CC BY
12
УДК 621.3.011.013
Математическая модель для расчета поля в магнитопроводах при наличии стыков
Кадников С.Н., д-р техн. наук, Веселова И.Е., ассист.
Разработана математическая модель в форме системы сингулярных интегральных уравнений, предназначенная для расчета магнитного поля в сердечниках трансформаторов и реакторов при наличии стыков. Предлагается метод частичного разделения областей, основанный на введении на границах раздела сред поверхностных зарядов и токов. Приведены результаты численных экспериментов по исследованию влияния анизотропии на распределение поля и магнитных потоков.
Ключевые слова: анизотропная среда, метод частичного разделения областей, сингулярные интегральные уравнения.
Mathematical Model for Field Calculation in Magnetic Circuit with Joints
Doctor of Engineering, I.E. Veselova, Assistant.
S.N. Kadnikov,
The mathematical model in the form of system of the singular integral equations intended for magnetic field calculation in cores of transformers and reactors in the presence of joints equations is developed. The method of partial areas division, based on introduction on section borders of environments of superficial charges and currents is used. Results of numerical experiments on research of anisotropy influence on distribution of field and magnetic streams are discussed.
Keywords: anisotropic environment, method of partial areas division, singular integral equations.
Для расчета электромагнитного поля в кусочно-однородной среде применяется метод разделения областей [1]. Модели, построенные с его помощью, эффективны при расчете поля в тех случаях, когда анизотропная среда, заполняющая расчетную область, однородна. Однако на практике так бывает далеко не всегда. Для магнитопрово-дов реакторов характерно наличие стыков стальных пластин, образующих пакеты (рис. 1,а). На этих стыках (границах) оси анизотропии меняют свое направление, в связи с чем нарушается однородность среды и ис-
пользование в расчетных областях одних и тех же представлений для потенциалов становится невозможным. Кроме того, при наличии стыков число областей однородности становится больше двух, в силу чего применение метода разделения областей в том виде, в котором он использовался для двухсвязных областей, становится неэффективным, поскольку он уже не дает стандартных уравнений второго рода. Однако эта проблема может быть решена путем использования так называемого метода частичного разделения областей, предложенного в [2].
S3> Н- 3 -1
12 ' 2
б)
Рис. 1
Сформулируем краевую задачу для векторов поля:
го1 Н12 3 = 0,
(1)
(2)
^ 6^ 2 з = 0,
В1 = А0 ('1А1хН1х + j1M•1yH1y ),
В2 = А0 (,2^2xH2x + j2А2yH2y ),
В3 = А0Н3 ■
Граничные условия для вторичного поля имеют следующий вид:
[«, Н01 - Н03 ] |; - (3)
= [«, н02 - Н03 ] I - (4)
1- -1 ІІ2 [«, Н02 - Н01І[ , (5)
-1 ^3 = (^5, ^ 1Н01 - Н03 = , ' 7 ІІ1 (6)
= («,^2Н02 -Н03 = , : "2 (7)
(^’,/Н01 - Н02 =І - (8)
V > ІІ3 ^ то. (9)
N = 0(~2),
Соотношения (1)—(9) образуют краевую задачу. Для ее решения используем следующие интегральные представления для векторных и скалярных потенциалов [3]:
• в областях 5), Э2 1 1
ф1с? = 1СТр 1п ГГ д'р,
'12
Ча
Ф2ц :
— | °р 1п —СІр ,
*т2 / Р г2а Р
2пт2
'23
\=.т I 'зр|п г1 ¿р ,
'1а
А2ц = Д0
т^ г /з ріпХ
2п Г 3Р Г2а
-<Цр;
в Б3
2п / ■" г
'12
Векторы поля в областях Б1, Э2, Б3 представим в вид е
Н1<7 = А а1 г0 Ад — ^ф1д ,
Н2д = Аа2 г0 Ад - ^ф2д ,
Ао
Используя формулы для скалярных и векторных потенциалов, получим представления для векторов поля:
н3ц =— ^ А3ц .
• в области Б1
Н1ц = -А— (6 ст р -^-Д СІр
2пт.
1 І13
'Р г2 “'Р '1а
2пт.
3Р, г2 '1а
сір;
в области Б,
2пт.
2 Г г
І23
р ,.2 Сір
2а
2пт.
3р’ г2 '2а
(11)
сір;
в области Б3
Сір,
г г
1 р,_2 '2
(12)
где т1 = -у/Д1хД1у ; т2 = -\/Д2хД2у ; І13 = І1 + l3,
І23 = І2 + І3, І12 = І1 + І2;
г1а =
г2а =
2 2 ( - х1р) (ц - У1р)
Д1х Д1у
(2ц - х2р ) | (у2ц - у2р)
д2 X
д2у
Г 1,2 =(^(Х1,2 ц - Х1,2 р ) + (у1,2 ( - у1,2 р)
г = ((ц - хр)2 +(Уц - Ур)
1
2 V.
Предельные значения для граничных условий (3), (4), (5), получены в [3]:
(, (, Н3ц ]) (, (ц Дц ]) 1
= ц + _1 і , М ср;
І12 2 2п Т р г2 р
І12
1 і і3 „ 1(ц,г> +Ір
і1 2пт1г 3р *-2
2пт17 р г
І13
((-г++І ; и/р ’
№А]+„ + 2пт21' т
(13)
(14)
'3 р ' 2 " СІр '
І3 а
(Тц ,Д 21г2 )
(15)
2пт2 ^ р г
2 І23
2 СІр;
2а
(*,[«.,4=-'І1+1*3 рМ)
3 113
СІр
1а
(16)
2пт1 / р г1
І13
2 СІр;
1а
3
3
12
3
( (ц д1) = =3і +_±_ г
V [ ц 2 ]) и 2 2т !
3 р „2 “'р
2а
2 І3 '2
2пт.
(Тц ,Д 2^2)
____________1_ /
(17)
СТ ^ г 2 СІр.
2 123- 2
Здесь І23-означает, что перед интегралом по І2 берется знак «плюс», а перед І3 -«минус».
Предельные значения для граничных условий (6), (7), (8) следующие:
= ст1ц 1 ^ (ц, г1)
2 2пт1 ■
І1
т1 г. (,Д11 Г1 )СІ ;
Т"1 '3р 2 СІр;
і3 р г12а р
СТШ + 1
2 2тст2
'р г2 ~СІр
г1а
, ((f2= СІ -
Ур _2 СІр
г2а
(18)
т2
2п
'3р-
(ц, Iі 21г2 )
(19)
г 2 СІр ;
'2a
= ст3ц
1
(ц, гl=
стп' '■> ' СІр -2 2пт11 р Г12а р
т-2п
(20)
I '3^ ,2
1а
3ц
СІр;
1
І3 2 2пт2
'р г 2 ~СІр '2a
2пт.
(ц, '2)
СІр;
3 р „2 и,р
2а
2 /3 '2
си.
(21)
(22)
Искомые интегральные уравнения, полученные из этих формул и граничных условий (3) - (8), имеют следующий вид:
• на 11
1 Г • (, г ) ..
'Ъ + П ^ , Р г 2 ^Р
112
пт1
2 СІр
'1а
і*3р (™^І"™=Сlp = 2(ц,Н01ц - Н03ц), ц є І1,
(23)
пт^ ■ г,
І3
ст1ц -
пт1
1а
, М) ) -р г2 СІр г1а
пт
М),
'3 р „2
— Г'ч„ -^г-^си
т
Ча
П ' г
І12
(24)
• на І2
1 Г . («ц, Г ) .. 1
'2ц + Ф' р 2 СІр т СТр 2
п / г2 пт^^ г2а
І12 І23 2а
СІр -
пт-
3 г^
г2а
СІр = 2(ц,Н02ц - Н03ц), ц є І2 ,
2ц ■
пт2
К_^) СІр + _т і 'Зр3- Мр -гЦа пт2І г22
і'
т
(25)
І3
'2а
1 г ■ (Тц,г) /— ~ ^ ^ \
+ і 'р 2 СІр = 2 (ц, Д 1Н02ц - Н03ц), ц є І2 ;
п / г
І12
(26)
на І3
'3ц +
■¿к
( «ц, ^ ) («ц, /І)
ч т2г2а т1г12а ,
ср
+2П Г р т г
І23
2 СІр - 2-і .
-2 г 2а 2п і3 т1г
р 2 "Ч г 1а
кСІр = (27)
:(ц,Н02ц - Н01ц), ц є І3,
ст3ц
2ЛіСТ3р
;3
2п 1 ст2р
;2
+ 1 Г
2п і '3р
;3 V
(«ц, г2 )-(Т)
т2г2а т1г1а
СІр
Шс,р 2^'р,
т2г2
2 2а
2 и,р
1ГСІр 111а
(28)
т1 г 1а т2 г2а ^
= (ПЯ,( - Н02я), Я е '3 ■
Более компактную форму эта система приобретет после введения следующих обозначений:
К = •&!, Кп (Пя, 'П), ^ =1!я^ ,
СІр =
пг
пг«
пг«
с = ^тп
(ц, Iі п г« )
(29)
пг„
'«ц + ф 'рКСІр т ф стрѫѲр т
т і '3 pKпСlp 2 (ц, Н0«ц Н03ц );
11'п .
(30)
1
ст«ц (! pKп<Сlp + і /3pCmпСlр +
т« і т« І
І«3 ;3
+ і 'рКСІр = 2 (ц, Н0«ц - Н03ц );
(31)
3
3
2
23
і
3
3
23
12
12
,3Я +11 '3Р ('(2 а т^К^'р +
'3
1 1
+ 2 $ СТрт'^'р - ^ арт'-^5т1^'р = (32)
'23 '13
= (, Н02 - Н01);
а3я + ^ | а3р (т2'(2 - т-1К1) ^р +
'3
1 1
+ 2 [а2рт2^К2^'р а 2 [а1рт1^К1^'р +
2 '2 2 '1 (33)
+ 2 | '3р (т( а т252 )р =
!3
= (я ,Н01я - Н02я )■
Решение системы (30)-(33) применительно к конструкции дросселя (при размерах магнитопровода 0,4 х 0,4 м и числе ампер-витков 3000) (рис. 1,а) проводилось методом редукции к системе линейных алгебраических уравнений. Использовалась кусочно-линейная аппроксимация искомых функции а,,, причем вблизи угловых точек использовалась специальная аппроксимация, учитывающая неограниченный рост плотностей ,, а по мере приближения к угловым точкам. Размерность СЛАУ в целом при точности расчета порядка 0,1%, которая определялась по сходимости, на ЭВМ ПК (ОП 4Гб, 3ГГц) составляла не более 100-150 элементов. Время счета при этом было не более 0,1 с.
Результаты расчетов распределения напряженности поля представлены на рис. 2, 3. На рис. 2 дана картина силовых линий при Ах = 15000, Ау = 500 . Отчетливо видно, что при такой анизотропии (явно выраженной) сило-
Рис. 2
вые линии направлены вдоль главной оси анизотропии (оси х), что, очевидно, соответствует физическому смыслу задачи. На рис. 3 картина поля дана для варианта реального соотношения поперечных и продольных проницаемостей (ах = 15000, ау = 13000). Видно,
что картина поля изменилась за счет увеличения потоков рассеяния, однако при этом основной магнитный поток уменьшился меньше чем на 1%. Это происходит из-за высоких значений относительной проницаемости по отношению к проницаемости в воздухе (а = 1). При уменьшении величины ах эффект снижения основного магнитного потока усиливается, однако это происходит при значениях магнитной проницаемости, не соответствующей ее значениям для электротехнической стали. Можно отметить, что при соотношении проницаемостей ах = 15000, ау = 13000 и
Ах = ау = 15000 картины поля визуально практически не отличаются.
В табл. 1 и 2 представлены результаты расчета магнитного потока дросселя в контрольных сечениях и значения напряженности внешнего поля в контрольных точках и на контрольных сечениях (рис. 4).
Установлено сильное уменьшение внешнего поля с увеличением анизотропии, в отдельных контрольных точках при Ах = 500, Ау = 100 уменьшение происходит в 2-2,5 раза, по сравнению с изотропией ах = АУ = 500, а при ах = 15000, Ау = 100 уменьшение происходит в 4-4,5 раза, по сравнению с изотропией ах = А = 15000. При этом изменение основного магнитного потока и индуктивности не превышает 1 %.
Рис. 3
10
Рис. 4
11
Таблица 2
3 10960 10931
4 4683 4680
5 11362 11349
6 8259 8245
7 2247 2242
8 179,9 179,6
9 20,42 19,9
10 183,9 183,6
11 2220 2216
Ф Sn , n = 1,...,6 Ф, Вб, при Цх = Цу = 15000 Ф, Вб, при цх = 15000, Ц у = 100
S1 0, 005043 0,005097
S2 0,0052995 0,0053175
S3 0,0057295 0,0057206
S4 0,0061448 0,0061697
S5 0,006601 0,006556
S6 0,006362 0,006421
Номер точки |Н| , А/м, при Ц x = Цу = 15000 | H |, А/м, при ц x = 15000, Ц у = 100
1 298480 298450
2 86360 85967
Заключение
Численные эксперименты показали, что разработанная математическая модель обладает достаточно высокой вычислительной эффективностью в отношении точности и скорости счета.
По результатам численных экспериментов установлено, что влияние анизотропии на распределение поля и величину магнитного потока при значениях тензора магнитной проницаемости, соответствующих реальным характеристикам электротехнической стали для областей внутри магнитопровода, сказывается довольно слабо. С другой стороны, влияние анизотропии на распределение внешнего поля оказывается значительно сильнее, что должно учитываться при проектировании магнитопроводов.
Список литературы
1. Тозони О.В., Майергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. - Киев: Техника, 1974.
2. Кадников С.Н., Сергеева И.Е. Интегральные уравнения для расчета трехмерного магнитного поля в анизотропной среде // Повышение эффективности работы энергосистем: Тр. ИГЭУ / Мин. обр. РФ, Ивановский государственный энергетический университет. Вып. 8; Под ред. В.А. Шуина, М.Ш. Мисриханова, А.В. Мошкарина. -Иваново, 2007. - С. 106-120.
3. Кадников С.Н., Сергеева И.Е. Методика расчета плоскопараллельного магнитостатического поля в анизотропной среде // Повышение эффективности работы энергосистем: Тр. ИГЭУ. Вып. 7 / Под ред. В.А. Шуина, М.Ш. Мисриханова, А.В. Мошкарина. - Иваново, 2004. - С. 311-318.
8
7
3
Кадников Сергей Николаевич,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина», доктор технических наук, профессор кафедры теоретической электротехники и электротехнологии, e-mail: kadnikovsn@mail.ru
Веселова Ирина Евгеньевна,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина», ассистент кафедры высшей математики, e-mail: iveselova@math.ispu.ru
