Математическая модель динамики абонентов сотового оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ределить значение Л для любого заданного времени t.

Таким образом, получены математические модели и механизм расчета и прогнозирования показателей надежности сложных, в том числе комплексированных ЭРИ, которые позволяют дать оценку их безотказности на разных этапах разработки и начала производства и управлять процессом формирования унифицированных требований к эксплуатационным параметрам этих изделий.

Предложенный математический аппарат оценки, в том числе ускоренной, важнейшего эксплуатационного параметра функционально сложных ЭРИ на сегодня является научно обоснованным и практически апробированным инструментарием, позволяющим определить с высокой достоверностью пока-

затели безотказности современной электронной компонентной базы специального назначения.

Библиографический список:

1. Сотсков, Б.С. Основы теории и расчета надежности элементов и устройств автоматики и вычислительной техники / Б.С. Сотсков. - М.: Высшая школа, 1970. - 271 с.

2. Надежность электрорадиоизделий. Справочник / Под ред. А.А. Борисова. - М.: МО, 2006. - 623 с.

3. Домрачев, В.Г. Об оценке надежности цифровых преобразований угла с учетом метрологических отказов / В.Г. Домрачев, В.М. Исаев // Измерительная техника. - 1990. - № 9. - С. 7-15.

4. Дружинин, ГВ. Надежность автоматизированных систем / ГВ. Дружинин. - М.: Энергия, 1997. - 536 с.

5. Гихман, И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гихман, А.В. Скороход. - М.: Наука, 1977. - 567 с.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ АБОНЕНТОВ Сотового оператора

А.В. ОБЛАКОВА, асп. каф. математического моделирования экономических процессов Финансовой академии при Правительстве РФ,

А.В. ТРЕГУБ, доц. каф. высшей математики МГУЛ, канд. физ.-мат. наук,

И.В. ТРЕГУБ, доц. каф. математического моделирования экономических процессов Финансовой академии при Правительстве РФ

По итогам последних лет рынок сотовой связи стал одним из крупнейших по величине инвестиционных вложений в России. Общая сумма инвестиций исчисляется миллиардами рублей. Дальнейшее развитие отрасли мобильных телекоммуникаций напрямую зависит от объема инвестиционных вложений компаний, оказывающих услуги сотовой связи. В настоящее время это приобретает особую значимость в связи с переходом современных технологий сферы сотовой связи на новый этап развития - сети третьего поколения (3-G сети), что потребует крупных инвестиций для замены технического оснащения и программного обеспечения.

Реализация инвестиционных проектов в сфере сотовой связи осуществляется в условиях неопределенности, поэтому качественно составленного бизнес-плана проекта может оказаться недостаточно для обоснования того, что инвестиционный проект при его

tregub@mgul.ac.ru реализации в условиях высоко рискованной экономики России сможет обеспечить те эффективность и прибыльность, которые были запланированы в бизнес-плане.

В условиях неопределенности у инвестиционного проекта на рынке сотовой связи могут возникать несколько сценариев реализации. Одним из наиболее обоснованных современных подходов к анализу и оценке эффективности и рисков инвестиционных проектов является имитационное моделирование. Оно позволяет наиболее полно учесть и количественно оценить все риски, возникающие в процессе реализации инвестиционного проекта. Особенно актуальным применение имитационного моделирования для анализа эффективности и рисков инвестиционных проектов на рынке сотовой связи стало в условиях финансового кризиса, охватившего как Россию, так и другие страны мира.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

135

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Для использования имитационного моделирования в инвестиционном анализе проектов, относящихся к сфере услуг сотовой связи, необходимо выявить основные особенности данной отрасли в России, а также возможные пути развития рынка сотовой связи.

Сотовая связь является одним из наиболее значимых открытий двадцатого века, несмотря на все многообразие технических изобретений этого периода. Сфера мобильных телекоммуникаций является чрезвычайно интересной для исследования экономистами, и причин, объясняющих этот интерес, существует несколько.

Рынок мобильных телекоммуникаций является одним из наиболее динамично развивающихся как в России, так и во всем мире. Число пользователей мобильными услугами во всем мире растет огромными темпами. В 90-х годах двадцатого века число пользователей сотовой связью росло на 50 % ежегодно [3]. В начале двадцать первого века стало ясно, что мобильные телекоммуникации являются наиболее распространенным средством доступа к телекоммуникационным услугам.

В России сотовая связь начала внедряться с 1990 г. и уже на этапе зарождения обладала существенной особенностью: развитие сотовой связи в России началось с опозданием примерно в десять лет по сравнению с ведущими странами, что позволило, пропустив стадию эволюционного развития, сразу использовать последние мировые технические достижения и решения, доказавшие свою эффективность.

Современная стадия развития российского рынка сотовой связи также обладает рядом отличительных особенностей. Прежде всего стоит отметить, что доминирующее положение в отрасли занимают три федеральных оператора: МТС, Вымпелком и Мегафон, на долю которых, по данным J son and Partners, приходится примерно 82 % общей абонентской базы.

Вместе с тем отличительной чертой российского рынка сотовой связи является высокий уровень конкуренции, который в последние годы приводил к постоянному снижению тарифов. В настоящее время повышать конкурентные преимущества сотовых операторов за счет применения более низких

тарифов стало уже практически невозможно. Число абонентов прирастает за счет перехода клиентов от одного оператора к другому, поэтому сотовые операторы начинают ориентироваться на отдельные рыночные сегменты и локальные группы потребителей мобильной связи. На данном поле конкуренции нет явных границ, и все зависит только от изобретательности, таланта и фантазии маркетологов компаний, оказывающих сотовые услуги.

Другим направлением развития конкуренции можно назвать расширение спектра предоставляемых услуг, что особенно актуально на современном этапе развития сотовой связи, характеризующимся появлением сетей третьего поколения (3G). Отличительная черта сетей 3G - высокая скорость передачи данных, которая как раз и позволит сотовым операторам предлагать своим клиентам новые услуги из числа ранее недоступных, например видеозвонки и высокоскоростной доступ в Интернет.

Другой важнейшей особенностью рынка является дальнейшая региональная ориентация сотовых операторов. Это связано с тем, что рынки Москвы, Санкт-Петербурга, Московской и Ленинградской областей уже сформированы: по данным Министерства связи РФ, по итогам 2007 г. уровень проникновения мобильной связи составил 178 % в Москве и Московской области и 156 % в Санкт-Петербурге и Ленинградской области. В регионах данных показатель значительно ниже: в целом по России он составляет порядка 120 %. Кроме того, на рынке сотовой связи будут продолжаться слияния и поглощения. Новые небольшие региональные операторы уже вряд ли появятся, так как незанятых частот во многих регионах практически не осталось. Получить частоту можно либо на прямом аукционе, либо поглотив работающего оператора. В обоих случаях это по силам только компаниям со значительными финансовыми ресурсами.

В настоящее время актуальным становится вопрос о прогнозировании числа абонентов сотовой связи, решение которого далее будет рассмотрено на примере одного из сотовых операторов «большой тройки». Для этого были зафиксированы данные по числу абонентов сотового оператора поквартально за 2005-2007 гг., представленные в таблице.

136

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Таблица

1 кв. 05 2 кв. 05 3 кв. 05 4 кв. 05 1 кв. 06 2 кв. 06 3 кв. 06 4 кв. 06 1 кв. 07 2 кв. 07 3 кв. 07 4 кв. 07

Число абонентов, млн чел. 30,25 34,09 38,87 44,22 45,84 48,04 49,99 51,22 51,5 52,7 54,4 57,4

ГЧ "-t -Н ГЧ "-t -Н ГЧ -rf

Рисунок. Динамика числа абонентов сотового оператора

График динамики числа абонентов представлен на рисунке.

1. Логарифмическая модель динамики абонентов

Осуществив графический анализ динамики числа абонентов, предположим, что наиболее точно количество абонентов можно будет описывать при помощи логарифмического тренда.

В общем виде логарифмический тренд выражается уравнением

Vt = а0 + ailn(t) + e, где а0, а1 - оцениваемые параметры; et - случайная ошибка.

Параметры данной модели можно оценивать с применением метода наименьших квадратов (МНК). Для оценки модели в качестве обучающей выборки будем рассматривать первые 11 значений, последнее наблюдаемое значение включим в контролирующую выборку.

В результате оценивания модели с помощью МНК спецификация модели имеет вид

Vt = 28,68 + 10,61 ln(t) + et,

(0,7939) (0,4556) (1,0735). (1)

Адекватность построенной модели проверим с помощью тестов.

1. Значимость коэффициентов регрессии

Значимость коэффициентов регрессии оценивается с помощью t-критерия. Выдвигается гипотеза Н0: а0 = 0. Далее рассчитывается t-статистика

t0 = а0/ \ = 23,28.

Зададимся уровнем значимости в 5 % и по таблице t-распределения со степенями свободы v1 = N - (k+1) = 9 найдем критическое значение t = 1,833. Так как t < tn, то гипотеза Н0 отвергается и подтверждается значимость коэффициента а0.

Аналогичная проверка осуществляется для коэффициента а1: t1 = 36,13 > tкрит = =1,833. Следовательно, гипотеза Н0: а1 = 0 отвергается и подтверждается значимость коэффициента а1. Таким образом, оба коэффициента являются значимыми.

Для обоснования возможности применения МНК необходимо осуществить проверку гипотез теоремы Гаусса-Маркова, являющихся необходимыми условиями того, что оценки, полученные при помощи метода наименьших квадратов, состоятельны.

2. Тестирование случайных остатков модели

Согласно теореме Гаусса-Маркова случайные остатки модели должны быть гомоске-дастичны, т.е. дисперсия выборки должна быть постоянной. Для проверки данной гипотезы применяют тест Голдфельда-Квандта, который заключается в следующем: все наблюдения упорядочиваются по возрастанию предопределенной переменной. Затем оцениваются две вспомогательные регрессии: в первую входят N первых наблюдений, где N удовлетворяет неравенству, предложенному в [1]

(k +1) < N < N/2,

где (k +1) - число оцениваемых коэффициентов регрессии;

N - число наблюдений.

Далее вычисляются величины ESS1 и ESS2 для первой и второй вспомогательных выборок соответственно

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

137

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

N' ,

ESSi = Е e2,

i=1

N п

ESS2 = Е е2.

i=N'+1

Затем вычисляется статистика Голд-фельда-Квандта (GF-статистика)

GF =

ESS1

ESS2

По таблице F-распределения со степенями свободы: vj = N - (k + 1) и v2 = = (N - N’) - (k + 1) определяется величина F Предпосылка о гомоскедастичности ошибок считается адекватной, если справедливы оба следующих неравенства

J GQ < Крит

\GQ- < FKpum .

Для рассматриваемого логарифмического тренда, построенного на основе 11 наблюдений, первая вспомогательная регрессия строится для 5 наблюдений

V = 28,96 + 10,12 • ln (t) + et ESS1 = 8,54.

Вторая вспомогательная регрессия строится по оставшимся 6 наблюдениям V = 31,18 + 9,5- In (t) + et ESS2 = 0,84.

GQ = 10,19;

GQ~l = 0,098

Значение F для степеней свободы

крит

vj = 3 и v2 = 4 и 99 %-ой вероятности равно 16,69, следовательно, гипотеза о гомоскедас-тичности ошибок принимается.

3. Отсутствие автокорреляции ошибок

Для проверки данной гипотезы используется тест Дарбина-Уотсона или DW-критерий. Проверяется гипотеза Н0: автокорреляция ошибок первого порядка отсутствует. Пусть была оценена модель регрессии и найдены ошибки e i = 1, ..., N, тогда DW-статистика рассчитывается так, как это предложено в [2]

N п

Е (e - e-j )2 DW = —.

Е e2

i =1

Значение данной статистики лежит в интервале от 0 до 4. В случае отсутствия

автокорреляции ошибок равно примерно 2, в случае положительной автокорреляции - смещается в меньшую сторону, в случае отрицательной автокорреляции - смещается в большую сторону.

- Гипотеза Н0 принимается, если

dv < DW< 4 - dv;

- Г ипотеза Н0 отвергается в пользу положительной автокорреляции, если DW < dL;

- Гипотеза Н0 отвергается в пользу отрицательной автокорреляции, если DW > 4 - dL,

- Вопрос остается открытым, если dL < DW< dU или 4 - dU < DW< 4 - dL.

Для имеющейся выборки размером 11 и одном параметре регрессии значения dU и dL равны dL = 0,927; dU = 1,324. Для исследуемого уравнения регрессии значения DW-статистики получилось равным 1,9308. Это значение попадает в интервал dU < DW < 4 - dU, что говорит о справедливости гипотезы Н

4. Качество спецификации модели

Следующим тестом, который необходимо провести, является тест на качество спецификации. Для этого выдвинем основную гипотезу Н0 о совершенно плохом качестве спецификации модели: а1 = 0. Для проверки этой гипотезы вычисляется величина

77 R 2/ k

F =------;----------,

(1 - R2)/(n - (k +1))

где k +1 - количество коэффициентов регрессии;

n - объем выборки;

R2 - коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации для построенной модели равен 0,9837, что говорит о достаточно хорошей объясняющей способности включенных в модель переменных.

Величина F для построенной модели равна 541,83 и имеет F-распределение со степенями свободы Vj = k = 1 и V2 = n - (k + 1) = 9. Задавшись 5 %-м уровнем значимости, определим значение F по таблице F-распределение со степенями свободы Vj = 1 и V2 = 9: F = 5,12, следовательно, F < F, что го-

крит крит

ворит о необходимости отвергнуть гипотезу Н0 и сделать вывод о хорошей спецификации модели.

138

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Выполнив основные тесты для проверки адекватности модели, можно осуществить прогноз числа абонентов на основе построенной модели, а также проверить адекватность прогноза.

Подставив значение из контролирующей выборки в оцененное уравнение регрессии, получим прогнозируемое значение числа абонентов сотового оператора для следующего периода времени: V12 = 55,035 млн человек.

Для проверки адекватности прогноза построим доверительный интервал [y0-, y0+], задавшись 99 %-ной вероятностью. Границы доверительного интервала определяются по формуле

y0 у0 ^крит Sy0 ;

У0 у0 + ^крит Sy0 .

Доверительный интервал выглядит следующим образом: [51,76; 58,4], то есть он с вероятностью 99 % накрывает значение 57,4 из контролирующей выборки, что говорит об адекватности оцененной модели.

Таким образом, построенная модель динамики абонентов сотового оператора (1) является адекватной и пригодной для прогнозирования.

2. Логистическая модель динамики абонентов

Кроме логарифмического тренда следует также рассмотреть вариант логистической функции

V =---------

t 1 + b • е-at ,

где a, b, k - параметры, которые необходимо оценить.

Преимуществом логистического тренда является то, что он обладает горизонтальной асимптотой. Другие виды трендов устремляются в бесконечность с ростом t. При анализе и прогнозировании числа абонентов именно это преимущество является исключительно важным, так как рано или поздно на рынке сотовой связи наступит предел насыщения в отношении увеличения числа абонентов, что может быть отражено с помощью применения логистической функции.

Другой важной особенностью логистической функции является ее нелинейность

относительно оцениваемых параметров a, b, k, что приводит к нелинейности системы уравнений, получаемых при использовании МНК. Для решения такой системы можно применять лишь итеративные численные методы, однако в [1] описывается подход Г.Готтелинга, основанный на использовании дифференциального уравнения логистической функции. В результате некоторых преобразований для оценивания неизвестных параметров можно придти к следующей зависимости

AVt = a-Vt + (-a / -yVf + ut, где ut - белый шум.

К этому уравнению можно непосредственно применять метод наименьших квадратов и получить оценки а и -a / k. Затем можно будет получить оценку k.

Оценку параметра b можно получить с помощью метода моментов, описанного в [1], согласно формуле

heat = (k/V) - 1,

следовательно, lnb = a^t + ln((k/Vt) - 1) и с помощью метода моментов получаем

, , 1 f T • (T +1) T f k

ln b = — a 2 + У ln

T l 2 t=i lVt JJ

Итак, применим изложенную процедуру оценивания параметров логистического тренда на имеющихся данных о динамике числа абонентов сотового оператора. В качестве контролирующей выборки оставляем первое наблюдаемое значение.

На основе метода наименьших квадратов получим следующие оценки указанной ранее статистической зависимости. Спецификация модели при этом имеет вид AVt = 0,2677^ Vt - 0,004^ Vt2 + u t

(0,099) (0,0019) (1,467). (2)

Следовательно, параметры логистической функции будут равны соответственно a = 0,2677; b = 0,877; k = 60,56.

Далее по схеме, описанной на примере логарифмического тренда, оценим адекватности модели и правомерность использования МНК.

1. Значимость коэффициентов

Оценим с помощью теста Стьюдента значимость коэффициентов. Для этого вы-

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

139

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

двинем основную гипотезу Н0: а1 = 0. Далее рассчитывается t-статистика

t = ai / \ = 2,69.

Зададимся уровнем значимости в 1 % и по таблице t-распределения со степенями свободы v1 = N - (k+1) = 8 найдем критическое значение t = 1,86. Так как t < t,, то гипотеза Н0 отвергается и подтверждается значимость коэффициента а1.

Аналогичная проверка осуществляется для коэффициента а2: t2 = 2,26 > t = 1,86. Следовательно, гипотеза Н0: а2 = 0 отвергается и подтверждается значимость коэффициента а2.

2. Тестирование случайных остатков модели

Для оцениваемой модели, построенной на основе 10 наблюдений, первая вспомогательная регрессия строится для 5 наблюдений.

AVt = 0,3853- Vt - 0,0067- Vt2 + ut ESS1 = 6,99.

Вторая вспомогательная регрессия строится по оставшимся 5 наблюдениям.

AVt = 0,0065-Vt - 0,0003- Vf + ut ESS2 = 1,59.

GQ = 4,38;

GQ~l = 0,23

Значение F для степеней свободы v, = 2 и v2 = 2 и 95 %-ной вероятности равно 19, следовательно, гипотеза о гомоскедастичнос-ти ошибок принимается.

3. Отсутствие автокорреляции ошибок

Для имеющейся выборки размером 10 и двух параметров регрессии значения dv и dL равны: dL = 0,697; dv = 1,641. Для исследуемого уравнения регрессии значения DW-статистики получилось равным 1,25, что попадает в интервал dL < DW < d что говорит невозможности сделать вывод ни об отсутствии автокорреляции остатков, ни о наличии автокорреляции.

4. Качество спецификации

Следующим тестом, который необходимо провести, является тест на качество спецификации. Для этого выдвинем основную гипотезу Н0 о совершенно плохом качестве спецификации модели: а = а2 = 0.

Коэффициент детерминации для построенной модели равен 0,7784, что говорит о достаточно хорошей объясняющей способности включенных в модель переменных.

Величина F для построенной модели равна 14,05. Задавшись 5 %-м уровнем значимости, определим значение F по табли-

це F-распределение со степенями свободы v1 = 2 и v2 = 8: F = 4,46, следовательно, F < F, что говорит о необходимости отвергнуть гипотезу Н0 и сделать вывод о хорошей спецификации модели.

Выполнив основные тесты для проверки адекватности модели, можно осуществить прогноз числа абонентов на основе построенной модели, а также проверить адекватность прогноза.

Подставив значение из контролирующей выборки в оцененное уравнение регрессии, получим прогнозируемое значение числа абонентов сотового оператора для следующего периода времени: AV1 = 3,84.

Для проверки адекватности прогноза построим доверительный интервал [y0-, y0+], задавшись 95 %-ной вероятностью. Доверительный интервал выглядит следующим образом [-5,29; 6,896], то есть он с вероятностью 95 % накрывает значение 3,84 из контролирующей выборки, что говорит об адекватности оцененной модели.

Итак, на основе имеющихся данных о динамике числа абонентов одного из ведущих сотовых операторов России были построены две прогнозных модели. Первая из них основывалась на логарифмическом тренде, вторая - на логистической функции. Достоинствами логарифмического тренда являются простота оценки параметров модели, более высокое значение коэффициента детерминации, говорящее о большей объясняющей способности модели. Однако в качестве недостатка предложенной модели логарифмического тренда можно назвать тот факт, что она не учитывает постепенную насыщаемость рынка. Этот недостаток преодолевается в модели, построенной на основе логистической функции, в соответствии с которой с определенной долей условности можно сделать вывод о том, что предел на-

140

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009