kp, kp, k01, k02, k[ и k - постоянные коэффициенты, рассчитываемые следующим образом:
kP = kPl/kp2 - kP1 + 1, kJ = ^2/ kp1 - kp 2 + 1 k01 =- Kllkp2 + kp1 +1
2
k02 kp2¡kp1 + kp2 +1, k1 k1 * Vkp1 , k2 k2 * -лі^Р^. •
Таким образом, полная математическая модель электрогидромеханической части объекта управления описывается уравнениями (1)-(16). Как видно из этих уравнений, она имеет переменную структуру и существенно нелинейна. Для моделирования и анализа поведения рассматриваемых объектов управления, а также для синтеза законов управления регуляторов удобно использовать безразмерную модель, переход к которой осуществляется за счет введения безразмерных переменных:
тт = MmlMo ; тг = MzlMo '; твЦН = Mвцн /Mo '; Пп = Wn/Wn max ¿ П = WZI Wo ';
7 = h/hmax; 7 = xlxo; 7 = NJN0; f = flfo; Pp = Рр/Рро; А~цн = кРцн/Рро;
^Фвцн = DPe4H¡Ppo ; p01 = Р01І Ppo ; ~02 = Р02/Ppo ; Fa = Fa I Fa max ; Fd = Fd/Fa max ;
Fz = Fz IFa max ; Fmp = Fmp / Fa max ; icp = 111 max = Г *1lUo '; U ср = Uo ' V To = Uo^ ,
где M = M (w ,w ,h ); р = р (w ,w ), w , w , h , x , N , f ,
^ o m\ nmax’ го^ ma^^ r po rp\ nmax zof^ n ma^ го’ max’ o’ o’ c/o’
Fa = ka-/x, /x = Uolr - известные величины, максимальные или номинальные
ÍA IIlaA ІЛ IIlaA J IIlaA U I J
значения параметров; icp и ucp - средние значения управляющего тока и напряжения ШИМ-сигнала; q - управляющая скважность ШИМ-сигнала.
В связи с тем, что большинство алгоритмов синтеза основываются на использовании линейных моделей, нам необходимо линеаризовать полученную безразмерную математическую модель электрогидравлической системы регулирования угловой скорости вращения вала генератора переменного тока. Для этого необходимо построить безразмерную математическую модель в отклонениях от стационарного режима. Стационарным режимом будем считать режим, при котором гидромеханический
привод и генератор работают в номинальном режиме, т.е. n* = 1, h* = 0,5, N* = 1. Линеаризацию проведем путем выделения линейной части разложения в степенной ряд в стационарной точке. Проведя несложные преобразования, получим линеаризованную математическую модель электрогидравлической системы стабилизации скорости вращения вала генератора:
(16)
(17)
f -Апг = -(f -n„o -~)ьпг + f-nlo-Co •Ah -кэ-AN3; Ah = kh • Ax ;
< m• A~ =-d • Af - k'z-Ax + Aicp ; (18)
dMcp/dt = - r- Aicp/L + r • q/L ;
Af = An г .
Коэффициенты в этих уравнениях получаются при переходе к безразмерной модели.
По уравнениям (18) можно составить структурную схему линеаризованной безразмерной модели, которая может быть реализована в среде «Simulink» программного комплекса «Matlab», для анализа переходных процессов основных переменных. Также полученную модель можно реализовать с помощью операционных усилителей при создании стенда для полунатурного моделирования. Отметим, что в этой схеме может быть предусмотрен блок, осуществляющий изменение нагрузки генератора переменного тока.
Основным назначением построенных в данной работе моделей является синтез регулятора, обеспечивающего стабилизацию скорости вращения вала генератора переменного тока. Тем не менее, эти модели могут быть использованы и в задачах анализа работы всей системы стабилизации. При этом полученными математическими моделями описывается целый ряд объектов управления электрогидромеханических приводов постоянных оборотов с генераторами переменного тока, отличающихся лишь числовыми значениями коэффициентов в уравнениях модели. Например, в качестве составной части объекта управления могут выбираться генераторы различной мощности, при этом для каждого генератора пределы изменения угловой скорости приводного вала, номинальное значение угловой скорости вала генератора, а также остальные параметры будут различными.
ЛИТЕРАТУРА
1. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.
2. Нагорный В. С. Устройства автоматики гидро- и пневмосистем / В. С. Нагорный,
А. А. Денисов. М.: Высшая школа, 1991. 367 с.
3. Рябиков А.С. Математическая модель электрогидроусилителя гидропривода авиационного генератора переменного тока / А.С. Рябиков, ДА. Гривенев // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-20: сб. трудов ХХ Междунар. науч. конф.: в 10 т. Ярославль: ЯГТУ, 2007. Т. 4. С. 207.
4. Гривенев Д. А. Электрогидравлическая система регулирования частоты вращения электрического генератора / Д.А. Гривенев, А.С. Рябиков // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-21: сб. трудов XXI Междунар. науч. конф.: в 10 т. Саратов: СГТУ, 2008. Т. 6. С. 280-283.
Гривенев Дмитрий Анатольевич -
аспирант кафедры
«Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета
Grivenev Dmitriy Anatoliyevich -
Post-graduate Student of the Department
of «Technical Cybernetics and Informatics» of Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 08.07.10, принята к опубликованию 30.09.10
