CC BY
13
УДК 621.3.011.013.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
КАДНИКОВ С.Н., д-р техн. наук, СЕРГЕЕВА И.Е., асп.
Предлагается математическая модель в форме системы интегральных уравнений с сингулярными интегральными операторами. Приведено доказательство единственности решения полученной системы и обоснована возможность ее практического применения для расчета магнитного поля в шихтованных магнитопроводах трансформаторов и электрических машин.
Ключевые слова: магнитное поле, математическая модель, интегральные уравнения, сингулярные операторы.
MAGNETIC FIELD MATHEMATICAL MODELING IN PIECEWISE-UNIFORM ANISOTROPIC ENVIRONMENT
KADNIKOV S.N., Ph.d., SERGEEVA I.E., postgraduate.
The article concerns the mathematical model in the form of integral equation system with singular integral operators. The article proves the uniqueness of given system solution and demonstrates the possibility of its practical application for magnetic field calculation in laminated cores of transformers and electrical machines.
Key words: magnetic filed, mathematical model, integral equation, singular operators.
При расчете магнитного поля в трансформаторах и реакторах необходимо учитывать шихтовку сердечников и магнитную анизотропию стали. Это осуществляется путем замены слоистой среды сердечников сплошной анизотропной средой [1, 2, 3], что позволяет применить для расчета поля известные численные методы. Если среда предполагается линейной и кусочно-однородной, то наиболее эффективны, т.е. точны и экономичны, граничные интегральные уравнения (ГИУ). Методика построения ГИУ для расчета статического магнитного поля впервые была предложена в [3] (приоритет 8.12.1971 г.), где расчет поля постоянного магнита сведен к системе уравнений первого и второго рода, полученных с использованием скалярных потенциалов простого слоя. Другая модель в виде системы интегральных уравнений второго рода, для построения которой использовались потенциалы простого и двойного слоев, рассматривается в [4]. Однако практические возможности такого рода моделей, в которых в каждой из областей используется свое представление для потенциалов со своей плотностью (простого или двойного слоя зарядов), ограничены. Дело в том, что листы трансформаторной стали, а следовательно, и оси их магнитной анизотропии ориентированы по-разному в различных объемах сердечников (стержнях и ярмах) по отношению к некоторой общей для всего устройства декартовой системе координат. Поэтому сердечник трансформатора с расчетной точки зрения следует рассматривать как кусочно-однородную среду. Нетрудно установить, что при нечетном числе граничащих областей в некоторых из них придется применять потенциалы одинакового типа. Модель, предложенная в [3], в этом смысле более универсальна, однако она включает интегральные уравнения первого рода, что может привести к значительным вычислительным погрешностям. Кроме того, ее применение при расчетах полей трансформаторов потребует вычисления скалярных потенциалов токов, протекающих по обмоткам, являющихся многозначными функция-
ми, что может привести к существенному и практически неоправданному усложнению алгоритмов. Показано, что при использовании скалярных и векторных потенциалов в каждой из отдельных однородных областей магнитной среды можно получить практически эффективную модель, лишенную указанных выше ограничений.
Чтобы выяснить основные особенности методики построения ГИУ для расчета магнитного поля в многосвязных областях, характерных для магнитопроводов, рассмотрим следующую модельную задачу. Области V1 и \2 (см. рисунок), заполнены однородной анизотропной магнитной средой с тензорами магнитной проницаемости
А 1а = А0Д1, Д2а = А0Д2 , Д1 * £2 .
Допускаем, что геометрия областей Ц и \2 позволяет определить тензоры (X 1а, Д2а как
диагональные в одной и той же общей системе декартовых координат. Источники внешнего поля (постоянные токи), локализованные в области \ 0 ,
rot H12 = 0 ;
находятся в области У2 ■ Вектора вторичного поля
Н и В во всем пространстве, исключая граничную поверхность Б , должны удовлетворять уравнениям:
(1)
См В12 = 0, (2)
причем в области V1
В1 = ! Д0Д1хН1х + 1 Д0Д1уН1у + кД0Д1гН1г = Д0Д 1Н1 , в области V2
В2 = I ДоД2хН2х +1 ДоД2уН2у + кД0Д2гН2г = Д0Д2%
На границе раздела областей Б должны выполняться краевые условия:
[ П, Н2 - Н^ = [ П,Но1 - Н02 ] , (3)
(П, Д2Н2 - ДН) = (П, Д^01 - Д2Н02), (4)
где Н01, Н02 - векторы внешнего поля (см. ниже). Для решения краевой задачи (1)-(4) будем использовать скалярный и векторный потенциалы. Скалярный потенциал ф в однородной анизотропной среде в тех областях, где отсутствуют источники поля, должен удовлетворять уравнению [4]
д 2ф д2ф д 2ф п
Д х ~2 + Д у ^Г + Д^ ТГ = 0, (5)
дх2 д2у дг2
где д х, Ду, дг - компоненты диагонального тензора.
Если поле создается поверхностными зарядами с плотностью ст , то решение уравнения (5) может быть представлено в виде 1 г
фц =-гЯ * Б , (6)
4пт 3 Б 3
где m = ^/v x Vy Vz ;
Ra JK^p£. +(yq-yp)2 + (zq-zp)2. (7)
Vx Vy Vz
Вектор H = -Уф, следовательно,
Hq =_iLT i^R"3 dsp ■ 4n m 3 s a
Чтобы получить представление для векторного потенциала постоянных токов в однородной анизотропной среде, используем соотношение
B = rot A, из которого следует H = Дa~1rot A . Полагая, что в некоторой области V пространства локализованы токи с плотностью 8, получаем уравнение
rot (дrot A) = д08 . (9)
Вводя новый вектор A1 = д0дА и полагая div A1 = 0 , уравнение (9) можно привести к виду
д2Д d2 A, д2Д 25
Дх—г + Дy—21 + Дг—2 =-Дот28 ■ (10)
дх2 ду2 dz2
R
(8)
Путем замены переменных х = -у/ДХ • х1,
У = а/Ду ' Уг, 2 = \/Д2 ' г уравнение (10) приводится к известному векторному уравнению Пуассона для однородной изотропной среды, из которого после возврата к прежним переменным можно получить искомое выражение для потенциала А :
2~-1
л = VomV ■ rg
^ 4n Jr.
4n V Ra
(11)
Поскольку для постоянных токов См 8 = 0, то потенциал А1 = ДА будет удовлетворять условию См А = 0 [6]. Если постоянные токи распределены по некоторой поверхности Б , то
\ = V0m2V-1 ф,
dSP
4п ^ p Ra s a
(12)
где 1р - плотность поверхностных токов.
Для соблюдения условия См Д = 0 необходимо, чтобы СмБ/ = 0 (СмБ - обозначение
поверхностной дивергенции). Это условие будет вытекать из интегральных уравнений. Используя
соотношение Н = ДА , из (12) находим
nm Г
[ P R ]
Hq = - | , q 4nm J Ra3
S a
dSn
(13)
Используя формулы (8), (13), представим искомые вектора Н1,Н2 в областях V1 и V2 в следующем виде:
H1q =
1
H2q =
4nm1 I R13a 1
M dSp +Jnl
н 4жтл
dSp, (14)
R
1a
apR3"dsP, (15) R
Б ' Ча .....1 Б
Ш Б+-Д1
4пт2 Б ^а Р 4пт2 Б "2а
где т1 = у]Д1хД1уД1г ; т2 = -^2хД2уД2г ; ^2а выражаются формулой (7).
Данные формулы выражают магнитное поле в областях V-! и V2 через одни и те же плотности тока / и заряда ст . Этим они отличаются от варианта, предложенного в [4], где в одной из областей поле определяется потенциалом простого слоя, а в другой - двойного слоя зар ядов.
Вектора внешнего поля Н01,Н02 в областях V1, V2 определяются формулами:
H01q = "
тг.т* Г
[g0 p.R ]
4nm1 V0 R13a
dSn
[g0p, R ]
H°2q = 4nm2 J R.3
dSn
(16)
(17)
2 n2a
При этом Soi = Ц011 Hoi, B02 = 2^02 ■ Такие представления для векторов внешнего поля также отличаются от принятых в [4], где они определяются только в одной из областей. Они имеют то преимущество, что в случае однородной среды
граничные условия (3), (4) становятся однородными и вторичное поле обращается в нуль (что физически вполне естественно), в то время как в модели, предложенной в [4], первичное поле получается как решение ГИУ.
Далее для построения системы ГИУ необходимо вычислить, согласно граничным условиям (3), (4), предельные значения касательных составляющих напряженности и нормальных составляющих индукции на внутренней и внешней сторонах граничной поверхности Б. Используя для этой цели методику, данную в [5], и подставляя полученные предельные значения в (3), (4), получим следующую систему интегральных уравнений
( л л \
]Ч + 4п
1_ 4п
I # п<> ['<>,
[
R
1
1
^23а
¿Бп
пя ,R
А 2
Xх 1
т2 ^2а
т? R13а
бБр =
(18)
= [ ,Н01 - Н02 ];
-фстр (^^q,R)
2пт<
тНа
¿Бп
2пт<
[ 7рд])
А 2
А1
m2R23а
т1 R3а
¿Б» =
(19)
2
т-( пфА 1Н01 -1Р2Н02 ),
где т3 = т13
■ т3
Чтобы обосновать возможность применения системы уравнений (18), (19) для расчета поля, необходимо доказать, что ее решение единственно.
Доказательство единственности проводится в два этапа. Сначала надо доказать, что однородная краевая задача (1)-(4) имеет только н улевое
решение. Из (1) следует, что векторы Н1,Н2 можно представить в следующем виде: Н1 = -Уф1; Н2 =-Уф2, где потенциалы ф1,ф2 определены формулой (6) при т = т1 и т = т2 . В областях \1 и \2 они подчиняются уравнениям: А1Ф1 = 0 , (20)
Л2Ф2 = 0, (21)
где А1, А2 — дифференциальные операторы вида (5) с соответствующими значениями компонент тензоров А1,А2.
Согласно (3), (4) потенциалы ф1,ф2 должны удовлетворять на Б однородным граничным условиям:
[ П,Уф2 -Уф1 ] = 0; (22)
(, А2^ф2 -А^ф ) = 0. (23)
Краевая задача (20)-(23) при условии, что потенциал ф2 затухает на бесконечности как R-? ,
где р е Ц,д е \2 , имеет решение ф1 = с1, ф2 = 0, где с1 - произвольная константа. Чтобы это доказать, необходимо учесть, что согласно (23) на Б ф1 -ф2 = с (с - постоянная). Далее используются тождества Грина:
ф фА1 дф? ¿Б = | (|11 Уф1, Уф1) ¿V ;
Б \
(24)
<^ф2А 2 ¿Б = |(Д 2^ф2,^ф2 ) ,
(25)
где А1 ■дф1 = (,£ 1Vф1 ). дп
Складывая данные соотношения и учитывая условие (21) и равенство ф1 -ф2 = с, можно получить следующую формулу:
с <£а 1 £ ¿Б = |(р 1Vф1,Vф1 ))
Б \
+ 2Vф2,Vф2 ).
(26)
Левая часть данного соотношения равна нулю согласно теореме Гаусса и уравнению (25). Тогда ф1 = с1, ф2 = с2 , где с1, с2 - произвольные константы. Поскольку на бесконечности ф2= 0, с2 = 0, то ф1 = с1, ф2 = 0, т.е. получается требуемый результат. При этом, очевидно, Н1 = 0 в Ц, Н2 = 0 в \2 . В итоге краевые условия (3), (4) при Н01 = 0 , Н02 = 0 можно переписать в следующем виде: [ П, Н ] = 0; (27)
[ п, Н2 ] = 0; (28)
(п, АН ) = 0; (29)
(п, А2Н2 ) = 0. (30)
Будем считать, что вектор Н1 определен согласно (14) не только в области Ц, но и в \2 , и обозначим его в области через Н21. Тогда, поскольку касательная производная потенциала простого слоя непрерывна при переходе через Б , то
[п,Н1 ]-[ лД] = [п,Н2 ]= 1. (31)
Аналогичным образом, определив вектор Н12 в области \1 по формуле (15), можно найти
[ п,Н2 ]-[п,н1 ] = -[ п,Н2 ] = Г . (32)
В результате из (31), (32) следует, что [п,Н12 ]+[п,4^ =0. (33)
Поскольку вектор Н1 определен по формуле (14) во всем пространстве, то нормальная составляющая первого члена в (14) при переходе через Б непрерывна. То же самое справедливо и
для первого члена в (15), если вектор Н2 определен по этой формуле во всем пространстве. Тогда, используя (29), (30), получаем:
2
( л, Д2H21) - (/7, Д1H1) = (л, Д2H21) = а ; (34)
(л,Д2HH2 ) - (л,ДH2 ) = -(л,Д1H2 ) = а . (35)
Из этого следует, что (л,ДД2 ) + (л,Д2H1 ) = 0. (36)
Полагая H12 = -Уф12 , H21 = -Уф2 , из (33) можно найти, что ф2 +ф2 = c = const, а из (36) следует, что (л,Д^ф2 ) = -(л,Д2Уф2 ). С использованием данного соотношения и тождеств (24), (25) можно снова получить равенство (26), из которого будет следовать, что H12 = 0 в области Ц ,
H21 = 0 в V2 . Но тогда из формул (31), (34) вытекает, что i = 0 , а = 0 , что и требовалось доказать. Тем самым установлено, что математическая модель в форме уравнений (18), (19) может быть использована для расчета магнитного поля и интегральных параметров трансформаторов и реакторов с индуктивными сердечниками.
Заключение
1. Установлено, что при математическом моделировании магнитного поля в кусочно-однородной
анизотропной среде система интегральных уравнений содержит сингулярные операторы.
2. Полученная система сингулярных интегральных уравнений может решаться стандартными численными методами, в частности путем редукции к системе линейных алгебраических уравнений.
Список литературы
1. Острейко В.Н. Расчет электромагнитных полей в многослойных средах. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. - 152 с.
2. Колесников Э.В. Уравнения электромагнитного поля в пакете стальных анизотропных пластин // Изв. вузов. Электромеханика. - 1973. - № 7. - С. 4-6.
3. Колесников Э.В. Интегральные уравнения для расчета поля однородно намагниченного постоянного магнита // Изв. вузов. Электромеханика. - 1975. - № 4.
4. Тозони О.В., Маейргойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. - Киев, 1974. - 352 с.
5. Кадников С.Н., Сергеева И.Е. Интегральные уравнения для расчета трехмерного магнитного поля в анизотропной среде // Вестник ИГЭУ. - 2005. - Вып. 1. -С. 101-106.
6. Тамм И.Е. Основы теории электричества. - М.: Наука, 1966. - 620 с.
7. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. -М.: Гостехиздат, 1953.
8. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. - М.: Высш. шк., 1977.
Кадников Сергей Николаевич,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина», доктор технических наук, профессор кафедры теоретических основ электротехники и электротехнологий, телефон (4932) 26-99-03, e-mail: zav@toe.ispu.ru
Сергеева Ирина Евгеньевна,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина», аспирант кафедры теоретических основ электротехники и электротехнологий, телефон (4932) 26-99-03, e-mail: zav@toe.ispu.ru
