CC BY
12
ЯЗОВЦЕВА О. С.
ЛОКАЛЬНАЯ ПОКОМПОНЕНТНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ Аннотация. В статье вводится понятие локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности систем обыкновенных дифференциальных уравнений относительно некоторых функций. Приведены достаточные условия, при выполнении которых у эквивалентных систем сохраняются свойства устойчивости, асимптотической устойчивости и асимптотического равновесия покомпонентно. В качестве примера рассмотрена математическая модель брутто-реакции пиролиза этана. Для нее построены взаимнооднозначные отображения, устанавливающие локальную покомпонентную асимптотическую эквивалентность решений исследуемой системы и ее линейного приближения. На основании построенных взаимно-однозначных отображений ненулевое положение равновесия системы исследовано на устойчивость по части переменных, а также найдены асимптотики решений.
Ключевые слова: нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность по Брауеру и Левинсону, устойчивость по части переменных, пиролиз этана, химическая кинетика.
YAZOVTSEVA O. S.
LOCAL COMPONENT-WISE ASYMPTOTIC EQUIVALENCE AND ITS APPLICATION TO INVESTIGATE STABILITY WITH RESPECT TO A PART OF VARIABLES Abstract. The article introduces the notion of local component-wise asymptotic equivalence of systems of ordinary differential equations in relation to some functions. The sufficient conditions of component-wise stability, asymptotic stability and asymptotic equilibrium are received. The mathematical model of the ethane pyrolysis brutto-reaction is considered. The one-to-one mapping of the model established the local component-wise asymptotic equivalence of solutions of the researched system and its linear approximation. A nontrivial equilibrium of the system was investigated for stability with respect to a part of variables based on the constructed one-to-one mapping. The asymptotics of the solutions were found.
Keywords: nonlinear ordinary differential equations, local component-wise Brauer and Levinson asymptotic equivalence, stability with respect to a part of variables, ethane pyrolysis, chemical kinetics.
Введение. Классификация множества систем обыкновенных дифференциальных уравнений и ее применение к исследованию устойчивости решений восходит к А. М. Ляпунову [1]. В случае, когда исследуется асимптотическое поведение решений при г , классификация носит название асимптотической эквивалентности [2-4]. Основные результаты исследования подобных отношений отражены в работах [2-18]. В работах [1113] для классификации нелинейных систем введены понятия покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауеру и Левинсону относительно некоторых функций.
В настоящей работе продолжается развитие идей Е. В. Воскресенского [13] о покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауэру и Левинсону относительно некоторых функций нелинейных систем в некоторой области фазового пространства. Показано, что введенные определения позволяют исследовать устойчивость по части переменных и асимптотику решений более широкого класса нелинейных систем, чем в работах [11-13].
В качестве приложения рассмотрена математическая модель брутто-реакции пиролиза этана. Положение равновесия исследуемой системы исследовано на устойчивость по части переменных, а также найдена асимптотика решений в окрестности положения равновесия.
Локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность по Брауэру и Левинсону. Рассмотрим множество 5 всех систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида
Будем считать, что у системы вида (1) существует совокупность решений х(г : г0, х(0)) , определенных при всех г > г0 > Т и х(0) е О с Я", где О - некоторая область пространства
Я", содержащая окрестность нуля.
Обозначим через х(г: г0, х(0)) и у(г: г0, у(0)) решения с начальными данными (г0, х(0))
и (го, у(0)) соответственно системы дифференциальных уравнений (1) и системы
принадлежащей множеству 5.
Следующие определения развивают идеи Е. В. Воскресенского о покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауеру относительно функций ^ (г) из работ [11-13].
(1)
где х е Я", / е С(0Д)([Т,Я",Я"), Т > 0, Дг,0) = 0.
(2)
Определение 1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) и (2) назовем локально асимптотически эквивалентными по Брауэру относительно функции ц (t),
если при фиксированном t0 > Т существуют два отображения P(1) : V ^ U и P(2) : U ^ V такие, что
x, (t: t0, x(0)) = y (t: t0, P(2) x(0)) + ofa (t)), (3)
y (t: to, y(0)) = x (t: to, P(1) y(0)) + о(ц (t)), (4)
при t ^да для всех i e M0 с {1,...,n} . Здесь x(t: t0,x(0)), y (t: t0,y(0)) - i -ые компоненты решений, для которых x(0) e U, y(0) e V, U ,V с D - некоторые области, содержащие окрестность нуля, ц : [T, ^ [0, .
Определение 2. Если в определении 1 положить M0 = {1,...,n}, то системы (1) и (2) будем называть локально асимптотически эквивалентными по Брауеру относительно функций ц. (t).
Замечание 1. Определение 2 обобщает определение локально асимптотически эквивалентных систем по Брауеру относительно функции p,(t) из работы [13]. Для этого
достаточно в определении 2 положить ц (t) = p,(t), i = 1, n.
Определение 3. Если в определении 1 положить P(2) = P(1) , то системы (1) и (2) назовем локально покомпонентно асимптотически эквивалентными по Левинсону относительно функций ц (t). Если же кроме этого M0 = {1,...,n}, то системы (1) и (2) назовем локально асимптотически эквивалентными по Левинсону относительно функций Цi(t).
Определение 4. Будем говорить, что система (1) имеет локальное асимптотическое равновесие по компонентам i e M0 с {1,...,n}, если каждое ее решение
x(t: t0, x(0)), x(0) e U с Rn, обладает свойством
lim x (t: t0, x(0)) = b < i e M0, (5)
и, наоборот, для любых чисел b,i eM0, таких, что b = colon(b1,...,Ьи) e V с D , существует решение x (t: t0, x(0)), x(0) e U с D, системы (1) такое, что справедливо равенство (5).
Определение 5. Если в определении 4 положить M0 = {1,...,n} , то будем говорить, что система (1) имеет локальное асимптотическое равновесие.
Сформулируем достаточные условия, когда локальные покомпонентные асимптотически эквивалентные по Брауэру системы сохраняют свойства устойчивости и асимптотической устойчивости по части переменных.
Теорема 1. Пусть системы (1) и (2) локально покомпонентно асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функций ц. (t), причем отображения P(1) и
P(2) являются непрерывными в нуле и справедливы равенства
X (t: t0, x(0)) = y (t: t0, P2 x(0)) + ц (t)5. (t: t0, x(0)), (6)
yt(t: to,y(0)) = x(t: to,P(1)y(0)) + ц(t)y ,(t: to,y(0)), (7)
где 5г(t: t0,x(0)) и у.(t: t0,y(0)) стремятся к нулю при t равномерно по x(0) и y(0),
соответственно. Тогда, если у одной системы существует устойчивое (асимптотически
устойчивое) тривиальное решение по компонентам t е M0 и lim ц = d, d е R (lim Ц — 01,
t \t /
то вторая система имеет также устойчивое (асимптотически устойчивое) тривиальное решение по компонентам t е M0; кроме того, если одна система имеет локальное
асимптотическое равновесие по компонентам t е M0 и lim ц — d, d е R1 то этим же
свойством будут обладать и решения другой системы.
Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству 1.6.6 из работы [13, с. 50].
Пусть система (2) обладает устойчивым (асимптотически устойчивым) тривиальным решением по компонентам t е M0 и lim ц — d, d е R (lim Ц — 0). Сопоставим начальным
значениям у е V решений системы (2) начальные значения х = Рту соответствующих решений системы (1).
Тогда, учитывая равенства (6), получим
||x(t: t,, x)|| <||y (t: t,,y)||(t)5f(t: t„x), (8)
где у = P(2)x .
Пусть ||y|| < ö . Тогда из непрерывности отображения P(1) в нуле следует
— ||P(1)y|| <ö .
С учетом оценки (8) из устойчивости тривиального решения системы (2) по компонентам ¡'еМ0 и того, что ö^t: t0,x)—>0 при t—»+oo равномерно по х следует
устойчивость тривиального решения системы (1) по компонентам tе M0, а из
асимптотической устойчивости тривиального решения системы (2) по компонентам г е М0 следует асимптотическая устойчивость тривиального решения системы (1) по компонентам
i е M0.
Пусть решения системы (2) при y е V имеют асимптотическое равновесие по компонентам i е M0. Это означает, что
lim y (t: t0, y(0)) - b, Ъг е Я1. (9)
i
Из оценки (8) получаем
x (t • t x(0)) - V (t • t P(2)X(0))
lim X(t: ^ X ) ^(t: ^P X ) - 0 , i еM, (10)
t ц(t)
и, следовательно, справедливы равенства (5).
Покажем теперь, для любых чисел Ъ, i е M0, таких, что Ъ = colon(b,...,Ъп) е V с D ,
существует решение х (t • t0, x(0)), x(0) е i7 с D, системы (1) такое, что справедливо равенство (5). Для фиксированных чисел Ъ, i е M0, Ъ = colon(b,...,Ъ) е V с D , найдем компоненты y(t • t0,y(0)) решения системы (2) такие, что справедливы пределы (9). Учитывая (10), получаем справедливость равенств (5), и, следовательно, система (1) имеет локальное асимптотическое равновесие по компонентам i е M0.
Доказательство устойчивости (асимптотической устойчивости) тривиального решения системы (2), когда известно, что тривиальное решение системы (1) - устойчиво (асимптотически устойчиво), проводится аналогично на основании равенства (7). Доказательство завершено.
Исследование асимптотики поведения решений системы дифференциальных уравнений математической модели брутто-реакции пиролиза этана. Рассмотрим брутто-реакцию пиролиза этана [ 19-21 ]:
C2 H6 ^ C2 H4 + H2
2 C2 H6 ^ C2 H4 + 2 CH^.
Математическая модель реакции имеет вид:
С-у — А | С-у Су
С2 = КС\ + ^2С1
сз Ä' | £/|
¿4 =
(11)
здесь / > 0, с (г = 1,..,4), - концентрации веществ С2И6,С^^,Н2,СИ4 соответственно, ^ > 0, к2 > 0 - константы скоростей химических реакций. Так как концентрации с,.
<
представляют собой неотрицательные величины, то поведение решений системы достаточно рассматривать при с - 0. Для системы (11) ставится задача определения положения равновесия по заданным начальным концентрациям
с (0) = с(0), с2 (0) = с20), Сз (0) = с<0), с4 (0) = с40).
Приравнивая правую часть системы (8) к нулю, находим, что положения равновесия образуют множество векторов вида
с =
^0 Л С2 С3
V С4 У
где с, е Я1, г = 2,3,4.
(12)
Фиксируя некоторые с ф 0, (г = 2,3,4) и используя определения локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности, исследуем на устойчивость по части переменных ненулевое положение равновесия с* = со1оп(0, с2 *, с3 *, с4 *), а также асимптотику
решений системы (11) в окрестности этого положения равновесия. Для этого в системе (11) сделаем замену переменных
с = х + с *. (13)
Тогда система (11) будет иметь вид
Л"2 — ^ + 1^2
(14)
Заметим, что вид систем (11) и (14) совпадает. Таким образом, задача сводится к исследованию асимптотики поведения решений в окрестности тривиального решения х = 0 системы (14).
Так как матрица линейного приближения
'Ух = ~кхУх
у2 = КУх
<
Уз = КУХ
>4=0
системы (14) имеет одно отрицательное и три нулевых собственных значений кратности 1, то нулевое решение системы (15) является устойчивым. Вместе с тем согласно [22] имеет место критический случай, и, следовательно, теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению [1] неприменима.
(15)
Исследуем устойчивость по части переменных нулевого положения равновесия системы (14) на основании локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауеру.
Используя определение 3, установим соответствие между начальными значениями
X (0) = х(0), X (0) = х(0), х (0) = х3си;, х4 (0) = х(0) решений
X(1: 0, х(0)) =
кх(0)е
.(0)„ - V
к + 2кх(0)(1 - е~к1')
Ы-,
к
х (1: 0, х(0)) = х(0) +-к-1п 1 + 2 к2 х(0)(1 - е к1)
4к
к
^(0)/
-
к
(0)
+ -
X (1 : 0, х(0)) = х(0) + А. 1п 1 + 2 к2 х,(0) (1 - е-^ ) 34 3 2к 1
к
2 V С
Л к
х(1: 0, х(0)) = х(0) - ^Мп 1 + 2к2х(0)(1 - е")
2к
к
у
Л
),
У Л
(1 - е-*)к + 2к2х(0))^
к + 2-х1(0)(1 - е~к1)
(16)
к
+ х
(0)
(1 - е"* )(к + 2к2 х(<У
к + 2кх(0)(1 - е~к1)
нелинейной системы (14) и начальными значениями у1 (0) = у(0), у2(0) = у(0), у3(0) = у30) , У 4 (0) = у(0) решений
: 0, у(0)) = у(0)е"*
У2(' :0, у(0)) = у20) + у(0)(1 - е -11)
Уз(': 0, у (0)) = у30) + у}0)(1 - е-*) у4(1: 0, у(0)) = у(0)
линейной системы (15).
Для этого определим отображения Р(1) и Р(2) из условий
11т хг (1) - уг (1) = 0 , г = 1-4 ,
^ ц- (1)
где в качестве функций ц (1) выбраны следующие:
Ц1) = е ^, Ц (1) = Ц(1) = Ц4 (1) =1 - ■
Имеем
к т(0)
у(0) = р(2) х(0) ^ кх1
к^ ^ 2^2 х1
(17)
(18)
2
у20) = Р2(2)х(0) — х20) +
(2) (0) — Г0)
у(0) = Р<2)х(0) — х(0) +
4 к
к
с
1п
1 + 2-^ х(
к2 (0) 1 ) {к1 2к2 Х}
,.(0) _ р(2) (0) = (0) _ У 4 = -'4 Л! — х4
(0)
2к
к
2 V /
1п
•2 V
Г
к
1 У
(0)
к + 2к2х[
(0)
1 + 2 ^ х(0) к, 1
к^'
У V к ^ 2к2 ) У
2к,
1п
'2
V
1 + 2 ^ х(0)
кх у
+ х
(0)
Р2 = со!оп(р2\ Р2(2), Р<2), Р(2)) .
Обратное отображение Р(1) имеет вид
_ р«-,/0) = х1 = р у1 —
к У(
(0)
(0)
к1 - 2к2У1(
х20) = р2(1) у20) — у20)
4к,
2 „(0)
1 - 2-2- у1
+ У1
(0)
к
х30) = Рз(1)Уз(0) — Уз(0) + у(0) + ^1п 1 -2^У1(0)
2к,
ч у
к,
к2 У1
(0)
I к1 - 2к2 УГ )
к
1 У
к
х40) = Р4(1)У40) — У40) + 2у10) -^1п 1 - 2^ у(
2к,
к1 У1
(0)
Ч У
к1 2к2 у1
(0)
Р(1) = со1оп—\ Р1\ Р(1), Р4(1)).
(19)
(20)
Тогда, области V и и могут быть построены следующим образом:
V = V х V х V х V, V =
-да,
кЛ
2к
, V =(0, , I = 2,4,
V ""2 У ^ к
V 2к2 У
и = и х и х и х и, и =
Величины 5г (': , х(0)), г = 1,4, имеют вид 5^: '0,х(0)) =
и =
——, 2к2 У
, г = 2,4.
кхГ е"*
к + 2^х1(0)(1 - е"*)'
5,(1: '0,х(0)) = ■
к
4^2 (1 - е-*)
-1п
к
1 + 2^ х (1 -е"*) к
к
2 Л0)
1 + 2-^ х к
+ -
X
(0) (
(1 - е-1 )(к + 2к2х1(0))2 + к- 2^1(0))(к + 2к2х,(0)(1- е-'1)) ^
(1 - е~)(к + 2к2х1(0))(к1 + 2к2х}0)(1- е_к'))
(0)
(0)
-Ы N
2
5з(*: х(0)) =
к
2к2(\ -еКг)
1п
1 + 2^ х1(0)(1 - е -)
- кл ••
54(/: ^ х(0)) = -
к
2к2(1 - е-к1)
■ 1п
1 + 2 х(0) к 1
1 + 2^х(0)(1 -е к1)
К )
1 + 2 — х(0) к 1
к Х(0) е-
(к! + 2к2х1(0))(1 - е-)
+ Х
.(0)
к у ^ 2^2
К + 2К х(0)(1 - е^к1Г) 1 - е"к1
кл--,
- кл
и удовлетворяют условиям (6) теоремы (1).
Заметим, что системы (14) и (15) не удовлетворяют определению асимптотической эквивалентности в смысле работ [11-13], так как области определения отображений Р(1) и Р(2) не совпадают со всем пространством Я", и, следовательно, во всем пространстве Я" не существует отображений, переводящих начальные данные одной системы в начальные данные другой, так чтобы норма разности соответствующих решений стремилась к нулю при г ^го.
Так как Р(1) = Р(2) , то системы (14) и (15) локально покомпонентно асимптотически эквивалентны по Левинсону в смысле определения 3.
Учитывая, что отображения Р(1) и Р(2) непрерывны в нуле, получаем, что все условия теоремы 1 выполнены.
Так как нулевое решение системы (15) асимптотически устойчиво по первой компоненте, а ненулевые решения имеют асимптотическое равновесие по остальным компонентам, то на основании теоремы 1 можно сделать вывод, что этими же свойствами обладают решения системы (14) в окрестности нулевого положения равновесия.
Учитывая замену переменных (13), можно сделать следующие выводы об асимптотическом поведении решений системы (11) в окрестности положения равновесия
1) каждое положение равновесия с * системы (11) является асимптотически устойчивым по компоненте с ;
2) решения системы (8), начинающиеся в окрестности положения равновесия с *, имеют асимптотическое равновесие по компонентам с2, С, С, причем при г ^ эти решения стремятся к нему.
с
Поведение решений асимптотически эквивалентных систем в окрестности положения равновесия. Так как правые части систем (11) и (14) совпадают, то из асимптотической эквивалентности систем (14) и (15) следует асимптотическая эквивалентность систем (11) и (15). Тогда формулы (19) и (20) остаются справедливыми, если х(0) заменить на с(0).
Построим графики решений для локально покомпонентно асимптотически эквивалентных по Левинсону систем (11) и (15) относительно некоторых функций (18), с начальными данными, связанными отображениями Р(1) и Р(2) согласно формулам (16) и (17), где х(0) заменены на с(0). В качестве начальных значений решений выбраны
с(0) = 1, с(0) = с3(0) = с(0) = 0 и У(0) * 0.78, У(0) * 0.16, Уз(0) * 0.1, у(0) * 0.12. Графики построены для к = 0.51, к2 = 0.07, что соответствует протеканию брутто-реакции пиролиза этана при постоянной температуре 800^.
Рис. 1. Графики решений с и х, г = 1,2, между начальными значениями которых
установлено взаимно-однозначное соответствие.
Рис. 2. Графики решений с и х, г = 3,4, между начальными значениями которых установлено взаимно-однозначное соответствие.
Положения равновесия для решений с вышеприведенными начальными значениями систем (11) и (15) совпадают и находятся по формулам
lim c (t: 0, х(0)) = lim y (t: 0, y(0)) = 0,
t—w t—w
limc(t: 0,x(0)) = limy (t: 0,y(0)) » 0.94,
t—w t—w
limc (t: 0, x(0)) = lim y (t: 0, y(0)) » 0.88,
t—w t—w
limc (t: 0, x(0)) = lim у (t: 0, y(0)) » 0.12.
t—w t—w
Заключение. Таким образом, на основании локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности для системы (11) определено положение асимптотического равновесия по заданным начальным концентрациям и исследована асимптотика поведения решений в его окрестности. Из проведенных исследований можно сделать вывод, что исследуемая система обладает свойством полиустойчивости по части переменных [23; 24].
ЛИТЕРАТУРА
1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. - М.; Л.: Гостехиздат, 1950. - 471 с.
2. Brauer F. Asymptotic equivalence and asymptotic behavior of linear systems // Michigan Math. J. - 1962. - Vol. 9. - pp. 33-43.
3. Levinson N. The asymptotic behaviour of a system of linear differential equations // Amer. J. Math. - 1946. - Vol. 63. - pp. 1-6.
4. Levinson N. The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations // Duke Math. J. - 1948. - Vol. 15. - pp. 111-126.
5. Wintner A. Linear variation of constants // Am. J. Math. - 1946. - Vol. 68. - pp. 417430.
6. Brauer F., Nohel J. A. The qualitative theory of ordinary differential equations. - New York: W. A. Benjamin, 1969. - 313 p.
7. Onuchic N. Relationship among the solutions of two systems of ordinary differential equations// Michigan Math. J. - 1963. - Vol. 10. - P. 129-139.
8. Onuchic N. Nonlinear perturbation of a linear system of ordinary differential equations // Michigan Math. J. - 1964. - Vol. 11. - pp. 237-242.
9. Onuchic N. Asymptotic relationship at infinity between the solutions of two systems of ordinary differential equations // J. Differential Eqs. 3. - 1967. - pp. 47-58.
10. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. - М.: Наука, 1966. - 576 с.
11. Качественные и асимптотические методы интегрирования дифференциальных уравнений / Воскресенский Е. В., Артемьева Е. Н., Белоглазов В. А., Мурюмин С. М.; под ред. Н.А. Лукашевича. - Саранск: Изд-во Сарат. ун-та, Саран. фил., 1988. - 188 с.
12. Воскресенский Е. В. Методы сравнения в нелинейном анализе. - Саранск: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. - 224 с.
13. Воскресенский Е. В. Асимптотические методы: теория и приложения. - Саранск: СВМО, 2000. - 300 с.
14. Мамедова Т. Ф. Асимптотические методы для части компонент решений дифференциальных уравнений: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. -Н. Новгород, 1993. -14 c.
15. Мамедова Т. Ф., Ляпина А. А. Об исследовании динамических моделей социально-экономических систем на устойчивость по части переменных // Журнал Средневолжского математического общества. - 2010. - Т. 12, № 4. -С. 152-157.
16. Мамедова Т. Ф., Егорова Д. К., Десяев Е. В. Анализ устойчивости математической модели Лукаса по части переменных // Журнал Средневолжского математического общества. - 2015. - Т. 17, № 3. - С. 30-36.
17. Язовцева О. С., Мамедова Т. Ф., Губайдуллин И. М. Исследование устойчивости некоторого решения системы кинетических уравнений химической реакции // Журнал Средневолжского математического общества. - 2016. - Т. 18, № 4. -С. 152-158.
18. Якубович В. А. Об асимптотическом поведении решений системы дифференциальных уравнений // Матем. сб. - 1951. - Т. 28(70), № 1. - С. 217-240.
19. Мухина Т. Н., Барабанов Н. Л., Бабаш С. Е. и др. Пиролиз углеводородного сырья. - М.: Химия, 1987. - 240 с.
20. Губайдуллин И. М., Пескова Е. Е., Язовцева О. С. Математическая модель динамики многокомпонентного газа на примере брутто-реакции пиролиза этана [Электронный ресурс] // Огарев-опНпе. - 2016. - № 20. - Режим доступа: http://journal.mrsu.ru/arts/matematicheskaya-model-dinamiki-mnogokomponentnogo-gaza-na-primere-brutto-reakcii-piroliza-etana.
21. Жалнин Р. В., Пескова Е. Е., Стадниченко О. А., Тишкин В. Ф. Математическое моделирование динамики многокомпонентного газа с использованием WENO схем на примере пиролиза этана // Журнал Средневолжского математического общества. - 2016. - Т. 18, № 3. - С. 98-106.
22. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966. - 533 с.
23. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. - М.: Наука, 1987. - 253 с.
24. Воротников В. В. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направления исследований, результаты, особенности // Автомат. и телемех. - 1993. - № 3. - С. 3-62.
