CC BY
61
УДК 654.195.68
Цимбал В.А., Тоискин В.Е., Караев Д.А., Винокуров A.M.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДОСТАВКИ ИНФОРМАЦИИ В РАДИОСИСТЕМЕ ОПОВЕЩЕНИЯ БЕЗ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ С ПОВТОРАМИ
СООБЩЕНИЙ
В статье представлено математическое моделирование процесса доведения сообщения в радиосети без обратной связи с повторениями и накоплением информации с учетом работы, блока логической обработки приемника абонентской станции на базе научно-методического аппарата конечных марковских цепей.
Ключевые слова: радиосеть передачи данных без обратной связи; мажоритарные проверки повторов; повышение достоверности; вероятностно-временные хара,кт,ерист,ики; конечная марковская цепь; уравнение Колмогорова-Чепмена.
Cimbal V.A., Toiskin V.E., Karaev D.A., Vinokurov A.M.
MATHEMATICAL MODEL OF INFORMATION DELIVERY IN A RADIO SYSTEMS NOTIFICATIONS WITHOUT FEEDBACK THE DUPLICATE MESSAGES
The article considers Mathematical modeling of the process of delivering a message in radio network without feedback with repetitions and accumulation of information taking info account functioning the logical processing block the subscription station receiver based on scientific- methodical device of the final Markov chains.
Keywords: radio network of data transmission without feedback; voting check of repetitios; increasing of validity; probabilistic-temporary features; the final Markov chain; the Kolm,ogorov-Chopm,an equation.
Сети оповещения и другие сети доведения циркулярной информации до абонентов, распределенных на большой территории, строятся, как правило, в виде радиосетей передачи данных без обратной связи. Особенностью их функционирования является передача сообщений путем их многократного повторения. При этом приемник каждой абонентской станции (АС) осуществляет повышение достоверности принятого сообщения путем накопления повторов информации с последующей их мажоритарной обработкой. Основными задачами построения таких радиосетей являются:
— нахождение вероятностно-временных характеристик (ВВХ) и числовых характеристик доведения сообщений в сети;
— обоснование требуемого числа повторов сообщения, нужного для обеспечения за-
данной достоверности его доведения.
Решению данных задач и посвящено настоящее исследование.
Пусть имеется радиосеть циркулярной передачи информации, представленная на рисунке 1. На каждой АС расположен приемник (рисунок 2), количество АС в радиосети К. Передача сообщений, характеризующихся длиной I, осуществляется из передающего центра (ПДРЦ) путем передачи конечного числа повторов М этого сообщения со скоростью передачи V. При этом каждое сообщение (повтор) для повышения достоверности кодируется некоторым помехоустойчивым кодом. Затем каждый символ сообщения превращается в сигнал с заданным видом модуляции и излучается в эфир. Качество дискретного канала связи от ПДРЦ ко всем АС одинаково и характеризуется вероятностью ошибки на элементарный символ — ро
Рисунок 1 Радиосеть
Рисунок 2 Структура приемника
В приемнике АС радиосигналы обрабатываются (демодулируются) в блоке обработки сигнала (БОС), согласно используемому методу модуляции, сформированные символы поступают в декодер повтора сообщения (ДПС). В ДПС осуществляется декодирование сообщения согласно используемому алгоритму. Причем ДПС может работать как в режиме обнаружения, так и в режиме исправления ошибок. Если ошибок в принимаемом сообщении нет, или они все исправлены (или не обнаружены), то декодированное сообщение из ДПС выдается получателю сообщения (ПС). Если ошибки есть, то данный повтор поступает в блок логической обработки (БЛО) повторов сообщения.
Если в БЛО накоплено три и более повторов, то последний осуществляет их логическую обработку, а именно производит мажоритарные проверки (МП) но всем возможным тинам (при этом на текущем повторе не используется те МП, которые проведены на предыдущем шаге). МП повторов сообщения происходит поразрядно.
После выполнения текущей МП в БЛО «собирается» сообщение, которое отправляется на декодирования в ДПС. После успешного декодирования в ДПС оно поступает к ПС. Если в нем обнаружены ошибки, то ДПС ожидает результат следующей МП и т.д.
Таким образом, при получении, например, трех повторов (М 3) в БЛО применяются МП тина «два из трех» (2/3) (причем происходит одна проверка), при М 4 также применяются МП тина 2/3 (причем происходит не четыре, а три проверки, т.к. не учитывается та проверка 2/3, которая проведена при М 3), при М 5 применяются МП тина 2/3 (6 проверок) и также МП тина «три из пяти» (3/5) (1 проверка) и т.д.
Расчет количества МП одного тина при получении М повторов осуществляется но формуле:
Г" = М! м N!(М - N)!'
(1)
где М количество полученных повторов; ея но следующему правилу:
N количество повторов, но которым осу- Правило 1. Формирование всех возможных
щеетвляетея МП. типов МП логическим приемником АС на М
Отметим, что все используемые МП строят- принятых повторах таково:
ЗМ(М > 3)Ут : т = 3,М
ЗтУп : п = г, (т — 1) т + 1
при т нечетном
г
' " при т четном
т 2 ¥ + 1
(2)
ЗМП типа (п/т)
Для нахождения количества МП конкретно- ла МП вычесть те МП, которые проведены на
го типа на М-м повторе, с учетом проведенных М-1 повторе. Расчет числа таких МП при М 12
на (М-1)-м повторе, необходимо из общего чис- представлен в виде гистограммы на рисунке 3.
а/ 2/3 ~ 3/5 4/7
Рисунок 3 Количество различных МП на М повторах сообщения
Применение МП накопленных повторов информации обеспечивает повышение достоверности сообщения и, соответственно, снижение вероятности ошибки на элементарный символ. В последующем эту вероятность ошибки будем называть эквивалентной [1].
В таких предположениях вероятность правильного приема сообщения но МП тина (2/3) равна: а(2/3) = (1 — Рэква эквивалентная ей
вероятность ошибки при этой МП определяется так: Рэкв1 = + С3 ■ р1 ■ (1 — ро).
Для МП тина (3/5) соответственно имеем:а(3/5) = (1 — Рэкв2)г, где Рэкв2 = р0 + +С| ■ р4 ■ (1 — Ро) + С33 ■ р3 ■ (1 — Ро)2. Обобщенная формула для нахождения эквивалентной вероятности ошибки на элементарный символ РдП/т^ при произвольной МП типа (п/т) имеет вид [1|:
р (п/т) _ X ^ /~iт—г-рт—г
-да/з 7 'til г
г=0
(1 - Ро)г.
(3)
Математическая модель процесса доведения сообщения в соединении «точка-точка» (радионаправлении ПДРЦ — одна АС). Нахождения искомых характеристик до-
ведения сообщений во всей сети (ко всем АС) требует знания характеристик доведения сообщения от ПДРЦ к одной АС. Назначение математической модели расчет ВВХ процесса
доведения сообщения от ПДРЦ к одной АС с учетом логики работы БЛО.
Рассматриваемый процесс доведения имеет конечное число состояний, является дискретным но времени, в нем соблюдается основное марковское свойство. Тогда данный процесс является конечной марковской цепью (КМЦ) [2| Для нахождения искомых характеристик вос-
пользуемся аппаратом КМЦ. Исходя из алгоритма работы БЛО в части оценки достоверности поступивших повторов сообщения, синтезируем граф состояний и переходов этого процесса. Такой граф процесса доведения сообщения в соединении «точка-точка» представлен на рисунке 4.
Рисунок 4 Граф состояний и переходов процесса доведения сообщения в соединении «точка-
точка»
Искомый процесс имеет следующие состояния:
— принят первый повтор сообщения АС; 51 — принят второй повтор сообщения АС (и т.д.);
5м_2 — принят М-1 повтор сообщения АС; 5м-1 — принят М повтор сообщения АС;
5м — сообщение после обработки принято АС;
5м+1 — сообщение после обработки не принято АС.
Матрица переходных вероятностей (МПВ) Р[м+2,м+2] КМЦ для графа рисунка 4 имеет вид:
р
[М+2,М+2]
0 Р01 0 0 0 . . Ром 0
0 0 Р12 0 0 . . Р1М 0
0 0 0 Р23 0. . Р2М 0
0 0 0 0 Р34 . . Рзм 0
0 0 0 0 0. . РМ-1М Рм -1М+1
0 0 0 0 0. . 1 0
0 0 0 0 0. .. 0 1
(4)
Элементы МПВ находятся с учетом логики работы БЛО. Анализ данной логики позволил сформировать следующее правило нахождения элементов матрицы (3).
Правило 2. Переходные вероятности МПВ (4), находящиеся над главной диагональю, рассчитываются так:
Pv,v+1 = 1 - (1 - р)
((
1 -a(n/m)W)
Р,
(О
'{М+2) = Р(М+2) • Г[М+2,М+2]
(i-1)
•Р[.
где
W
\ / \ ^^ \ (l - a(n/m)(2)) • ... • (l - a(n/m)(a)) j
(5)
где V = 2,М;
Р = (1 - Ро)1',
а{п/ш)(1) ,аЫт)Ю ,а(п/т)(«) _ есть мн0_
жество всех типов МП от младшей
[(п/т)(1^) до самой старшей га — количество МП одного типа на М-м
М -^М-1-Остальные элементы МПВ определяются
так: р01 = 1 — ром, £>12 = 1 — р1м, и т.д. (вплоть до рм—1М = 1 — Рм —1М+0- Переходные вероятности рмм и рм+1т+1 находятся так: рмм = 1
и Рм +1т+1 = 1) поскольку 5м и 5м+1 являются поглощающими состояниями графа данной КМЦ.
Расчет ВВХ процесса доведения сообщений осуществляется по уравнению Колмогорова-Чепмена (УКЧ) [2]:
р
[М+2,М+2]
МПВ рассматриваемой
КМЦ.
ВВХ показывают изменение вероятности доведения сообщения от ПДРЦ до АС в зависимости от числа шагов (от числа повторов сообщения). При этом вероятность доведения есть вероятность состояния 5м графа рисунка 4. На базе расчета ВВХ можно найти численно среднее время доведения сообщения М(1) следующим образом:
\i=0
)
(6)
Р(м+2) — вект0Р вероятностей состояний процесса доведения на г повторе;
г,(г-1)
(м+2) — вектор вероятностей состоянии процесса доведения на г-1 повторе;
м(*) = т • UL(* +1) • (i - Р(о) • Р(+) , (?)
где Р(г) — вероятность доведения сообщений на г шаге, а т = у.
Математическое ожидание (среднее время) и дисперсию времени доведения сообщения можно найти и аналитическим путем через фундаментальную и дисперсионную матрицы, получаемые из МПВ [2].
Преобразуем («вывернем») МПВ (3) следующим образом:
Р'
Р[М+2,М+2]
1 0 ... 0 0 0 0 0
0 1 ... 0 0 0 0 0
РМ-1М +1 Рм -1М ... 0 0 0 0 0
0 Рзм ... Р34 0 0 0 0
0 Р2М ... 0 Р23 0 0 0
0 Р1М ... 0 0 Р12 0 0
0 Ром ... 0 0 0 Р01 0
(8)
Разобьем матрицу (8) на четыре подматрицы, при этом из них две будут квадратными. Нас интересует правая нижняя матрица — Я\м,м ]•
Вычтем из единичной матрицы 1[м,м] матрицу Q[м,м] и получим матрицу А[М,м]> которая имеет вид:
1
А
[м,м ]
1 0 0 0 0
-Р34 1 0 0 0
0 - Р23 1 0 0
0 0 -Р12 1 0
0 0 0 Р01 1
(9)
Фундаментальная матрица есть мат-
рица, обратная к матрице А[М>М], которая имеет
Тогда, математическое ожидание времени доведения сообщения есть сумма элементов по-
следующий вид:
(10)
следней строки матрицы (10), умноженная на шаг перехода, т.е.
Ь11 0 0 0 0
Ь21 Ь22 0 0 0
Ьз1 Ьз2 Ьзз 0 0
Ьц Ьа22 Ь43 Ъи 0
Ьы Ь52 Ъъз Ь54 Ь55
м -1
М'ф — Т ■ ^ ЬМ-1,М-1-г. (П)
г=0
Дисперсия времени доведения сообщения есть:
М -1
(!) — т2 ■ Е (Ъм-1'* ■ (2Ь^ - !) - (Ъм-1.^)2). (12)
г=0
Анализ матрицы (9) показывает, что она является разреженной и содержит большое число нулевых элементов. Тогда для ее обращения (получения фундаментальной матрицы) с целью упрощения можно использовать формулу
Фробениуса [3]. Это даст возможность получить среднее время и дисперсию времени для нашего случая в аналитическом виде.
Выделим в матрице (9) следующие
подматрицы:
А
А' гХ] Вгх]
[М'М ]
Тогда можно применить для обращения матрицы (13) формулу Фробениуса:
(13)
А[М'М] — (1[М'М] - Я[М,М]) 1 —
А'-1 + А'-1 ■ В ■ Н-1 -А!-1 ■ В ■ Н-1
-Н-1 ■ С ■ А1-1 Н -1
(14)
Использование такого подхода показало, что случая непосредственно из МПВ по следующим математическое ожидание и дисперсия време- правилам: ни могут быть найдены для рассматриваемого
Правило 3:
Правило 4:
М' [т] — т
/М-2 к \
ЕП рм+1 + 1 \ к=0 i=0 )
Б' [т] — т2
М-2 к / к \
Е П ■ (1 - П р^+ч,
к=0 г=0 \ г=0 )
(15)
(16)
где М число повторов сообщения.
Математическая модель процесса доведения сообщения в соединении «точка-многоточка» (радиосети ПДРЦ - все К АС). Назначение математической модели расчет ВВХ и числовых характеристик (ЧХ)
процесса доведения сообщений от ПДРЦ ко всем АС сети. Основу данной модели также составляет аппарат КМЦ.
Граф состояний и переходов исследуемого процесса доведения представлен на рисунке 5.
Рисунок 5 Граф состояний и переходов процесса доведения в соединении «точка- многоточка»
(от ПДРЦ ко всем АС)
Состояния данного графа таковы: Т-Д-))
5*0 _ сообщение не доведено ни до одной АС; вк — сообщение доведено до всех К АС. 51 — сообщение доведено до одной АС (и МПВ данной КМЦ имеет вид:
Р(1)[К + 1,К + 1] =
Р00 Р01 Р02 Р03 Р04 Р05 Р06 Р07 ... Рок
0 Pii Р12 Р13 Pl4 Р15 Р16 Р17 ... Р1К
0 0 Р22 Р23 Р24 Р25 Р26 Р27 ... Р2К
0 0 0 Р33 Р23 Р24 Р25 Р26 ... Р2К
0 0 0 0 Р44 Р45 Р46 Р47 ... Р4К
0 0 0 0 0 Р55 Р56 Р57 ... Р5К
0 0 0 0 0 0 Рвв Р67 ... Р6К
0 0 0 0 0 0 0 Р77 ... Р7К
0 0 0 0 0 0 0 0 0 РКК
(17)
Отличительной особенностью данной модели но отношению к известным [3,4] является то, что МПВ (17) на каждом шаге перехода (на каждом повторе сообщения, после второго) является «своей», т.е. отличной от МПВ предыдущих шагов. Это обусловлено тем, что после третьих) и последующих повторов сообщения БЛО приемника реализует множество МП разных типов, что повышает достоверность приема. Последнее и приводит к тому, что элементы
МПВ (17) на каждом шаге будут различны.
Логика построения МПВ (17) такова: элементы ее первой строки определяются так [3|:
Р01 — С\'р1тв (1 — рЛОв)к 1 ,
Р02 — С1р\оъ (1 - рдов^-1 и т.д.;
элементы второй строки находятся так:
1-1
P12 — C\-iplmB (1 - pR0в)
_ r<2 2 (л \k-1-2
Pl3 — ^k-lP^m (1 — Pmv)
и т.д.;
Обобщение рассмотренного подхода позволило получить следующие правило определения элементов МПВ (17).
Правило 5. Пусть i - номер строки, ] —
номер столбца МПВ; р — вероятность доведения сообщения до одной АС за один повтор на текущем повторе. Тогда элементы МПВ (17) находятся так:
0,
если ] < %
Ргз =
Ск^гР* гЧК ^, если ] > Ъ
(18)
0 <г<К 0 < з < К
где К — количество АС радиосети. сматриваемая КМЦ является неоднородной.
Искомые ВВХ в этом случае не могут на- В этом случае УКЧ применяется в моди-ходится по известному УКЧ (6), так как рас- фицированном виде, т.е.
Правило 6.
Р
(0
(К+1)
Р
(г-1)
Р
(0
(К+1) ^ [К+1,К+1]'
(19)
Р
(К+1) — вектор вероятностей состоянии
процесса доведения на г повторе;
(К+1) — вектор вероятностей состоянии процесса доведения на г-1 повторе;
Р
МПВ рассматриваемой
[К+1,К+1]
КМЦ на г повторе.
Отметим, что искомые ВВХ есть динамика вероятности состояния Бк (состояния доведения) графа рисунка 5 от числа шагов (повторов сообщения).
Под численными характеристиками (ЧХ)
процесса доведения сообщения в соединении «точка- многоточка» понимаются математическое ожидание (МО) числа АС и дисперсия (и следовательно, среднеквадратического отклонения (СКО)) числа АС, до которых доведено сообщение, в динамике процесса получения повторов.
Обобщенная формула нахождения МО числа АС, получивших сообщение при получении г-го повтора, есть:
где % = 1, М -УКЧ на ] шаге.
номер шага, Р(
(0
К
Мг [К] = ^¿-Р^,
3=1
(20)
решение Обобщенная формула нахождения дисперсии числа АС, получивших сообщение при получении г-го повтора, есть:
К
А [К] =^2 и — Мг [К]]2 ■ Р(г\ще г = 1,М. з=о
(21)
СКО определяем так:
а, [К] = УАЩ где г = 1,М.
(22)
Таким образом, определены ВВХ и ЧХ На базе разработанных моделей рассчитаны процесса доведения сообщения в соедине- искомые ВВХ и ЧХ для рассматриваемой ранни «точка-многоточка». диосети со следующими исходными данными:
К=40, 1=100 (бит), р0=0.05; 0,1; 0,05, М=12. На са доведения сообщения в соединении «точка-рисунке 6 представлены графики ВВХ нроцес- точка».
Рисунок 6 Графики ВВХ процесса доведения сообщения в соединении «точка-точка»
На рисунке 7 представлены графики ВВХ (МО, СКО) процесса доведения сообщений в сопроцесса доведения сообщений в соединении единении «точка-мши'оточка». «точка-мши'оточка», на рисунке 8 графики ЧХ
_J ^=0.15
А> 0!
^=0.05
-1-1-- - - - -1-1-1-1--
1 1 3 А 5 6 та? 10 11 12
повторы
Рисунок 7 Графики ВВХ процесса доведения сообщения в соединении «точка-многоточка»
Рисунок 8 Графики 'IX процесса доведения сообщения в соединении «точка-мши'оточка»
По результатам расчета, представленным в виде графиков рисунков 6-8, можно сделать следующие выводы:
1. Как в соединении «точка-точка», так и в соединении «точка-мши'оточка» ВВХ соответствуют физике рассматриваемох'о процесса доведения, а именно: с увеличением числа повторов вероятность доведения увели чивается.
2. По полученным значениям ВВХ в соединении «точка-мнох'оточка» при фиксированной вероятности ошибки в канале свя-
о
ров, которое обеспечит доведения сообщения с требуемой вероятностью до всех АС.
3. Графики для ВХ и ЧХ также показыва-
ют хорошее совпадение расчетов с физикой процесса, т.е. с увеличением числа повторов информации МО АС, получивших сообщение, стремится к их общему числу С КО в динамике числа повторов имеет максимум и затем стремится к нулю. Последнее означает, что искомый процесс доведения вначале имеет чисто стохастический характер, а в последующем становится детерминированным.
Таким образом, сформирован математический аппарат, позволяющий адекватно описывать процесс доведения сообщений в радиосети без обратной связи с повторениями и накоплением информации (повторов сообщений) и их мажоритарной обработкой на каждом повторе.
Литература
1. Финк Л.М. Теория передачи дискретных сообщений. Издательство «Советское радио» Москва 1963 575 с.
2. Кемени Джон. Дж.. Снелл Дж. Ларк. Конечные цепи Маркова / Пер. с англ. - Наука. 1970. 272 с.
3. Цимбал. В. А. Информационный обмен в сетях передачи данных. Марковский подход : монография [Текст] / В. А. Цимбал. М.: Ву-
зовская книга. 2014. 144 е.: ил.
4. Попов М.Ю. Модель процесса доведения сообщений в радиальной неоднородной сети без обратной связи на основе производящих функций / М.Ю.Попов. О.В. Ятульчик . В.В.Кулешов // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова / Научная сессия, посвященная Дню радио. 2008. Вып. LXIII 1. С. 428 430.
Рецензент: доктор технических наук, доцент Рыбаков A.B.
