CC BY
55
/90 Civil SecurityTechnology, Vol. 10, 2013, No. 3 (37)
УДК 502.58
Математическая модель движения поверхностных вод местного стока
ISSN 1996-8493
© Технологии гражданской безопасности, 2013
А.В. Калач, А.А. Чудаков, Е.В. Калач, Е.З. Арифуллин
Аннотация
В рамках данной работы предложена математическая модель движения вод местного стока, позволяющая учитывать рельеф местности, динамику таяния снега. Модель обладает достаточной универсальностью, чтобы в дальнейшем учесть в ней динамику таяния снега, гидрологические свойства местности, метеорологические условия.
Ключевые слова: поверхностные воды; сток; рельеф местности; динамика таяния снега.
A Mathematical Model of the Motion of the Local Surface Water Flow
ISSN 1996-8493
© Civil Security Technology, 2013
A. Kalac, A. Chudakoy, E. Kalac, E. Arifullin
Abstract
In this work, a mathematical model of the motion of the local water flow, which allows to take into account the terrain, the dynamics of the melting snow. The model has sufficient flexibility to continue to take account of the dynamics of snow melt, the hydrological properties of the terrain, weather conditions.
Key words: surface water; runoff; topography; the dynamics of the melting snow.
Весной, при масштабном таянии снега, во многих регионах России происходит подтопление отдельных строений, дорог, мостов, целых населенных пунктов. Причиной является движение поверхностных вод значительного объема, не успевающих стечь в водоемы, уйти в грунтовые воды, испариться. Для прогнозирования подтопления необходим учет множества факторов: рельефа местности, впитывающих свойств грунта, начального состояния снежной массы, динамики таяния снега, осадков, влажности воздуха, ветра. В настоящее время, для довольно точного прогнозирования чрезвычайных ситуаций может быть использовано компьютерное моделирование [1, 2].
Целью настоящей работы была разработка универсальной математической модели распространения поверхностных вод при весеннем половодье, учитывающей рельеф местности, впитывающие свойства грунта, динамику таяния снега, осадки, влажность. Такая модель может быть полезной при оценке паводковых ЧС.
С математической точки зрения распространение воды при таянии снега с довольно высокой точностью может быть описано уравнением диффузии [3]. В двумерном случае уравнение распространения воды может быть записано следующим образом.
•Л
— Ж((,г) = У Б((,Г,()УЖ(м)
(1)
где Ж (г,г | - высота слоя воды в данной точке г местности;
г - время;- оператор Набла;
х, у - декартовы координаты исследуемой точки местности;
„ д- д-
У = — г +—у- единичные векторы декартова
дх ду
пространства;
[] - векторное произведение;
Б((,г, ^ - коэффициент распространения воды (коэффициент диффузии), зависящий от высоты слоя
воды, положения на местности и от времени.
Данное уравнение является чрезвычайно сложным и допускает аналитическое решение лишь в простейших случаях (одномерное приближение, максимально простая форма рельефа, постоянный коэффициент диффузии и т.п.). В данном случае сложность обусловлена тем, что коэффициент диффузии зависит от реального рельефа поверхности, гидрологических свойств местности, метеорологических условий.
Также отдельную сложность представляет учет граничных условий и их изменения с течением времени. Поэтому для исследуемого в настоящей работе процесса решение уравнения (1) сразу ориентируется на использование сеточных конечно-разностных численных методов [3—5]. Учет в модели сложности протекающих во времени процессов (например, динамика таяния снега, движения грунтовых вод, периодические осадки) производится с использованием алгоритмизации и программирования.
Для передачи в модели с высоким разрешением рельефа поверхности фрагмент местности, в котором производится моделирование, дискретизирован прямоугольной сеткой с шагом С = 5 м (рис. 1, а). Протяженность пространства в каждом из двух пространственных направлений X, У составляет 100 ячеек сетки (соответствует размеру 500^500 м).
Таким образом, общее количество ячеек составляет 1002 = 10 000. Такой размер модельного пространства позволяет воспроизводить в модели местный сток для пруда среднего размера. При такой дискретизации пространства сетка для решения уравнения распространения воды имеет следующий вид (рис. 1, б). Каждый узел сетки имеет четыре «соседа», от которых возможно поступление воды, либо которым производится отдача воды.
В упрощенной конечно-разностной (сеточной) постановке задачи уравнение (1) преобразуется следующим образом [6]. Для каждого узла (г, у) на каждом шаге интегрирования высота слоя воды Жу ^ зависит от высоты слоя воды в соседних узлах следующим образом:
Рис. 1. Представление рельефа поверхности в модели (а) и схема индексации узлов при сеточном решении уравнения
диффузии (б)
AW,j At
\ +H,j - wtJ - H¡j)-(+HKi - W-u - H-u У
. (Ax)2
(w,7+1+h+ - w,j - h„,)-(w ,7 + h„, - w.y-. - h y-q ] ,(2) (ay )2
где А? - шаг дискретизации по времени; Н^ - высота поверхности в точке ( г,у); Ах = Ау = !- шаг дискретизации пространства; Б - коэффициент распространения воды.
Преобразуя это уравнение, получим равенство вида (3):
WT - W, D
At
=D ((+W-1, +WT ++W,-)+1
+ ( +H-, + Н+1+Н-))). (3)
Используя равенство (3), можно на текущем шаге интегрирования по времени т пересчитать высоту слоя воды Щ- каждого узла ( г, у) для следующего шага интегрирования т + 1. Коэффициент распространения воды Б принят не зависящим от местности, высоты слоя воды, времени. Также в рамках данного упрощения не учитывается поступление воды из-за осадков и испарение воды.
Для удобства моделирования разработана компьютерная программа «Программа для моделирова-
ния движения вод местного стока» на языке Object Pascal в интегрированной среде программирования Borland Delphi 7. Скриншот программы приведен на рис. 2.
Программа предназначена для моделирования распространения вод местного стока при масштабном таянии снега или интенсивного поступления жидкости с ливневыми дождями.
Программа рассчитывает движение жидкости на местности, сгенерированной случайным образом, либо на реальной карте местности. В процессе работы программой генерируется карта и профиль затопления вдоль выбранного направления на заданной местности.
Основные технические ограничения программы: шаг интегрирования дифференциальных уравнений не более 1 ч; максимальный размер куба дискретизации пространства не более 5 м. Программа рассчитана на использование компьютера с процессором не ниже Pentium 2,3 ГГц, и объемом оперативной памяти не менее 512 Мбайт. Исходный текст программы имеет объем 5 кбайт.
Для иллюстрации возможностей разработанной модели на рис. 3 приведены три характерных рельефа местности. Для примера выбран режим сверхбыстрого таяния снега: в модели в начальный момент времени в каждой точке рельефа высота водяного покрова составляет 0,3 м. Проводилась имитация распространения воды по рельефу поверхности в течение 24 часов.
Для проверки адекватности модели использовали три тестовых примера (рис. 4):
1) большой пруд;
2) два небольших, расположенных на разных уровнях пруда;
Рис. 2. Вывод результатов компьютерного эксперимента в программе для моделирования движения вод местного стока
ными параметрами и случайными центрами.
Во всех трех тестовых примерах воды местного стока вполне адекватно заполняют впадины рельефа. Динамику заполнения впадин рельефа можно проследить на серии профилей на рис. 5.
Профили представляют собой зависимости Н(х) и Ж(х), полученные срезом поверхностей Н(х, у) и Ж(х, у) вдоль линии у = 50С = 250 м.
Для тестовой поверхности 1 на профилях можно проследить плавное повышение уровня воды во впадине большого размера. На тестовой поверхности 2 при движении местных вод заполняются две впадины, расположенные на разных уровнях. На тестовой поверхности 3 сначала заполняются раздельно две близлежащие впадины, затем, по мере накопления воды, образуется общий водоем.
Таким образом, в рамках данной работы предложена математическая модель движения вод местного стока, позволяющая учитывать рельеф местности, динамику таяния снега. Модель обладает достаточной универсальностью, чтобы в дальнейшем учесть
Поверхность 1 Поверхность 2 Поверхность 3
Рис. 4. Распределение вод местного стока по трем тестовым поверхностям. Степень затемнения соответствует высоте
слоя воды
3
Рис. 3. Рельеф местности для трех тестовых примеров
3) два сообщающихся пруда. Рельеф местности в тестовых примерах получен методом суперпозиции гауссовских пиков со случай-
в ней динамику таяния снега, гидрологические свойства местности, метеорологические условия. Модель с достаточной степенью адекватности описывает движение вод местного стока на тестовых примерах. Ее можно использовать для оценки обстановки при паводковых ЧС.
Литература
1. Авдотьин В.П., Дзыбов М.М., Самсонов К.П. Оценка ущерба от ЧС природного и техногенного характера: Моногр. / МЧС России. М.: ФГБУ ВНИИГОЧС (ФЦ), 2012. 468 с.
2. Карпова Е.С., Калач А.В., Ситников А.И. Оригинальный программный продукт для оценки атмотехногенных воздействий на водные экосистемы // Вестник Воронежского института ГПС МЧС России. 2012. № 3. С. 21—25.
3. Полянин А. Д. Линейные задачи тепло- и массопереноса: общие формулы и результаты // Теоретические основы химической технологии. 2000. Т. 34. № 6. С. 563—574.
4. Семенова О.М. Анализ и моделирование процессов формирования стока в малоизученных бассейнах (на примере бассейна р. Лены). Дисс. ... к. т. н. С.Пб., 2008. 216 с.
5. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: Учеб. по-соб. М.: Высшая школа, 1998. 319 с.
6. Инженерные расчеты на ЭВМ: Справ. пособ. / Под ред. В.А. Троицкого. Л.: Машиностроение, 1979. 288 с.
Калач Андрей Владимирович: д. х. н., доц., Воронежский институт ГПС МЧС России, зам. нач. ин-та по науч. раб. 394052, Воронеж, ул. Краснознаменная, 231. E-mail: [email protected]
Чудаков Александр Александрович: Воронежский институт ГПС МЧС России, ст. препод. каф. пож. безоп. в строительстве.
394052, Воронеж, ул. Краснознаменная, 231. E-mail: [email protected]
Калач Елена Владимировна: к. т. н., Воронежский институт ГПС МЧС России, ст. препод. каф. физики. 394052, Воронеж, ул. Краснознаменная, 231. E-mail: [email protected]
Арифуллин Евгений Заудятович: Воронежский государственный технический университет, ст. препод. каф. технологии и обесп. ГО в ЧС. 394026, Воронеж, Московский проспект, 14. E-mail: [email protected]
Сведения об авторах
