Научная статья на тему 'Математическая модель движения волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна'

Математическая модель движения волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна Текст научной статьи по специальности «Математика»

152
24
Поделиться
Ключевые слова
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ / РЕЛЬЕФ ДНА / МЕТОД РИМАНА / ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ГАУССА / REAMAN'S METHOD

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Тимофеева Елена Федоровна

Предложена непрерывная математическая модель, описывающая распространение поверхностных волн от начальных возмущений. Для случая теории мелкой воды с нелинейной функцией рельефа дна проведена схематизация задачи, на основе которой получено ее аналитическое решение.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Тимофеева Елена Федоровна,

MATHEMATICAL MODEL OF WAVE MOVEMENT IN WATER BASIN WITH NONLINEAR RELIEF FUNCTION

It was suggested a continuous mathematical models which describes the distribution of superficial waves from initial disturbance. It was done oversimplification of the task for the case of low water theory with unlinear relief function, on the basis of which its analytical solution was obtained.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Математическая модель движения волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна»

Alekseenko Elena Viktorovna

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail lena.alekseenko@gmail.com.

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634371606.

Е.Ф. T имофеева

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ВОЛН ДЛЯ ВОДОЕМА С НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ РЕЛЬЕФА ДНА

Предложена непрерывная математическая модель, описывающая распространение поверхностных волн от начальных возмущений. Для случая теории мелкой воды с нелинейной функцией рельефа дна проведена схематизация задачи, на основе которой получено ее .

Поверхностные волны; рельеф дна; метод Римана; гипергеометрическое уравнение

.

E.F. Timofeeva MATHEMATICAL MODEL OF WAVE MOVEMENT IN WATER BASIN WITH NONLINEAR RELIEF FUNCTION

It was suggested a continuous mathematical models which describes the distribution of superficial waves from initial disturbance. It was done oversimplification of the task for the case of low water theory with unlinear relief function, on the basis of which its analytical solution was obtained.

Superficial waves; bottom relief; Reaman's method; Gauss hypergeometric equation.

Проведенный анализ показал, что в классических исследованиях процессов движения поверхностных волн от начального возмущения для дна наклонной формы наиболее часто встречающимися функциями в уравнении, описывающем глубину жидкости, являются x, , ^x5, ^x7. Поэтому целесообразно рассмотреть

обобщающий случай для водоема с нелинейной функцией рельефа дна.

В настоящей работе рассматривается декартова прямоугольная система коор-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

, . Ox -

стью невозмущенной жидкости и направлена в сторону моря.

Решается задача Коши для пространственно-одномерного уравнения гиперболиче-, -менной глубины:

УДК 519.6

(1)

ç( x, 0) = фо( x), ç'( x,0) = Çi( x),

(2)

(3)

где £(X, ?) - отклонение свободной поверхности жидкости от равновесного состояния; X - горизонтальная координата; ? - время; g - ускорение силы тяжести; Н(X) - глубина жидкости.

В данной модели уравнение для глубины жидкости Н(X) в развернутой

форме имеет вид Н(х) = Х_______, X < х0, 0 < р ^ 1, где Но - максимальная глу-

х0

бина жидкости рассматриваемой области, Xо - граница области, тогда уравнение (1) преобразуется следующим образом:

1 д2д хр Э2д рхр 1 Эд

а дї х0 Эх х0 Эх

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

= 0,

(4)

Решение поставленной задачи находится с помощью метода Римана. Для этого вводится замена переменных в уравнении (4):

_4хо

2_

2-р

(£ + П), X = ^ (24 Р) (£-п)) ,

2-_

- а 2 2

% = ^ + ~-----------X ,

^0 2 - _

2-р

а 2 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

П = ~г= t-----------X

^0 2 - р

(4)

Э 2д

Эд-Э^\_ 0.

(5)

(6)

д§дц 2(2 - р)(£-Ц)у дп д£ /

Прямая I = 0 переходит в наклонную прямую п = — £. Начальные условия в

новых переменных принимают вид

Эд

дї

_ЭдЭ| _0 д^дї

д{-г?0

Эд Эп

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2 - Р

(%-п)

-2- Л

2- Р

+ -

. 2 х 2 Эп дї

2-р

2 - р 2 2

п_---------х

2-р

ґ Эд а + Эд а Л

^4*0 ЭП л/х0

п_Ч

п_Ч

Полученное выражение представляет собой производную функции д по на-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ґ \т

правлению вектора

перпендикулярного к прямой п_ -^. Значит,

а а

х ¡Х0 ’7х0у

это производная функции д по нормали к прямой п_-^ т.е.

Ґ 2 Ч

Эд

дї

Эд

Эп

_Фі

п_-£

2 - р

(г;-п)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Функция д_д(^,п)

заменяется на и

д(-п)

р 2 - р

(7)

Тогда

д:

(6)

(£-п)

р 2 - р

Э 2и

-и _ 0

или

д&п 4(2 - р)2(£-п)2 Ьи _ и^п + аи^ + ^ип + си _ 0,

(8)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(9)

где а _ Ь _ 0, с _____________________4р 3р

4(2 - р) (£-п)

. (9) -

ется формулой Римана:

и(М) _

и (Р)у( Р) + и(0у(0 1

| (иу^ - уи^ - 2Ьуи)г) + (иуп - уип + 2ауи)п ■

' ра

(10)

где Р, М , 2 - вершины характеристического треугольника (рис. 1); и(£,п) -решение уравнения (9); у(£,п) - функция Римана, решение задачи Гурса.

Для решения поставленной пространственной задачи находится частное решение сопряженного уравнения

*

Ь у _ - ау^ - ЬУп + су _ 0,

удовлетворяющего следующим условиям на характеристиках:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

у(^, п0, ^0, п0 ) _ 0 на ма,

уп(^0,п,^0,п0) _ 0 на МР, у(^0, п0, ^0 , п0 ) _ 1 в точке М.

и

Рис. 1

(10) , . . у(Л,п0,£0,п§) =1 на м&

на і на і

Л%0,п,%0,п0) = 1 на мр,

У(£0,п0,%0,п0) =1 м.

Решение ищется В виде у(£,п, £0,П0) = ™(д) ,

где

д (£-£0 )(П-П0) (11)

(£0 -П0 )((-Л)

д(1 - д^"(д) + (1 - 2д)^'(д) - 4_ - 3_0 ^(д) = 0. (12)

4(2 - р )2

Это уравнение является частным случаем гипергеометрического уравнения :

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

x(1 - X) у" (X) + [у - (1 + а + в) X] у'( X) - аву( X) = 0,

решение которого можно представить в виде степенного ряда

К ^К

Г*

у(X) = Е(а,в,г,X) = 1 + X а+К-1 ■ в+К-1 . ^К ,|XI < 1

К=1 Су+ К-1

или в виде интеграла

л 1

у(X) = - [гв-1(1 - г)г-в-1(1 - tx)~аdt. п0

Здесь Е(а,в,У,X) - гипергеометрическая функция,

а

4р -3р , ! + а + в = 2, ^ а = Л-!р_, Р = -Л—

4(2 - р)2 2(2 - р) 2(2 - р)

В данных условиях решение уравнения (12) будет иметь вид

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4 - 3 р

р

,1, 0

, и<1.

2(2 - р) 2(2 - р)

Условия на характеристиках преобразуются к виду

у(^По,£о,По) = у(^0’П,^,По) = ^(0) = 1.

,

(-(о )(П-По)

г =1.

(13)

(15)

V ((, п, (о, По) = к(0) = к

((о -По )(^-П)

является функцией Римана.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Так как у(Р) = Г(О) = 1 « п = -( на PQ, то

. е . и(Р) + и^) 1 (ди ди

иНоло)=^ і ^+эЛ/(-‘

-по

2

ду ду

д( дп

¿((16)

Для нахождения решения задачи необходимо вычислить производные, вхо-

ґ

2

дящие в формулу (16), учитывая, что х =

2 - Р ((-п)1 *■Р , , -ЗО^ + п):

V 4 2а

2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д(

п=-(

= 2 Р"2 ((2 - р))"2 д£

дх 2а дг

г=о

.д£

дп

2 2 = -2 7-2 (2 - р )) " 2 д£+^ д£

п=-( д£

д( ' дп

дх 2а дг

г=о

ди

ъ(

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= (2()

п=-(

д£

а

рфо

Я\

/ 2 ^

[ 22 р( 2 1 р

V 2 у

V У

2 Л

п=-(

д(

2(2 - р)

-(2()

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3 р-4 2(2- р)

2

р

Эи

Эп

= (2?)

/ 2 ^

р -6 о / Г\ \ 1 2 - р ? 1 V 2 *) 2-р

V )

п=-?

Эи Эи

Э? Эп

Эп 2(2 - р) = (2?)

2(2-р) (Эд Эд л

(2?)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

п=-?

Э? Эп

п=-?

р

2(2-р)

/ 2 Л

^2 - р Л 2-Р

Эу

Э?

Эу

Эп

п=-?

См ¿в Св ~С?

?

1 (? + п0)(? + ?0)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

_ См Св п=_? йвйп

п=-? 4 (?0 -по)?2 ^св)п=_?

1(?_по)(?_?о)(

^ Эу Эу

^ ~ +------

Э? Эп

?=-? 4 (?0 -п0)?2 ^¿вп=-?

= ?о + по См .

п=-? 2(?0 - п0)? Св п=-?

Значения функции и на биссектрисе ? = -Ц и в точках Р и 2 будут равны:

2 ( 2 л

п=

2(2-р) =-?=(2?) Яо

2 - р^| 2-р

2(2-р) и( Р) = (2?о) Яо

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

У 2 л ^2 - р ? ^ 2 - р

?0

I \ 2(2-р)

и(2) = (- 2по) Яо

Ґ 2 1

(2-рп л 2-р

2 по, 2

V )

Подставляя найденные значения величин в уравнение (16), получаем:

2 ( 2 \ 2 ( 2 1

?0

/„с \2(2-р) (2?0) Яо

<(?о,по) = -

2 - р^ ]2-р

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

2(2-р)

+ (- 2по ) Яо

2

+ _ I М „ о

2 п 1(?0 -п0)(?-п) -п0

Я

2 - р

?

2-р

с? +

2

2

2

+

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

2

По

г\2(2-Р)

(2£) Ро

2 - Р £ 12-Р

2£(£о -По)

п=-£

й£'

Принимая во внимание, что

^-Vго) =■

и(£о, По) и(£о> По)

о'1"!)- Р

Г 4 2-Р ^

-------X 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о

V

2 - Р

/

2-Р

условия на характеристиках, а также определенные ранее значения и(Р), и(2) , у( Р), у(2) и возвращаясь к старым переменным, решение задачи (1) - (3) получаем в следующей форме:

у т л

а 2 ~2Р

— +------X 2

2(2-Р)

л/Хо 2 - Р

Ро

и(X, г) = ■

2 - р а

+ X

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

2-Р

4-Р

+

22(2-р)

2 р

Ро

2 - р а1

2

- X

2 Л

2-Р

4-Р р

22(2-р) X 4

+-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^/X0 *2

2 аг + 2

2(2- р) VXо 2-Р

2- Р

•+—X 2

I ™(0)£2(2 Р)Р1

2-Р

2 - р

2-р

V2 - Ру

(£о + По) •2

2___

2(2-р)

й £ +

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

■/«о 2- Р

■/»о 2- р

4(£о -По)

' 4 4

V2 - Ру

2(2-р) р 2- р

X 4 -"Г+5^* 2

2-р

г ё'ы

■> йб

3 р-4 о. 2(2-р)

£ Р,

п=-£

2-Р

2 Л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2-Р

2

й £

или

/ о Л

аг 2

— ^-----X 2

Ро

и ( X, г) =-

2 - р аг ^

-------------+ X 2

2

2-р

4-р р_

22(2-Р) X4

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

2

у

V

4

2(2-р)

2

2- Р

а 2

2

2

at 2

2-Р

2(2 - p)

х0 2 p

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Фо

2 - Р

2 - p at 0

----- ¡== x 2

2 yx0

2 - Р

4 - Р p

22(2-p) x4

2 - р

at 2 о

. +---------x 2

л/xQ 2-Р

4-p

a22(2-p) x4 at 2

4 - 3 p p

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

;1;Qlj£2(2 Р)Фі(й*2 +

2(2 - p) 2(2 - p)

л/^О 2-Р

¿0 +По

'Tx0 2- Р

(о-По )22(2- p) X

-3 Р p 4

í И 8 5p ; 4 p ;2;Q |Г"Р>0 (Q)d¿, J 1,2(2-p) 2(2-p) 11 ov 2'

•/*0 2~l

где

2.2 1 /■» 2-p

—Ay—x2 -¿

2 - Р

x

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, описанная математическая модель позволяет при фиксированном значении величины р находить решения частных задач.

2

2

+

+

+

2

2- Р

+

2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Леонтьев И.О. Прибрежная динамика: волны, течения, потоки наносов. - М.: ГЕОС, 2001.

2. Овсяников Л.В. Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1973.

3. Кошляков КС., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. - М., 1962.

4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М., 1965.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Сух иное А.И., Зуев В.К., Семенистый В.В. Поверхностные волн ы от начальных возмущений в случае изменения глубины дна по линейному закону // Известия вузов, Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2004. - № 4. - С. 31-33.

Тимофеева Елена Федоровна

Северо-Кавказский государственный технический университет.

E-mail: teflena@mail.ru.

355029, г. Ставрополь, просп. Кулакова, 2.

Тел.: 88652728858; +79097583970.

Timofeeva Elena Fedorovna

North Caucasus State Technical University.

E-mail: teflena@mail.ru.

2, Kulakova pr, Stavropol, 355029, Russia.

Phone: +78652728858; +79097583970.