CC BY
16
УДК 631.362.333:633/635
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ КОРНЕПЛОДА ПО РОТАЦИОННОМУ ГОФРОЩЕТОЧНОМУ РАБОЧЕМУ ОРГАНУ
© 2017 г. В.В. Карпов
Целью выполненной работы является построение математической модели движения единичного корнеплода в форме полусфероконуса по наружной поверхности цилиндрической вращающейся гофрощётки. Полученная математическая модель будет использована для теоретического обоснования основных конструктивных и режимных параметров гофрощеточного очистителя кормовых корнеплодов.
Основанием для теоретического анализа движения единичного тела по поверхности ротационного рабочего органа явились труды известных учёных в области прикладной земледельческой механики П.М. Василенко и П.М. Заики. Построение математической модели производим путем получения системы нелинейных дифференциальных уравнений динамики движения корнеплода по поверхности гофрощеточного барабана и дифференциального уравнения вращательного движения корнеплода вокруг собственной оси в цилиндрических координатах и её численного интегрирования с помощью метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений производим с помощью встроенных функций математического калькуляционного пакета MathCAD Professional 2001 на ПК. После построения аналитической модели движения единичного корнеплода и ее графического анализа было выявлено, что на протяжении всего времени контакта линейная скорость движения и путь, пройденный корнеплодом от начала отсчёта вдоль гофрощётки, монотонно возрастают. Угловая скорость перемещения ra=f(t) изменяется по экспоненциальной зависимости, достигая максимальных значений после t = 1,8 c (при постоянной угловой скорости вращения гофрощетки тгщ = 20,93 с-1). В момент, когда угловая скорость движения корнеплода становится больше угловой скорости гофрощётки (t = 1,8-2,4 c), тело отрывается (покидает) рабочую поверхность. Наибольшее влияние на угловую скорость движения и угол отрыва корнеплода оказывает угловая скорость вращения гофрощётки. На линейную скорость перемещения корнеплода и пройденный путь оказывает наибольшее влияние угол наклона гофрощётки к горизонту.
Ключевые слова: математическая модель, уравнение динамики, корнеплод, гофрощёточный очиститель корнеплодов.
The purpose of the performed work is to design mathematical model of the single root motion in the form of semi sphere cone on the outer surface of rotating cylindrical corrugated brush. The obtained mathematical model will be used for theoretical substantiation of the main design and regime parameters of the corrugated brush root-crop cleaners. The basis for the theoretical analysis of the single body motion over the surface of rotational working body was the works of well-known scientists in the field of applied agricultural mechanics P.M. Vasilenko and P.M. Zaika. The construction of the mathematical model was carried out by obtaining system of nonlinear differential equations of the root-crop movement dynamics along the surface of the corrugated brush drum and the differential equation of the rotational motion of the root-crop around its own axis in cylindrical coordinates and its numerical integration using the Runge-Kutta method of the 4-th order accuracy. Numerical integration of the system of differential equations is performed using the built-in functions of the mathematical calculation package MathCAD Professional 2001 on PC. After constructing an analytical model of the movement of single root-crop and its graphical analysis, it was revealed that during the entire contact time, the linear speed of movement and the path traversed by the root-crop from the start, along the corrugated brush, increase monotonically. The angular movement speed ю = f (t) varies exponentially, reaching the maximum values after t = 1,8 s (at a constant angular speed of the corrugated brush rotation mg = 20.93 s-1). At the moment when the angular speed of the root-crop becomes larger than the angular speed of the corrugated brush (t = 1.8-2.4 s), the body tears off (leaves) the working surface. The angular speed of corrugated brush rotation has the greatest effect on the angular movement speed and the separation angle of the root-crop. The tilt angle of the corrugated brush to the horizon has the greatest effect on the linear movement speed and the traversed path of the root-crop.
Keywords: mathematical model, equation of dynamics, root-crop, corrugated brush cleaner of root-crops.
Введение. Нами разрабатывается устройство щёточного типа для сухой (безводной) очистки кормовых корнеплодов при подготовке их к скармливанию сельскохозяйственным животным. Основу разрабатываемой нами конструкции составляют рабочие органы в виде четырех наклонно расположенных вращающихся щеточных барабанов, набранных из комплектов рабочих элементов криволинейной (гофрированной) формы «пильчатого» профиля, изготовленных из капрона, эла-стана или резины [1, 2, 3]. Актуальность проводимых нами исследований обуславливается тем, что скармливание сельскохозяйственным животным кормовых корнеплодов в неочищенном виде не эффективно, т.к. это приводит к желудочным забо-
леваниям животных и снижению продуктивности скота [4].
В настоящее время ведется научно-исследовательская работа по усовершенствованию существующих и созданию новых способов и технических средств для безводной (сухой) очистки кормовых корнеплодов перед закладкой их на хранение или перед скармливанием сельскохозяйственным животным. Общие вопросы движения плоских и сферических частиц довольно подробно рассмотрены в трудах известных учёных в области прикладной земледельческой механики П.М. Василенко и П.М. Заики [5, 6]. Их теоретические разработки, с уточнением для конкретных условий, позволят получить математическую модель движения тела в форме полу-
сфероконуса по наружной поверхности наклонного вращающегося цилиндрического гофрощёточного барабана.
Методика исследования. В связи с отсутствием основных аналитических зависимостей для теоретического расчета гофрощеточного очистителя кормовых корнеплодов необходимо построение математической модели движения единичного корнеплода в форме полусфероконуса по наружной поверхности цилиндрической вращающейся гофрощётки. Построение математической модели производим путем получения системы нелинейных дифференциальных уравнений динамики движения корнеплода по поверхности гофроще-точного барабана и дифференциального уравнения вращательного движения корнеплода вокруг собственной оси в цилиндрических координатах и её численного интегрирования с помощью метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений производим с помощью
встроенных функций математического калькуляционного пакета MathCAD Professional 2001 на ПК [7].
Результаты и их обсуждение. Процесс очистки корнеплодов гофрощёточным устройством осуществляется вследствие контакта головок единичных корнеплодов с поверхностями наклонных вращающихся цилиндрических гофрированных щёток. При этом за счёт принудительного вращательного движения гофрощёток и организации цикличного движения корнеплодов по их поверхностям осуществляется счёсывание связанных с корнеплодами примесей (налипшей почвы и растительных остатков).
Для построения математической модели движения единичного корнеплода по наружной наклонной поверхности цилиндрической гофрощётки рассмотрим эквивалентную схему движения корнеплода по её поверхности, представленную на рисунке 1.
го ф ф о к ё к ка
Рисунок 1 - Эквивалентная схема движения корнеплода по наружной поверхности вращающейся наклонной гофрощётки
Рассмотрим относительное движение единичного корнеплода. Примем в первом приближении, что модель корнеплода образована объединением двух геометрических объектов - полусферы и конуса - по радиусу r в широкой части. Гофрощетка наклонена к горизонту под углом у к гори-
зонту, имеет радиус R (рисунок 1) и вращается с постоянной угловой скоростью т. Допустим, что начальная скорость корнеплода при попадании на гофрощётку будет равна нулю, а окружная скорость гофро-щётки будет всегда больше окружной скорости движения Vr корнеплода по ней. При
этом на корнеплод при движении будут действовать следующие силы:
G = mg - сила тяжести корнеплода массой m;
N - нормальная реакция поверхности гофрощётки, направлена по нормали к траектории относительного движения тела;
T = fN - сила трения скольжения корнеплода по поверхности гофрощётки (полезная сила счёсывания);
здесь f - коэффициент сопротивления движению тела в среде податливой гофро-щётки, имеющей разрывы [8]: когда окружная скорость гофрощётки больше окружной скорости корнеплода по ней, сила T направлена в сторону вращения гоф-рощётки [6];
Fkop =2mmv^sin(mAVr) - сила Корио-лиса, направлена по нормали к траектории относительного движения корнеплода;
P = (2n-1)mg/2cosa - сила давления n вышележащих корнеплодов, a - угол между линией, соединяющей центры корнеплодов, и вертикалью (для шарообразных в сечении тел a = 30 °);
Mr =SN=rtg /•N - момент силы трения качения, где S - коэффициент трения качения, /л - угол трения качения.
Введём абсолютную неподвижную систему координат XYZ с началом в точке О (рисунок 1), причём ось OZ направлена параллельно продольной оси гофрощётки, а ось OX направлена в сторону относительного корнеплода. Применим также относительную систему координат, задаваемую ортами т, n, k, жёстко связанную с вращающейся гофрощёткой [6]. Для определения положения тела на гофрощётке в любой рассматриваемый момент времени используем также цилиндрическую систему коор-
динат z и у, где у - угловой параметр, отсчитываемый от вертикальной оси (рисунок 1).
Тогда выражение для абсолютной скорости движения корнеплода Va имеет вид:
r = va = рут + zk, (1)
где р - радиальный параметр положения центра тяжести корнеплода относительно оси гофрощётки.
Продифференцировав (1) по времени, получим выражение для абсолютного ускорения тела:
wa = рут + ру2 n + zk.
(2)
Основное уравнение динамики движения корнеплода по поверхности гофро-щётки в векторной форме имеет вид:
mWa = G + N + T + F0r + P. (3)
Для определения проекций внешних сил на оси подвижной системы координат необходимо найти относительную скорость
где Va - абсолютная
тела vr=va-vb ^ _
скорость движения тела; vb = рсот - переносная скорость тела. С учётом (1) составим выражение для относительной ско-
Ґ . . _ т + zk
рости тела в виде v или
Р
у-с
V J
v.
І
2
ґ .
Р
+ z
(4)
у-с
V J
С учётом (1), (2) и (4) после некоторых преобразований основное уравнение динамики в цилиндрической системе координат примет вид:
Кроме того, запишем дифференциальное уравнение вращательного движения корнеплода вокруг собственной оси:
I6 = Tr - Mr = fNr - SN = (fr - S)N, (6)
. (5)
где I - момент инерции корнеплода относительно центральной оси.
Для корнеплода в форме полусферо-конуса[7]
I = m r2(3lk + 8r)/ \0(lk + 2r),
2
где h - длина конусной части корнеплода.
P(sin a sini/r-cosa cosr cosi/0+2яш sin. у
N =-1-:
ір'іф-^У
+z2 —mg cos)' cosi/j
1 -Л^р2>ф2 +±2
(?)
С учётом (7) получим следующую си- жения корнеплода по наружной цилиндри-стему дифференциальных уравнений дви- ческой вращающейся гофрощётке:
у = 0,5 g cos у sin у/ +——- (cos a cos у sin у + sin a cos у) + А^р2ц2 + z 2у + |_ р mp
f (У - a)
m-sjp2 (у - a)2 + Z2
—(sin a sin у - cos a cos у cos у) + 2ma sin y/p2(y-a)2 + Z2 -
- mg cosy cosy]-,
g cos у sin у/ +——- (cos a cos у sin у + sin a cos у) + X~\p2y2 + Z 2y + p mp
f (у - a)
m-Jp2{w - a)2 + Z2
—(sin a sin у - cos a cos у cos у) + 2masin y^p2 (у -a)2 + Z2 -
- mg cos у cos
у]]2 - 4
Я^~p2(^+Ї2((— cos у sin у + - (cos a cos у sin у + sin a cos у)) -
p mp
f (у-аХ
p^pV-a)2 + Z2
—
g sin у +— cos a sin
m
Z = -
- cos a cos
inу](і- Ajp2^2 + Z2)--==
J m,Jp (у
fZ
mVp2 (у - a)2 + Z2
[—(si
sin a sin у -
1 -Яу^у2 •
у cos у) + 2ma sin у-lp2 (у -a)2 + Z2 - mg cos у cos у]
у 2 + Z 2 + mg c
/ = 10(f + 2r)
mr2 (34 + 8r ) - mg cos у cos у
—(sin a sin у - cos a cos у cos у) + 2ma sin у/p2 (у - a)2 + Z2 -
1-ЯpV2 + Z2
(8)
Система уравнений (8) описывает движение корнеплода в форме полусферо-конуса по наклонной вращающейся гоф-рощётке. В связи со значительной нелинейностью данной системы её интегрирование выполнено численным методом Рун-ге-Кутта 4-го порядка точности с помощью встроенных функций математического калькуляционного пакета MathCad Professional 2001 на ПК. Данный метод является более совершенным и позволяет при меньшем объёме вычислений получать более точный результат. Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, широко используется при численном решении диф-
ференциальных уравнений и систем. Важным преимуществом этого метода является возможность применения переменного шага, что позволяет учитывать локальные особенности искомой функции.
В современных программах, реализующих методы Рунге-Кутта, обязательно используется некоторый алгоритм автоматического изменения шага интегрирования. На участках плавного изменения решения счет можно вести с достаточно крупным шагом. На участках, где происходят резкие изменения поведения решения, необходимо выбирать более мелкий шаг интегрирования. Изменение шага для методов Рунге-Кутта сложности не представляет. Оценить
погрешность достаточно сложно, так как простые способы оценки погрешности отсутствуют.
При сравнении результатов расчёта скоростей и перемещений корнеплода с шагами интегрирования h =100 и h = 50 погрешность метода составила не более 7%. При численном интегрировании в пакете MathCad примем постоянными следующие величины: угловая скорость гофро-щётки а = 20,93 с'1, масса корнеплода m = 2 кг, коэффициент сопротивления движению f = 1,49, угол наклона гофрощёток к
горизонту 7 = 3°, сила давления от веса вышележащих корнеплодов Р = 79 Н, радиальный параметр р = 0,25, параметр X = 16,6 со следующими начальными условиями: угол контакта корнеплода с гофро-щёткой що = -0,5236, угловая скорость корнеплода Щ0 = 0,01 с-1, путь корнеплода zo = 0,01 м, линейная скорость І0 = 0 м/с. По полученным данным построен график изменения угловой а и линейной v скорости движения, а также перемещения s корнеплода вдоль гофрощётки (рисунок 2).
S м
0,25
0,20
0,15
0,10
Рисунок 0 - График изменения угловой а, линейной v скорости движения и перемещения s корнеплода вдоль гофрощётки
Как показывают полученные графики, на протяжении в сего вк емени коктакта линейная скорость движения и путь, пройденный корнеплодом от начала отсчёта вдоль гофрощётки, монотонно возрастают. Угловая скорость перемещения а = f(t) изменяется по экспоненциальной зависимости, достигая максимальных значений после t = 1,8 c (при постоянной угловой скорости вращения гофрощетки агщ= 20,93 с-1). В момент, когда угловая скорость движения корнеплода становится больше угловой скорости гофрощётки (t = 1,8-2,4 c), тело отрывается (покидает рабочую поверхность). Наибольшее влияние на угло-
вую скорость движения и угол отрыва корнеплода оказывает кгловая скорость вращения гофрощётки. На линейную скорость перемещения корнеплода и пройденный путь наибольшее влияние оказывает угол наклона гофрощёток к горизонту.
Выводы
1. Предложены новые математические зависимости, позволяющие на основе полученных дифференциальных уравнений движения корнеплода обосновать основные параметры гофрощёточного очистителя.
2. Установлена аналитическая зависимость кинематических характеристик
движения корнеплода вдоль гофрощётки (скорости, ускорения и перемещения) от основных конструктивно-технологических параметров устройства и физико-механических свойств очищаемых корнеплодов: частоты вращения и угла наклона гофро-щёток, силы давления вышележащих корнеплодов, геометрических размеров гоф-рощетки и корнеплодов.
Литература
1. Патент 76128 Украина, МПК А0Ш33/08(2006.01). Гофрощеточный очиститель корнеклубнеплодов / Карпов В.В.; заявитель и патентообладатель ГУ «Луганский национальный университет имени Тараса Шевченко». - № 201206787; заявл. 05.06.12; опубл. 25.12.12, Бюл. № 24.
2. Карпов, В.В. Упругие свойства гофрированного ворса пильчатого профиля / В.В. Карпов // Вестник Алтайского государственного аграрного университета. -2013. - № 12(110). - С. 87-90.
3. Карпов, В.В. Построение номограммы для определения параметров гоф-рощеточного очистителя корнеклубнеплодов / В.В. Карпов // Вестник Алтайского государственного аграрного университета. - 2014. - № 1 (111). - С. 91-93.
4. Гриб, В.К. Техническое обеспечение в животноводстве: учебник / В.К. Гриб, Л.С. Герасимович, С.С. Жук. - Минск: Бел. навука, 2004. - С. 190-208.
5. Василенко, П.М. Теория движения частицы по шероховатым поверхностям сельскохозяйственных машин / П.М. Василенко. - Киев: Укр. акад. с.-х. наук, 1960. -283 с.
6. Заика, П.М. Избранные задачи земледельческой механики: практ. пособие / П.М. Заика. - Киев: Изд-во УСХА, 1992. -512 с.
7. Макаров, Е.Г. Mathcad: Учебный курс / Е.Г. Макаров. - Санкт-Петербург: Питер, 2009. - 384 с.
8. Ма, С.А. Сухое трение при наличии разрывов и больших упругих деформаций в одном из трущихся тел / С.А. Ма, Т.С. Скакун, Н.М. Флайшер // Сб. науч. трудов ВНИИМСХ. - 1983. - Т. 98. -С. 29-49.
References
1. Karpov V.V. Patent 76128 UA, MPK A01D33/08(2006.01). Gofroshhetochnyj ochi-stitel' korneklubneplodov [Corrugated brush root-crop cleaner], zajavitel' i patento-obladatel' GU «Luganskij nacional'nyj univer-sitet imeni Tarasa Shevchenko», No. 201206787, zajavl. 05.06.12, opubl. 25.12.12, Bjul. No. 24.
2. Karpov V.V. Uprugie svojstva gofri-rovannogo vorsa pil'chatogo profilja [Elastic properties of the corrugated pile of the serrated profile], Vestnik Altajskogo gosudarstven-nogo agrarnogo universiteta, 2013, No. 12 (110), pp. 87-90.
3. Karpov V.V. Postroenie nomogram-my dlja opredelenija parametrov gof-roshhetochnogo ochistitelja korneklubneplodov [Construction of nomogram for determining the parameters of corrugated brush root-crop cleaner], Vestnik Altajskogo gosudar-stvennogo agrarnogo universiteta, 2014, No. 1 (111), pp. 91-93.
4. Grib V.K., Gerasimovich L.S., Zhuk S.S. Tehnicheskoe obespechenie v zhivotnovodstve: uchebnik [Technical support in livestock: textbook], Minsk, Bel. navuka, 2004, pp. 190-208.
5. Vasilenko P.M. Teorija dvizhenija chasticy po sherohovatym poverhnostjam sel'skohozjajstvennyh mashin [The theory of particle motion on rough surfaces of agricultural machinery], Kiеv, Ukr. akad. s.-h. nauk, 1960, 283 p.
6. Zaika P.M. Izbrannye zadachi zem-ledel'cheskoj mehaniki: prakticheskoe posobie [Selected issues of agricultural mechanics: practical guide], Kiev, Izd-vo USHA, 1992, 512 p.
7. Makarov E.G. Mathcad: uchebnyj kurs [Mathcad: training Course], St. Petersburg, Piter, 2009, 384 p.
8. Ma S.A., Skakun T.S., Flajsher N.M. Suhoe trenie pri nalichii razryvov i bol'shih uprugih deformacij v odnom iz trushhihsja tel [Dry friction in the presence of discontinuities and large elastic deformations in one of the rubbing bodies], Sb. nauch. trudov NIIMSH, 1983, Vol. 98, pp. 29-49.
Сведения об авторе
Карпов Владислав Викторович - старший преподаватель кафедры «Безопасность жизнедеятельности» ГОУ ВПО «Луганский национальный университет имени Тараса Шевченко» (Луганск). Тел.: +38-095-443-31-43. E-mail: [email protected].
Information about author
Karpov Vladislav Viktorovich - senior lecture of the Safety of life activities department, SEI HPE «Luhansk Taras Shevchenko National University» (Luhansk). Phone: +38-095-443-31-43. E-mail: [email protected].
