CC BY
7
УДК 001.891.573
А.В. Черненко
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КРУГЛОЙ МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ СО СЛОЕМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Аннотация. Представлена математическая модель для изучения динамики круглой многослойной пластины, которая является нижней стенкой щелевого канала с вязкой жидкостью, давление в которой пульсирует за счет колебаний верхней стенки канала (жесткого диска). Сформулирована задача гидроупругости, на основе которой разработана математическая модель исследуемой механической системы. Рассматривалась задача стационарных осесимметричных гидроупругих колебаний при гармонических пульсациях давления жидкости. Данная модель может быть использована для разработки программного комплекса по расчету гидроупругого отклика круглой многослойной пластины в различных частотных диапазонах.
Ключевые слова: математическая модель, гидроупругость, вязкая жидкость, круглая многослойная пластина
A.V. Chernenko
A MATHEMATICAL MODEL TO STUDY INTERACTION OF A CIRCULAR MULTILAYER PLATE WITH A VISCOUS LIQUID LAYER
Abstract. The presented mathematical model is used in the study of the dynamics of a circular multi-layered plate being the bottom wall of the slotted channel with a viscous liquid, where vibrations in the upper wall of the channel (or hard drive) are due to pressure pulsations. The formulated hydroelasticity problem is the basis for a mathematical model of the analyzed mechanical system. The problem of stationary circularly symmetric hydroelastic oscillations under harmonic pressure pulsations in fluids has been considered. This model can be used to develop a software system to estimate the hydroelastic response of a circular multi-layered plate within various frequency ranges.
Keywords: mathematical model, hydroelasticity, viscous liquid, circular multilayer plate
ВВЕДЕНИЕ
Конструкции, состоящие из многослойных материалов, широко применяются в машиностроении. Обзор развития кинематических теорий для изучения деформированного со-34
стояния многослойных элементов конструкций дан в [1]. Уравнения статики и динамики трехслойных балок и пластин получены и исследованы в рамках теории ломаной нормали в [2]. Задачи гидроупругих колебаний однородных пластин хорошо изучены. В одной из первых работ по исследованию гидроупругих колебаний круглой пластины [3] решение проведено с помощью энергитического метода Рэлея. В работах [4, 5] рассматривались колебания круглой пластины, взаимодействующей с идеальной жидкостью, на основе решения связанной задачи гидроупругости.
Решение, полученное в [3], дополнено учетом влияния вязкости жидкости в [6]. Продольные и поперечные колебания упругозакрепленных элементов конструкции рассмотрены в [7, 8], динамика взаимодействия элементов конструкции со сдавливаемым слоем жидкости изучена в [9, 10]. Взаимодействие слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, вызванное вибрацией основания, на котором установлен канал, и устойчивость данных конструкций, взаимодействующих с неподвижной или текущей жидкостью, изучены в [11-14]. В [15, 16] рассмотрено взаимодействие вибрирующих пластин со слоем вязкой несжимаемой жидкости.
Но исследований взаимодействия многослойных конструкций (пластин) с жидкостью намного меньше. Можно указать работы [17-24], в которых изучались взаимодействия композитных и многослойных пластин и балок с жидкостью в разных постановках. Но в вышеперечисленных работах не исследовались радиальные и изгибные колебания круговой трехслойной пластины с учетом оказываемого влияния нормальных и касательных напряжений вязкой жидкости.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Изучим два соосных параллельных диска, образующих зазор, заполненный вязкой жидкостью. Верхний диск - жесткий, колеблющийся вдоль вертикальной оси. Нижний диск представляет собой трехслойную конструкцию, состоящую из лицевых листов и несжимаемого легкого заполнителя между ними (многослойная, а именно трехслойная пластина). Введем цилиндрическую систему координат с центром в центре легкого заполнителя. Схематично рассматриваемый канал показан на рисунке.
Канал, образованный двумя параллельными дисками: 1 - жесткий диск, 2 - трехслойная круглая пластина, 3 - вязкая жидкость
Здесь R - радиус верхнего и нижнего дисков, ^ - зазор между стенками канала в невозмущенном состоянии, zm - амплитуда колебаний верхнего диска, 2c - толщина заполнителя, h1 - толщина верхнего диска, h2 - толщина нижнего диска. Далее считаем, что h0<<R и zm<< Верхний диск совершает гармонические колебания с частотой т. Трехслойный диск колеблется из-за пульсации давления жидкости, вызванной ее сдавливанием верхним жестким диском.
С учетом сил инерции пластины в радиальном и нормальном направлениях, согласно [2], получили уравнения динамики круглой многослойной пластины:
г
и
ды
а и+а ф—а —
V дг у
^ д2и
—М —г = —Я 0 дг 2 Я
и
а и + а ф — а5
ды дг
0,
и
ды
а и+а ф—а, —
3 5 т 6 >-\
дг
ДЖ д2ы
М —г = —я 0 дг2 Я
4( я)=-д-
дг
1 д ( ч
г дг
. Ш=1 (г)],
г дг
Яг = Р^
(дУ дУ}
—^ + —^
дг дг
для 2 = с + \,
„ дУ
Я 22 =—Р + для 2 = С + К '
дг
(1)
М0 =РА +Р2К2 +Р3К3 '
а = \к+ + Кк1 + 2 ск;, а2 = с (Кк+ — \к+),
а = К
^с +1К1 К,+ — К
V 2 1 ^ 1 2
к, а = с2(кк;+кк: +-ск
V
2
2 2 4
11 2 2
3
а = с
К
V V
1,
с+—К 2 1
К++л2
1
с + — К 2
2
к: с2 к:
2 3 3
аб = К с2+с\+\к
г
к+ +И2
1
Л
V
с + с К +-к 3 2 у
2
к+ + 2 с3 к+,
2 3 3
4
к;= к, + ^ с,,
где и - радиальное смещение пластины; и - прогиб пластины; ф - угол поворота деформированной нормали в сердечнике пластины; д2Г и д22 - касательное и нормальное напряжения жидкости, действующие на поверхность верхней пластины, соответственно; Уг и У2 - проекции скорости жидкости на оси системы координат; Gк - модуль сдвига к-го слоя; Кк - объемный модуль к-го слоя; рк - плотность материала к-го слоя. Выражения для а1,..., а6 получены в [2].
Примем, что движение жидкости между стенками зазора является ползущим [25]. Из этого следует, что уравнения динамики вязкой жидкости можно представить в виде
í 1 ^ТГ
1 др
—— = V
р дг
д 2У 1 дУ д 2У V
_г_ +___г_ +__г___г_
У дг2 г дг дz2 г2
1 др
—— = V р дz
д 2У 1 дУ д 2У - +---^ + . -
У дг2 г дг дz2 J
(2)
дУ 1„ дУ п + -У = 0.
дг г г дz
Здесь р - давление жидкости, V - коэффициент кинематической вязкости жидкости, р - плотность жидкости.
Граничные условия уравнений (1), (2) имеют вид
дм „ п
м = и = ф=— = 0 при г=Я, дг
дм _ Л
г—=0 при г = 0,
дг
У =0, У =— при z = h0 + с + \, (3)
г 2 А
У = ^, у при z = c + И,,
г Ы z д1
р = р0 при г = Я,
г др = 0 при г = 0, дг
где z = И0+ zmf) - закон движения жесткого диска, а - частота колебаний жесткого диска.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТКЛИКА ПЛАСТИНЫ
Принимая во внимание малость зазора, т. е. И0 / Я <<1, согласно [11, 14, 18, 20, 24], уравнения динамики вязкой жидкости в канале можно упростить и представить в виде
±дк=дУ, (4)
vp дг д2
дР = о,
д
V 1 „ д п
—+—^ = о.
дг г г дк
Далее, решая уравнения (4) с соответствующими граничными условиями (2), находим выражения для напряжений, действующих на пластину со стороны тонкого слоя вязкой жидкости:
Чкк = - Ро
ру Я2
г
К
3
V V
Л
2 Л
V Я у
& 12 1 — + — |
0Х Я г/Я
1 ^ 7 ' — | г—аг г о дх
аг
(5)
Чк
ру Я
К V
16дw , „
--I г—аг - 3
Яг о дх
V Я у
йХ
В результате подстановки уравнения (5) в уравнение (1) получим математическую модель в виде системы интегродифференциальных уравнений для исследования радиальных и изгибных колебаний многослойной пластины. Для данной модели форму упругих перемещений и, н и угол поворота ф согласно граничным условиям (3) можно представить в виде рядов:
" = ^ Е Як (х)
к=1
Л(МЯ)_ I о ((У/Я)
Л(Рк ) !о(Рк )
и = -ит ЕР (X)
к=1
^(Ркг/Я) + Л(р к г Я)
•о(Рк )
Iо(Рк )
(6)
ф = -фт ЕРЛ (X)
к=1
• (Ркг/Я) + 11(Ркг/Я)
• о(Рк)
I о(Рк)
где ^ - функция Бесселя нулевого порядка, - функция Бесселя первого порядка; 10 - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; 1\ - модифицированная функция Бесселя первого порядка; в к является корнем трансцендентного уравнения 1\(вк)И0(вк) = -
^тщт [2].
к
т
к
т
зо
ВЫВОД
Сформулирована математическая модель для исследования гидроупругих колебаний круглой многослойной пластины, возникающих при пульсации давления в жидкости, вызванной колебаниями верхней стенки канала.
Данная модель может быть использована при разработке и анализе работы различных изделий машиностроения, включающих многослойные пластины, взаимодействующие с вязкой жидкостью. Например, их можно использовать в гидравлических системах, системах 38
смазки и охлаждения для разработки программного обеспечения по выбору допустимого диапазона частот их колебаний.
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) по проектам № 18-01-00127-а и № 19-01-00014-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Carrera E. Historical review of zig-zag theories for multilayered plates and shells // Appl. Mech. Rev. 2003. 56(3) pp. 287-308.
2. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В. Механика слоистых вязкоупругопла-стических элементов конструкций. М.: Физматлит, 2005. 576 с.
3. Lamb H. On the vibrations of an elastic plate in contact with water // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1920. 98 (690). pp. 205-216.
4. Amabili M., Kwak M.K. 1996 Free vibrations of circular plates coupled with liquids: revising the Lamb problem // Journal of Fluids and Structures. 10 (7). pp. 743-761.
5. Askari E., Jeong K.-H., Amabili M. Hydroelastic vibration of circular plates immersed in a liquid-filled container with free surface // Journal of Sound and Vibration. 2013. 332 (12) pp. 3064-3085.
6. Kozlovsky Y. 2009 Vibration of plates in contact with viscous fluid: Extension of Lamb's model Journal of Sound and Vibration 326 pp 332-339.
7. Попов В.С., Попова А.А. Моделирование взаимодействия стенки канала с упругозакрепленным торцевым уплотнением // Компьютерные исследования и моделирование. 2020. Т. 12. № 2. С. 387-400.
8. Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Продольные и поперечные колебания упругозакрепленной стенки клиновидного канала, установленного на вибрирующем основании // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2018. № 3. С. 28-36.
9. Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 4. С. 23-32.
10. Попова А.А. Математическая модель колебаний диска, имеющего упругую связь с жесткой восстанавливающей силой // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2018. № 3. С. 13-24.
11. Могилевич Л.И., Попов В.С. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соосными вибрирующими дисками // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2011. № 3. С. 42-55.
12. Бочкарев С.А., Лекомцев С.В., Матвеенко В.П. Гидроупругая устойчивость прямоугольной пластины, взаимодействующей со слоем текущей идеальной жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2016. № 6. С. 108-120.
13. Вельмисов П.А., Анкилов А.В. Динамическая устойчивость пластины, взаимодействующей с вязкой жидкостью // Кибернетика и физика 6(4). С. 262-270.
14. Kondratov D.V., Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A. Hydroelastic oscillations of a circular plate, resting on Winkler foundation // Journal of Physics: Conf. Series. 2018. Vol. 944 012057.
15. Попов В.С. Динамическая задача гидроупругости виброопоры с пластиной, подкрепленной ребрами жесткости // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2008. № 3. Вып. 1. С. 7-13.
16. Попова А.А. Математическое моделирование динамических процессов в виброопоре с упругими элементами конструкции // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. Т. 1. № 4. С. 25-31.
17. Kramer M.R., Liu Z, Young Y.L. Free vibration of cantilevered composite plates in air and in water // Composite Structures. 2013. Vol. 95. рp. 254-263.
18. Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С. Колебание стенок щелевого канала с вязкой жидкостью, образованного трехслойным и твердым дисками // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. № 1. С. 3-11.
19. Viscous Fluid Structure Interaction Response of Composite Hydrofoils / Y. Liao, N. Garg, R.R.A. Martins Joaquim, Y.L. Young // Composite Structures. 2019. 212. Pp. 571-585.
20. Hydroelastic response of three-layered beam resting on Winkler foundation / L.I. Mogilevich, V.S. Popov, A.A. Popova, A.V. Christoforova // Journal of Physics: Conference Series 2019. Vol. 1210 (1). 012098.
21. Grushenkova E.D., Mogilevich L.I., Popov V.S. et al. Mathematical model of oscillations of a three-layered channel wall possessing a compressible core and interacting with a pulsating viscous liquid layer // Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Instrument Engineering. 2019. № 6. рp. 4-18.
22. Гидроупругая реакция трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем, взаимодействующей со штампом через слой вязкой жидкости / Т.В. Быкова, Е.Д. Грушенкова, В.С. Попов, А.А. Попова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20. № 3. С. 351-366.
23. Kondratov D.V., Popov V.S., Popova A.A. 2020. Hydroelastic oscillations of three-layered channel wall resting on elastic foundation // Proceedings of the 5th International Conference on Industrial Engineering (ICIE 2019). pp. 903-911.
24. Радиальные и изгибные колебания круглой трехслойной пластины, взаимодействующей с пульсирующим слоем вязкой жидкости / Т.В. Быкова, Л.И. Могилевич, В.С. Попов, А.А. Попова, А.В. Черненко // Труды МАИ. 2020. Вып. 110. DOI: 10.34759/trd-2020-110-6
25. Lamb H. Hydrodynamics. 6th ed. New York: Dover Publications Inc., 1975. 752 p.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
Черненко Александр Викторович -
аспирант кафедры «Информационная безопасность автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Alexander V. Chernenko -
Postgraduate, Department of Automated Information Systems Security, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 20.07.20, принята к опубликованию 17.08.20
