CC BY
13
УДК 519.642
doi:10.21685/2072-3040-2021-3-2
Математическая модель для оценки работы сегментов левого желудочка сердца и численный метод восстановления кривых деформаций
Е. А. Гундарев
Пензенский государственный университет, Пенза, Россия psu.gun@mail.ru
Аннотация. Актуальность и цели. При детальном изучении работы левого желудочка (ЛЖ) сердца необходимо учитывать погрешность и ошибки в исходных данных, полученных с помощью 3D-спекл-эхокардиографии. Несмотря на то, что эхокардиография является одним из лучших методов оценки функции миокарда, метод также имеет и недостатки. Например, результат исследования существенно зависит от УЗИ-специалиста, состояния датчика и индивидуальных особенностей исследуемого сердца. Для моделирования работы ЛЖ требуется использовать средства и методы определения и восстановления дефектных кривых деформаций. Целью настоящего исследования является разработка критериев качества и метода восстановления сегментарных данных продольной деформации. Материалы и методы. Численные данные сокращения миокарда были получены с помощью ультразвукового исследования аппаратом «Vivid™ E95». Для оценки и восстановления исходных данных реализован численный метод. Результаты. В данной работе представлены критерии оценки кривых деформаций сегментов ЛЖ. Предложен метод улучшения исходных данных деформации миокарда. Выводы. Предложенные критерии оценки кривых деформаций в продольной плоскости позволяют оценить качество численных данных. Представленный метод восстановления позволяет провести предобработку данных деформаций. Это существенно повышает качество дальнейших исследований, основанных на сегментарных взаимодействиях ЛЖ.
Ключевые слова: сегментарная продольная деформация, функция миокарда, 3D-спекл-эхокардиография
Финансирование: работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 20-37-90057.
Для цитирования: Гундарев Е. А. Математическая модель для оценки работы сегментов левого желудочка сердца и численный метод восстановления кривых деформаций // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 3. С. 17-24. doi:10.21685/2072-3040-2021-3-2
A mathematical model for evaluating the work of the heart left ventrical segments and a numerical method for deformation curve restoration
E.A. Gundarev
Penza State University, Penza, Russia psu.gun@mail.ru
Abstract. Background. In a detailed study of the work of the left ventricle (LV) of the heart, it is necessary to take into account the error and errors in the initial data obtained us-
© Гундарев Е. А., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
ing 3D speckle echocardiography. Despite the fact that 3D speckle echocardiography is one of the best methods for assessing myocardial function, the method also has disadvantages. For example, the result of the study significantly depends on the ultrasound specialist, the state of the sensor and the individual characteristics of the examined heart. To simulate the work of left ventrical, it is required to use means and methods for determining and restoring defective deformation curves. The purpose of this study is to develop quality criteria and a method for restoring segmental data of longitudinal deformation. Materials and methods. A numerical data of myocardial contractions were obtained using ultrasound examination by the "Vivid™ E95" device. A numerical method is used to evaluate and restore the initial data. Results. In this research, the criteria for evaluating the deformation curves of keft ventrical segments are presented. A method for improving the initial data of myocardial deformity is proposed. Conclusions. The proposed criteria for evaluating the deformation curves in the longitudinal plane allow us to evaluate the quality of numerical data. The presented recovery method allows preprocessing of these deformations. This significantly improves the quality of further studies based on segmental interactions of left ventrical. Keywords: segmental longitudinal deformation, myocardial function, 3D speckle echocar-diography
Acknowledgments: the research was financed by the RFBR No. 20-011-00341, grant No.20-37-90057.
For citation: Gundarev E.A. A mathematical model for evaluating the work of the heart left ventrical segments and a numerical method for deformation curve restoration. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;(3):17-24. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-3-2
Введение
Сложно переоценить роль 3Б-спекл-эхокардиографии в современной медицине. Метод, с одной стороны, является неинвазивным, что делает его одновременно доступным и безопасным [1, 2], а с другой - дает возможность оценить сокращения мышц миокарда во всех плоскостях одновременно [3]. Тенденция увеличения исследований по данному направлению только подтверждает актуальность и выявляет большой интерес научного сообщества к современному подходу к изучению работы левого желудочка (ЛЖ). Несмотря на уникальные возможности 3Б-спекл-эхокардиографии, необходимо учитывать и недостатки метода [4], приводящие к погрешностям и искажениям в исходных данных ультразвукового исследования.
Продольная деформация
В эхокардиографии продольная деформация - это величина деформации миокарда от верхушки до основания. Зададим продольную деформацию сегмента в момент времени t следующей формулой:
li li , , -10 ,
s =. (1)
l0
Тогда если в момент времени / деформация /-го сегмента sl () убывает, то сердечные мышцы находятся в процессе сжатия, и наоборот, если возрастает - в процессе расслабления.
Точки отсчета времени для отдельного сегмента закрытия и открытия митрального и аортального клапанов обозначим Мус,¡муО,¡ЛУС,{ЛУО соответственно.
В сердечном цикле в момент времени tе [¡луо, ¡ЛУС) сегменты ЛЖ сокращаются [5, с. 631-635], и лишь после закрытия аортального клапана в момент времени ¡лус начинается период расслабления (рис. 2). Таким образом, мы можем сформулировать первый критерий качества кривых деформаций: в момент времени от открытия и до закрытия аортального клапана каждая точка кривой деформации должна иметь отрицательный знак. Зададим условие следующим образом:
t е [¡ЛУО, ¡лус ], ()< 0. (2)
Рассмотрим ¡е [¡луо, ¡лус ] - моменты времени, когда сегмент сокращается и кривая деформации убывает. Отсюда получаем второй критерий качества кривых деформаций сегментов ЛЖ: в момент времени от открытия и до закрытия аортального клапана функция деформации сегментов ЛЖ убывает. Тогда условие имеет вид
¡1 е^луО, ¡лус I ¡2 е [¡луО, ¡лус ] при ¡2 > ¡и (¡1 )> (¡2 ). (3)
На интервале времени [¡луо, ¡лус ] функция деформации убывает, а на интервале [¡лус, ¡муо ] - возрастает. Сформулируем третий критерий качества кривых деформаций: в момент времени от открытия и до закрытия аортального и, соответственно, митрального клапанов скорость деформации сегмента ЛЖ равняется нулю в одной и только одной точке. Запишем критерий следующим образом:
tе [¡луО,Iмуо]: v(t) = 0. (4)
Метод восстановления дефектных сегментов продольной деформации
Восстановим кривую деформации по соседним сегментам одного уровня (базальный, средний или/и апикальный) [6]. Пусть - соседние сегменты , тогда найдем усредненную '-ю точку сегментарных данных по формуле
i si + sr
t , j
. (5)
2
На рис. 1,ö показаны сегменты из базального отдела (Basal) здорового пациента. Кривая деформации BasalPosterior не удовлетворяет условию (3).
На рис. 1,б показаны сегменты базального отдела (Basal) здорового пациента с восстановленным сегментом BasalPosterior.
Расчет работы отдельного сегмента левого желудочка
Исходные данные сокращения существенно влияют на результаты расчетов работы сегментов ЛЖ. Работа характеризует сократительную способ-
ность миокарда и является показателем эффективности работы отдельного сегмента [7].
ВаэаИг^епог
- ВазаШс^епог ■ ВаваИ^ега!
5.4 5.6 5.8 6
Время (с)
— ВаваПпГепог - ВаваШс^егюг - Ваяа1Ьа1сга1
Время (с)
б)
Рис. 1. Деформации соседних сегментов базального уровня: а - BasalPosterюr не удовлетворяет условию (4); б - с восстановленным сегментом BasalPosterюr
Работа рассчитывается в несколько этапов. На первом этапе необходимо получить скорость деформации. Функция скорости v(t) характеризует изменение деформации за единицу времени и равняется
v(t )= —,
w Л
(6)
где и () - деформация сегмента.
Для нахождения скорости деформации воспользуемся методом численного дифференцирования двусторонней разности. Скорость в момент времени X определяется следующей формулой:
, л ( )_ ( ) Л() = 2ДХ '
где & = и+1 - Хг_1.
На втором этапе произведением давления ЛЖ Р^у (X) и скорости деформации v(x) получим сегментарную мощность:
Р (х)^(х)-РЬу (<)=~({)-РьУ (х) . (8)
На последнем этапе получим работу сегмента:
А (Х) = |Р (х')ёХ' = _}^(Х')■ Рьу (О*', (9)
0 0
где X' - переменная интегрирования.
Для численного интегрирования воспользуемся правилом трапеций. Разобьем временной промежуток и значения функции Р (X) на п интервалов с шагом к, тогда
X = [¿0, 1 X2Хп], (10)
Р(Х) = |>0 (Х0 ),Р1 (Х1 ),Р2 (Х2 Рп (Хп )]. (11)
Таким образом, получим формулу численного интегрирования:
А = 2 (Р0 + Р1 )к1 +•••+ 1 (Рп_1 + Рп )кп, (12)
где к = ( _ Х_ ).
На рис. 2,а показаны графики сокращения и работы сегмента до восстановления. На рис. 2,б показаны графики сокращения и работы после восстановления.
В расчетах работы отдельного сегмента ЛЖ необходимо принимать во внимание погрешности и ограничения 3D-спекл-эхокардиографии. Предварительная проверка условий (2)-(4) для кривых деформаций ЛЖ дает возможность оценить качество численных данных перед вычислением показателей сократительной способности миокарда. Предложенный метод восстановления кривых продольной деформации позволяет оценить работу отдельного сегмента и всего ЛЖ с учетом погрешностей в данных ультразвукового аппарата.
Заключение
Предложенные критерии качества кривых деформаций позволяют оценивать ошибки в результатах исследования с помощью ультразвукового аппарата. Один из методов восстановления сегментов, не удовлетворяющих
критериям (2)-(4) - замена усредненным значением соседних сегментов. Предложенные критерии качества и метод восстановления кривых деформаций позволяют оценить данные сокращения миокарда перед их обработкой и тем самым повысить точность искомых характеристик.
Лр1сп1Лп!спог
5 5.04 5.08 5.12 5.16 5.2 5.24 5.28 5.32 5.36 5.4 5.44 5.48 5.52 5.56 5.6 5.64 5.68
Время (с)
а)
Ар|са1 Ап1епп|'
Рис. 2. Графики деформации и работы сегмента Арюа1Айегюг: а - до восстановления; б - после восстановления
Ограничением метода является зависимость от соседних сегментов. При восстановлении сегмента кривые деформации, расположенные рядом, должны удовлетворять условиям (2)-(4).
Список литературы
1. Олейников В. Э., Смирнов Ю. Г., Галимская В. А., Гундарев Е. А., Бурко Н. В. Новые возможности оценки сократимости левого желудочка методом двухмерной speckletracking эхокардиографии // Сибирский журнал клинической и экспериментальной медицины. 2020. № 35 (3). С. 79-85. URL: https://doi.org/10.29001/ 2073-8552-2020-35-3-79-85
2. Oleynikov V. E., Smirnov Y. G., Golubeva A. V. [et al.]. Assessment of Myocardial Contractility using 2D and 3D Speckle Tracking. Biomed Eng. 2020. Vol. 54. P. 184189. URL: https://doi.org/10.1007/s10527-020-10000-y
3. Muraru D., Niero A., Rodriguez-Zanella H., Cherata D., Badano L. Three-dimensionalspeckle-trackingechocardiography: benefits and limitations of integrating myocardial mechanics with three-dimensional imaging // CardiovascDiagnTher. 2018. Vol. 8 (1). P. 101-117. doi:10.21037/cdt.2017.06.01
4. Muraru D., Niero A., Rodriguez-Zanella H., Cherata D., Badano L. Three-dimensional speckle-tracking echocardiography: Benefits and limitations of integrating myocardial mechanics with three-dimensional imaging // Cardiovascular Diagnosis and Therapy. 2018. Vol. 8. P. 101-117. doi:10.21037/cdt.2017.06.01
5. Болезни сердца по Браунвальду : руководство по сердечно-сосудистой медицине : в 4 т. / под ред. П. Либби [и др.] ; пер. с англ. под общ. ред. Р. Г. Оганова. М. : Логосфера, 2012. Т. 2. 596 с.
6. Нарциссова Г. П. Сегментарное строение сердца. Сегменты левого и правого желудочков в оценке региональной функции // Патология кровообращения и кардиохирургия. 2010. № 4. С. 93-95.
7. Смирнов Ю. Г., Олейников В. Э., Куприянова С. Н., Галимская В. А., Гундарев Е. А., Голубева А. В. Численный метод расчета работы сегментов левого желудочка // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2020. № 1. С. 22-35.
8. Marcus. M. L., Kerber R. E., Ehrhardt J., Abboud F. M. Three dimensional geometry of acutely ischemic myocardium // Circulation. 1975. Vol. 52 (2). Р. 254-263. doi:10.1161/01.cir.52.2.254
References
1. Oleynikov V.E., Smirnov Yu.G., Galimskaya V.A., Gundarev E.A., Burko N.V. New possibilities for assessing the contractility of the left ventricle by the method of 2D special cell tracing echocardiography. Sibirskiy zhurnal klinicheskoy i eksperimental'noy meditsiny = Siberian journal of clinical and experimental medicine. 2020;(35):79-85. (In Russ.). Available at: https://doi.org/10.29001/2073-8552-2020-35-3-79-85
2. Oleynikov V.E., Smirnov Y.G., Golubeva A.V. [et al.]. Assessment of Myocardial Contractility using 2D and 3D Speckle Tracking. Biomed Eng. 2020;54:184-189. Available at: https://doi.org/10.1007/s10527-020-10000-y
3. Muraru D., Niero A., Rodriguez-Zanella H., Cherata D., Badano L. Three-dimensionalspeckle-trackingechocardiography: benefits and limitations of integrating myocardial mechanics with three-dimensional imaging. CardiovascDiagnTher. 2018;8(1):101-117. doi:10.21037/cdt.2017.06.01
4. Muraru D., Niero A., Rodriguez-Zanella H., Cherata D., Badano L. Three-dimensional speckle-tracking echocardiography: Benefits and limitations of integrating myocardial mechanics with three-dimensional imaging. Cardiovascular Diagnosis and Therapy. 2018;8:101-117. doi:10.21037/cdt.2017.06.01
5. Libbi P. [et al.] (ed.). Bolezni serdtsa po Braunval'du: rukovodstvo po serdechno-sosudistoy meditsine: v 4 t. = Braunwald Heart Disease: A Guide to Cardiovascular Medicine: in 4 volumes; transl. from Engl. by. R.G. Oganov. Moscow: Logosfera, 2012;2:596. (In Russ.)
6. Nartsissova G.P. Heart segmental structure. Segments of the left and right ventricles in the assessment of regional function. Patologiya krovoobrashcheniya i kar-diokhirurgiya = Circulatory pathology and cardiac surgery. 2010;(4):93-95. (In Russ.)
7. Smirnov Yu.G., Oleynikov V.E., Kupriyanova S.N., Galimskaya VA., Gundarev E.A., Golubeva A.V A numerical method for calculating the work of the segments of the left ventricle. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2020;(1):22-35. (In Russ.)
8. Marcus. M.L., Kerber R.E., Ehrhardt J., Abboud F.M. Three dimensional geometry of acutely ischemic myocardium. Circulation. 1975;52(2):254-263. doi:10.1161/01.cir. 52.2.254
E-mail: psu.gun@mail.ru
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 12.05.2021
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 26.06.2021 Принята к публикации / Accepted 10.07.2021
Информация об авторах / Information about the authors
Евгений Андреевич Гундарев аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Evgeniy A. Gundarev Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
