CC BY
63
Alekseenko Elena Viktorovna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail lena.alekseenko@gmail.com.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634371606.
Е.Ф. T имофеева
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ВОЛН ДЛЯ ВОДОЕМА С НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ РЕЛЬЕФА ДНА
Предложена непрерывная математическая модель, описывающая распространение поверхностных волн от начальных возмущений. Для случая теории мелкой воды с нелинейной функцией рельефа дна проведена схематизация задачи, на основе которой получено ее .
Поверхностные волны; рельеф дна; метод Римана; гипергеометрическое уравнение
.
E.F. Timofeeva MATHEMATICAL MODEL OF WAVE MOVEMENT IN WATER BASIN WITH NONLINEAR RELIEF FUNCTION
It was suggested a continuous mathematical models which describes the distribution of superficial waves from initial disturbance. It was done oversimplification of the task for the case of low water theory with unlinear relief function, on the basis of which its analytical solution was obtained.
Superficial waves; bottom relief; Reaman's method; Gauss hypergeometric equation.
Проведенный анализ показал, что в классических исследованиях процессов движения поверхностных волн от начального возмущения для дна наклонной формы наиболее часто встречающимися функциями в уравнении, описывающем глубину жидкости, являются x, , ^x5, ^x7. Поэтому целесообразно рассмотреть
обобщающий случай для водоема с нелинейной функцией рельефа дна.
В настоящей работе рассматривается декартова прямоугольная система коор-
, . Ox -
стью невозмущенной жидкости и направлена в сторону моря.
Решается задача Коши для пространственно-одномерного уравнения гиперболиче-, -менной глубины:
УДК 519.6
(1)
ç( x, 0) = фо( x), ç'( x,0) = Çi( x),
(2)
(3)
где £(X, ?) - отклонение свободной поверхности жидкости от равновесного состояния; X - горизонтальная координата; ? - время; g - ускорение силы тяжести; Н(X) - глубина жидкости.
В данной модели уравнение для глубины жидкости Н(X) в развернутой
форме имеет вид Н(х) = Х_______, X < х0, 0 < р ^ 1, где Но - максимальная глу-
х0
бина жидкости рассматриваемой области, Xо - граница области, тогда уравнение (1) преобразуется следующим образом:
1 д2д хр Э2д рхр 1 Эд
а дї х0 Эх х0 Эх
2
= 0,
(4)
Решение поставленной задачи находится с помощью метода Римана. Для этого вводится замена переменных в уравнении (4):
_4хо
2а
2_
2-р
(£ + П), X = ^ (24 Р) (£-п)) ,
2-_
- а 2 2
% = ^ + ~-----------X ,
^0 2 - _
2-р
а 2 2
П = ~г= t-----------X
^0 2 - р
(4)
Э 2д
Эд-Э^\_ 0.
(5)
(6)
д§дц 2(2 - р)(£-Ц)у дп д£ /
Прямая I = 0 переходит в наклонную прямую п = — £. Начальные условия в
новых переменных принимают вид
Эд
дї
_ЭдЭ| _0 д^дї
д{-г?0
Эд Эп
2 - Р
(%-п)
-2- Л
2- Р
+ -
. 2 х 2 Эп дї
2-р
2 - р 2 2
п_---------х
2-р
ґ Эд а + Эд а Л
^4*0 ЭП л/х0
п_Ч
п_Ч
Полученное выражение представляет собой производную функции д по на-
ґ \т
правлению вектора
перпендикулярного к прямой п_ -^. Значит,
а а
х ¡Х0 ’7х0у
это производная функции д по нормали к прямой п_-^ т.е.
Ґ 2 Ч
Эд
дї
Эд
Эп
_Фі
п_-£
2 - р
(г;-п)
Функция д_д(^,п)
заменяется на и
д(-п)
р 2 - р
(7)
Тогда
д:
(6)
(£-п)
р 2 - р
Э 2и
-и _ 0
или
д&п 4(2 - р)2(£-п)2 Ьи _ и^п + аи^ + ^ип + си _ 0,
(8)
(9)
где а _ Ь _ 0, с _____________________4р 3р
4(2 - р) (£-п)
. (9) -
ется формулой Римана:
и(М) _
и (Р)у( Р) + и(0у(0 1
| (иу^ - уи^ - 2Ьуи)г) + (иуп - уип + 2ауи)п ■
' ра
(10)
где Р, М , 2 - вершины характеристического треугольника (рис. 1); и(£,п) -решение уравнения (9); у(£,п) - функция Римана, решение задачи Гурса.
Для решения поставленной пространственной задачи находится частное решение сопряженного уравнения
*
Ь у _ - ау^ - ЬУп + су _ 0,
удовлетворяющего следующим условиям на характеристиках:
у(^, п0, ^0, п0 ) _ 0 на ма,
уп(^0,п,^0,п0) _ 0 на МР, у(^0, п0, ^0 , п0 ) _ 1 в точке М.
и
Рис. 1
(10) , . . у(Л,п0,£0,п§) =1 на м&
на і на і
Л%0,п,%0,п0) = 1 на мр,
У(£0,п0,%0,п0) =1 м.
Решение ищется В виде у(£,п, £0,П0) = ™(д) ,
где
д (£-£0 )(П-П0) (11)
(£0 -П0 )((-Л)
д(1 - д^"(д) + (1 - 2д)^'(д) - 4_ - 3_0 ^(д) = 0. (12)
4(2 - р )2
Это уравнение является частным случаем гипергеометрического уравнения :
x(1 - X) у" (X) + [у - (1 + а + в) X] у'( X) - аву( X) = 0,
решение которого можно представить в виде степенного ряда
К ^К
Г*
у(X) = Е(а,в,г,X) = 1 + X а+К-1 ■ в+К-1 . ^К ,|XI < 1
К=1 Су+ К-1
или в виде интеграла
л 1
у(X) = - [гв-1(1 - г)г-в-1(1 - tx)~аdt. п0
Здесь Е(а,в,У,X) - гипергеометрическая функция,
а
'у
4р -3р , ! + а + в = 2, ^ а = Л-!р_, Р = -Л—
4(2 - р)2 2(2 - р) 2(2 - р)
В данных условиях решение уравнения (12) будет иметь вид
4 - 3 р
р
,1, 0
, и<1.
2(2 - р) 2(2 - р)
Условия на характеристиках преобразуются к виду
у(^По,£о,По) = у(^0’П,^,По) = ^(0) = 1.
,
(-(о )(П-По)
г =1.
(13)
(15)
V ((, п, (о, По) = к(0) = к
((о -По )(^-П)
является функцией Римана.
Так как у(Р) = Г(О) = 1 « п = -( на PQ, то
. е . и(Р) + и^) 1 (ди ди
иНоло)=^ і ^+эЛ/(-‘
-по
2
ду ду
д( дп
¿((16)
Для нахождения решения задачи необходимо вычислить производные, вхо-
ґ
2
дящие в формулу (16), учитывая, что х =
2 - Р ((-п)1 *■Р , , -ЗО^ + п):
V 4 2а
2
0£
д(
п=-(
= 2 Р"2 ((2 - р))"2 д£
дх 2а дг
г=о
.д£
дп
2 2 = -2 7-2 (2 - р )) " 2 д£+^ д£
п=-( д£
д( ' дп
дх 2а дг
г=о
ди
ъ(
= (2()
п=-(
д£
а
рфо
Я\
/ 2 ^
[ 22 р( 2 1 р
V 2 у
V У
2 Л
п=-(
д(
2(2 - р)
-(2()
3 р-4 2(2- р)
2
р
Эи
Эп
= (2?)
/ 2 ^
р -6 о / Г\ \ 1 2 - р ? 1 V 2 *) 2-р
V )
п=-?
Эи Эи
Э? Эп
Эп 2(2 - р) = (2?)
2(2-р) (Эд Эд л
(2?)
п=-?
Э? Эп
п=-?
р
2(2-р)
/ 2 Л
^2 - р Л 2-Р
Эу
Э?
Эу
Эп
п=-?
См ¿в Св ~С?
?
1 (? + п0)(? + ?0)
_ См Св п=_? йвйп
п=-? 4 (?0 -по)?2 ^св)п=_?
1(?_по)(?_?о)(
^ Эу Эу
^ ~ +------
Э? Эп
?=-? 4 (?0 -п0)?2 ^¿вп=-?
= ?о + по См .
п=-? 2(?0 - п0)? Св п=-?
Значения функции и на биссектрисе ? = -Ц и в точках Р и 2 будут равны:
2 ( 2 л
п=
2(2-р) =-?=(2?) Яо
2 - р^| 2-р
2(2-р) и( Р) = (2?о) Яо
2
У 2 л ^2 - р ? ^ 2 - р
?0
I \ 2(2-р)
и(2) = (- 2по) Яо
Ґ 2 1
(2-рп л 2-р
2 по, 2
V )
Подставляя найденные значения величин в уравнение (16), получаем:
2 ( 2 \ 2 ( 2 1
?0
/„с \2(2-р) (2?0) Яо
<(?о,по) = -
2 - р^ ]2-р
2
2(2-р)
+ (- 2по ) Яо
2
+ _ I М „ о
2 п 1(?0 -п0)(?-п) -п0
Я
2 - р
?
2-р
с? +
2
2
2
+
2
2
По
г\2(2-Р)
(2£) Ро
2 - Р £ 12-Р
2£(£о -По)
п=-£
й£'
Принимая во внимание, что
^-Vго) =■
и(£о, По) и(£о> По)
о'1"!)- Р
Г 4 2-Р ^
-------X 2
о
V
2 - Р
/
2-Р
условия на характеристиках, а также определенные ранее значения и(Р), и(2) , у( Р), у(2) и возвращаясь к старым переменным, решение задачи (1) - (3) получаем в следующей форме:
у т л
а 2 ~2Р
— +------X 2
2(2-Р)
л/Хо 2 - Р
Ро
и(X, г) = ■
2 - р а
+ X
2
2-Р
4-Р
+
22(2-р)
2 р
Ро
2 - р а1
2
- X
2 Л
2-Р
4-Р р
22(2-р) X 4
+-
^/X0 *2
2 аг + 2
2(2- р) VXо 2-Р
2- Р
•+—X 2
2а
I ™(0)£2(2 Р)Р1
2-Р
2 - р
2-р
V2 - Ру
(£о + По) •2
2___
2(2-р)
й £ +
■/«о 2- Р
■/»о 2- р
4(£о -По)
' 4 4
V2 - Ру
2(2-р) р 2- р
X 4 -"Г+5^* 2
2-р
г ё'ы
■> йб
3 р-4 о. 2(2-р)
£ Р,
п=-£
2-Р
2 Л
2-Р
2
й £
или
/ о Л
аг 2
— ^-----X 2
Ро
и ( X, г) =-
2 - р аг ^
-------------+ X 2
2
2-р
4-р р_
22(2-Р) X4
2
2
у
V
4
2(2-р)
2
2- Р
а 2
2
2
at 2
2-Р
2(2 - p)
х0 2 p
Фо
2 - Р
2 - p at 0
----- ¡== x 2
2 yx0
2 - Р
4 - Р p
22(2-p) x4
2 - р
at 2 о
. +---------x 2
л/xQ 2-Р
4-p
a22(2-p) x4 at 2
4 - 3 p p
2
;1;Qlj£2(2 Р)Фі(й*2 +
2(2 - p) 2(2 - p)
л/^О 2-Р
¿0 +По
'Tx0 2- Р
(о-По )22(2- p) X
-3 Р p 4
í И 8 5p ; 4 p ;2;Q |Г"Р>0 (Q)d¿, J 1,2(2-p) 2(2-p) 11 ov 2'
•/*0 2~l
где
2.2 1 /■» 2-p
—Ay—x2 -¿
2 - Р
x
Таким образом, описанная математическая модель позволяет при фиксированном значении величины р находить решения частных задач.
2
2
+
+
+
2
2- Р
+
2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Леонтьев И.О. Прибрежная динамика: волны, течения, потоки наносов. - М.: ГЕОС, 2001.
2. Овсяников Л.В. Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1973.
3. Кошляков КС., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. - М., 1962.
4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М., 1965.
5. Сух иное А.И., Зуев В.К., Семенистый В.В. Поверхностные волн ы от начальных возмущений в случае изменения глубины дна по линейному закону // Известия вузов, Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2004. - № 4. - С. 31-33.
Тимофеева Елена Федоровна
Северо-Кавказский государственный технический университет.
E-mail: teflena@mail.ru.
355029, г. Ставрополь, просп. Кулакова, 2.
Тел.: 88652728858; +79097583970.
Timofeeva Elena Fedorovna
North Caucasus State Technical University.
E-mail: teflena@mail.ru.
2, Kulakova pr, Stavropol, 355029, Russia.
Phone: +78652728858; +79097583970.
