МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОЦЕНКИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ РЕЗИНОПОДОБНЫХ МАТЕРИАЛОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.378:678.0

DOI: 10.18698/2309-3684-2020-2-325

Математическая модель для оценки конечных деформаций резиноподобных материалов

© Т.Б. Дуйшеналиев1, И.В. Меркурьев1, А.С. Дуйшембиев2

1НИУ «МЭИ», Москва, 111250, Россия 2КГТУ им. И.Раззакова, Бишкек, 720044, Кыргызстан

В статье рассматриваются конечные (геометрически нелинейные) упругие деформации резиноподобных материалов и конструкций. Такие деформации описываются математической моделью, разработанной на основе неклассического подхода к решению краевых задач статики. Приводятся формулы по определению конечных деформаций упругих резиноподобных тел на основе элементов пространственного и материального градиентов перемещений. Дается сравнение определений по этим двум подходам. Подтверждается правомочность приведенных выводов на примере одномерного, двумерного и трехмерного преобразований в системе MathCad. Рассмотрен пример определения элементов пространственного градиента перемещения. Известно, что статическая краевая задача имеет две постановки. Первая выдвигается при ее формулировании и используется для вывода фундаментальных соотношений механики деформируемого тела (теорема Бетти, общее решение в виде формул Сомильяны и др.). Вторая используется при решении таких задач. Считается, что задачи обеих постановок имеют одно и то же решение. Предлагается неклассическое решение краевой задачи статики. Оно строго соответствует общепризнанной постановке. Приведен способ Чезаро представления поля перемещений с помощью компонент деформаций. Далее этот способ получает развитие, становится возможным выразить поле перемещений и через компоненты напряжений. Решена задача о равновесии прямоугольной пластины из рези-ноподобного материала. Полученные выражения определяют компоненты деформаций, напряжений и перемещений в любой точке пластины. Во всех этих выражениях присутствуют только координаты конечной области упругого тела. Здесь нет обычного координатного разночтения: в перемещениях и напряжениях одни и те же координаты. Данная задача представлена и уравнениями Навье. Доказывается единственность ее решения.

Ключевые слова: резиноподобные материалы, пластина, конечные деформации, напряжения, перемещения, градиент перемещения, пространственные и материальные координаты, краевая задача

Введение. Элементы конструкций из резины и резиноподобных материалов широко используются в машиностроении, судостроении, в авиационной промышленности, строительстве.

Резиновые детали могут допускать значительные относительные деформации с полным восстановлением геометрической формы и размеров, если нагрузка статическая или имеет медленно изменяющийся характер.

Исследования закономерностей деформирования таких элементов важны как с точки зрения создания основ расчета, так и в плане практических приложений, связанных с деформационными расчётами.

Аналитические решения для такого рода задач возможны только для отдельных и достаточно простых расчетных схем.

Несмотря на то, что компьютерные технологии и вычислительные программные комплексы обеспечивают широкое распространение численных методов в инженерных расчетах, роль и значение аналитических методов не снижается. Они могут выступать в качестве эталонных решений при тестировании надежности вычислительных комплексов и пакетов прикладных программ.

Два способа математического описания преобразования. В любом преобразовании рассматриваются два состояния тела:

• состояние тела до преобразования,

• состояние тела после преобразования.

Координаты точек тела до преобразования, следуя тому, как принято в механике деформируемого тела, обозначим через Х1, Х2, Х3 (координаты Лагранжа). А координаты точек тела после преобразования — Х1з х2, Х3.

Есть два вида описания преобразования [5,6,7]:

В первом виде используются пространственные координаты:

X, = X, (х1,х2,Х3), г = 1,2,3. (1)

В развернутой записи приведенные описания можно представить в виде вектора, соединяющего точки х, X на рис. 1:

Х1 = Х1 ( ^ Х2, Х3 ) Х2 = Х2 ( Х1, Х2 , Х3 )

Х3 = Х3 ( Х1, Х2 , Х3 ) .

А во втором — материальные координаты:

X. = Х (Х1,Х2,Х3), г = 1,2,3. (2)

В развернутой записи:

Хг = хг (Х1,Х2, Х3) Хг = Хг (Х1,Х2, Х3 ) Хг = Хг (Х1,Х2, Х3 ).

Приведенные описания можно представить в виде вектора, соединяющего точки Х, Х на рис. 1:

и = Х - Х . (3)

Этот вектор можно описать в пространственных координатах:

и ( Х^, , Х3 ) — х — X ( Х^, Х2, Х3 ), а также в материальных координатах:

(4)

и (X, Х2, Х3) — х (Х19 Х2, Х3) — X.

(5)

5

Рис. 1. Преобразование векторами и, области V в область V

Способ определения деформации в координатах конечного состояния. Здесь функции перемещения выражаются в координатах конечного состоянии:

Дифференциал функции перемещения:

7 ди, ,

аи, ——ах, (7)

' дх} ; ^

в механике деформируемого тела называется вектором относительного перемещения. Тензор е, , определяемый как

ди,

(6)

называется пространственным градиентом перемещения. Дифференциал (7) представим в виде:

(8)

Введем обозначения:

_ 1 8 _ 2

ди ди

-+

КдС1 дхг J

1 '

С, _ -1 2

ди, ди,

дх. дх,

V 1 1 J

(9)

(10)

где , с, — соответственно тензор Коши и тензор вращения. Теперь напишем дифференциал в элементах этих тензоров:

ЛЧг _(8и +Су ) . (11)

Введем единичный вектор:

П _ Ш. (12)

\ах\

Вектор относительного перемещения, отнесенный к длине вектора <Лх{:

Н _8_8+сЬ. (13)

Проекцию вектора (13) на направление единичного вектора п1 обозначим а. Таким образом, величина а является относительной деформацией удлинения в направлении вектора <<х{:

<х

а_ щп _811п1п1. (14)

Здесь учтено, что юнпм, _ 0 .

У ^ ]

Вектор относительного перемещения, отнесенный к длине вектора <<х{, теперь можно представить в виде суммы трех слагаемых:

|<х|

_ аП + 8 - адц) Пу + с1]п]. (15)

Модуль вектора а п, равный а, как уже сказано выше, выражает собой величину относительного удлинения в направлении вектора <<х{.

Модуль вектора (а, - ад,) п, характеризует величину относительного сдвига плоскостей, нормальных к вектору п1, и проходящих через точки х1 и х1 + <<х{. Пусть у модуль вектора (в, - ад,)пу:

Модуль вектора а>- п, обозначим ф:

(16)

(17)

Способ определения деформации в координатах начального состояния. Здесь функции перемещения выражаются в координатах начального состояния:

и — х, (X, Х2, Х3). Дифференциал функции перемещения

аи — ^ах, дХ, ]

(18)

(19)

в механике деформируемого тела называется вектором относительного перемещения.

Тензор Е , , определяемый как

К. — ^, у дХ,.'

называется материальным градиентом перемещения. Дифференциал (19) представим в виде:

ом. — — 1 2

Г ди,. дм, 1 Г дм,. ди, ^

+ -

. дХ, дХ.

V 1 1

ах +, 2

. дХ, дХ. V , .у

ОХ].

(20)

Введем обозначения:

*—2

Г ди. ди, ^ —- +—-

дХ, дХ. V l .у

о,—1

, 2

ди. ди,

дх. йх

V , .у

(21)

(22)

где , О , — соответственно называются тензором Грина и тензором

вращения.

Теперь напишем дифференциал в элементах этих тензоров:

°иг — (* , ) °Х1. Введем единичный вектор:

(23)

N = ^. (24)

г \йХ\ '

Вектор относительного перемещения, отнесенный к длине вектора йХ{:

йХ / \<Х. , ч

(25)

Проекцию вектора (25) на направление единичного вектора обозначим как а'. Таким образом, величина а' является относительной деформацией удлинения в направлении вектора <йХ1:

йХ

а' = г~1 N = ОьЩМ,-. (26)

\йХ\ 1 1 1 1

Здесь учтено, что QijNiNj = 0 .

Вектор относительного перемещения, отнесенный к длине вектора , теперь можно представить в виде суммы трех слагаемых

йи

= а

'Ч + (0 а) N + : (27)

\йХ\

Модуль вектора а' , равный а', как уже было сказано, выражает собой величину относительного удлинения в направлении вектора йХ{.

Модуль вектора (о. -а'8.)N. характеризует величину относительного сдвига плоскостей, нормальных к вектору Ni, и проходящих через точки Х1 и Х1 + йХ1. Пусть у' модуль вектора (о. - а'8.)N.:

г'=у1 0.0. -а2. (28)

Модуль вектора QijN. обозначим ф :

Ф = >/Ц-. (29)

Сводка формул по определению деформации на основе элементов пространственного и материального градиентов перемещения. Определение характеристик деформированного состояния по элементам пространственного градиента перемещения:

е =

ди1 ди1 ди1 ^

дх1 дх2 дх3

ди2 ди2 ди2

дх1 дХ2 дх3

ди3 ди3 ди3

дх1 дХ2 дх3 )

п =

<х

<х|'

1

8= — 2

Г е + еп е12 + е21 е13 + е31"

е21 + е12 е22 + е22 е23 + е32

V е31 + е13 е32 + е23 е33 + е33 )

с = — 2

( е — е '11 е11

'21 — е12

V ез1 — е13

а

=ХХ

¿=1 ¿=1

е12 — е21 е13 — е Л 31

е22 — е22 е23 — е32

е32 — е23 е33 — е33 )

3 33

^ПП Г =

¿=1 ¿=1 к=1

£ч£*ппк —а

( =

ХХХсСкПп •

¿=1 ]=1 к=1

(30)

Определение характеристик деформированного состояния по элементам материального градиента перемещения:

(

Е =

ди1 ди1 ди1 ^

дХ1 дХ2 дХ3

ди2 ди2 ди2

дХ1 дХ2 дХ3

ди3 ди3 ди3

дХ1 дХ2 дХ3)

N =

<Х

И

о=1 2

п=1

2

( Е Е11 +Е11 Е 12 + Е21 Е 13 +Е Л

Е ^ 21 + Е12 Е 22 + Е 22 Е 23 + Е32

Е V 31 + Е13 Е 32 +Е 23 Е 33 + Е

(Е ( Е11 — Е Е11 Е 12 —Е 21 Е 13 —Е Л

Е ^ 21 —Е 12 Е 22 —Е 22 Е 23 — Е 32

Е V 31 —Е 13 Е 32 —Е 23 Е 33 — Е Е33 )

1

а' = Ц .Д., У =

1=1 ]=\

ТТТ 0.0.-а'

1=\ ] =\ к=\

Р =

¿¿¿И. (3\)

1=\ ]=\ к=\

Cрaвнение способов определения деформаций по элементам пространственного и материального градиентов перемещения.

Выше изложены существующие два способа определения деформаций (30) и (31). Рассмотрим к каким результатам они приводят — совпадают ли они друг с другом или различаются. Для изучения этой проблемы составлены программы в системе MathCad, которые сопровождаются графикой в системе МайаЬ.

Рассмотрим преобразование на рисЛ:

Х = X. - и. (32)

Функции перемещения и1 заданы или в виде и1 (Х\, х2, х3), или в виде и. (Х\, Х2, Х3) . Пусть эти функции и их производные до второго

порядка непрерывны. В таком случае, преобразование (32) является однозначным. Это преобразование устанавливает однозначное соответствие между точками области V, описываемой координатами х., и

точками области V , описываемой координатами Х..

Приведенные выше определения деформации в механике деформируемого тела рассматриваются как идентичные. Но вычисления, вместо ожидаемых от этой идентичности равенств:

а = а', у = у' , р = р, (33)

всегда приводят к неравенствам:

а Фа', у Фу' , рФр. (34)

Это вынудило считать, что эти меры деформации корректны только в области малых величин, как самих перемещений, так и элементов их градиентов, когда определения дают приблизительные равенства:

а^а, у~у\ р~р'. (35)

Однако эти определения должны приводить не к одним и тем же величинам, а, наоборот, к различным. В обоих подходах речь идет об одном и том же. А именно, о деформациях, которые созданы перемещениями . Эти деформации следуют определять только в области V,

ибо перемещения и1 создадут деформации, надо полагать, лишь тогда,

когда они переместят тело из области V в область V. Это простое и ясное толкование преобразования (32). Изучение деформаций уравнениями (30) находится в строгом соответствии с таким положением вещей. В этих уравнениях определения проводятся в точках области V.

Состояние же пространства в области V , ни в какой мере не связано ни с перемещениями х,, ни с его частными производными. Ничто

в этом состоянии не изменится от того, произойдут эти перемещения или не произойдут. В связи с этим, определения (31) не описывают состояние пространства в области V . Эти определения не описывают состояние пространства и в области V, так как они вычисляются в точках области V . Отсюда следует вывод:

Деформации от перемещений и, в преобразовании (32) возникают

в области V, определяемой координатами х,. Эти деформации должны

определяться уравнениями (30) в точках области V. В этом свете, уравнения статической краевой задачи должны составляться в координатах х, области V:

д2 д 2и

М—Ц- + {Л + ^)—х- + /1 = 0, х, е V. (36)

дх. дх. дх. дх,

Определяемые решением этого уравнения перемещения это те

перемещения, которые образовали область V, и создали в ней деформации и напряжения.

Определение деформаций уравнениями (31) некорректно, некорректно и составление уравнений статической краевой задачи в координатах Х, области V в виде:

д2и ч д2и. М-+ (Л + М)-— + / = 0, Х е V. (37)

дХ.дХ. дХ} дХ, ' ' У ;

Подтвердим правильность вышеприведенных выводов на примере одномерного, двумерного и трехмерного преобразований в системе MathCad.

Одномерное преобразование. Рассмотрим одномерное преобразование (рис. 2)

х — Х = и,

в координатах конечного х и начального состояния 5.

Одномерное преобразование в координатах конечного состояния:

X = ( х -1)2, и = 3х - х2 -1,

du „ „

— = 3 - 2 х, йх

du йи йХ

йх йХ йх

Одномерное преобразование в координатах начального состояния:

х = 1+ 4Х,

и = 1 - х+4Х,

йи 1 йх

-=-;=- 1,

24Х

йи йи йХ йх йХ йх

ч- Ь -*■

Рис. 2. Одномерное преобразование

Линия I (2 < х < 7) конечное состояние, а линия Ь (1 < х < 36)

начальное состояние. Вектором перемещения точки линии Ь переносятся в точки линии I.

Разобьем конечное состояние 1 равномерно на 10 элементарных отрезков и вычислим деформации на их начальных и конечных точках в координатах конечного состояния:

йи

— -1 йх

йи ~йХ йи

— -6 йх

-2 -3 -4 -5 -0,500 -0,667 -0,750 -0,800 -0,833 -7 -8 -9 -10 -11

йи ~йХ

-0,857 -0,875 -0,889 -0,900 -0,909 -0,917

I

Вычисление деформаций с учетом перемены координат: <и

— -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 <х

Двумерное преобразование. Рассмотрим двумерное преобразование (рис. 3):

х — Х = и,

Х =

(х2 — х2 Л

Х =1 2

V 2х1х2 )

(—х2 + х22 + х Л

V л2

х2 2 х х'

2 )

х=

Х

V 2

(

^—2 Х1 + 2^/Х2 + Х22 у—2 Х1 +

и =

Х

— Х

д/—2 Х1 + 2^/Х2 + Х и—2 Х1 + — Х

Рис. 3. Двумерное преобразование

Определение деформации удлинения по уравнениям (30):

<х =

( 0,1 Л

V—0,2 )

п =

<х \<х\

а(

(3,5) = —5, а(3,12) = —5, а(10,5) = —19, а(10,12) = —19

Определение деформации удлинения по уравнениям (31):

Х = х - и (х1, х2), йХ = (д- е (х1, х2)) йх, N =

йХ

\йХ\

а'(-16,30) = -0,956, «(75,100) =-0,960, «'(135,72) = -0,990, а (-44,240) = -0,980.

Трехмерное преобразование. Рассмотрим трёхмерное преобразование (рис. 4):

х - Х = и

е х + 0,6 х х2 ^

Х=

х2 I 0,4 х*3 х3 - 0,2х,х2 + 0,2х

3

е -0,6 х1 х22 ^

и = -0,4 х1 х3

0,2х х2 - 0,2х32 V ' 12 ' 3 J

Рис. 4. Трёхмерное преобразование

По уравнениям (30): а(2;2;3) =-0,868, а(2;4;3) =-1,580, а(5;4;3) =-0,776, а(5;2;3) = -0,431, а(2;2;7) =-2,115, а(2;4;7) =-2,827, а(5;4;7) = -2,024, а(5;2; 7) = -1,678.

2

По уравнениям (31):

а' (6,8; 4,4; 4) = -0,644, а' (21,2; 6,4; 2) = -0,794, а'(53; 10; 0,8) = -0,803, а' (17,8; 2,8;2,3) = -0,834, а'(6,8;7,6;16) = -0,787, а'(21,2;9,6;15,2) = -0,822, а'(53; 18;12,8) = -0,845, а'(17,8;16;14,8) = -0,864.

Краевая задача статики. Многое из того, что создается человеком, рассчитывается в виде статической краевой задачи.

В зависимости от граничных условий различают первую, вторую и третью краевые задачи. При их решении прибегают к двум допущениям:

1. конечное состояние мало отличается от начального;

2. силы прикладываются настолько медленно, что любая их величина соответствует состоянию равновесия.

Эти допущения необходимы, ибо без них задача в классическом подходе математически неопределена и некорректна с точки зрения механики.

Однако, указанные допущения не входят в решаемые уравнения.

Предлагаемый подход. Статическая краевая задача, изображённая на рис. 5, решается в строгом соответствии с ее общепринятой постановкой.

Обстоятельство, что тело с заданными силами в объеме и на поверхности находится в равновесии, является исходным.

Областью определения уравнений равновесия, совместности деформаций и граничных условий служит конечное состояние равновесия.

Конечное состояние должно считаться заданным, а не искомым. Иначе невозможно указать положение сил, распределенных в объеме и на поверхности тела.

Используются пространственные (эйлеровы) координаты и линейный тензор деформаций Коши.

Рис. 5. Иллюстрация уравнений статической краевой задачи. В любой точке внутри V и на £ внешние усилия уравновешены внутренними напряжениями, <г1 — вектор напряжения на площадке с нормалью х,

Постановка краевой задачи. Тело с заданными силами внутри своего объема V и на его поверхности £ находится в равновесии. Нужно найти напряжения и деформации внутри тела.

Объем тела V и его поверхность £, разумеется, должны быть заданы, в противном случае внешние силы не указываемы.

Пусть £ и рг — внешние силы, соответственно, заданные в V и на £. Обозначая через <у.. компоненты напряжения, представим постановку математически:

— + £ = 0, = , X е V (38)

м + + + + — = 0, X е V (39)

а31пз = р, X е £, (40)

где V — коэффициент Пуассона.

Решение краевой задачи. Определение деформаций и перемещений. Решением подразумевается функция стг- (X), удовлетворяющие уравнениям (38) - (40).

Из него определяются деформации:

е= Е -

1 (-"5>а1) +(1 + v К) •

где Е — модуль Юнга.

Перемещения щ (х) определяются по формулам Чезаро [3]:

и(х) = щ (х0 )+о (х0)(X - ) +

+ Е |(е* (У) + (х- - -У;) Ы- (У) - ))&*,

где I — линия в области V, х0 — начальная точка этой линии, щ (х0), О- (х0) — постоянные интегрирования.

Удобнее пользоваться ее преобразованным видом:

щ ( х) = щ (х0) + О- ( х0)(Х- - X0) +

+ Е 1(-"ка» +(1 + V ^ +( х] - У- , - "«,1 ) +

Е I

+(1 + -)))) ¿Ук

иг (х0) , О- (х0) — произвольные постоянные, соответствуют не

вызывающим деформации перемещениям (параллельному переносу и жесткому повороту тела). Исключим из рассмотрения такие перемещения:

' (х) = Е+ 0 + у)(ст«к + (х; -У,) +

Е1 ( -(1 + ))))фк

Сравниваемое состояние. Как показано на рис. 6, векторы:

zi = х{ - и (х), х. е V = xi - и{ (х), х{ е £, (42)

определяют некоторую область У0 и ее поверхность £0. (V,, £0), очевидно, состояние равновесия без внешних сил. (У0, £0) назовем сравниваемым состоянием статической краевой задачи.

Определяемое координатами zi (42) сравниваемое состояние есть

некое математическое преобразование области (V, £). Поле щ (х)

определяет относительные изменения координат, компонент деформации, вращения и напряжения этих состояний.

х- ^ = и (х),

К; + )

( х ( z ) = ( х )-( z )= 2

2

(+ ил )

аг, (х) = + М (ии + ил ) . (43)

Состояние равновесия

Тут х{, е;- (х) , О- (х) , а- (х) относятся к положению равновесия с внешними силами, а гг, е- (г), о-(2) — к положению равновесия без внешних сил.

Поле щ (х) только преобразует (V, £) в (У0, £0), следовательно,

оно определяет только относительные изменения координат, деформаций и напряжений этих сравниваемых состояний.

Пример решения второй краевой задачи статики. Область определения. Зададимся областью определения уравнений статической краевой задачи в виде указанной на рис. 7 прямоугольной плиты. Начало прямоугольной декартовой системы координат поместим в центре левой торцевой грани.

Под V будем подразумевать следующую область:

Ь/2 < х < Ь/2, 0 < х2 < Ь, - И/2 < х3 < И/2. (44)

Рассмотрим вторую краевую задачу без массовых сил.

Рис. 7. Прямолинейная плита с усилиями (47) на своей поверхности находится

в равновесии

- = а а = а хе V (45)

а-м + = 0, х е V (46)

аЧП1 = " 2Сх3, х1 е £ (47)

где V определяется выражениями (44).

Из (47) следует, что на четырех гранях плиты нет внешних сил, они приложены на левую и правую торцевые грани, создают изгибающие моменты, равные соответственно:

Ь/2 И/2 , , 3

2 . . сЬИ3

II с х12 ёх1 ёх^

-Ь/2 - И/2 12

Ь/2 И/2 , , 3

2 . . сЬИ3

| | с х ёх1 ёх2

сх,

12

-Ь/2 -И/2

Задача (45) — (47) математически полностью определена. Она

т2 =

имеет простои механическим смысл — прямоугольная плита с усилиями (47) на своеИ поверхности находится в равновесии.

Требуется наИти во внутренних точках этоИ плиты напряжения, деформации и создавшие их перемещения.

Решение задачи. Решение задачи (45) - (47):

= 5г2$2С^ X (47)

Функции перемещении можно определить, внося (48) в (41). Интегрируя это выражение, находим:

и ( Х) = -с($,1™3 ( Х1 - Х10 )- $2Х3 ( Х2 - Х2 ) + $3 (Х22 + У ( Х32 " А ) -

-х\ (2х2 - х20) -V ((х30 )2 - Х0 (2X - Х0 ))) / 2^ / Е, х е V,

(48)

где х° — любая фиксированная точка области V . РазвернутыИ вид функций (49):

ста-,, (х1 - х0)

и (х )=--——, х1еV;

(х) = сх3 ( х2 - х° ) х еV.

и2\ х)~ Е , х' '

х22 + V ( х32 - х12 )- х20 ( 2 х2 - х20'

и3 ( х) = -С (( х22 + V ( х32 - х12 )- х20 ( 2х2 - х20 ) -

-V ((х30 )2 - х? (2х1 - х0))) / 2Е, X, е V.

Функции (49) удовлетворяют уравнениям равновесия в форме Навье.

Наконец, из поля перемещений (49) определим компоненты деформации и вращения:

сх31 -

е1} = ^^- ^ -—, х е V, (49)

(-V ($1$1 + $3$ 3 ) + $2$2 )

Е

Юу = -с (v(х1 - х10 )($,$1 - $3$1 1 ) -

(х2 - х2 ) ($2,$31 - $3,$21 )) / Е, х е V.

(50)

По полученным выражениям в любой точке находящегося в равновесии в области V тела можно определить компоненты напряжения, деформации и вращения. Особо отметим то, что во всех выражениях (48) - (51) присутствуют координаты только области V (44).

Здесь нет обычного координатного разночтения. В щ (х) , аг- (х) одни

и те же координаты.

Различие между координатами, деформациями, напряжениями сравниваемого и заданного состояний, определяемыми уравнениями (43), имеет вид:

() () сХ3 (^ ("Л +"3^-3 Ь"" )

е-(х) - е-(2)=—--е- (51)

О У (х)-О, (г) — - ' 0

( х) - О ( г ) = -с ( v ( х1 - х10) ("и"3 - - "" -) ■

( х2 - х20 )("" - -"Л - )) / Е

а (х)="2"- 2сх3.

Сравниваемое состояние. Координаты сравниваемого состояния zi связаны с координатами рассматриваемого состояния равновесия выражениями:

Х = х - с ("lVX3 (х1 - х10 ) - "2х3 (х2 - х20 ) +

+"3 (х2 + V (х2 - х2) - х2 (2х - х2 ) - (52)

-V ((х30 )2 - х0 (2х - х°))) /2] / Е, х е V

В качестве х0 можно брать координаты любой точки области (44).

В дальнейшем положим:

0 = 0 0 = 1 0 = 0 Хл — 0, х0 — , х? — 0 .

1 2 2 3

Случаи нагружения. Рассмотрим три случая с — 0, с — 30, с — 60.

Пусть с — 0, на поверхности £ внешних сил нет. Тело занимает область V (44) и находится в равновесии. Выражения (53) принимают вид:

х - г — 0 е (х)-е (г)—0

(( ) I ) 0 (53)

О-(х)-О(г) — 0,

а- (х) — 0.

Сравниваемое состояние совпадает с заданным. Подставляя первое из уравнений (54) в остальные, приходим к неопределенности:

а1 (хМ; (х) = 0 С (хЬС (х) = 0 (х)= 0.

Здесь а^ (х), с (х) остаются неопределенными. Такая неопределенность не противоречит сути краевой задачи, а наоборот, более полно отражает то, что может быть в действительности. В равновесии может находиться не только тело, которое не имеет никаких остаточных деформаций, но и тело, которое их имеет.

Пусть с = 30 . Тело занимает ту же область V (44). Подставим это значение в (54) и определим сравниваемое состояние на рис. 8:

Рис. 8. Сравниваемые состояния при с = 30

Теперь пусть с = 60 . В этом состоянии равновесия тело занимает то же положение, что и раньше, т.е. имеет форму прямоугольной плиты. Подставим это значение с в (54) и определим сравниваемое состояние на рис. 9:

Рис. 9. Сравниваемые состояния при с = 60

Во всех трех случаях тело имеет одну и ту же конфигурацию и занимает одно и то же положение в пространстве. Это положение тела недвижимо и геометрически неизменяемо при любых величинах внешней нагрузки. Решения:

(х)= 0 (X)=§2$230X3, ^ (x)=§2$260x3, х

соответствующие трем рассмотренным выше случаям, удовлетворяют уравнениям задачи (45)—(47) в одном и том же положении тела, а именно, в его прямолинейном очертании.

О том, что граничное условие (47) удовлетворяется на поверхности соответствующих этим решениям сравниваемых состояний на рис. 8 и рис. 9, говорить не приходится.

Внешние силы являются атрибутами декларируемого уравнениями (45)-(47) равновесия и, в связи с этим, они уже никак не могут рассматриваться в роли нарушителей этого равновесия.

Условие (47) ничто иное, как условие равновесия точек поверхности тела. Усилия, действующие снаружи поверхности равны усилиям <УуП3, действующим изнутри.

Единственность решения. Данную задачу представим уравнениями Навье:

/ии] + (Л + /)иь]1, х (55)

Граничные условия для этих уравнений напишем в трех видах:

1. Заданы перемещения на поверхности £, которые определяются функцией:

иг (х) = -С (^3 (Х1 - ) - $2Х3 (Х2 - Х2 ) +

+$3 ( Х22 + V ( Хз2 - Х12)- х° ( 2Х2 - х° )-

-V ((Х° )2 - Х° (2Х1 - Х°))) /2 I / Е, Х1 е V.

при поочередной подстановке в нее значений координат

Ь Ь h h

х, =—, х, = —, Х2 = Х2 = Х3 =—, Х3 = —. (56)

12122 2 3232

2. Заданы внешние силы на поверхности £ :

°уП] =$2CХ3, Х е (57)

3. Заданы на четырех гранях перемещения, которые определяются функцией:

иг (Х) = -С ($№ (Х1 - Х0 ) - 5г2Х3 (Х2 - Х2 ) +

+$13 ( Х22 + V ( Х32 - х,2)- х°° ( 2 Х2 - Х° )--V ((Х3° )2 - Х° (2Х, - Х°))) /2^ / Е, Х1 е V.

в которую поочередно надо подставить следующие значения координат х, = -Ь /2, х, = Ь /2, х2 /2, х2 = h /2, а на остальных двух гранях:

а1} (^Дхз) = -$2схз, а1} (х,хз) = 82схз. (58)

Статическая краевая задача имеет единственное решение. Решение задач (55), (56); (55), (57); (55), (58):

и (Х) = -С (8,1™з (Х1 - Х0 ) - 82Х3 (Х2 - Х20 ) +

+8Й (х* + V (Х32 - х2)- х0 (2Х2 - х0 )- (54)

-V ((хз0 )2 - х0 (2х1 - х0))) /2^ / Е, х е V.

то же самое, что и задачи (45)—(47).

Это легко показать. Из (59) находим:

с (1 - 2v) хз

ик ,к = ^ , Е

2схз (8г28] 2 - V (8Й8]1 + 8Й8]з ))

и j + =-е-"

Подставим эти величины в выражение для ст..(х):

( ) 8 ( ) + -Я1з$]з))

( х)=Щ]ик к ии + ] ) =

С (х) = Щ]икк + М[ии + иц) = 1 + v

Далее, учитывая равенство 8{25.2 = 8. -8п8]Л -8.з8]з, находим:

С] (х) = 8128]'2Сх

Механический смысл задач (45) - (47); (55),(56); (55),(57); (55),(58) один и тот же — плита в области V (44) находится в состоянии равновесия.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Галеркин Б.Г. Собрание сочинений. Москва, АН СССР, 1952, з91 с.

[2] Грин А., Аткинс Дж. Большие упругие деформации в нелинейной механике сплошной среды. Москва, Мир, 1965, 456 с.

[3] Дуйшеналиев Т.Б. Неклассические решения механики деформируемого тела. Москва, МЭИ, 2017, 400 с.

[4] Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. Москва, Московский университет, 1971, 248 с.

[5] Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. Москва, Наука, 1980, 512 с.

[6] Новацкий В. Теория упругости. Москва, Мир, 1975, 256 с.

[7] Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Москва, Наука, 1979, 744 с.

[8] Рудской А.И., Дуйшеналиев Т.Б. Прочность и пластичность материалов. Санкт-Петербург, Политехнический университет, 2016, 218 с.

2з

[9] Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. Москва, Мир, 1975, 592 с.

[10] Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999, 592 с.

Статья поступила в редакцию 02.02.2020

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Дуйшеналиев Т.Б., Меркурьев И.В., Дуйшембиев А.С. Математическая модель для оценки конечных деформаций резиноподобных материалов. Математическое моделирование и численные методы, 2020, № 2, с. 3-25.

Дуйшеналиев Туратбек Болотбекович — д-р. физ.-мат. наук., профессор кафедры «Робототехника, мехатроника, динамика и прочность машин» НИУ "МЭИ", механика деформируемого твердого тела, 170 научных публикаций. e-mail: duishenaliev@mail.ru, DuyshenaliyevT@mpei.ru

Меркурьев Игорь Владимирович — д-р. техн. наук., заведующий кафедрой «Робототехника, мехатроника, динамика и прочность машин», директор Института энергомашиностроения и механики НИУ "МЭИ", механика, гироскопия, навигация, управление техническими системами, 120 научных публикаций. e-mail: MerkuryevIV@mpei.ru

Дуйшембиев Алмаз Сагыналиевич — аспирант КГТУ им. И. Раззакова, механика деформируемого твердого тела, 7 научных публикаций. e-mail: ads.t87@mail.ru

Mathematical model for finding finite deformations of rubber - like materials

© T.B. Duishenaliev1, I.V. Merkuryev1, A.S. Duishembiev2

!NRU "MPEI", Moscow, 111250, Russia 2KSTU named after I. Razzakov, Bishkek, 720044, Kyrgyzstan

The article considers finite (geometrically nonlinear) elastic deformations of rubber-like materials and structures. Such deformations are described by a mathematical model developed on the basis of a non-classical approach to solving boundary-value problems of statics. Formulas are given for determining the final deformations of elastic rubber-like bodies based on the elements of spatial and material displacement gradients. Comparison of definitions for these two approaches is given. The validity of the above conclusions is confirmed by the example of one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional transformations in the MathCad system. An example of determining the elements of the spatial displacement gradient is considered. It is known that a static boundary value problem has two formulations. The first one is put forward during its formulation and is used to derive the fundamental relations of the mechanics of a deformable body (Betty's theorem, general solution in the form of Somiliani formulas, etc.). The second is used in solving such problems. It is believed that the problems of both statements have the same solution. A non-classical solution of the boundary value problem of statics is proposed. It strictly corresponds to the generally accepted statement. The Chezaro method of representing the displacement field using the deformation components is given. Further, this method is developed, it becomes possible to express the field of displacements also through the stress components. The problem of equilibrium of a rectangular plate of rubber-like material is

solved. The expressions obtained determine the components of deformations, stresses, and displacements at any point of the plate. In all these expressions, only the coordinates of the finite region of the elastic body are present. There is no usual coordinate misunderstanding: in displacements and stresses are the same coordinates. This problem is also represented by the Navie equations. The uniqueness of its solution is proved.

Keywords: rubber-like materials, plate, final deformations, stresses, displacements, displacement gradient, spatial and material coordinates, boundary value problem

REFERENCES

[1] Galerkin B.G. Sobranie sochinenij [Collected works]. Moscow, USSR Publ., 1952, 391 p.

[2] Green A.E., Adkins J.E. Bolshie uprugie deformacii v nelinejnoj mekhanike sploshnoj sredy [Large elastic deformations and non-linear continuum mechanics]. Moscow, Mir Publ., 1965, 456 p.

[3] Duishenaliev T.B. Neklassicheskie resheniya mekhaniki deformiruemogo tela [Non-classical solutions of the mechanics of a deformable body]. Moscow, MPEI Publ., 2017, 400 p.

[4] Iliushin A.A. Mekhanika sploshnoj sredy [Continuum mechanics]. Moscow, Moscow University Publ., 1971, 248 p.

[5] Lurie A.I. Nelinejnaya teoriya uprugosti [Nonlinear theory of elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1980, 512 p.

[6] Nowacki W. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Mir Publ., 1975, 256 p.

[7] Rabotnov Yu.N. Mekhanika deformiruemogo tverdogo tela [Mechanics of a deformable solid]. Moscow, Nauka Publ., 1979, 744 p.

[8] Rudskoi A.I., Duishenaliev T.B. Prochnost i plastichnost materialov [Strength and ductility of materials]. Saint Petersburg, Polytechnic university Publ., 2016, 218 p.

[9] Trusdell C. Pervonachalnyj kurs racionalnoj mekhaniki sploshnyh sred [A first course in rational continuum mechanics]. Moscow, Mir Publ., 1975, 592 p.

[10] Feodosev V.I. Soprotivlenie materialov [Strength of materials]. Moscow, BMSTU Publ., 1999, 592 p.

Duishenaliev T.B., Dr. Sc. (Phys. — Math.), Professor of Department of Robotics, Mech-atronics, Dynamics and Strength of machines, National Research University "Moscow Power Engineering Institute". Author of 170 scientific publications in the field of solid mechanics. e-mail: duishenaliev@mail.ru, DuyshenaliyevT@mpei.ru

Merkuryev I.V., Dr. Sc. (Eng.), Head of Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Strength of Machines, Director of Power Ingineering and Mechanics Institute National Research University "Moscow Power Engineering Institute". Author of 120 scientific publications in the field of mechanics, gyroscopy, navigation, control of technical systems. e-mail: MerkuryevIV@mpei.ru

Duishembiev A.S., Postgraduate of the Kyrgyz State Technical University named after I. Razzakov, Author of 7 scientific publications in the field of mechanics of a deformable solid. e-mail: ads.t87@mail.ru