CC BY
35
ГУБАЙДУЛЛИН И. М., ПЕСКОВА Е. Е., ЯЗОВЦЕВА О. С.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ГАЗА НА ПРИМЕРЕ БРУТТО-РЕАКЦИИ ПИРОЛИЗА ЭТАНА
Аннотация. В работе описана модель течений химически активного газа. Математическая модель построена на примере брутто-реакции пиролиза этана.
Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, уравнения Аррениуса, химическая кинетика, пиролиз этана.
GUBAIDULLIN I. M., PESKOVA E. E., YAZOVTSEVA O. S.
MATHEMATICAL MODEL OF MULTICOMPONENT GAS DYNAMICS BASED ON ETHANE PYROLYSIS BRUTTO-REACTION
Abstract. The paper describes a mathematical model of gas flows with chemical reactions. The model is based on the ethane pyrolysis brutto-reaction.
Keywords: Navier-Stokes equations, Arrhenius equations, chemical kinetics, ethane pyrolysis.
Введение. Впервые численное моделирование трехмерной динамики газового потока пиролиза этана и пропана в программном пакете ANSYS Fluent с использованием компактной кинетической модели проведено в работах [1; 3]. Но результаты численных расчетов и экспериментальные исследования по конверсии пропана хорошо согласуются не при всех температурах проведения реакции. С целью адекватного описания процесса динамики химически активного газа при любых температурах нами начата разработка отечественного программного комплекса, который позволит изучить пиролиз легких углеводородов в условиях, труднореализуемых экспериментально. Такие процессы носят сложный нелинейный характер и описываются системой уравнений Навье-Стокса, дополненной уравнениями неразрывности для каждой компоненты газа.
В настоящей статье построена математическая модель для расчета газодинамических параметров брутто-реакции пиролиза этана.
1. Математическая модель. Математическая модель представляет собой уравнения неразрывности, сохранения импульса, сохранения энергии, дополненные уравнениями неразрывности для каждой компоненты газа [4; 5]:
— + V • (pv) = О,
dt
dt (1)
dt
dt iii Уравнение состояния смеси идеальных газов имеет вид:
p = pRT^ (Yj / Mwj) (2)
Начальные условия задают состояние рассматриваемого объекта в начальный момент времени: р(Х'Го) = рО' = ^ р{х^о) = Г(х^о) = 70'
Y (t0 ) = Yo-
Граничные условия задают состояние газа на границе рассматриваемой области. Это могут быть условия свободного втекания или вытекания, непротекания.
Здесь р - плотность газа (кг!л?- скорость газа (м/с), р - давление (Па), рЕ -
п J
полная энергия в единице объема (Дж/ м3), hj =JT CpjdT - энтальпия (Дж / кг), c ■ -
Н;
удельная теплоемкость вещества ] (Дж /(К ■ кг)), ^ = -£-Я; - нагрев (охлаждение) в
результате химической реакции и внешних воздействий (Дж /(с ■ м3)), у - локальная
N ~
массовая доля вещества г, Я = М • X Я\г ~ объемная скорость образования вещества г
г=1
О Л
(кг/(с■ м3)), Яг - молярный коэффициент Аррениуса образования (расхода) вещества г в
ходе реакции г (1/(с ■ м3)), М • - молекулярная масса вещества г (кг), Я - универсальная
газовая постоянная (Дж /(моль ■ К)), Т - температура (К).
В уравнениях неразрывности для каждой компоненты газа величина Jj - вектор
плотности потока массы г-ой компоненты смеси. В задачах, где бародиффузией и термодиффузией можно пренебречь, он определяется следующим выражением [5, 6]:
о
Здесь И- - коэффициент диффузии вещества г в вещество у (м2 /с), для
нахождения которого широко используется следующая формула [2]:
2
Вт -
N
£ хкМм;к к-1
к
(17 А ¥к/ М^к )•£ хк / % к-1
(4)
к-1
к
Здесь Х1г - мольная концентрация к -ой компоненты газа, В^ - бинарный коэффициент
1к
2
диффузии для I -го и к -го компонента (м2/ с):
-|0,5
В.^ - (2.628х 10"7)
1 1
-+-
2
Рх(0,5(< +</ )) в - интеграл диффузионных столкновений [4]:
0,1930 1,03587
Л 1,06036
□в - —-+
- + -
-+-
1,76474
Тв 0,1651 ехр(0,47635тВВ) ехр(1,52996тВ) ехр(3,89411ТВ)
( л
* Т* - Т 8
Тв 1 в ( Л Г Л ' и , < /
8 8 V и у ]
Ч V и у / Ч V и у ]
Вектор плотности потока энергии д для многокомпонентной смеси определяется выражением [5; 6]:
I
N
Здесь % - коэффициент теплопроводности смеси: £ X
/-1
Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры потока можно определить по формуле Сазерленда:
%1 - %01
Г Т Л3/2
V Т0 у
Т0 +ТБ
Т+Т
(6)
S
где - коэффициент теплопроводности при температуре Т^, Т^ - постоянная Сазерленда. Для каждого компонента смеси энтальпия к рассчитывается по следующей формуле:
Т
к - I Ср, (ТУТ+аР
Т
(7)
Здесь Н0 - энтальпия образования ( -ой компоненты при температуре Т^, С^ДТ) -
удельная теплоемкость ( -ой компоненты при постоянном давлении, для вычисления которых используется полиномиальная аппроксимация [4].
2. Разностная схема. Будем рассматривать двумерную постановку задачи. В векторной форме уравнения Навье-Стокса, дополненные уравнениями неразрывности для компонент, можно представить в виде:
д(¥(1)(и)-н(1)(и)) | д(¥(2)(и)-н(2)(и))
дг
дх
ду
(8)
Здесь ¥ (и) - (¥ (1)(и), ¥ (2)(и ))Т - конвективные члены в системе (1), н(и) - (Н(1)(и),н(2)(и))Т - диффузионные члены в системе (1), Q - источник.
и -
( л р ( ры г ру 1
ры ; ¥ (1)(и) - 2 ры + р ; ¥ (2)(и) - рыу
ру рыу ру2 + р
рЕ (рЕ + р)ы (ре+р)у
РУУ V (у рыУ V ( у V ( у
Н (1)(и) -
О
о о
дТ
31
У
дх
Н (2)(и) -
X
о о о
дТ , д
ду 1 щ дУ дУ-
Ш.1
ду
, Я -
( \
о о о
8Н
Для построения разностной схемы введем дискретную сетку, равномерную по каждому направлению. Для аппроксимации системы уравнений газовой динамики используем следующую разностную схему:
г(1) и (2) тг(2) ^
аиу К+)/21 ¥(-1/21 ¥((+1/2 ¥т/-1/ 2
Л
Н
х
Н
(1) (1) (2) (
н() - н(7 н( 7 - н
( +1/21 ( -1/21 ¡1 +1/2 ¡1 -1/2
У
Н
Н
У
,(1) р(2) ¡+1/21' Ру +1/2
Здесь ¥7.(11)/97.,¥7.(2)/<? - дискретные потоки, значения которых находятся по схеме Лакса-
Фридрихса:
¥+Т/2 - 1 [(¥(т)(и^+1/2) + (¥^(и-^))-ат(и++1/2 -и-1/2)], т - 1,2
(9)
х
ах = max(| щ | а2 = max(| | +
УРа
а .
Ра
ui+1,а | +.
УР
i+1, а
Р,
i+l, у
УРа
Ра
ии а+1 | +
Р а+1
Р
г, а +1
Здесь С,
г+1/2а ■
С
га +1/2
- "левые" и" правые" значения вектора С/ на грани между г и
г +1 ячейками и а и а +1 ячейками соответственно. Алгоритм вычисления этих значений с высоким порядком точности предложен в [8].
3. Модель химической реакции пиролиза этана. Расчет газодинамических параметров будем проводить на примере брутто-реакции пиролиза этана. В таблице приведена схема реакции, предэкспоненциальный множитель A и энергия активации Е-
для каждой стадии:
Таблица 1
Схема реакции
+
+
Стадия 4,1/с Е, / (кг - моль)
С2Н6 — С2Н4 + Н2 1,08Е+16 2,5Е+08
3,16Е+16 2,7Е+08
Последовательность химических превращений и соответствующие кинетические уравнения для реакции запишем следующим образом:
Таблица 2
Кинетические уравнения
А — А2 + А3 ^=к С
^ + ^А^ ™2 = к2С12
Здесь А =
С2 Н6
'А =
C2H4
•Аз =
Н
>А4 =
снл
• С =рК- /М^,,-, к- константа
' I 1 I у
скорости у -ой прямой стадии, размерности: к = [1/с],^ = [л /(моль-с)].
Зависимость константы скорости стадии от температуры выражается из уравнения Аррениуса [9]:
к = 4
Е " __
ЛГ
(11)
Объемную скорость образования вещества г определяем из соотношения:
N
Щ = М • £ . Здесь игу - стехиометрические коэффициенты компонента г в реакции г
г=1
Для такого механизма пиролиза этана нагрев или охлаждение в результате химических реакций рассчитывается следующим образом [4]:
$ Ф $
=_(-2 6 ^ ТТ +-2 4 ^ ТТ +-^ +-^ГГ ).
$ 2Н6 2Н4 2 М^,СН. 4
2 6 2 4 2 4
Заключение. В работе построена математическая модель для решения задач газовой
динамики с учетом химических реакций. Модель предназначена для описания двумерной
динамики реагирующего газа с учетом теплообменных и диффузионных процессов, а также
химических реакций пиролиза этана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nurislamova L. F., Gubaidullin I. M., Novichkova A. V., Stoyanovskaya O. P, Stadnichenko O. A., Snytnikov V. N. Few-step kinetic model of gaseous autocatalytic ethane pyrolysis and its evaluation by means of uncertainty and sensitivity analysis // Chemical Product and Process Modeling. - 2014. - Vol. 9, No. 2. - P. 143-154.
2. Нурисламова Л. Ф. Разработка компактной кинетической модели пиролиза пропана методами анализа чувствительности: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Уфа: Башкирский государственный университет, 2015. - 22 с.
3. Губайдуллин И. М., Маничев В. Б., Нурисламова Л. Ф. Редуктивный подход при моделировании сложных задач химической кинетики // Журнал Средневолжского математического общества. - 2012. - Т. 14, № 4. - С. 26-33.
4. Стадниченко О. А., Снытников В. Н., Снытников В. Н. Математическое моделирование потоков многокомпонентного газа с энергоемкими химическими процессами на примере пиролиза этана // Вычислительные методы и программирование. -2014. - Т. 15. - С. 658-668.
5. Саразов А. В., Зеленский Д. К., Корчажкин Д. А., Никитин В. Ф. Математическое моделирование потоков многокомпонентного газа с энергоемкими химическими процессами на примере пиролиза этана // Тезисы докладов XIV Международной конференции "Супервычисления и математическое моделирование". - Саров, 2012. -С. 513-520.
6. Борисов В. Е. и др. Программный комплекс TCS 3D: математическая модель // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. - 2015. - № 6. - C. 1-20.
7. Poling B. E., Prausnitz J. M., O'Connell J. P. The properties of gases and liquids. - New York: McGraw-Hill, 2001. - 768 p.
8. Жалнин Р. В. О построении параллельного вычислительного алгоритма для прямого численного моделирования сложных газодинамических течений // Журнал Средневолжского математического общества. - 2008. - Т. 10, № 1. - С. 137-146.
9. Штиллер В. Уравнение Аррениуса и неравновесная кинетика. - М.: Мир, 2000. -176 с.
