CC BY
37
УДК 621.979.1
Т. О. Невенчанная, О. А. Хохлова, И. В. Михайлов Астраханский государственный технический университет
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ ПРЕССА
Для экспериментального исследования динамики пресса с комбинированным шатуном (здесь и далее - пресса) в лаборатории кафедры теоретической и прикладной механики Астраханского государственного технического университета был создан прибор для измерения момента на валу кривошипа в зависимости от угла поворота (динамограф). Исходя из конструкции данного прибора, будем считать экспериментальной установкой пресс вместе с динамографом. Полезной нагрузкой, приложенной к экспериментальной установке, является вес прикреплённого к ползуну груза.
Конструктивно динамограф представляет собой упругую муфту, по-лумуфты которой статически неуравновешены. В целом же динамограф статически уравновешен. Это было достигнуто введением противовеса, присоединенного к корпусу динамографа. Динамограф конструктивно встроен в кинематическую цепь и передает движение от привода к кривошипу (рис. 1).
Рис. 1. Расчетная схема исполнительного механизма экспериментальной установки: 1 - кривошип и уравновешенная масса основания динамографа;
2 - комбинированный шатун (эксцентриковая шайба + конверсионное звено);
3 - ползун; 4 - диск. Массы основных звеньев механизма условно не показаны
А
А '
На рис. 1 представлена кинематическая схема экспериментальной установки, в которой отражены особенности расчетной схемы. Для этого в расчетную схему введены две сосредоточенные массы, закрепленные на некотором расстоянии от оси вращения, моделирующие статическую неуравновешенность отдельных частей динамографа. На рис. 1 масса М1 моделирует статическую неуравновешенность корпуса динамографа, а масса М2 - статическую неуравновешенность его подвижных частей. При этом к звену позиции 1, являющемуся кривошипом пресса, присоединим уравновешенную массу корпуса динамографа, т. к. они жестко соединены. На рис. 1 диск 4 является моделью электродвигателя, валов, шкивов ременных передач и других маховых масс, находящихся между электродвигателем и динамографом, а также уравновешенных масс подвижных частей динамографа.
Таким образом, для разработки расчетной схемы экспериментальной установки представляем динамограф в виде соединенных пружиной кручения, имеющей жесткость с, эксцентрично расположенных масс М1 и М2.
Данный прибор измеряет угол относительного закручивания звеньев 4 и 1 экспериментальной установки О = j4 (t) — j1 (t).
При исследовании движения экспериментальной установки возникает необходимость учитывать силы трения в динамографе, т. к. иначе в математической модели возникают незатухающие колебания.
Так как трение сухое, обычно применяют следующую формулу для определения момента сил трения:
М тр =± М max, (і)
или
М тр = sign(ro4 — мі )• М max,
где
, . Г і, если м4 — мі > О,
sign (w4 —Ші )= і
[— і, если m4 — мі < 0.
Момент сил трения Мтр направлен противоположно относительной
угловой скорости двух полумуфт динамографа. Относительная угловая скорость равна: мотн = w4 — мі.
Функция sign(^4 —Мі) обычно учитывает знакопеременность Мтр
при расчетах математических моделей движения механических систем на ЭВМ.
Но sign (w4 — Мі) - разрывная функция, и математическую модель с использованием этой функции рассчитать численно методом Рунге - Кутта невозможно. Поэтому функцию sign(^4 — Мі) заменим другой функцией: th(®4 — Мі) - гиперболическим тангенсом (w4 - юі), имеющим вид, представленный на рис. 2, а).
Тогда момент сил трения может быть выражен следующей зависимостью:
где М тах = 1,0 Нм - абсолютная величина момента сил трения, определённая экспериментально; к1 = 50 с - подобранный для данной задачи масштабный коэффициент, который получили методом последовательных приближений. Он введен для того, чтобы график на рис. 2, а приблизить к модели сухого трения (чтобы сжать график Ш по оси х), значение к1 получили методом последовательных приближений.
Последующее численное решение покажет, что величина ю4 — Ю1
будет меняться в пределах — 0,5 • с—1 к 0,5 • с—1. Именно этим и обусловлена ранее выбранная величина коэффициента к1. Как показывает рис. 2, а, функция (2) непрерывна и дифференцируема 8 раз на данном интервале значений ю4 — Ю1.
При разработке математической модели экспериментальной установки следует обратить внимание на особенность в работе динамографа. При угле поворота кривошипа пресса от -л до 0 пружина динамографа сжимается. При угле поворота кривошипа от 0 до л - пружина динамографа разгружается. Рычаг пера самописца динамографа упирается в его основание и дальнейшего разгружения не происходит. Таким образом, при угле поворота кривошипа от -л до 0 динамограф работает как упругая муфта, а при угле от 0 до л - как упор. Эта особенность в работе динамографа учтена при разработке математической модели, когда при положительном угле закручивания динамографа его жесткость с1 принята равной жесткости его пружины (при 0 > 0), а при отрицательном угле закручивания вводится значение жесткости динамографа с2, многократно превышающее жесткость его пружины (при 0 < 0), т. е. моделируется упор. В этом случае принимаем с2 = 10 с1, т. к. если принять с2 = ¥, то получить решение невозможно.
Будем рассматривать динамограф как упругую муфту с различными жёсткостями с1 (при 0 > 0) и с2 = 10- с (при 0 < 0). Таким образом, в динамографе предполагается абсолютно упругий удар.
По причинам, аналогичным рассмотренным при определении Мтр,
крутильную жёсткость динамографа представим функцией
где к2 = 500 - подобранный для данной задачи масштабный коэффициент.
Мтр = Л к • (ю4 — ю )]• М , Н-м, (2)
Л[к2 • (Ф4 -Ф1)], (3)
2 2
Функция с =
с1 + с2 + с1 — с2 2 2
*[к2 • (Ф4 — Ф1 )] показана на рис. 2, б.
Рис. 2. Графики к определению моментов сил трения и упругости: а - график функции • (й — й)];
б - график функции с = -
с1 + с2 , с1 с2
- +
• *Ь[^2 • (Ф4 — Ф1 )]
а
2
2
Последующее численное решение покажет, что величина ф4 — ф1 будет меняться в пределах — 0,03 к 0,03 (рис. 3). Именно этим и обусловлена выбранная величина коэффициента к2. Как показывает рис. 2, б, функция (3) непрерывна и дифференцируема 8 раз на данном интервале значений ф 4 — ф1 .
Момент сил упругости, возникающих в динамографе, равен:
М упр = с -(ф 4 — Ф1 ).
Если звено 4 опережает звено 1, то крутильная жесткость с = с = 61,5 Н-м/рад, если звено 4 отстает от звена 1 (чего на самом деле быть не может, т. к. в динамографе есть упор), то с принять равным 10-с = 615 Н-м/рад.
При разработке математической модели движения экспериментальной установки воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода.
В качестве обобщенных координат системы приняты угол поворота звена 4 - ф4 и угол поворота звена 1 - фь
Запишем уравнения Лагранжа второго рода для данной системы:
д_
дґ
д_
дґ
ЭфТ у
( дТ Л
=о
дф1 °Фі:
дФ4
дТ
дФ4
(4)
=о,
Ф4:
где Qjl, Qф4 - обобщённые силы, зависящие от обобщенных координат ф4 и фь В качестве начальных условий примем:
при ґ = 0: ф1 = 0, ф^ = 0, ф4 = 0, ф4 = 0.
(5)
Уравнения (4) и (5) представляют собой математическую модель установившегося движения исполнительного механизма экспериментальной установки. Это - задача Коши для системы из двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами. Решать её будем численно. Попытки решить эту задачу классическими численными методами (Эйлера, Адамса модифицированным методом Эйлера,) невысоких порядков, а также методом Рунге - Кутта 4-5-го порядка не дали результатов.
Полученную математическую модель удалось решить методом Рун-ге - Кутта 7-8-го порядка.
Результаты численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (4) при начальных условиях (5) представлены графически на рис. 3.
Рис. 3. Графики зависимости относительного угла 0 = ф4(^) — ф:(V) (в градусах) закручивания звеньев 4 и 1 от угла поворота звена 4 (в градусах) за один оборот звена 4 при установившемся движении: теоретический и экспериментальный
Как видим, в некоторые моменты времени расчётное показание динамографа 0(t )< 0. Это - погрешность расчётной схемы, вызванная конечной жёсткостью, моделирующей упор в динамографе.
Сравним эксперимент и расчёт.
На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы:
1. Максимальный (рис. 3) расчётный угол относительного закручивания звеньев 4 и 1 равен:
0max = 0,027 рад = 1,66°.
Наблюдается некоторое отклонение экспериментальных результатов от расчётных: —1,81°; расхождение теории и эксперимента - 8 %. Величина расхождения могла быть уменьшена за счет уточнения расчетной модели:
- учёт сил трения в поступательной паре (между ползуном и стойкой);
- учёт зависимости сил трения от скоростей относительного движения звеньев.
2. Математическую модель движения исполнительного механизма пресса можно получить из математической модели движения исполнительного механизма экспериментальной установки как частный случай: убрав из последней модель динамографа и изменив полезную нагрузку на ползуне.
3. Представленная математическая модель позволяет описать не только периоды установившегося движения экспериментальной установки, но и периоды пуска и остановки.
4. Экспериментальная установка отличается от пресса с комбинированным шатуном наличием измерительного прибора (динамографа), включенного в кинематическую цепь. Достаточное совпадение расчётных и экспериментальных данных обосновывает алгоритм построения расчётной схемы и принятые допущения. Это даёт основания для построения математической модели движения исполнительного механизма пресса по аналогичному алгоритму.
Работа выполнена при поддержке РФФИ по гранту № 05-02-96502.
Получено 17.01.06
MATHEMATICAL MODEL OF THE EXPERIMENTAL PRESS UNIT WORKING
T. O. Nevenchannaya, O. A. Khohlova, I. V. Mikhailov
To analyze the dynamics of press with integrated connecting rod there has been worked out mathematical model of working mechanism of experimental unit consisting of the press and test instrument - dynamograph which can measure the phase angle of torsion in drive shaft and driven shaft. For creating mathematical model Lagrange’s equation of II type was used. Theoretically obtained results were compared with test results.
