Научная статья на тему 'Локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность и ее применение к исследованию устойчивости по части переменных'

Локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность и ее применение к исследованию устойчивости по части переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
93
13
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Огарёв-Online
Область наук
Ключевые слова
ЛОКАЛЬНАЯ ПОКОМПОНЕНТНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПО БРАУЕРУ И ЛЕВИНСОНУ / НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ / ПИРОЛИЗ ЭТАНА / УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЧАСТИ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Язовцева Ольга Сергеевна

В статье вводится понятие локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности систем обыкновенных дифференциальных уравнений относительно некоторых функций. Приведены достаточные условия, при выполнении которых у эквивалентных систем сохраняются свойства устойчивости, асимптотической устойчивости и асимптотического равновесия покомпонентно. В качестве примера рассмотрена математическая модель брутто-реакции пиролиза этана. Для нее построены взаимно-однозначные отображения, устанавливающие локальную покомпонентную асимптотическую эквивалентность решений исследуемой системы и ее линейного приближения. На основании построенных взаимно-однозначных отображений ненулевое положение равновесия системы исследовано на устойчивость по части переменных, а также найдены асимптотики решений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Язовцева Ольга Сергеевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The article introduces the notion of local component-wise asymptotic equivalence of systems of ordinary differential equations in relation to some functions. The sufficient conditions of component-wise stability, asymptotic stability and asymptotic equilibrium are received. The mathematical model of the ethane pyrolysis brutto-reaction is considered. The one-to-one mapping of the model established the local component-wise asymptotic equivalence of solutions of the researched system and its linear approximation. A nontrivial equilibrium of the system was investigated for stability with respect to a part of variables based on the constructed one-to-one mapping. The asymptotics of the solutions were found.

Текст научной работы на тему «Локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность и ее применение к исследованию устойчивости по части переменных»

ЯЗОВЦЕВА О. С.

ЛОКАЛЬНАЯ ПОКОМПОНЕНТНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ Аннотация. В статье вводится понятие локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности систем обыкновенных дифференциальных уравнений относительно некоторых функций. Приведены достаточные условия, при выполнении которых у эквивалентных систем сохраняются свойства устойчивости, асимптотической устойчивости и асимптотического равновесия покомпонентно. В качестве примера рассмотрена математическая модель брутто-реакции пиролиза этана. Для нее построены взаимнооднозначные отображения, устанавливающие локальную покомпонентную асимптотическую эквивалентность решений исследуемой системы и ее линейного приближения. На основании построенных взаимно-однозначных отображений ненулевое положение равновесия системы исследовано на устойчивость по части переменных, а также найдены асимптотики решений.

Ключевые слова: нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность по Брауеру и Левинсону, устойчивость по части переменных, пиролиз этана, химическая кинетика.

YAZOVTSEVA O. S.

LOCAL COMPONENT-WISE ASYMPTOTIC EQUIVALENCE AND ITS APPLICATION TO INVESTIGATE STABILITY WITH RESPECT TO A PART OF VARIABLES Abstract. The article introduces the notion of local component-wise asymptotic equivalence of systems of ordinary differential equations in relation to some functions. The sufficient conditions of component-wise stability, asymptotic stability and asymptotic equilibrium are received. The mathematical model of the ethane pyrolysis brutto-reaction is considered. The one-to-one mapping of the model established the local component-wise asymptotic equivalence of solutions of the researched system and its linear approximation. A nontrivial equilibrium of the system was investigated for stability with respect to a part of variables based on the constructed one-to-one mapping. The asymptotics of the solutions were found.

Keywords: nonlinear ordinary differential equations, local component-wise Brauer and Levinson asymptotic equivalence, stability with respect to a part of variables, ethane pyrolysis, chemical kinetics.

Введение. Классификация множества систем обыкновенных дифференциальных уравнений и ее применение к исследованию устойчивости решений восходит к А. М. Ляпунову [1]. В случае, когда исследуется асимптотическое поведение решений при г , классификация носит название асимптотической эквивалентности [2-4]. Основные результаты исследования подобных отношений отражены в работах [2-18]. В работах [1113] для классификации нелинейных систем введены понятия покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауеру и Левинсону относительно некоторых функций.

В настоящей работе продолжается развитие идей Е. В. Воскресенского [13] о покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауэру и Левинсону относительно некоторых функций нелинейных систем в некоторой области фазового пространства. Показано, что введенные определения позволяют исследовать устойчивость по части переменных и асимптотику решений более широкого класса нелинейных систем, чем в работах [11-13].

В качестве приложения рассмотрена математическая модель брутто-реакции пиролиза этана. Положение равновесия исследуемой системы исследовано на устойчивость по части переменных, а также найдена асимптотика решений в окрестности положения равновесия.

Локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность по Брауэру и Левинсону. Рассмотрим множество 5 всех систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида

Будем считать, что у системы вида (1) существует совокупность решений х(г : г0, х(0)) , определенных при всех г > г0 > Т и х(0) е О с Я", где О - некоторая область пространства

Я", содержащая окрестность нуля.

Обозначим через х(г: г0, х(0)) и у(г: г0, у(0)) решения с начальными данными (г0, х(0))

и (го, у(0)) соответственно системы дифференциальных уравнений (1) и системы

принадлежащей множеству 5.

Следующие определения развивают идеи Е. В. Воскресенского о покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауеру относительно функций ^ (г) из работ [11-13].

(1)

где х е Я", / е С(0Д)([Т,Я",Я"), Т > 0, Дг,0) = 0.

(2)

Определение 1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) и (2) назовем локально асимптотически эквивалентными по Брауэру относительно функции ц (t),

если при фиксированном t0 > Т существуют два отображения P(1) : V ^ U и P(2) : U ^ V такие, что

x, (t: t0, x(0)) = y (t: t0, P(2) x(0)) + ofa (t)), (3)

y (t: to, y(0)) = x (t: to, P(1) y(0)) + о(ц (t)), (4)

при t ^да для всех i e M0 с {1,...,n} . Здесь x(t: t0,x(0)), y (t: t0,y(0)) - i -ые компоненты решений, для которых x(0) e U, y(0) e V, U ,V с D - некоторые области, содержащие окрестность нуля, ц : [T, ^ [0, .

Определение 2. Если в определении 1 положить M0 = {1,...,n}, то системы (1) и (2) будем называть локально асимптотически эквивалентными по Брауеру относительно функций ц. (t).

Замечание 1. Определение 2 обобщает определение локально асимптотически эквивалентных систем по Брауеру относительно функции p,(t) из работы [13]. Для этого

достаточно в определении 2 положить ц (t) = p,(t), i = 1, n.

Определение 3. Если в определении 1 положить P(2) = P(1) , то системы (1) и (2) назовем локально покомпонентно асимптотически эквивалентными по Левинсону относительно функций ц (t). Если же кроме этого M0 = {1,...,n}, то системы (1) и (2) назовем локально асимптотически эквивалентными по Левинсону относительно функций Цi(t).

Определение 4. Будем говорить, что система (1) имеет локальное асимптотическое равновесие по компонентам i e M0 с {1,...,n}, если каждое ее решение

x(t: t0, x(0)), x(0) e U с Rn, обладает свойством

lim x (t: t0, x(0)) = b < i e M0, (5)

и, наоборот, для любых чисел b,i eM0, таких, что b = colon(b1,...,Ьи) e V с D , существует решение x (t: t0, x(0)), x(0) e U с D, системы (1) такое, что справедливо равенство (5).

Определение 5. Если в определении 4 положить M0 = {1,...,n} , то будем говорить, что система (1) имеет локальное асимптотическое равновесие.

Сформулируем достаточные условия, когда локальные покомпонентные асимптотически эквивалентные по Брауэру системы сохраняют свойства устойчивости и асимптотической устойчивости по части переменных.

Теорема 1. Пусть системы (1) и (2) локально покомпонентно асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функций ц. (t), причем отображения P(1) и

P(2) являются непрерывными в нуле и справедливы равенства

X (t: t0, x(0)) = y (t: t0, P2 x(0)) + ц (t)5. (t: t0, x(0)), (6)

yt(t: to,y(0)) = x(t: to,P(1)y(0)) + ц(t)y ,(t: to,y(0)), (7)

где 5г(t: t0,x(0)) и у.(t: t0,y(0)) стремятся к нулю при t равномерно по x(0) и y(0),

соответственно. Тогда, если у одной системы существует устойчивое (асимптотически

устойчивое) тривиальное решение по компонентам t е M0 и lim ц = d, d е R (lim Ц — 01,

t \t /

то вторая система имеет также устойчивое (асимптотически устойчивое) тривиальное решение по компонентам t е M0; кроме того, если одна система имеет локальное

асимптотическое равновесие по компонентам t е M0 и lim ц — d, d е R1 то этим же

свойством будут обладать и решения другой системы.

Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству 1.6.6 из работы [13, с. 50].

Пусть система (2) обладает устойчивым (асимптотически устойчивым) тривиальным решением по компонентам t е M0 и lim ц — d, d е R (lim Ц — 0). Сопоставим начальным

значениям у е V решений системы (2) начальные значения х = Рту соответствующих решений системы (1).

Тогда, учитывая равенства (6), получим

||x(t: t,, x)|| <||y (t: t,,y)||(t)5f(t: t„x), (8)

где у = P(2)x .

Пусть ||y|| < ö . Тогда из непрерывности отображения P(1) в нуле следует

— ||P(1)y|| <ö .

С учетом оценки (8) из устойчивости тривиального решения системы (2) по компонентам ¡'еМ0 и того, что ö^t: t0,x)—>0 при t—»+oo равномерно по х следует

устойчивость тривиального решения системы (1) по компонентам tе M0, а из

асимптотической устойчивости тривиального решения системы (2) по компонентам г е М0 следует асимптотическая устойчивость тривиального решения системы (1) по компонентам

i е M0.

Пусть решения системы (2) при y е V имеют асимптотическое равновесие по компонентам i е M0. Это означает, что

lim y (t: t0, y(0)) - b, Ъг е Я1. (9)

i

Из оценки (8) получаем

x (t • t x(0)) - V (t • t P(2)X(0))

lim X(t: ^ X ) ^(t: ^P X ) - 0 , i еM, (10)

t ц(t)

и, следовательно, справедливы равенства (5).

Покажем теперь, для любых чисел Ъ, i е M0, таких, что Ъ = colon(b,...,Ъп) е V с D ,

существует решение х (t • t0, x(0)), x(0) е i7 с D, системы (1) такое, что справедливо равенство (5). Для фиксированных чисел Ъ, i е M0, Ъ = colon(b,...,Ъ) е V с D , найдем компоненты y(t • t0,y(0)) решения системы (2) такие, что справедливы пределы (9). Учитывая (10), получаем справедливость равенств (5), и, следовательно, система (1) имеет локальное асимптотическое равновесие по компонентам i е M0.

Доказательство устойчивости (асимптотической устойчивости) тривиального решения системы (2), когда известно, что тривиальное решение системы (1) - устойчиво (асимптотически устойчиво), проводится аналогично на основании равенства (7). Доказательство завершено.

Исследование асимптотики поведения решений системы дифференциальных уравнений математической модели брутто-реакции пиролиза этана. Рассмотрим брутто-реакцию пиролиза этана [ 19-21 ]:

C2 H6 ^ C2 H4 + H2

2 C2 H6 ^ C2 H4 + 2 CH^.

Математическая модель реакции имеет вид:

С-у — А | С-у Су

С2 = КС\ + ^2С1

сз Ä' | £/|

¿4 =

(11)

здесь / > 0, с (г = 1,..,4), - концентрации веществ С2И6,С^^,Н2,СИ4 соответственно, ^ > 0, к2 > 0 - константы скоростей химических реакций. Так как концентрации с,.

<

представляют собой неотрицательные величины, то поведение решений системы достаточно рассматривать при с - 0. Для системы (11) ставится задача определения положения равновесия по заданным начальным концентрациям

с (0) = с(0), с2 (0) = с20), Сз (0) = с<0), с4 (0) = с40).

Приравнивая правую часть системы (8) к нулю, находим, что положения равновесия образуют множество векторов вида

с =

^0 Л С2 С3

V С4 У

где с, е Я1, г = 2,3,4.

(12)

Фиксируя некоторые с ф 0, (г = 2,3,4) и используя определения локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности, исследуем на устойчивость по части переменных ненулевое положение равновесия с* = со1оп(0, с2 *, с3 *, с4 *), а также асимптотику

решений системы (11) в окрестности этого положения равновесия. Для этого в системе (11) сделаем замену переменных

с = х + с *. (13)

Тогда система (11) будет иметь вид

Л"2 — ^ + 1^2

(14)

Заметим, что вид систем (11) и (14) совпадает. Таким образом, задача сводится к исследованию асимптотики поведения решений в окрестности тривиального решения х = 0 системы (14).

Так как матрица линейного приближения

'Ух = ~кхУх

у2 = КУх

<

Уз = КУХ

>4=0

системы (14) имеет одно отрицательное и три нулевых собственных значений кратности 1, то нулевое решение системы (15) является устойчивым. Вместе с тем согласно [22] имеет место критический случай, и, следовательно, теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению [1] неприменима.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(15)

Исследуем устойчивость по части переменных нулевого положения равновесия системы (14) на основании локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауеру.

Используя определение 3, установим соответствие между начальными значениями

X (0) = х(0), X (0) = х(0), х (0) = х3си;, х4 (0) = х(0) решений

X(1: 0, х(0)) =

кх(0)е

.(0)„ - V

к + 2кх(0)(1 - е~к1')

Ы-,

к

х (1: 0, х(0)) = х(0) +-к-1п 1 + 2 к2 х(0)(1 - е к1)

к

^(0)/

-

к

(0)

+ -

X (1 : 0, х(0)) = х(0) + А. 1п 1 + 2 к2 х,(0) (1 - е-^ ) 34 3 2к 1

к

2 V С

Л к

х(1: 0, х(0)) = х(0) - ^Мп 1 + 2к2х(0)(1 - е")

к

у

Л

),

У Л

(1 - е-*)к + 2к2х(0))^

к + 2-х1(0)(1 - е~к1)

(16)

к

+ х

(0)

(1 - е"* )(к + 2к2 х(<У

к + 2кх(0)(1 - е~к1)

нелинейной системы (14) и начальными значениями у1 (0) = у(0), у2(0) = у(0), у3(0) = у30) , У 4 (0) = у(0) решений

: 0, у(0)) = у(0)е"*

У2(' :0, у(0)) = у20) + у(0)(1 - е -11)

Уз(': 0, у (0)) = у30) + у}0)(1 - е-*) у4(1: 0, у(0)) = у(0)

линейной системы (15).

Для этого определим отображения Р(1) и Р(2) из условий

11т хг (1) - уг (1) = 0 , г = 1-4 ,

^ ц- (1)

где в качестве функций ц (1) выбраны следующие:

Ц1) = е ^, Ц (1) = Ц(1) = Ц4 (1) =1 - ■

Имеем

к т(0)

у(0) = р(2) х(0) ^ кх1

к^ ^ 2^2 х1

(17)

(18)

2

у20) = Р2(2)х(0) — х20) +

(2) (0) — Г0)

у(0) = Р<2)х(0) — х(0) +

4 к

к

с

1п

1 + 2-^ х(

к2 (0) 1 ) {к1 2к2 Х}

,.(0) _ р(2) (0) = (0) _ У 4 = -'4 Л! — х4

(0)

к

2 V /

1п

•2 V

Г

к

1 У

(0)

к + 2к2х[

(0)

1 + 2 ^ х(0) к, 1

к^'

У V к ^ 2к2 ) У

2к,

1п

'2

V

1 + 2 ^ х(0)

кх у

+ х

(0)

Р2 = со!оп(р2\ Р2(2), Р<2), Р(2)) .

Обратное отображение Р(1) имеет вид

_ р«-,/0) = х1 = р у1 —

к У(

(0)

(0)

к1 - 2к2У1(

х20) = р2(1) у20) — у20)

4к,

2 „(0)

1 - 2-2- у1

+ У1

(0)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к

х30) = Рз(1)Уз(0) — Уз(0) + у(0) + ^1п 1 -2^У1(0)

2к,

ч у

к,

к2 У1

(0)

I к1 - 2к2 УГ )

к

1 У

к

х40) = Р4(1)У40) — У40) + 2у10) -^1п 1 - 2^ у(

2к,

к1 У1

(0)

Ч У

к1 2к2 у1

(0)

Р(1) = со1оп—\ Р1\ Р(1), Р4(1)).

(19)

(20)

Тогда, области V и и могут быть построены следующим образом:

V = V х V х V х V, V =

-да,

кЛ

, V =(0, , I = 2,4,

V ""2 У ^ к

V 2к2 У

и = и х и х и х и, и =

Величины 5г (': , х(0)), г = 1,4, имеют вид 5^: '0,х(0)) =

и =

——, 2к2 У

, г = 2,4.

кхГ е"*

к + 2^х1(0)(1 - е"*)'

5,(1: '0,х(0)) = ■

к

4^2 (1 - е-*)

-1п

к

1 + 2^ х (1 -е"*) к

к

2 Л0)

1 + 2-^ х к

+ -

X

(0) (

(1 - е-1 )(к + 2к2х1(0))2 + к- 2^1(0))(к + 2к2х,(0)(1- е-'1)) ^

(1 - е~)(к + 2к2х1(0))(к1 + 2к2х}0)(1- е_к'))

(0)

(0)

-Ы N

2

5з(*: х(0)) =

к

2к2(\ -еКг)

1п

1 + 2^ х1(0)(1 - е -)

- кл ••

54(/: ^ х(0)) = -

к

2к2(1 - е-к1)

■ 1п

1 + 2 х(0) к 1

1 + 2^х(0)(1 -е к1)

К )

1 + 2 — х(0) к 1

к Х(0) е-

(к! + 2к2х1(0))(1 - е-)

+ Х

.(0)

к у ^ 2^2

К + 2К х(0)(1 - е^к1Г) 1 - е"к1

кл--,

- кл

и удовлетворяют условиям (6) теоремы (1).

Заметим, что системы (14) и (15) не удовлетворяют определению асимптотической эквивалентности в смысле работ [11-13], так как области определения отображений Р(1) и Р(2) не совпадают со всем пространством Я", и, следовательно, во всем пространстве Я" не существует отображений, переводящих начальные данные одной системы в начальные данные другой, так чтобы норма разности соответствующих решений стремилась к нулю при г ^го.

Так как Р(1) = Р(2) , то системы (14) и (15) локально покомпонентно асимптотически эквивалентны по Левинсону в смысле определения 3.

Учитывая, что отображения Р(1) и Р(2) непрерывны в нуле, получаем, что все условия теоремы 1 выполнены.

Так как нулевое решение системы (15) асимптотически устойчиво по первой компоненте, а ненулевые решения имеют асимптотическое равновесие по остальным компонентам, то на основании теоремы 1 можно сделать вывод, что этими же свойствами обладают решения системы (14) в окрестности нулевого положения равновесия.

Учитывая замену переменных (13), можно сделать следующие выводы об асимптотическом поведении решений системы (11) в окрестности положения равновесия

1) каждое положение равновесия с * системы (11) является асимптотически устойчивым по компоненте с ;

2) решения системы (8), начинающиеся в окрестности положения равновесия с *, имеют асимптотическое равновесие по компонентам с2, С, С, причем при г ^ эти решения стремятся к нему.

с

Поведение решений асимптотически эквивалентных систем в окрестности положения равновесия. Так как правые части систем (11) и (14) совпадают, то из асимптотической эквивалентности систем (14) и (15) следует асимптотическая эквивалентность систем (11) и (15). Тогда формулы (19) и (20) остаются справедливыми, если х(0) заменить на с(0).

Построим графики решений для локально покомпонентно асимптотически эквивалентных по Левинсону систем (11) и (15) относительно некоторых функций (18), с начальными данными, связанными отображениями Р(1) и Р(2) согласно формулам (16) и (17), где х(0) заменены на с(0). В качестве начальных значений решений выбраны

с(0) = 1, с(0) = с3(0) = с(0) = 0 и У(0) * 0.78, У(0) * 0.16, Уз(0) * 0.1, у(0) * 0.12. Графики построены для к = 0.51, к2 = 0.07, что соответствует протеканию брутто-реакции пиролиза этана при постоянной температуре 800^.

Рис. 1. Графики решений с и х, г = 1,2, между начальными значениями которых

установлено взаимно-однозначное соответствие.

Рис. 2. Графики решений с и х, г = 3,4, между начальными значениями которых установлено взаимно-однозначное соответствие.

Положения равновесия для решений с вышеприведенными начальными значениями систем (11) и (15) совпадают и находятся по формулам

lim c (t: 0, х(0)) = lim y (t: 0, y(0)) = 0,

t—w t—w

limc(t: 0,x(0)) = limy (t: 0,y(0)) » 0.94,

t—w t—w

limc (t: 0, x(0)) = lim y (t: 0, y(0)) » 0.88,

t—w t—w

limc (t: 0, x(0)) = lim у (t: 0, y(0)) » 0.12.

t—w t—w

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Заключение. Таким образом, на основании локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности для системы (11) определено положение асимптотического равновесия по заданным начальным концентрациям и исследована асимптотика поведения решений в его окрестности. Из проведенных исследований можно сделать вывод, что исследуемая система обладает свойством полиустойчивости по части переменных [23; 24].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. - М.; Л.: Гостехиздат, 1950. - 471 с.

2. Brauer F. Asymptotic equivalence and asymptotic behavior of linear systems // Michigan Math. J. - 1962. - Vol. 9. - pp. 33-43.

3. Levinson N. The asymptotic behaviour of a system of linear differential equations // Amer. J. Math. - 1946. - Vol. 63. - pp. 1-6.

4. Levinson N. The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations // Duke Math. J. - 1948. - Vol. 15. - pp. 111-126.

5. Wintner A. Linear variation of constants // Am. J. Math. - 1946. - Vol. 68. - pp. 417430.

6. Brauer F., Nohel J. A. The qualitative theory of ordinary differential equations. - New York: W. A. Benjamin, 1969. - 313 p.

7. Onuchic N. Relationship among the solutions of two systems of ordinary differential equations// Michigan Math. J. - 1963. - Vol. 10. - P. 129-139.

8. Onuchic N. Nonlinear perturbation of a linear system of ordinary differential equations // Michigan Math. J. - 1964. - Vol. 11. - pp. 237-242.

9. Onuchic N. Asymptotic relationship at infinity between the solutions of two systems of ordinary differential equations // J. Differential Eqs. 3. - 1967. - pp. 47-58.

10. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

11. Качественные и асимптотические методы интегрирования дифференциальных уравнений / Воскресенский Е. В., Артемьева Е. Н., Белоглазов В. А., Мурюмин С. М.; под ред. Н.А. Лукашевича. - Саранск: Изд-во Сарат. ун-та, Саран. фил., 1988. - 188 с.

12. Воскресенский Е. В. Методы сравнения в нелинейном анализе. - Саранск: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. - 224 с.

13. Воскресенский Е. В. Асимптотические методы: теория и приложения. - Саранск: СВМО, 2000. - 300 с.

14. Мамедова Т. Ф. Асимптотические методы для части компонент решений дифференциальных уравнений: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. -Н. Новгород, 1993. -14 c.

15. Мамедова Т. Ф., Ляпина А. А. Об исследовании динамических моделей социально-экономических систем на устойчивость по части переменных // Журнал Средневолжского математического общества. - 2010. - Т. 12, № 4. -С. 152-157.

16. Мамедова Т. Ф., Егорова Д. К., Десяев Е. В. Анализ устойчивости математической модели Лукаса по части переменных // Журнал Средневолжского математического общества. - 2015. - Т. 17, № 3. - С. 30-36.

17. Язовцева О. С., Мамедова Т. Ф., Губайдуллин И. М. Исследование устойчивости некоторого решения системы кинетических уравнений химической реакции // Журнал Средневолжского математического общества. - 2016. - Т. 18, № 4. -С. 152-158.

18. Якубович В. А. Об асимптотическом поведении решений системы дифференциальных уравнений // Матем. сб. - 1951. - Т. 28(70), № 1. - С. 217-240.

19. Мухина Т. Н., Барабанов Н. Л., Бабаш С. Е. и др. Пиролиз углеводородного сырья. - М.: Химия, 1987. - 240 с.

20. Губайдуллин И. М., Пескова Е. Е., Язовцева О. С. Математическая модель динамики многокомпонентного газа на примере брутто-реакции пиролиза этана [Электронный ресурс] // Огарев-опНпе. - 2016. - № 20. - Режим доступа: http://journal.mrsu.ru/arts/matematicheskaya-model-dinamiki-mnogokomponentnogo-gaza-na-primere-brutto-reakcii-piroliza-etana.

21. Жалнин Р. В., Пескова Е. Е., Стадниченко О. А., Тишкин В. Ф. Математическое моделирование динамики многокомпонентного газа с использованием WENO схем на примере пиролиза этана // Журнал Средневолжского математического общества. - 2016. - Т. 18, № 3. - С. 98-106.

22. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966. - 533 с.

23. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. - М.: Наука, 1987. - 253 с.

24. Воротников В. В. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направления исследований, результаты, особенности // Автомат. и телемех. - 1993. - № 3. - С. 3-62.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.