CC BY
70
УДК 517.958:629.114.2
И. С. Сазонов, д-р техн. наук, проф., П. А. Амельченко, д-р техн. наук, проф.,
В. А. Ким, д-р техн. наук, проф., Э. И. Ясюкович, канд. техн. наук, доц.,
В. Д. Рогожин, канд. техн. наук, доц., А. Г. Стасилевич, А. А. Метто МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ КОЛЕСНОГО ТРАКТОРА МТЗ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЕГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ПЭВМ
В статье представлена математическая модель колесного трактора МТЗ, учитывающая шарнирную связь балансирной балки переднего моста с корпусом трактора и подвеску управляемых колес. Представлены выводы, сделанные по результатам решения математической модели на ПЭВМ.
Передний мост колесного трактора представим как колебательную систему «дорога - управляемые колеса - рулевое управление», которую, в отличие от известных, будем рассматривать с учетом моделируемых случайных возмущений. Расчетная схема такой системы, учитывающая упругость тяг и зазоры в шарнирах рулевого привода, диссипацию энергии в элементах подвески и шин, инерционность подвижных деталей, сухое трение в подвеске колес и кинематику рулевой трапеции, приведена на рис. 1.
В рассматриваемой механической системе выделим подрессоренную массу (балансирная балка и передняя часть трактора, масса которой приходится на передний мост) и неподрессоренную массу (управляемые колеса с шинами). Рассмотрим следующие возможные перемещения в системе:
- перемещение точки С1 (рис. 1) в плоскости ХОУ по осям ОХ и ОУ;
- вертикальные колебания подрессоренной массы по оси 02;
- угловые колебания переднего моста относительно продольной оси трактора;
- угловые колебания управляемых колес относительно осей шкворней.
Таким образом, поведение рассматриваемой механической системы определяется следующими обобщенными координатами:
- 7с1, ус1, щ1 - вертикальное, боковое перемещения точки С1 (см. рис. 1) и угол поворота переднего моста вокруг продольной оси трактора соответственно;
- 7^ 72 - вертикальные перемещения левого и правого управляемых колес;
- п1 - угол поворота левого управляемого колеса вокруг оси его шкворня.
Балансирная балка переднего моста колесного трактора, имеющая шарнирную связь с корпусом трактора, и подвеска управляемых колес привносят специфические особенности в математическую модель его движения.
Запишем уравнения геометрических связей моделируемой системы, которые будут использованы при выводе динамических уравнений и уравнений кинематических связей. Из рис. 1 выразим длину отрезка /ш1, заключенного между точками пересечения осевой линии 1-го поворотного шкворня с осевыми линиями балансирной балки и 1-й поворотной цапфы, а также расстояние от центра масс переднего моста до точек крепления 1-й подвески в положении статического равновесия:
Іші = (И ± І, БІЙ х) / соб а,, і = 1, 2; ёт = dki ± Гсті БІЙ Хі + Іі соб Хі ±
± Іші бій аі, і = 1, 2.
(1)
Выразим ординаты центров левого ук1 и правого ук2 колес через обобщенные координаты:
укі = Ус1 ± dm СОБ щ - ІОІ 8Ій(а + щ) ±
± Іі соб(Пі + Пі), і = 1, 2,
где іоі Іші + ^ті - %і.
(2)
Углы Хі между проекциями осевых
линий поворотных шкворней на плоскость ХОУ и осью ОУ, между вертикальными осями и осевыми линиями шкворней, длины р; проекций отрезков 03; осевых линий шкворней на плоскость ХОУ и расстояния а; точек 0; до опорной поверхности определяются из выражений (рис. 2, а):
A = arctg [tg в / tg(a + щ)], i = 1, 2;
Yi = arctg [tg(a + щ) / cos Ai], i = 1, 2; p, = a, tg(a + щ) / cos Ai, i = 1, 2; p(3)
a, = cos(x + щ) + li sin(x + щ),
i = 1, 2,
где rzi - радиус i-го колеса. Причем:
rZi = гст, + Zi - q, i = 1, 2. (4)
Рис. 1. Расчетная схема переднего моста колесного трактора
Рис. 2. Расчетные схемы для определения угла (а), продольной реакции опорной поверхности на управляемое колесо (б), скоростей центров колес (в)
Соотношение между углами поворота управляемых колес для обеспечения их чистого качения должно удовлетворять условию:
= В /Ь, (5)
где В - расстояние между осями шкворней поворотных цапф управляемых колес; Ь - база трактора; п, П2 - углы поворота внутреннего и внешнего колес соответственно.
Ввиду того, что функция сЩц при П = 0 не определена, в уравнении (5) заменим ее через 1Л£п Тогда после подстановки получим:
П2 = аг^
/I В
+1
(6)
Расстояния от осевых линий поворотных шкворней до линий действия продольных Ихг, боковых Иуг, вертикальных Иг, составляющих нормальных сил (рис. 2, в):
Их, = /, сов(х + ¥1) ± Р, сов( Л, - п) + £ г = 1, 2;
Иу, = -р, вт(Л- - п) + в/, г = 1, 2;
Иг, = ± /, - п) + в, сов(Л- - п),
г = 1, 2.
К7)
Аппликаты точек крепления левой гп1 и правой гп2 рессор (пружин) к балан-сирной балке выразим через обобщенные координаты гс1 и ¥ь
гт = гЛ + йт в1п ¥1, г = 1, 2.
(8)
Продифференцировав по времени выражения (2), (6) и (8), получим:
укі = Усі + ¥1 (1аі ± Лпі ЙП ) +
+ (* пі - ¿і + /0 ±
±Ліїї 8іп(Пі +ПоіX і = 1,2 п2 =п<|1/со82Пі (В^ + 1) + ^\
¿пі = 2о1 +^1Л„-Со8^1, і = 1, 2.
(9) >; (10) (11)
Выражение, взятое в скобки, из уравнения (10) обозначим через Е1, тогда
П2 = ЕП1 •
(12)
Продифференцировав по времени выражение (10) и произведя формальные преобразования, получим:
п =П1Е1-П12 *
-$а}2П\ + 2 +1)+&п
4 С08 П1 +1) +^\
• (13)
Обозначив через Е2 выражение, заключенное в фигурных скобках, имеем:
П = ЕА - Е2П •
(14)
Поступательные скорости движения управляемых колес у^, у^2 выразим через скорость центра масс переднего моста у (см. рис. 2, в):
Vki = V + Ід, і = 1, 2.
(15)
Невозможность интегрирования одних динамических уравнений объясняется тем, что в их правые части входят неизвестные реакции, которые можно определить при добавлении уравнениями кинематических связей.
Другими словами, система динамических уравнений является неопределенной, так как число неизвестных превышает число уравнений. Для того, чтобы задача стала разрешимой относительно неизвестных, на систему необходимо наложить некоторые условия, которые определяются уравне-
ниями кинематических связей.
Уравнения кинематических связей имеют вид:
Укі + Ъ + 'ьф + чп = 0 =12;
Фі +п + укі№і -и2іФї -и3іХі) = 0 і =12
(16)
где р - боковые и угловые деформации шин соответственно; и1, , и2, , и3 -кинематические коэффициенты.
Выражение кинематических коэффициентов можно записать в виде:
иі = 4 срку = 4 су /ку;
и2 = 4 ¥ш су /ку = 4 су /ку;
и3 =¥Ш24и2/и2,
2 П 2 .
где /ш - относительное затухание переходного процесса в шине; су - коэффициент боковой жесткости глины; ку - коэффициент сопротивления боковому уводу; Лс - радиальная деформация пневматика при полной вертикальной нагрузке в положении статического равновесия.
С учетом (9), (15) и уип = 0 уравнения кинематических связей принимают вид:
Ъ = -Усі - ¥і (1аі ± Лпі ^П /1) -- (¿пі - ¿і ^а,- + /1) +
+Ці 1ї втСл,-+Поі) - (у+1іПі )Фї.і=12; фї = (V + 1іЦі)[ииЪ1 - и2іФі -
-и3і(Хї +/1)]-Пі, і = 1,2
(18)
Уравнения динамики движения колебательной системы запишем в форме уравнений Лагранжа второго рода [1].
Как показали результаты моделирования, скорость поворота управляемых колес свыше П= 2 с-1 и вращение передней балки моста вокруг шкворня его крепления к остову трактора провоцируют появление гироскопического момента Мл.
Определив компоненты уравнения Лагранжа второго рода, получим систему дифференциальных уравнений движения колесного трактора в виде:
zc1 EPni /г
i=l
2
Усі =■
Eta cos(ni +Псі)+(Pki- Pfi)sin(ni +noi)] i=l
Уі =■
2
E(+ Pnidni )cosyi + MV1 i=l
Jx
zi = (pi-pm)/mb i = 1,2
Пі =-
Jz2E21i2 +E МГі + M1 ____________i=1__________
Jzi + Jz2E1 + N1 - N2
4i =-ycl-vy1(lai ±dni sinУі)-
-(zni -zi)sm(a; +y1) +
+ Лili sin(ni +Поі)-(v + linОФь i =1,2 cpi = (v+lilii)[UH^i -и2ф; -
- U3(Xi +У1)]-П i, i = 1,2
(19)
где Рпі = Сш(2ш -¿і)+кш(гпі -гі)-ш -гї)
усилие в і-м элементе подвески.
Разработанная методика составления математической модели динамики движения колесного трактора является уточнением метода, приведенного в [2], и может быть использована для составления математических моделей колесных машин, имеющих аналогичные кинематические связи.
Анализ результатов моделирования динамики движения колесного трактора на ПЭВМ позволил сделать следующие выводы.
1. Математическая модель позволяет исследовать влияние массогеометрических, упругодиссипативных характеристик шин и подвесок, параметров углов установки управляемых колес на курсовое движение трактора. Модель курсового движения от-
личается от существующих новыми уравнениями неголономных связей качения колес с опорной поверхностью, позволяющих определить силы в контакте колес с опорной поверхностью, что позволяет осуществлять контроль скольжения пятен контактов колес.
2. Анализ результатов моделирования показал:
- при изменении схождения управляемых колес трактора в пределах ±3 мм среднеквадратичные отклонения амплитуд их угловых колебаний изменялись на 0,2 %, а среднеинтегральная ширина коридора движения поезда на 0,08 % при скоростях движения 8-12,5 м/с;
- эффективное снижение колебаний управляемых колес трактора происходит при изменении центра крена корпуса трактора путем наклона оси вращения шарнирного пальца, соединяющего балку моста с корпусом трактора. Оптимальный угол наклона оси вращения шарнирного пальца по отношению к продольной оси трактора составляет 10-12° в пределах изменения продольной базы порядка 3-4 м.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. - М. : Физматгиз, 1961. - 824 с.: ил.
2 Ясюкович, Э. И. Влияние установки управляемых колес на курсовую устойчивость трактора класса 14 кН : дис. ... канд. техн. наук : 05.05.03 : защищена 15.10.1982 : утв. 09.03.1983 / Ясюкович Эдвард Игнатьевич. - Минск, 1982. -199 с.: ил.
m
o
Белорусско-Российский университет Материал поступил 09.10.2006
I. S. Sazonov, P. A. Amelchenko, V. A. Kim,
E. I. Yasukovich, V. D. Rogozhin,
A. G. Stasilevich, A. A. Metto The mathematical model of the MTZ wheel tractor’s dynamics and results of computer solving Belarusian-Russian University
The mathematical model of the MTZ wheel tractor’s dynamics, that took into consideration a link connection of the balancing front-axle beam with tractor’s body and the steering wheels suspension, is presented in the paper. The conclusions, based on the computer solving of the mathematical model, are given.
