Математическая модель движения частицы в криволинейном пневмотранспортирующем канале Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 631.362.3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ПНЕВМОТРАНСПОРТИРУЮЩЕМ КАНАЛЕ

В.Е. Саитов, д-р техн. наук, доцент, А.Н. Суворов, старший преподаватель, ФГБОУ ВПО Вятская ГСХА, Октябрьский пр-т, 133, г. Киров, Россия, 610017 E-mail: vicsait-valita@e-kirov.ru

Аннотация. В работе приводится математическая моделель движения частицы в криволинейном пневмотранспортирующем канале (ПТК). Модель учитывает силу тяжести частицы и силу реакции воздушного потока, действующую на частицу в воздушном потоке, а также неравномерность распределения скорости воздушного потока по сечению криволинейного ПТК. Рассматривается криволинейный канал, образованный двумя цилиндрическими поверхностями. При смещении центра внутренней стенки от центра внешней получается криволинейный канал переменной глубины. Требуется подобрать такие параметры ПТК, при которых канал обеспечивает перемещение всех выносимых из пневмосепарирующего канала частиц в воздухоочиститель и скорость воздушного потока на выходе из ПТК, достаточную для эффективной работы воздухоочистителя. Для исследования модели использовался свободный пакет программ компьютерной математики SciLab 5.5.1. С помощью численных методов получены траектории движения частиц в ПТК в зависимости от их скорости витания. Изучение полученных траекторий позволило определить конструкционно-технологические параметры ПТК для обеспечения требуемых показателей работы.

Ключевые слова: пневматический сепаратор, пневмотранспортирующий канал, воздушный поток, зерноочистительная машина, зерновой материал, легкие сорные примеси

Введение. В пневмосистемах зерноочистительных машин пневмотранспортирующий канал (ПТК) имеет криволинейную форму и обеспечивает поворот воздушного потока на 90...180°, в зависимости от компоновочного расположения осадочной камеры [1, 2, 3, 4, 5].

Приближенное аналитическое решение дифференциального уравнения движения частицы в криволинейном канале рассмотрено К.Ф. Ивановым в работе [6]. Однако в уравнении не учитывается сила тяжести частицы.

При рассмотрении движения частицы в отводе, изменяющем направление перемещения зернового потока, Ф.Г. Зуев [7] не учитывает силовое воздействие между воздушным потоком и транспортируемыми частицами.

Однако в реальных условиях, процесс движения частиц в криволинейном ПТК будет описываться с учетом этих сил, в особенности, если они соизмеримы.

Методика. Целью исследований является получение математической модели движения частицы в криволинейном ПТК c учетом силы тяжести, реакции воздушного потока, а также

неравномерности распределения скорости воздушного потока по глубине и длине канала, определение его рациональных конструкционно-технологических параметров для пневматического сепаратора. Для достижения поставленной цели были использованы теоретические методы с составлением и решением дифференциальных уравнений методом имитационного моделирования с помощью пакета Scicos, входящего в состав пакета программ компьютерной математики SciLab.

Результаты и обсуждение. Рассмотрен процесс движения частицы в криволинейном ПТК. Канал глубиной Н образован двумя цилиндрическими поверхностями. Поверхность внешней стенки канала имеет радиус ЯС, а поверхность внутренней стенки образована радиусом ЯП. Ось внутренней стенки смещена от оси внешней стенки на расстояние 1ПС по горизонтали. Положение поперечного сечения выходного участка ПТК относительно его входного сечения характеризуется углом, равным 90° (рис. 1).

Рис. 1. Схема действующих сил на частицу, движущуюся в криволинейном пневмотранспортирующем канале

На частицу массой т, находящуюся внутри криволинейного ПТК, действуют сила О

тяжести и сила Я реакции воздушного потока. В проекциях на оси Ох и Оу выбранной системы координат хОу, уравнения динамики в дифференциальной форме будут иметь вид:

С2 X

= Я ,

(1)

тСё=

= Я у-О,

а2 у

Я = ^р Рм щ2

(2)

Я = -^ти20,

(3)

где Ях и Яу - проекции вектора Я на оси выбранной системы координат, Н; О - проекция силы тяжести, Н.

Абсолютная величина силы Я зависит от размеров частицы и от числа Рейнольдса. Для частиц размером более 100 мкм абсолютная

величина силы Я определяется законом Ньютона [8, 9]:

где g - ускорение свободного падения, g =9,81 м/с2; ивит. - скорость витания частицы, м/с.

При этом векторы Я и щ противоположно направлены [8]. Тогда можно вектор Я представить в виде

Я = ки, (4)

где к - безразмерный коэффициент, к = - Я/и0.

С учетом (3), уравнение (4) примет вид:

Я = —

£

(5)

Найдем координаты вектора щ. Известно, что и о = и — и . Вектор щ мгновенной скорости движения частицы имеет координаты

где ио - относительная скорость движения частицы, м/с; р- плотность воздуха, кг/м3;

2

рм - миделево сечение частицы, м ; ^ - безразмерный коэффициент, значение которого зависит от числа Рейнольдса, формы и размеров частицы.

Для упрощения дальнейших расчетов будем считать, что частицы имеют сферическую форму. Тогда справедливо равенство:

ио =■

(6)

Сх Су 1 С \

Определим координаты вектора Ъв . Рассматриваемый ПТК представляет собой криволинейный отвод с относительным радиусом Я = 2ЯП/(ИП1 + ЬП2) . При достаточно больших

значениях Я (Я > 0,25) отсутствует область отрыва потока от стенок канала [10]. Для разрабатываемого пневмосепаратора [5] при исследу-

щи0\и0.

2

V

емых конструкционных параметрах ПТК ЯП = 0,290.0,340 м, Яс =0,45 м и НП1 = 0,160 м значение Я составляет 1,81.2,52. В этом случае можно считать, что распределение скоростей по сечению канала происходит в соответствии с законом площадей [11, 12], согласно которому скорость ив воздушного потока в данной точке ПТК направлена по нормали к радиус-вектору Г точки, а абсолютная величина скорости может быть определена из условия

ив • Г = I,

1п

Я,

(9)

Тогда, исходя из рисунка 1, следует, что

е

1п Яс Г 2

1соэ * е

1

1п Яс Г 2

эт в

Учитывая, что в = П + ф и

эт ф =

л/Х2^

2

получим:

СОЭ ф =

I 2 . 2 V* + у

е

е

1п

Я

с 2 + у 2

1п

Я

С г^х 2 + у 2

тогда

\Сх О 1 у

и = \~Г+К----1 г г

'Л 1п Г^х2 + у2

2

с1у

(12)

1п ЯС г^хг + у

Подставив (12) в (1), и, учитывая формулу длины вектора, получим:

(7)

где I - постоянная величина.

Постоянная I может быть определена из условия неразрывности воздушного потока, согласно которому расход воздуха через все сечения канала, перпендикулярные направлению потока, остается постоянным. Исходя из этого получим:

±1 = 4А2+В, с »„„,

Сг1

+ В2 • В - g,

(13)

О 1

у

Сх

А = — + - о I-

Сг 1пЯСгсЛ/х2 +у2

в = -

2

О 1

Сг 1пЯ

С Гс у]х2 + у2

(8)

В системе уравнений (13) значение 2 зависит от х и у. Чтобы найти 2, рассмотрим треугольник ОО1Ы, из которого, по теореме косинусов следует, что

2 = -

12 х 1ПС х

где Q - расход воздуха на входе в криволинейном ПТК, м3/с.

Вычисляя интеграл выражения (8), получим:

_ 2 1 '

л/х2^

+ Яс -

П у2

(14)

(10)

где 9 - угол между направлением скорости ив воздуха и положительным направлением оси Ох выбранной системы координат, град.

, (11)

Кроме того, для упрощения расчетов, полагаем, что переход от равномерного распределения скорости воздушного потока в ПСК к распределению по правилу площадей происходит мгновенно.

Для решения системы уравнений (13) воспользуемся методом имитационного моделирования с помощью пакета Scicos, входящего в состав пакета программ компьютерной математики SciLab [13, 14].

Результат решения системы уравнений (13) выводится в графическом виде. Расчетные траектории частиц, отличающихся скоростью ивит. витания, при движении в криволинейном ПТК приведены на рисунке 2.

Скорость ив воздушного потока во входном сечении криволинейного ПТК принималась 7 м/с, которая соответствовала минимальной скорости ивиттп витания частиц основных зерновых культур (рожь, овес, пшеница, ячмень). Радиус Яс внешней стенки ПТК составлял 0,45 м.

О

1

х

и

х

2

в

с

2

х

1

1

х

и = <

2

2

-- --- 'ч ч

--- ---- 5,8. ч к \

£ / $ ~ - - 6Д К.

1 / / г/ V 2 А

/ / / Ч V 6,5, ад

// лЛ' \в « 1

■ 1 _|_

О 0,10 0,20 0,30 X, м 0,45

О 0,10 0,20 0,30 х, м 0,45

а б

Рис. 2. Расчетные траектории частиц, отличающихся скоростью ивит. витания, при движении в криволинейном ПТК: а - при НП2/Нт = 1,0; б - при НП2/Нт = 0,78

При конструкционных параметрах ЬП2/НП1= 1,0 (кт = ИП2 = 0,16 м) средняя скорость иср воздушного потока в выходном сечении ПТК будет составлять также 7 м/с, как и на входе. Такой скоростной режим воздушного потока совершенно недостаточен на входе в криволинейный жалюзийный воздухоочиститель (ЖВ) для очистки в нем воздуха от легких примесей [15].

Из рисунка 2а следует, что траектории частиц, имеющие скорость ивит витания 5,5.. .5,8 м/с, на выходе из ПТК отклоняются к поверхности его внутренней стенки. Частицы со скоростями ивит. витания 6,0.6,5 м/с, попадая на поверхность внутренней стенки канала, испытывают неупругое соударение с ней. При движении по поверхности внутренней стенки канала данные частицы будут затормаживаться при углах ф его разворота более 600 из-за возрастания составляющей силы трения и недостаточного скоростного режима. Это приведет к залеганию и накоплению этих частиц на поверхности канала, обусловливающее в дальнейшем ухудшение технологического процесса ПТК, а, следовательно, и пневмосепаратора в целом [5].

Сужение криволинейного ПТК в направлении его выходного сечения будет обуславливать повышение средней скорости иср воздуха в каждом сечении канала. Скоростной режим воздушного потока в выходном сечении ПТК будет соответствовать равномерному спектру. Тогда при НП2/Нт = 0,78 (НП1 = =0,16 м; кП2 = 0,125 м) средняя скорость иср воздушного потока в выходном сечении ПТК будет составлять 9,0 м/с, что вполне достаточно на входе в ЖВ для эффективного в нем пы-леотделения (рис. 2,б).

В этом случае из рисунка 2,б следует, что поверхности внутренней стенки ПТК достигают только частицы со скоростями ивит. витания 6,2.6,5 м/с, которые будут транспортироваться по ней вверх. Это обеспечивается тем, что при углах ф = 15, 30, 45, 60, 75 и 900 канала скоростной режим воздушного потока в нем составляет 7,3; 7,7; 8,0; 8,3; 8,6; 9,0 м/с, соответственно, что вполне достаточно для транспортирования рассматриваемых частиц по криволинейному ПТК в ЖВ с криволинейным отводным каналом. Остальные частицы, не касаясь поверхности внутренней стенки ПТК, выносятся через его выходное сечение во входной патрубок ЖВ. Дальнейшее умень-

шение глубины НП2 выхода криволинейного ПТК приведет к возрастанию сопротивления пневмосепаратора и повышению энергоемкости рабочего процесса машины.

Вывод. Разработанные модели и выполненные расчеты позволили обосновать конструкционно-технологические параметры криволинейного пневмосепарирующего канала для пневматического сепаратора. При этом,

удовлетворительная транспортировка компонентов зернового материала, выносимых воздушным потоком из пневмосепарирующего канала, и достаточная скорость воздушного потока на входе в жалюзийный воздухоотделитель с криволинейным отводным каналом обеспечиваются при отношении НП21Нт = 0,7.0,8.

Литература

1. Бурков А.И. Совершенствование пневмосистем зерно- и семяочистительных машин. Киров: НИИСХ Северо-Востока, 1997. 83 с.

2. Saitov V.E., Farafonov V.G., Suvorov A.N. Theoretical motivation of the technical decisions of division of the corn mixtures // International Journal Of Applied And Fundamental Research. 2014. № 1. - URL: www.science-sd.com / 45624505 (date of the address 23.06.2014).

3. Саитов В.Е., Гатауллин Р.Г., Нигматуллин И.Н. Зерноочистительная машина: пат. 2198040 Рос. Федерация. № 2000131016/13; заявл. 13.12.00; опубл. 10.02.03, Бюл. № 4. 4 с.

4. Саитов В.Е., Гатауллин Р.Г., Нигматуллин И.Н., Фарафонов В.Г., Суворов А.Н. Зерноочистительная машина: пат. 2464111 Рос. Федерация. № 2011118873/03; заявл. 11.05.2011; опубл. 20.10.2012, Бюл. № 29. 9 с.

5. Саитов В.Е., Фарафонов В.Г., Суворов А.Н., Саитов А.В. Пневматический сепаратор сыпучих материалов: пат. 2525557 Рос. Федерация.№ 2013109664/03; заявл. 04.03.2013; опубл. 20.08.2014, Бюл. № 23. 6 с.

6. Иванов К.Ф. Приближенный аналитический расчет траекторий движения твердых частиц в криволинейных каналах // Науч. записки Одесского политехнического ин-та. Одесса. 1962. Т. 42. С. 62-64.

7. Зуев Ф.Г. Пневматическое транспортирование на зерноперерабатывающих предприятиях. М.: Колос, 1976. 344 с.

8. Гортинский В.В., Демский А.Б., Борискин М.А. Процессы сепарирования на зерноперерабатывающих предприятиях. М.: Колос, 1980. 304 с.

9. Furuno Y., Matsui M., Inoue E. Study on the Air Drag of Grains // Journal of the Japanese Society of Agricultural Machinery. 2008. № 3, Vol. 70. Р. 58-64.

10. Идельчик И.Е. Аэрогидродинамика технологических аппаратов. (Подвод, отвод и распределение потока по сечению аппаратов). М.: Машиностроение, 1983. 351 с.

11. Веригин А.Н., Ким В.А., Незамаев Н.А. Модель движения дисперсной частицы в криволинейном потоке // Известия Санкт-Петербургского государственного технологического института (технического университета). 2009. № 6 (32). С. 69-71.

12. Ветошкин А.Г. Теоретические основы защиты окружающей среды. М.: Абрис, 2012. 397 с.

13. Данилов С.Н. SCICOS. Пакет SciLab для моделирования динамических систем. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2011.

74 с.

14. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В., Рудченко Е.А. SciLab. Решение инженерных и математических задач. М.: ALT Linux, Бином, Лаборатория знаний, 2008. 260 с.

15. Степанов, Г.Ю., Зицер И.М. Инерционные воздухоочистители. М.: Машиностроение, 1986. 184 с.

MATHEMATICAL MODEL OF ELEMENT MOTION IN A CURVED PNEUMATIC

CONVEYOR CHANNEL

V.E. Saitov, Dr. Eng. Sci., Associate Professor,

A.N. Suvorov, Senior Lecturer,

Vyatka State Agricultural Academy

133 Oktyabrsky Prospect, Kirov, 610017, Russia

E-mail: vicsait-valita@e-kirov.ru

ABSTRACT

The mathematical model of the element motion in a curved pneumatic conveyor channel is presented in this work. This model takes into account the element gravitation force and windstream reactive force, which reflects on the element in windstream, as well as speed irregularity in the distribution of windstream in section of curved pneumatic conveyor channel (PCC). Curved channel which was made

БОТАНИКА И ПОЧВОВЕДЕНИЕ

by two cylindrical surfaces is observed. The curved channel of variable depth formed with help of decentration of inner wall from the center of the outer wall. It is necessary to select characteristics of PCC (pneumatic conveyor channel) whereby channel provides transfer of all endurable elements from aspirating channel into air cleaner and air flow rate at the outlet of PCC sufficient for the effective operation of the air cleaner. Free computer mathematics program suite SciLab 5.5.1. was used for model analysis. Using numerical methods the particles movement path in the PTC depending on the weighing velocity in the air flow was obtained. The study of received pathway helps to estimate constructive-process variable of PCC for providing of required performance indicator. Key words: air-drill, pneumatic conveyor channel, windstream, grain-cleaner, grain material, light black dockage.

References

1. Burkov A.I. Sovershenstvovanie pnevmosistem zerno- i semyaochistitel'nykh mashin (Improvement of pneumatic systems of grain- and seed-cleaners), Kirov: NIISKh Severo-Vostoka, 1997, pp. 83.

2. Saitov V.E., Farafonov V.G., Suvorov A.N. Theoretical motivation of the technical decisions of division of the corn mixtures // International Journal Of Applied And Fundamental Research. 2014. № 1. - URL: www.science-sd.com / 45624505 (date of the address 23.06.2014).

3. Saitov V.E., Gataullin R.G., Nigmatullin I.N. Zernoochistitel'naya mashina (Grain-cleaner): pat. 2198040 Ros. Fed-eratsiya. № 2000131016/13; zayavl. 13.12.00; opubl. 10.02.03, Byul. No. 4, pp. 4.

4. Saitov V.E., Gataullin R.G., Nigmatullin I.N., Farafonov V.G., Suvorov A.N. Zernoochistitel'naya mashina (Grain-cleaner): pat. 2464111 Ros. Federatsiya. № 2011118873/03; zayavl. 11.05.2011; opubl. 20.10.2012, Byul, No. 29, pp.9.

5. Saitov V.E., Farafonov V.G., Suvorov A.N., Saitov A.V. Pnevmaticheskii separator sypuchikh materialov (Pneumatic separator for free-running materials): pat. 2525557 Ros. Federatsiya.№ 2013109664/03; zayavl. 04.03.2013; opubl. 20.08.2014, Byul, No. 23, pp.6.

6. Ivanov K.F. Priblizhennyi analiticheskii raschet traektorii dvizheniya tverdykh chastits v krivolineinykh kanalakh (Approximate analytical path planning for solid particles in curvilinear channels), Nauch. zapiski Odesskogo politekhnich-eskogo in-ta. Odessa, 1962, Vol. 42. pp. 62-64.

7. Zuev F.G. Pnevmaticheskoe transportirovanie na zernopererabatyvayushchikh predpriyatiyakh (Pneumatic transportation in grain-processing enterprises), M.: Kolos, 1976, pp. 344.

8. Gortinskii V.V., Demskii A.B., Boriskin M.A. Protsessy separirovaniya na zernopererabatyvayushchikh predpriyati-yakh (Processes of separation on grain-processing enterprises), M.: Kolos, 1980, pp. 304.

9. Furuno Y., Matsui M., Inoue E. Study on the Air Drag of Grains // Journal of the Japanese Society of Agricultural Machinery. 2008. № 3, Vol. 70. P. 58-64.

10. Idel'chik I.E. Aerogidrodinamika tekhnologicheskikh apparatov. (Podvod, otvod i raspredelenie potoka po secheni-yu apparatov) (Aero-hydrodynamics of technological equipment. (Admission, bleeding and distribution of flow on apparatus profile)), M.: Mashinostroenie, 1983, pp. 351.

11. Verigin A.N., Kim V.A., Nezamaev N.A. Model' dvizheniya dispersnoi chastitsy v krivolineinom potoke (Motion model of disperse particle in curvilinear flow), Izvestiya Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo tekhnologicheskogo insti-tuta (tekhnicheskogo universiteta), 2009 No. 6 (32), pp. 69-71.

12. Vetoshkin A.G. Teoreticheskie osnovy zashchity okruzhayushchei sredy (Theoretical bases of environment protection), M.: Abris, 2012, pp. 397.

13. Danilov S.N. SCICOS. Paket SciLab dlya modelirovaniya dinamicheskikh sistem.(SciLab package for modeling dynamic systems), Tambov: Izd-vo TGTU, 2011, pp. 74.

14. Alekseev E.R., Chesnokova O.V., Rudchenko E.A. SciLab. Reshenie inzhenernykh i matematicheskikh zadach (SciLab. Solution for engineering and mathematical tasks), M.: ALT Linux, Binom, Laboratoriya znanii, 2008, pp. 260.

15. Stepanov, G.Yu., Zitser I.M. Inertsionnye vozdukhoochistiteli (Inertial air-cleaner), M.: Mashinostroenie, 1986, pp. 184.